Lista5deCálculoII Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Lista5deCálculoII

FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 0 9 – 1º

Pro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s

Lis ta 5 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo II

1. Determine a integral indefinida das funções abaixo, usando as propriedades de integral ou o método da substituição (Nota: Todos já vêm com o gabarito ao lado):

a) C 6 x dx x 6

5 _{= +}

∫

b) x C

m n

n dx

x n n m

n m ₊

+

= +

∫

c) r C

6 r 5 dr

r 5

5 _{= +}

∫

d) t t C

3 2 dt t t t 2 5 + =

∫

e) C s 6 1 s dx 6 7 =− +

∫

f) x C

8 3 x dx

x 3 8

3 2

+ =

∫

g) e C

2 1 dx

e2x = 2x+

∫

h) e C

3 7 dx e

7 3x = 3x+

∫

i)

( )

cos

( )

5x C

5 1 dx x 5

sen = − +

∫

j)

( )

sen

( )

6x C

6 1 dx x 6

cos = +

∫

k)

( )

cos

( )

4x C

4 3 dx x 4 sen

3 = − +

∫

l)

∫

9cos

( )

3x dx =3sen

( )

3x +C

2. Determine as integrais indefinidas abaixo, por substituição (Nota: Todos já vêm com o gabarito ao lado):

a)

(

)

(

t 3

)

C

36 1 dt 3 t

t3 4 + 8 = 4 + 9+

∫

b)

∫

3x2cos

( )

x3 dx = sen

( )

x3 +C

c)

(

)

cos

(

4x 1

)

C

8 1 dx 1 x 4 sen

x⋅ 2 + = − 2 + +

∫

d)

∫

⋅ + =

(

x +1

)

+C 3

1 dx 1 x

x 2 2 3

e)

∫

= + +

+ 2 2x 3 C

f)

∫

(

+

)

=

(

2+ x

)

+C 3

2 dx x

x

2 2 3

g)

∫

+ =

(

1+ x

)

+C 3

4 dx x

x

1 32

h)

( )

dx 2sen

( )

x C x

x

cos _{= +}

∫

3. Determine a integral indefinida das funções abaixo, pelo método da substituição:

a)

∫

_{x x}2−_{9 dx}

b)

∫

cos 4 dθ θ

c) _{6x senx dx}2 3

∫

d)

(

)

5

cos x 2 sen x+ dx

∫

e)

2 1 1

1 dx

3x x + ⋅

∫

f) 2 cos t sent dt

∫

g)

∫

_{2 senx 1 cos x dx}⋅ +3

h) 2 5x e− dx

∫

i)

∫

sen x ln cos x dx

(

)

j)

(

)

3x 2 3x e

dx 1 2e−

∫

4. Determine a área através integral definida das funções abaixo (Preferencialmente por substituição):

a) 2 _{4 x}2 0x e dx

−

∫

b)

(

)

2 e

2 e

1 dx x ln x

∫

c) 2 2 3 0x e dx

∫

d) 1

3 8

4

1 ₃

x dx x +4

∫

e) 2

(

)(

)

1 x 1 2x 3 dx

− − +

∫

f)

(

)

1 3 0 2

z dz z +1

g) 10

1 5x 1 dx−

∫

h) 2 2 3 1 t t +1 dt

∫

i) 1

(

2

)

3 2

0 3

y 2y dy y 3y 4

+

+ +

∫

Método de Integração por Partes

Este método é particularmente útil para integrandos que envolvem produtos de funções algébricas e exponenciais ou logarítmicas. A integração por partes se baseia na Regra do Produto para derivação.

[ ]

. forma nova sob Escrevendo du

v dv u v u

. l diferencia forma

em Escrevendo dx

' u v dx ' v u v u

. membros os

ambos Integrando '

u v ' v u v u dx

d

∫

∫

∫

∫

+ =

+ =

+ =

∫

udv= uv −

∫

vdu. Fórmula daIntegraçãopor Partes.

Diretrizes para a integração por partes:

1. dv deve ser a parte mais complicada do integrando que se ajuste a uma regra básica de integração; u é o fator restante; ou,

2. u deve ser a parte do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que a própria função u; dv é o fator restante.

OBS.: dv deve conter a diferencial dx da integral original.

5

.

Determine as integrais indefinidas abaixo, por partes (Nota: Alguns já vêm com o gabarito ao lado):

a)

∫

xexdx

b)

∫

xlnxdx

c)

∫

xsenxdx

d)

∫

lnxdx= x.ln(x)−x+C

f)

∫

ln

(

1−x

)

dx

g)

∫

x.cos(x).dx= cos(x)+x.sen(x)+C

h)

∫

ex.cos(x).dx= (cos(x) sen(x)) C 2

ex _{+ +}

i)

∫

ln(x+x2).dx= x.ln(x+x2)−2.x+ln(x+1)+C

j)

∫

1 −

k)

∫

1 −

0

x_.sen(x).dx e

2 = ≅0,491674

l)

∫

e

1

2_.ln(x).dx

x =

(

_{1 2.e}3

)

9

1 ₊

(Obs: ln(1) = 0 e ln(e) = 1)

m)

∫

1 −

0 x 5 _.dx e .

x = ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ − ₅

e 6 1 25

1

n)

∫

1

0 x

dx . e = 2

6

.

Determine as integrais indefinidas abaixo, por partes (Desafios):

a)

∫

x x 2 dx+

b) 2

3 2x x dx−

∫

c) 3x x e dx

∫

d) ax

( )

e cos bx dx