UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN ´A

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN ´ A

ELVIS MANUEL RODRIGUEZ TORREALBA

ALGORITMOS BASEADOS EM M´ ETODOS DE LAGRANGEANO AUMENTADO PARA PROBLEMAS DE EQUIL´IBRIO

CURITIBA

2018

ELVIS MANUEL RODRIGUEZ TORREALBA

ALGORITMOS BASEADOS EM M´ ETODOS DE LAGRANGEANO AUMENTADO PARA PROBLEMAS DE EQUIL´IBRIO

Tese apresentada como requisito parcial ` a obten¸c˜ ao do grau de Doutor em Matem´ atica, no Curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, Setor de Ciˆ encias Exatas, da Universidade Federal do Paran´ a.

Orientador: Prof. Dr. Luiz Carlos Matioli.

CURITIBA

2018

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELO SISTEMA DE BIBLIOTECAS/UFPR BIBLIOTECA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

T689a Torrealba, Elvis Manuel Rodriguez

Algoritmos baseados em métodos de Lagrangeano Aumentado para problemas de equilíbrio / Elvis Manuel Rodriguez Torrealba. – Curitiba, 2018.

90 p. : il. color. ; 30 cm.

Tese - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2018.

Orientador: Luiz Carlos Matioli.

1. Lagrangeano aumentado. 2. Ponto proximal. 3. Problemas de equilíbrio de Nash. 4. Método de Newton. 5. Método de projeção do subgradiente. I. Universidade Federal do Paraná. II. Matioli, Luiz Carlos. III. Título.

CDD: 518.1

Bibliotecária: Romilda Santos - CRB-9/1214

AGRADECIMENTOS

A Deus pela vida, sa´ ude, capacita¸c˜ ao e for¸ca para continuar.

Aos meus pais Irma e Rafael, aos meus irm˜ aos Rafael, Esneider e Mercedes pela compreens˜ ao e apoio incondicional.

A minha esposa Aura, meu amor, pelo carinho, pelos mimos e pelos abra¸cos e suas palavras nos momentos dif´ıceis.

Ao resto da minha fam´ılia que tanto me incentivaram e apoiaram ao longo deste caminho, em especial, aqueles que perdi fisicamente

por´ em que estar˜ ao sempre no meu cora¸c˜ ao.

Ao meu orientador Luiz Carlos Matioli pela dedica¸c˜ ao, tempo, conselhos e esfor¸co neste trabalho.

Aos professores R´ omulo Castillo e Hugo Lara pelo incentivo e pela ajuda para vir ao Brasil, Carlos Dur´ an pela ajuda no Brasil e aos professores do departamento de matem´ atica da UFPR pelo tempo

e pela ajuda, e pelos conhecimentos transmitidos ao longo da minha forma¸c˜ ao.

Aos membros da banca, professores Paulo Santos, Solange Santos, Lucelina Batista, R´ omulo Castillo e Mael Sachine por aceitarem o

convite e pelas corre¸c˜ oes para melhorar o presente trabalho.

Aos meus amigos da Venezuela, do Brasil e aos n˜ ao brasileiros que conheci no Brasil ao longo deste per´ıodo. Em especial, Leonardo,

Dion, Diego, Priscila, Marcos, Ariel, Patricia, Oranys, Andres e Yuli pela ajuda sempre que precisei.

Ao programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da UFPR pela oportunidade e forma¸c˜ ao de excelˆ encia.

E finalmente, mas n˜ ao menos importante, ` a CAPES pelo apoio

financeiro.

“ Huid del pa´ıs donde uno solo ejerce todos los poderes: es un pa´ıs de esclavos.”

Sim´ on Bolivar

RESUMO

M´ etodos de Lagrangeano aumentado tˆ em se mostrado bastante eficientes para resolver problemas de programa¸c˜ ao matem´ atica, ou seja, problemas de minimiza¸c˜ ao (ou maximiza¸c˜ ao) com restri¸c˜ oes. Estes m´ etodos s˜ ao iterativos e o objetivo central ´ e, a cada itera¸c˜ ao, transformar um problema restrito, atrav´ es da penaliza¸c˜ ao, em uma sequˆ encia de subproblemas irrestritos que s˜ ao resolvidos usando m´ etodos de programa¸c˜ ao n˜ ao linear.

No ano de 2010, foi introduzida uma metodologia que usa a essˆ encia do m´ etodo de Lagrangeano aumentado, mas no contexto do problemas de equil´ıbrio, os quais s˜ ao mais gerais que os problemas de programa¸c˜ ao ma- tem´ atica. A ideia deste m´ etodo ´ e utilizar a penalidade quadr´ atica cl´ assica, para transformar problemas de equil´ıbrio restritos em uma sequˆ encia itera- tiva formada por subproblemas de equil´ıbrio irrestritos.

Neste trabalho, apresentamos uma estens˜ ao do m´ etodo de Lagrangeano au- mentado para problemas de equil´ıbrio usando penalidades com derivadas de ordem superior, diferentemente do caso quadr´ atico que s´ o possui deri- vada de primeira ordem. Al´ em disso propomos algoritmos para resolver os subproblemas de equil´ıbrio irrestritos, gerados pelo m´ etodo de Lagrange- ano aumentado, utilizando o m´ etodo de Newton e algoritmos baseados no m´ etodo de proje¸c˜ ao do subgradiente. Todos os algoritmos desenvolvidos aqui foram implementados em Matlab, e aplicados para resolver problemas conhecidos na literatura para testar sua eficiˆ encia e comparar o desempenho entre eles.

Palavras-chave: Lagrangeano aumentado; Ponto proximal; problemas de

equil´ıbrio; problemas de equil´ıbrio de Nash; M´ etodo de Newton; M´ etodo de

proje¸c˜ ao do subgradiente.

ABSTRACT

Augmented Lagrangian methods have been shown to be very efficient in solving problems of mathematical programming, that is, problems of mini- mization (or maximization) with constraints. These methods are iterative and the main objective is, at each iteration, to transform a constrained pro- blem through penalty into a sequence of unrestricted subproblems that are solved using nonlinear programming methods.

In the year 2010, a new methodology was introduced that uses the essence of the Augmented Lagrangian method, but in the context of the equilibrium problems, which are more general than the problems of mathematical pro- gramming. The idea of this method is to use the classical quadratic penalty to transform constrained equilibrium problems into an iterative sequence formed by unrestricted equilibrium subproblems.

In this work, we present an Augmented Lagrangian method extension for equilibrium problems using penalties with higher order derivatives, differen- tly the quadratic case that has only first order derivatives. In addition, we propose algorithms to solve the unrestricted equilibrium subproblems, ge- nerated by the Augmented Lagrangian method, using the Newton method and algorithms based on the subgradient projection method. All algorithms developed here were implemented in Matlab, and applied to solve problems known in the literature to test their efficiency and to compare the perfor- mance between them.

Keywords: Augmented Lagrangian methods; Proximal point methods;

Equilibrium problems; Nash Equilibrium problems; Newton methods; Sub-

gradient projection methods.

LISTA DE S´ IMBOLOS

R : Conjunto dos n´ umeros reais.

R

ⁿ

: Espa¸co vetorial de todas as n-uplas de n´ umeros reais.

R

ⁿ+

: Espa¸co vetorial de todas as n−uplas de n´ umeros reais n˜ ao negativos.

h·, ·i: Produto interno em R

ⁿ

.

B(a, r): Bola aberta de centro em a e raio r.

B(a, r): Fecho da bola aberta de centro em a e raio r.

(x

_k

)

k∈N

: Sequˆ encia.

∂f(x): Subdiferencial da fun¸c˜ ao f em x.

∂D : Fronteira do Conjunto D.

J f: Jacobiana da fun¸c˜ ao f.

Sum´ ario

Introdu¸ c˜ ao 11

1 Preliminares 14

1.1 O problema de equil´ıbrio . . . . 14 1.2 Distˆ ancias de Bregman e suas propriedades . . . . 17 2 M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de

equil´ıbrio 22

3 Lagrangeano aumentado para problemas de equil´ıbrio 38 3.1 O M´ etodo de Lagrangeano aumentado para problemas de equil´ıbrio . . . . 38 3.2 An´ alise de convergˆ encia . . . . 44 4 Implementa¸ c˜ ao dos algoritmos propostos 56 4.1 M´ etodo de Newton para resolver o Passo 2 de IALPM . . . . 56 4.2 M´ etodo de Proje¸c˜ ao do Subgradiente para resolver o Passo 2 de IALPM . . . 62 4.2.1 M´ etodo de Proje¸c˜ ao do Subgradiente . . . . 62

5 Testes Num´ ericos 74

Conclus˜ ao 85

Trabalhos futuros 87

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 88

Introdu¸ c˜ ao

Historicamente, o problema de equil´ıbrio foi introduzido em [10, 11] com o nome de problema de desigualdade de Ky Fan e retomado formalmente por Blum e Oettli em [3], cujo artigo apresentam o problema na forma como ´ e conhecido at´ e hoje. Mundial- mente, este problema tem recebido muita aten¸c˜ ao por parte de pesquisadores. Por um lado, devido ` a aplica¸c˜ oes em ´ areas como F´ısica, Qu´ımica, Engenharia e Economia. Por outro lado, pela sua formula¸c˜ ao matem´ atica, que apresenta uma estrutura simples e uni- ficada que inclui diversos problemas como casos particulares, dentre os quais podemos mencionar: problema de minimiza¸c˜ ao convexa, problemas de ponto fixo, problemas de complementaridade, problemas de equil´ıbrio de Nash, problemas de desigualdade variaci- onal e problemas de minimiza¸c˜ ao vetorial (ver, [1, 3, 15, 20]). Muitos autores tˆ em estudado condi¸c˜ oes para encontrar solu¸c˜ oes do problema de equil´ıbrio em dimens˜ ao finita e infinita, por exemplo [1, 14, 15], e estas condi¸c˜ oes s˜ ao muito ricas no caso de dimens˜ ao finita, pois permitem construir diversos algoritmos, dentre os quais destacamos [1, 15, 16, 18].

A classe de m´ etodos de Lagrangeano aumentado tem se mostrado muito eficiente para os problemas de programa¸c˜ ao n˜ ao linear [2]. Recentemente, em [16] foi introduzido um m´ etodo de Lagrangeano aumentado para resolver problemas de equil´ıbrio em dimens˜ ao finita, para o caso em que o conjunto vi´ avel ´ e formado por restri¸c˜ oes de desigualdade con- vexas. Este m´ etodo foi definido utilizando a fun¸c˜ ao de penalidade quadr´ atica, introduzida por Powell-Hestenes-Rockafellar em [12, 27, 28], para assim generalizar o m´ etodo de La- grangeano aumentado cl´ assico para o problema de otimiza¸c˜ ao restrita. Na estrutura do m´ etodo de Lagrangeano aumentado para problemas de equil´ıbrio apresentado em [16], os autores mostram uma conex˜ ao com um m´ etodo de ponto proximal para problemas de equil´ıbrio definido em [15], o qual, no caso de dimens˜ ao finita, permite mostrar a con- vergˆ encia de uma sequˆ encia gerada por este algoritmo. Para realizar implementa¸c˜ oes ´ e preciso utilizar algoritmos externos que permitam resolver os subproblemas de equil´ıbrio irrestritos gerados internamente pela metodologia de Lagrangeano aumentado. Em [16]

foi mostrado que uma forma de resolver estes subproblemas equivale a encontrar ra´ızes de um sistema n˜ ao linear e n˜ ao diferenci´ avel. Em [25], os autores apresentam uma abor- dagem para tornar o sistema diferenci´ avel e, atrav´ es desta, introduzem dois algoritmos implement´ aveis, aplicando-os a problemas j´ a conhecidos da literatura, dentre os quais [24, 29, 30].

Utilizando uma abordagem similar ` a utilizada em [16], combinada com a teoria do

Introdu¸c˜ ao 12 m´ etodo de Lagrangeano aumentado para problemas de otimiza¸c˜ ao, apresentamos ao longo desta tese, duas propostas: a primeira consiste em apresentar de maneira unificada uma metodologia que permite definir os m´ etodos de Lagrangeano aumentado com penalidade quadr´ atica utilizada em [16], juntamente com a nova vers˜ ao deste m´ etodo utilizando a penalidade exponencial a qual permite obter m´ etodos diferentes para abordar problemas de equil´ıbrio. A segunda proposta ´ e desenvolver novos algoritmos baseados em [15, 16]

e combinados com as ideias propostas em [18, 25]. Para isso, apresentamos inicialmente os m´ etodo de Lagrangeano Aumentado inexato o qual ´ e uma varia¸c˜ ao do m´ etodo original proposto em [16]. Em seguida mostraremos que, como em [16], este m´ etodo tamb´ em gera, internamente, subproblemas de equil´ıbrio irrestritos que posteriormente ser˜ ao combinados com trˆ es m´ etodos diferentes para assim torn´ a-lo implement´ avel. O primeiro m´ etodo est´ a baseado em [25] e consiste em suavizar um sistema n˜ ao linear e n˜ ao diferenci´ avel para ent˜ ao usar o m´ etodo de Newton, e assim, encontrar solu¸c˜ oes dos subproblemas gerados.

O segundo e o terceiro algoritmos que estamos propondo s˜ ao baseados em [18] e cada itera¸c˜ ao consiste de duas etapas: uma maximiza¸c˜ ao inexata de uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um conjunto convexo interceptado com uma bola centrada na origem e uma proje¸c˜ ao aproximada em um hiperplano, cujo custo computacional ´ e insignificante. Como estes al- goritmos ser˜ ao aplicados para resolver os subproblemas irrestritos gerados pelo m´ etodo de Lagrangeano aumentado, a tarefa computacionalmente pesada para o segundo e terceiro algoritmos se reduz a uma maximiza¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao cont´ınua em uma bola, que ´ e rela- tivamente f´ acil, em compara¸c˜ ao com problemas de maximiza¸c˜ ao com restri¸c˜ oes adicionais do tipo g(x) ≤ 0, que ´ e o caso se o mesmo algoritmo definido em [18] ´ e aplicado para o pro- blema original, pois este m´ etodo n˜ ao considera a regulariza¸c˜ ao realizada pelo m´ etodo de Lagrangeano aumentado. A principal diferen¸ca deste algoritmo com respeito ao primeiro

´ e que este tem a capacidade de resolver problemas de equil´ıbrio n˜ ao diferenci´ aveis.

Refor¸camos esta proposta implementando estes algoritmos em Matlab. Para os testes elegemos problemas quadr´ aticos, problemas de equil´ıbrio de Nash generalizado e um problema n˜ ao diferenci´ avel. Todos estes problemas s˜ ao amplamente discutidos no contexto computacional, por exemplo em [9, 24, 25, 29, 30]. Salientamos que nesta tese iremos usar o termo programa¸c˜ ao n˜ ao linear e problema de otimiza¸c˜ ao como sinˆ onimos, pois na literatura um problema de programa¸c˜ ao n˜ ao linear ´ e comumente chamado de problema de otimiza¸c˜ ao. Por outro lado, como o problema de equil´ıbrio generaliza o problema de otimiza¸c˜ ao (m´ aximizar ou minimizar uma fun¸c˜ ao), ent˜ ao usaremos a express˜ ao otimiza¸c˜ ao ordin´ aria quando referirmos a um problema de otimiza¸c˜ ao cl´ assica.

Em resumo, as principais contribui¸c˜ oes que encontramos ao longo desta tese s˜ ao:

• Generalizamos os m´ etodos de ponto proximal inexatos propostos em [15], para uma classe mais ampla de fun¸c˜ oes.

• Generalizamos o conceito de Lagrangeano aumentado para problemas de equil´ıbrio

para penalidades diferenci´ aveis.

Introdu¸c˜ ao 13

• Propomos novos algoritmos implement´ aveis utilizando diferentes penalidades.

• Realizamos testes num´ ericos de cada um dos algoritmos propostos, utilizando di- versos problemas da literatura.

A organiza¸c˜ ao do trabalho ser´ a da seguinte forma: No Cap´ıtulo 1, vamos des-

crever os elementos necess´ arios para abordagem do problema de equil´ıbrio. No Cap´ıtulo

2, apresentamos os m´ etodos de ponto proximal definidos em [4, 15], assim como algu-

mas diferen¸cas e semelhan¸cas entre eles. No Cap´ıtulo 3, apresentamos os algoritmos de

Lagrangeano aumentado com penalidade quadr´ atica, baseado em [16], e estendemos os

resultados para o caso da penalidade exponencial. No Cap´ıtulo 4, vamos propor algo-

ritmos implement´ aveis. Para isto, vamos dividir o cap´ıtulo em duas se¸c˜ oes: na primeira

utilizamos o m´ etodo de Newton para resolver um sistema n˜ ao linear, e na segunda con-

sideramos dois algoritmos baseados nos m´ etodos de proje¸c˜ ao do subgradiente. Todos os

algoritmos deste cap´ıtulo ser˜ ao utilizados para resolver o subproblema gerado pelo m´ etodo

de Lagrangeano aumentado. No Cap´ıtulo 5, apresentamos simula¸c˜ oes num´ ericas para es-

tes algoritmos. Finalizamos este trabalho com algumas conclus˜ oes e recomenda¸c˜ oes para

trabalhos futuros.

Cap´ıtulo 1 Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo ´ e descrever os conceitos necess´ arios para abordar os m´ etodos de ponto proximal e Lagrangeano aumentado para problemas de equil´ıbrio.

Come¸camos formulando o problema de equil´ıbrio geral no qual salientamos, de forma breve, a importˆ ancia do seu estudo e em seguida, consideramos alguns conceitos b´ asicos, nota¸c˜ oes e hip´ oteses que ser˜ ao utilizados ao longo do texto.

1.1 O problema de equil´ıbrio

O problema de equil´ıbrio que abordaremos neste trabalho ´ e o mais comum da literatura, por exemplo [1, 4, 14, 15, 16, 29] e est´ a descrito da seguinte forma:

Defini¸ c˜ ao 1.1. Sejam C um subconjunto n˜ ao vazio, convexo e fechado de R

ⁿ

e f : C × C → R uma fun¸ c˜ ao que satisfaz as seguintes propriedades

P1: f (x, x) = 0 para todo x ∈ C.

P2: f (x, ·) : C → R ´ e convexa e semicont´ınua inferior para todo x ∈ C, P3: f (·, y) : C → R ´ e semicont´ınua superior para todo y ∈ C.

O problema de equil´ıbrio, denotado por EP(f ,C), consiste em

Encontrar x

^∗

∈ C tal que f(x

^∗

, y) ≥ 0, para todo y ∈ C, (1.1) ou equivalentemente

Encontrar x

^∗

∈ argmin

y∈C

f (x

^∗

, y).

Esta equivalˆ encia ser´ a provada no pr´ oximo cap´ıtulo, na Proposi¸c˜ ao 2.16. As fun¸c˜ oes que satisfazem a propriedade P1 s˜ ao chamadas de bifun¸c˜ ao de equil´ıbrio [1]. Um ponto x

^∗

que cumpra a condi¸c˜ ao (1.1) ´ e chamado de solu¸c˜ ao de EP(f,C). O conjunto formado pelas solu¸c˜ oes de EP(f ,C) ser´ a denotado por S(f, C).

14

Preliminares. 15 Para fixar ideias e nota¸c˜ oes referentes a este problema, consideremos o seguinte exemplo.

Exemplo 1.2. Seja C = [1, 2] ⊂ R . Defina f : C × C → R como f (x, y) = y

²

− x

²

.

Ent˜ ao o conjunto solu¸c˜ ao do problema de equil´ıbrio ´ e S(f, C) = {1}.

De fato, note que f(x, y) = y

²

− x

²

= (y − x)(y + x). Como 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2 ent˜ ao temos que f (x, y) ≥ 0 se e somente se y ≥ x. Portanto, y ≥ x para todo y ∈ C se e somente se x = 1, ou seja, S(f, C ) = {1}.

Geometricamente, resolver o problema de equil´ıbrio significa encontrar um x

^∗

∈ C tal que o conjunto de n´ıvel {y ∈ R

ⁿ

: f(x

^∗

, y) ≥ 0} contenha completamente o conjunto C, ou equivalentemente, dado x

^∗

∈ C queremos encontrar uma curva h(y) = f (x

^∗

, y ) tal que sua imagem restrita ao conjunto C, esteja acima (n˜ ao abaixo) do hiperplano Z = 0.

Na Figura 1.1 ilustramos geometricamente o Exemplo 1.2. Observe que para x

^∗

= 1, a curva h(y) = f(1, y) = y

²

− 1 restrita ao conjunto C, est´ a acima do plano Z = 0, para qualquer y ∈ C o que reafirma que S(f, C) = {1}.

Figura 1.1: Curva h(y) = f (1, y) = y

²

− 1.

Um dos principais motivos pelos quais o problema de equil´ıbrio ´ e estudado se

deve ao fato de que ao resolver (1.1), na verdade estamos resolvendo diversos problemas

como casos particulares. Para mostrar esta afirma¸c˜ ao vamos ilustrar alguns problemas

Preliminares. 16 bem conhecidos, que podem ser reescritos no formato do problema de equil´ıbrio dado na Defini¸c˜ ao 1.1.

• Problemas de otimiza¸ c˜ ao convexa: um problema de otimiza¸c˜ ao convexa con- siste em encontrar um minimizador de uma fun¸c˜ ao ϕ : R

ⁿ

→ R convexa, definida sobre um conjunto convexo, n˜ ao vazio e fechado C ⊂ R

ⁿ

. Este problema pode ser resolvido como um problema de equil´ıbrio tomando a bifun¸c˜ ao

f (x, y ) = ϕ(y) − ϕ(x).

• Problemas de ponto de sela: dados dois conjuntos convexos e fechados C

₁

⊂ R

ⁿ¹

e C

₂

⊂ R

ⁿ²

e uma fun¸c˜ ao a valores reais L : C

₁

× C

₂

→ R , um ponto x

^∗

= (x

^∗₁

, x

^∗₂

) ∈ C

₁

× C

₂

´ e um ponto de sela para L se

L(x

^∗₁

, y

₂

) ≤ L(x

^∗₁

, x

^∗₂

) ≤ L(y

₁

, x

^∗₂

),

para qualquer y = (y

1

, y

2

) ∈ C

1

× C

2

. Este problema ´ e equivalente a resolver EP(f ,C), se consideramos C = C

₁

× C

₂

e a bifun¸c˜ ao f como

f ((x

1

, x

2

), (y

1

, y

2

)) = L(y

1

, x

2

) − L(x

1

, y

2

).

• Problemas de otimiza¸ c˜ ao de Pareto: considere o conjunto de ´ındices I = {1, . . . , m} e C ⊂ R

ⁿ

um conjunto fechado. Defina a fun¸c˜ ao vetorial ψ = (ψ

₁

, . . . , ψ

_m

), em que ψ

_i

: R

ⁿ

→ R para cada i ∈ I. Um ponto x

^∗

∈ C ´ e minimizador global Pareto fraco de ψ se existe i ∈ I tal que ψ

_i

(y) − ψ

_i

(x

^∗

) ≥ 0, para todo y ∈ C. Assim, en- contrar um minimizador global Pareto fraco ´ e equivalente a resolver EP(f ,C) para f definida como

f(x, y) = max

i∈I

[ψ

i

(y) − ψ

i

(x)].

• Complementaridade e sistemas de equa¸ c˜ oes: dado um cone convexo e fechado C ⊂ R

ⁿ

e uma aplica¸c˜ ao F : R

ⁿ

→ R

ⁿ

, o problema de complementaridade consiste em determinar um ponto x

^∗

∈ C tal que hF (x

^∗

), vi ≥ 0 para todo v ∈ C, ou seja, F (x

^∗

) ∈ C

^∗

, em que C

^∗

´ e o cone dual de C. Este problema pode ser resolvido considerando f(x, y) = hF (x), y − xi. Como um caso particular, note que se C = R

ⁿ

, temos que a solu¸c˜ ao ´ e dada pelos pontos x

^∗

∈ R

ⁿ

tais que F (x

^∗

) = 0. Assim resolver sistemas de equa¸c˜ oes tamb´ em ´ e um caso particular do problema de equil´ıbrio.

• Desigualdade variacional: dado um conjunto C ⊂ R

ⁿ

convexo e fechado e uma

aplica¸c˜ ao F : R

ⁿ

→ R

ⁿ

. O problema de desigualdade variacional consiste em

determinar um ponto x

^∗

∈ C tal que hF (x

^∗

), y − xi ≥ 0, para todo y ∈ C. Portanto,

no contexto do problema de equil´ıbrio basta considerar f (x, y) = hF (x), y − xi.

Preliminares. 17

• Desigualdade variacional com aplica¸ c˜ oes ponto conjunto: considere o con- junto convexo e fechado C ⊂ R

ⁿ

e uma aplica¸c˜ ao T : C → R

ⁿ

com a propriedade que dado x ∈ C, o conjunto imagem T x ⊂ R

ⁿ

´ e n˜ ao vazio, convexo e compacto. As- sim, o problema de desigualdade variacional com aplica¸c˜ oes ponto conjunto consiste em resolver o problema

Encontrar x

^∗

∈ C e ξ

^∗

∈ T (x

^∗

), tal que hξ

^∗

, y − x

^∗

i ≥ 0, para todo y ∈ C.

Logo, para escrever este problema como um problema de equil´ıbrio, basta considerar f(x, y) = max

ξ∈T(x)

hξ, y − xi.

• Problema de ponto fixo: considere o conjunto fechado C ⊂ R

ⁿ

. Um ponto fixo x

^∗

∈ C de uma aplica¸c˜ ao F : C → C ´ e tal que F (x

^∗

) = x

^∗

. Assim, encontrar um ponto com esta caracter´ıstica consiste em resolver EP(f,C), com

f(x, y) = hx − F (x), y − xi.

Como acabamos de descrever, problemas importantes estudados em diferentes contextos da matem´ atica, pertencem ` a classe de problemas de equil´ıbrio que queremos resolver. Tendo isto em vista, na sequˆ encia vamos lembrar o conceito de distˆ ancia de Bregman, assim como algumas propriedades importantes que utilizaremos ao longo do texto para definir os m´ etodos de ponto proximal e Lagrangeano aumentado para problemas de equil´ıbrio.

1.2 Distˆ ancias de Bregman e suas propriedades

Seja ψ : R

ⁿ

→ R ∪ {+∞} uma fun¸c˜ ao estritamente convexa, pr´ opria e semi- cont´ınua inferior. Ao longo do texto denotaremos o dom´ınio de ψ por D e o interior deste dom´ınio por intD. Al´ em disso, exigiremos que intD 6= ∅ e que ψ admite derivada direci- onal em intD. Com estas considera¸c˜ oes, definimos a distˆ ancia de Bregman com respeito

`

a fun¸c˜ ao ψ como a fun¸c˜ ao D

_ψ

: D × intD → R dada por

D

_ψ

(x, y) = ψ(x) − ψ (y) − h∇ψ(y), x − yi, (1.2) em que ∇ψ (·) denota o gradiente da fun¸c˜ ao ψ e h·, ·i o produto interno usual em R

ⁿ

.

A seguinte proposi¸c˜ ao estabelece algumas propriedades b´ asicas satisfeitas pela fun¸c˜ ao D

_ψ

definida em (1.2). A demonstra¸c˜ ao ser´ a omitida pois decorre diretamente da defini¸c˜ ao.

Proposi¸ c˜ ao 1.3. Sejam ψ e D

_ψ

definidas acima, no in´ıcio da se¸ c˜ ao, ent˜ ao

Preliminares. 18 (i) D

_ψ

(x, y) ≥ 0 e D

_ψ

(x, y) = 0 se, e somente x = y, para todo x ∈ D e y ∈ intD.

(ii) D

_ψ

(·, y) ´ e estritamente convexa, para todo y ∈ intD.

(iii) Dado α ∈ R , os conjuntos de n´ıvel ` a esquerda Γ(x, y) = {x ∈ D : D(x, y) ≤ α} s˜ ao limitados, para todo y ∈ intD.

(iv) Para quaisquer x ∈ D e y, z ∈ intD, tem-se que D

_ψ

(x, y) − D

_ψ

(x, z) − D

_ψ

(z, y) = h∇ψ(y) − ∇ψ(z), z − xi.

(v) Para quaisquer x, y ∈ intD, ∇

x

D(x, y) = ∇ψ(x) − ∇ψ(y).

Note que D

_ψ

(x, y) n˜ ao necess´ ariamente ´ e uma distˆ ancia (pois as propriedades de simetria e a desigualdade triangular podem n˜ ao ser satisfeitas) por´ em como ψ ´ e estrita- mente convexa ent˜ ao as propriedades D

_ψ

(x, y) ≥ 0 e D

_ψ

(x, y) = 0 se, e s´ o se x = y s˜ ao satisfeitas de forma imediata. No caso especial em que escolhemos ψ(x) =

¹₂

kxk

²

, com S = R

ⁿ

obtemos a distˆ ancia de Bregman D

ψ

(x, y) =

¹₂

kx − yk

²

, a qual ´ e a distˆ ancia cl´ assica.

Outra exemplo muito utilizado na literatura ´ e a distˆ ancia induzida pela fun¸c˜ ao Kullback- Leibler ψ(x) =

n

P

i=1

x

_i

log(x

_i

) − x

_i

+ 1, em que S = {x ∈ R

ⁿ

: x

_i

> 0, i = 1, . . . , m}, e para os pontos na fronteira, usamos a conven¸c˜ ao de que 0 log(0) = 0. A distˆ ancia de Bregman induzida por esta fun¸c˜ ao ´ e dada por D

_ψ

(x, y) =

n

P

i=1

x

_i

log(

^x_yⁱ

i

) + y

_i

− x

_i

+ 1

. Outras caracteriza¸c˜ oes e exemplos de fun¸c˜ oes de Bregman podem ser encontradas em [6, 7].

Al´ em das propriedades dadas na Proposi¸c˜ ao 1.3, vamos estabelecer outras hip´ oteses sobre a fun¸c˜ ao ψ que define D

_ψ

.

H1: Dado α ∈ R , os conjuntos de n´ıvel ` a direita Γ(x, y) = {y ∈ intD : D(x, y) ≤ α} s˜ ao limitados, para todo x ∈ D.

Para definir a segunda hip´ otese precisaremos lembrar o conceito de convexidade total introduzido em [5]. Daqui em diante, denotaremos por R

ⁿ+

e R

ⁿ++

= R

ⁿ+

\ {0} os ortantes n˜ ao negativo e positivo, respectivamente, do espa¸co vetorial R

ⁿ

.

Defini¸ c˜ ao 1.4. [Convexidade total] Definimos o m´ odulo de convexidade de ψ, como sendo a fun¸ c˜ ao ν

_ψ

: intD × R

+

→ R

+

dada por

ν

_ψ

(z, t) = inf

x∈D

{D

_ψ

(x, z) : kx − zk = t}

e dizemos que uma fun¸ c˜ ao ψ ´ e dita totalmente convexa em intD se e somente se ν

_ψ

(z, t) >

0 para todo z ∈ intD e t > 0.

Este conceito ´ e estudado em [5] e uma das propriedades mais importantes em dimens˜ ao finita ´ e estabelecida na seguinte proposi¸c˜ ao.

Proposi¸ c˜ ao 1.5. Seja ψ : R

ⁿ

→ R ∪ {+∞} uma fun¸ c˜ ao diferenci´ avel, convexa, pr´ opria

e semincont´ınua inferior. Ent˜ ao vale que:

Preliminares. 19 (i) Se c ∈ [1, +∞) e t ≥ 0, ent˜ ao ν

_ψ

(x, ct) ≥ cν

_ψ

(x, t).

(ii) Para quaisquer s, t ∈ [0, +∞), ν

_ψ

(x, s + t) ≥ ν

_ψ

(x, s) + ν

_ψ

(x, t).

(iii) Se ψ ´ e totalmente convexa ent˜ ao, ´ e estritamente convexa.

(vi) Seja D fechado. Se ψ ´ e cont´ınua e estritamente convexa em D ent˜ ao, ψ ´ e totalmente convexa.

Demonstra¸ c˜ ao. Ver p´ ags. 18 e 27 de [5].

Esta ´ ultima proposi¸c˜ ao estabelece que uma fun¸c˜ ao ψ ´ e totalmente convexa equi- vale a dizer que ψ ´ e estritamente convexa quando D ´ e fechado. Com isto claro, definimos a segunda hip´ otese, sobre conjuntos limitados.

H2: ψ ´ e totalmente convexa em conjuntos limitados, isto ´ e, inf

x∈C

ν

_ψ

(x, t) > 0, para todo conjunto C limitado no intD e t > 0.

Com esta hip´ otese podemos obter o seguinte resultado mostrado em [15].

Proposi¸ c˜ ao 1.6. Se ψ satisfaz H2, ent˜ ao para v, y ˜ ∈ R

ⁿ

tal que v 6= 0, x ∈ H

⁺

= {y ∈ R

ⁿ

: hv, y − yi ≥ ˜ 0} e x ¯ ∈ H

⁻

= {y ∈ R

ⁿ

: hv, y − yi ≤ ˜ 0} vale que D

_ψ

(¯ x, x) ≥ D

_ψ

(¯ x, z) + D

_ψ

(z, x) em que z ´ e o ´ unico minimizador de D

_ψ

(·, x) ˜ em H = {y ∈ R

ⁿ

: hv, y − yi ˜ = 0}.

Demonstra¸ c˜ ao. Ver Proposi¸c˜ ao 2.4 de [15].

Proposi¸ c˜ ao 1.7. Suponha que ψ satisfaz H2. Sejam (x

^j

)

j∈N

, (y

^j

)

j∈N

sequˆ encias em R

ⁿ

tais que pelo menos uma ´ e limitada. Se lim

j→∞

D

_ψ

(y

^j

, x

^j

) = 0 ent˜ ao lim

j→∞

kx

^j

− y

^j

k = 0.

Demonstra¸ c˜ ao. Veja Proposi¸c˜ ao 2.6 de [15].

Antes de definir a pr´ oxima hip´ otese, consideremos a seguinte caracteriza¸c˜ ao das fun¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas.

Proposi¸ c˜ ao 1.8. h : A ⊂ R

ⁿ

→ R ´ e uniformemente cont´ınua se e somente se para todo par de sequˆ encias (x

n

)

_n∈N

, (y

n

)

_n∈N

⊂ A, com lim

n→∞

kx

n

− y

n

k = 0 vale que lim

n→∞

|h(x

n

) − h(y

_n

)| = 0.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponha inicialmente que h ´ e uniformemente cont´ınua, ou seja, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que ∀x, y ∈ A com kx − yk < δ implica |h(x) − h(y)| < ε.

Logo, como (x

_n

)

n∈N

, (y

_n

)

n∈N

⊂ A tais que lim

n→∞

kx

_n

− y

_n

k = 0, ent˜ ao para δ > 0, existe n

₀

∈ N tal que kx

_n

− y

_n

k < δ para todo n ≥ n

₀

que pela continuidade uniforme implica que |h(x

_n

) − h(y

_n

)| < ε, para n ≥ n

₀

, ou seja, lim

n→∞

|h(x

_n

) − h(y

_n

)| = 0. Reciprocamente suponha por absurdo que h n˜ ao ´ e uniformemente cont´ınua. Assim, existe ε > 0 tal que para todo n ∈ N , podemos encontrar x

_n

, y

_n

∈ A tais que kx

_n

− y

_n

k <

_n¹

e |h(x

_n

)−h(y

_n

)| ≥ ε, ou seja, lim

n→∞

kx

_n

− y

_n

k = 0 e pela hip´ otese 0 = lim

n→∞

|h(x

_n

)−h(y

_n

)| ≥ ε o qual ´ e absurdo.

Como uma consequˆ encia desta ´ ultima proposi¸c˜ ao, consideramos a seguinte hip´ otese

que requer que ∇ψ seja uniformemente cont´ınua em conjuntos limitados em intD.

Preliminares. 20 H3: Se (x

^k

)

k∈N

⊂ intD e (y

^k

)

k∈N

⊂ intD s˜ ao sequˆ encias limitadas tais que lim

k→∞

kx

^k

− y

^k

k = 0, ent˜ ao lim

k→∞

∇ψ(x

^k

) − ∇ψ (y

^k

)

= 0.

Estas hip´ oteses (H1-H3), foram consideradas de maneira independente tanto em [15] como em [4], para definir algoritmos de ponto proximal que resolvem o problema de equil´ıbrio (1.1). Mencionamos que em [15] foram definidos trˆ es algoritmos de ponto proximal, um algoritmo exato e dois algoritmos inexatos. Para obter uma boa defini¸c˜ ao dos algoritmos inexatos ´ e preciso adicionar a seguinte hip´ otese

H4: ∇ψ ´ e sobrejetora em intD.

Algumas consequˆ encias que temos destas hip´ oteses s˜ ao estabelecidas nas seguintes proposi¸c˜ oes.

Proposi¸ c˜ ao 1.9. Se ψ satisfaz H3, ent˜ ao ψ e ∇ψ s˜ ao limitadas em conjuntos limitados.

Demonstra¸ c˜ ao. Ver Proposi¸c˜ ao 4 de [17].

Proposi¸ c˜ ao 1.10. Suponha que ψ satisfaz H1-H2 e C ⊂ D ´ e convexo, fechado e n˜ ao vazio. Se x ¯ ∈ intD, ent˜ ao o problema,

min D

_ψ

(x, x) ¯

s.a x ∈ C, (1.3)

admite solu¸ c˜ ao ´ unica. Em particular, para C ⊂ intD temos que x ˆ ´ e uma solu¸ c˜ ao de (1.3) se e somente se x ˆ ∈ C e h∇ψ(¯ x) − ∇ψ(ˆ x), y − xi ≤ ˆ 0, para todo y ∈ C .

Demonstra¸ c˜ ao. Veja [5] p´ ag. 70.

Para finalizar este cap´ıtulo vamos analisar a seguinte hip´ otese de coercividade introduzida em [15].

H5: lim

kxk→∞

[ψ(x) − ρ kx − zk] = +∞ para todo z ∈ C fixo e ρ ≥ 0.

Esta hip´ otese pode ser caracterizada da seguinte forma.

Proposi¸ c˜ ao 1.11. ψ satisfaz H5 se, e somente se, i) lim

kxk→∞

ψ(x) = +∞,

ii) lim

kxk→∞

ψ(x)

kx − zk = +∞.

Demonstra¸ c˜ ao. Note que (i) ´ e satisfeita triavialmente quando ρ = 0. Agora, suponha por absurdo que lim

kxk→∞

ψ(x) < ∞. Logo, como ρ > 0 ent˜ ao temos que lim

kxk→∞

[ψ(x) − ρ kx − zk] =

Preliminares. 21

−∞, o que ´ e absurdo. Para o segundo item, suponha novamente por absurdo que existe L > 0 tal que lim

kxk→∞

ψ(x)

kx − zk ≤ L < +∞. Observe que se consideramos ρ = L + 1 ent˜ ao

kxk→∞

lim [ψ(x) − ρ kx − zk] = lim

kxk→∞

kx − zk

ψ(x) kx − zk − ρ

(1.4)

≤ lim

kxk→∞

kx − zk [L − ρ]

= −∞,

o que contradiz a hip´ otese H5. Para a rec´ıproca, basta combinar (i) e (ii) com a igualdade (1.4).

No pr´ oximo cap´ıtulo, descrevemos os algoritmos de ponto proximal. Veremos a

influˆ encia que cada uma das propriedades H1-H5 tˆ em na defini¸c˜ ao dos algoritmos, assim

como tamb´ em na sua an´ alise de convergˆ encia. Al´ em disso, introduziremos uma hip´ otese

dada em [4] que posteriormente adaptaremos para uma vers˜ ao inexata a qual nos permitir´ a

enfraquecer a hip´ otese H5, usada nos algoritmos inexatos tratados em [15], mantendo os

mesmos resultados de convergˆ encia.

Cap´ıtulo 2

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de

equil´ıbrio

Neste cap´ıtulo, apresentaremos os algoritmos de ponto proximal definidos em [4, 15]. Apesar de abordarmos a vers˜ ao simplificada no espa¸co euclidiano, enfatizamos que a discuss˜ ao realizada aqui pode ser feita em espa¸cos de Banach. A finalidade ´ e usar estes algoritmos como uma ferramenta auxiliar para mostrar que existe uma equivalˆ encia destes com os algoritmos de Lagrangeano aumentado que definiremos no pr´ oximo cap´ıtulo.

Come¸camos definindo algumas hip´ oteses adicionais ` as P1-P3 dadas para bifun¸c˜ ao f do problema (1.1), as quais ser˜ ao usadas para garantir a boa defini¸c˜ ao e convergˆ encia dos algoritmos.

P4 : Existe θ ≥ 0 tal que f (x, y) + f (y, x) ≤ θh∇ψ(x)− ∇ψ(y), x − yi para todo x, y ∈ C.

P4

^∗

: Sempre que f(x, y) ≥ 0 com x, y ∈ C, vale que f (y, x) ≤ 0.

P4’: Para todo x

¹

, x

²

, . . . , x

^`

∈ C e t

₁

, t

₂

, . . . , t

_`

∈ R

+

tal que

`

P

i=1

t

_i

= 1, vale que

`

X

i=1

t

_i

f x

ⁱ

,

`

X

k=1

t

_k

x

^k

!

≤ 0.

P5: Para toda sequˆ encia (x

^j

)

j∈N

⊂ C satisfazendo lim

j→∞

kx

^j

k = +∞, existe u ∈ C e j

₀

∈ N tal que f (x

^j

, u) ≤ 0 para todo j ≥ j

₀

.

Estas hip´ oteses s˜ ao das mais comuns encontradas na literatura para abordar a existˆ encia de solu¸c˜ oes do problema de equil´ıbrio. Algumas referˆ encias onde podemos encontrar estas hip´ oteses s˜ ao [1, 4, 14, 15, 16] e nestes artigos, os autores chamaram algumas destas propriedades como segue.

22

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de equil´ıbrio 23 Defini¸ c˜ ao 2.1. Seja EP(f ,C) como na Defini¸ c˜ ao 1.1. A fun¸ c˜ ao f ´ e dita

• θ−submon´ otona se P4 ´ e satisfeita.

• Pseudomon´ otona se P4

^∗

´ e satisfeita.

A hip´ otese cl´ assica que podemos encontrar na literatura ´ e dada no caso particular em que θ = 0, na hip´ otese P4. Neste caso, note que a express˜ ao se reduz ` a desigualdade f(x, y) + f(y, x) ≤ 0, para todo x, y ∈ C e tal bifun¸c˜ ao ´ e conhecida como mon´ otona.

Outro caso particular para a hip´ otese P4 ´ e dado quando ψ =

¹₂

k · k

²

, pois neste caso, a hip´ otese P4 ´ e reescrita como f(x, y) + f (y, x) ≤ θkx − yk

²

para todo x, y ∈ C, a qual

´ e usada em [16]. Logo, a propriedade de monotonicidade ´ e mais forte que a hip´ otese P4. Vejamos com alguns exemplos dados em [14, 16, 20], algumas rela¸c˜ oes entre estas propriedades.

Proposi¸ c˜ ao 2.2. Suponha que f satisfaz as hip´ oteses P1-P4 com θ = 0, isto ´ e, f ´ e mon´ otona. Ent˜ ao f ´ e pseudomon´ otona.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam x, y ∈ C tais que f (x, y) ≥ 0. Como f ´ e mon´ otona segue que f(x, y) + f (y, x) ≤ 0 e portanto, f (y, x) ≤ −f (x, y) ≤ 0, como quer´ıamos.

A rec´ıproca desta proposi¸c˜ ao n˜ ao ´ e necessariamente verdadeira. Vejamos o se- guinte exemplo discutido em [20].

Exemplo 2.3. Seja C =

₁

2

, 1

⊂ R e defina f : C × C → R como f (x, y) = x(x − y).

Ent˜ ao f satisfaz P1-P4 e P4

^∗

por´ em n˜ ao ´ e mon´ otona.

De fato, evidentemente, f satisfaz P1-P3. Por outro lado, para x, y ∈ C temos que f(x, y) + f (y, x) = (x − y)

²

, implicando que f ´ e 1−mon´ otona, isto ´ e, f cumpre P4 com θ 6= 0 e, portanto, f n˜ ao ´ e mon´ otona. Finalmente, tamb´ em temos que f satisfaz P4

^∗

pois, se f (x, y) ≥ 0 para x, y ∈ C, ent˜ ao como x ≥

¹₂

segue que x ≥ y. Assim, como y ≥

¹₂

ent˜ ao f(y, x) = y(y − x) ≤ 0.

Em rela¸c˜ ao ` a hip´ otese P4’, note que claramente esta hip´ otese ´ e mais fraca que monotonicidade. Por outro lado, estudemos a rec´ıproca com o seguinte exemplo dado em [16].

Exemplo 2.4. Seja C ⊂ R

ⁿ

convexo, fechado e n˜ ao vazio. Defina f : C × C → R como f (x, y) = −α kxk

²

+ β kyk

²

+ (α − β)hx, yi,

com β > α > 0. Ent˜ ao f satisfaz P1-P4 e P4’ mas n˜ ao ´ e mon´ otona.

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de equil´ıbrio 24 De fato, as propriedades P1-P3 s˜ ao satisfeitas trivialmente. Para P4, basta ver que f(x, y) + f(y, x) = (β − α) kx − yk

²

e como por hip´ otese β > α > 0 ent˜ ao f satisfaz P4 com constante de monotonicidade θ = (β − α) > 0 e assim f n˜ ao pode ser mon´ otona.

Finalmente para P4’, consideremos x

¹

, . . . , x

^q

∈ C e t

₁

, . . . , t

_q

≥ 0 tal que

q

P

`=1

t

_`

= 1. Logo,

q

X

`=1

t

`

f (x

^`

,

q

X

`=1

t

`

x

^`

) =

q

X

`=1

t

`



−α x

^`

2

+ β

q

X

`=1

t

`

x

^`

2

+ (α − β)hx

^`

,

q

X

`=1

t

`

x

^`

i





= −α

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2

+ β

q

X

`=1

t

_`

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2

+ (α − β)

q

X

`=1

t

_`

hx

^`

,

q

X

`=1

t

_`

x

^`

i

= −α

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2

+ β

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2 q

X

`=1

t

_`

+ (α − β)h

q

X

`=1

t

_`

x

^`

,

q

X

`=1

t

_`

x

^`

i

= −α

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2

+ β

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2

+ (α − β)

q

X

`=1

t

_`

x

^`

2

= α





p

X

`=1

t

_`

x

^`

2

−

p

X

`=1

t

_`

x

^`

2





≤ 0.

Salientamos que existem outras propriedades diferentes das hip´ oteses P4, P4

^∗

, P4’, P5 que consideramos aqui. Em [14], os autores realizaram um estudo destas e ou- tras condi¸c˜ oes sobre f utilizadas extensivamente na literatura para mostrar existˆ encia de solu¸c˜ oes para o problema de equil´ıbrio.

Voltando ao objetivo do cap´ıtulo de resolver o problema de equil´ıbrio (1.1) utili- zando algoritmos de ponto proximal exatos ou inexatos, vamos introduzir, como em [15], o conceito de regulariza¸c˜ ao de uma bifun¸c˜ ao f .

Defini¸ c˜ ao 2.5. Sejam γ > 0, x ¯ ∈ C ⊂ intD e e ∈ R

ⁿ

. A regulariza¸ c˜ ao de f, com perturba¸ c˜ ao e, a qual denotaremos como f ˜

^e

: C × C → R ´ e definida como:

f ˜

^e

(x, y) = f (x, y) + γh∇ψ(x) − ∇ψ (¯ x), y − xi − he, y − xi. (2.1) O seguinte resultado ´ e uma adapta¸c˜ ao da Proposi¸c˜ ao 3.1 dada em [4], a qual estabelece algumas propriedades b´ asicas para a fun¸c˜ ao ˜ f

^e

.

Proposi¸ c˜ ao 2.6. Seja x ¯ ∈ C ⊂ intD. Suponha que f satisfaz as condi¸ c˜ oes P1-P4 com

θ < γ, em que θ ´ e a constante de submonotonicidade n˜ ao necessariamente nula. Ent˜ ao

a fun¸ c˜ ao f e

^e

: C × C → R dada como em (2.1), satisfaz P1-P4 com θ = 0 (isto ´ e, f ˜

^e

´ e

mon´ otona). Al´ em disso, se

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de equil´ıbrio 25 P6: Para cada (x

^j

)

j∈N

⊂ C tal que lim

j→∞

kx

^j

k = ∞, satisfaz que lim inf

j→∞

f (¯ x, x

^j

) + (γ − θ)h∇ψ(¯ x) − ∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i + he, x ¯ − x

^j

i > 0 ent˜ ao f e

^e

satisfaz P5.

Demonstra¸ c˜ ao. f e

^e

satisfaz P1 por defini¸c˜ ao. Agora, se f satisfaz P2 e y → h∇ψ(x) −

∇ψ(¯ x) − e, y − xi ´ e cont´ınua e convexa ent˜ ao, f e

^e

tamb´ em satisfaz P2. Analogamente, observe que a fun¸c˜ ao x → h∇ψ(x) − ∇ψ(¯ x) − e, y − xi ´ e cont´ınua e como f cumpre P3 ent˜ ao f e

^e

tamb´ em. Se f satisfaz P4, ent˜ ao

f e

^e

(x, y ) + f e

^e

(y, x) = f (x, y) + f (y, x) − γh∇ψ(y) − ∇ψ(x), y − xi

≤ (θ − γ)h∇ψ(y) − ∇ψ(x), y − xi

≤ 0.

Ou seja, ˜ f

^e

´ e mon´ otona. Para finalizar, mostremos P5. Tome (x

^j

)

j∈N

⊂ C tal que kx

^j

k → ∞. Utilizando novamente o fato que f satisfaz P4 temos que para cada j ∈ N

f ˜

^e

(x

^j

, x) = ¯ f (x

^j

, x) + ¯ γ h∇ψ(x

^j

) − ∇ψ(¯ x), x ¯ − x

^j

i − he, x ¯ − x

^j

i

= f (x

^j

, x) ¯ − γh∇ψ(¯ x) − ∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i − he, x ¯ − x

^j

i

≤ −f (¯ x, x

^j

) − (γ − θ)h∇ψ(¯ x) − ∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i − he, x ¯ − x

^j

i

= − f (¯ x, x

^j

) + (γ − θ)h∇ψ(¯ x) − ∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i + he, x ¯ − x

^j

i

. (2.2) Logo, como por hip´ otese f cumpre P6, ent˜ ao temos que a express˜ ao em parˆ enteses em (2.2) ´ e n˜ ao negativa para k suficientemente grande, em outras palavras, existe j

₀

∈ N tal que ˜ f

^e

(x

^j

, x) ¯ ≤ 0 para todo j ≥ j

₀

.

Como consequˆ encia, da proposi¸c˜ ao anterior, veremos que tamb´ em ´ e poss´ıvel obter a seguinte proposi¸c˜ ao a qual estende os resultados dados em [4], para o caso em que a fun¸c˜ ao de regulariza¸c˜ ao ´ e perturbada, e por fim estabelecer as solu¸c˜ oes do problema regularizado EP( ˜ f

^e

, C ).

Proposi¸ c˜ ao 2.7. Seja x ¯ ∈ C ⊂ intD. Suponha que f satisfaz as condi¸ c˜ oes P1-P4 com θ < γ. Ent˜ ao as seguintes afirma¸ c˜ oes s˜ ao v´ alidas:

i) Se a hip´ otese P6 ´ e v´ alida ent˜ ao EP( f ˜

^e

, C ) admite pelo menos uma solu¸ c˜ ao.

ii) Se ψ ´ e estritamente convexa ent˜ ao EP( f ˜

^e

, C ) admite no m´ aximo uma solu¸ c˜ ao.

iii) Se a hip´ otese P6 ´ e v´ alida e ψ ´ e estritamente convexa ent˜ ao EP( f ˜

^e

, C ) tem uma

´

unica solu¸ c˜ ao.

Demonstra¸ c˜ ao. Pela proposi¸c˜ ao anterior, sabemos que se f e

^e

satisfaz P6, ent˜ ao f e

^e

satisfaz

P5. Em consequˆ encia pelo Teorema 4.3 de [14], temos que EP ( f e

^e

, C ) admite solu¸c˜ ao, o

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de equil´ıbrio 26 que mostra (i). Agora suponha que EP( f e

^e

, C) admite duas solu¸c˜ oes x

⁰

e x

⁰⁰

. Novamente, pela proposi¸c˜ ao anterior

0 ≤ f e

^e

(x

⁰

, x

⁰⁰

) + f e

^e

(x

⁰⁰

, x

⁰

)

= f (x

⁰

, x

⁰⁰

) + f (x

⁰⁰

, x

⁰

) − γh∇ψ(x

⁰⁰

) − ∇ψ (x

⁰

), x

⁰⁰

− x

⁰

i

≤ (θ − γ)h∇ψ (x

⁰⁰

) − ∇ψ(x

⁰

), x

⁰⁰

− x

⁰

i

≤ 0,

em que a ´ ultima desigualdade ´ e verdadeira pois por hip´ otese γ > θ. Portanto, x

⁰⁰

= x

⁰

pois ψ ´ e estritamente convexa, mostrando assim, (ii). Finalmente (iii) ´ e v´ alida, pois ´ e uma combina¸c˜ ao dos itens (i) e (ii).

Esta ´ ultima proposi¸c˜ ao evidencia a importˆ ancia da hip´ otese P6, pois esta ´ e uma condi¸c˜ ao suficiente para garantir solu¸c˜ oes do problema de equil´ıbrio regularizado com perturba¸c˜ ao e. Destacamos que em [15], um resultado an´ alogo foi mostrado considerando a hip´ otese H5, definida no cap´ıtulo anterior. No pr´ oximo resultado, veremos que a hip´ otese P6 ´ e mais fraca que hip´ otese H5.

Proposi¸ c˜ ao 2.8. Seja x ¯ ∈ C ⊂ intD. Suponha que f satisfaz P1-P4. Se ψ admite derivada direcional diferenci´ avel em C e satisfaz H5, ent˜ ao P6 ´ e satisfeita e consequente- mente, S( ˜ f

^e

, C ) 6= ∅.

Demonstra¸ c˜ ao. Com efeito, seja (x

^j

)

j∈N

⊂ C tal que kx

^j

k → ∞. Defina ∆

_j

= h∇ψ(¯ x) −

∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i. Tomando ρ ≥ 0, z ∈ C e levando em considera¸c˜ ao a convexidade de ψ temos que

∆

j

= h∇ψ (¯ x) − ∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i

= h∇ψ (¯ x), x ¯ − x

^j

i − h∇ψ(x

^j

), x ¯ − x

^j

i

≥ h∇ψ(¯ x), x ¯ − x

^j

i +

ψ(x

^j

) − ψ(¯ x)

=

x

^j

− z

h∇ψ(¯ x), x ¯ − x

^j

i

kx

^j

− zk + ψ(x

^j

)

kx

^j

− zk − ψ(¯ x) kx

^j

− zk

=

x

^j

− z

g(x

^j

), (2.3)

em que g(x

^j

) = h∇ψ(¯ x), x ¯ − x

^j

i

kx

^j

− zk + ψ(x

^j

)

kx

^j

− zk − ψ(¯ x) kx

^j

− zk .

Por outro lado, utilizando o fato que o subdiferencial de f (¯ x, ·) existe, ent˜ ao para

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de equil´ıbrio 27

z ∈ C existe v ∈ ∂f(¯ x, z) tal que

f(¯ x, x

^j

) + he, x ¯ − x

^j

i ≥ f (¯ x, z) + hv, x

^j

− zi + he, x ¯ − x

^j

i

= f (¯ x, z) − hv, zi + he, xi ¯ + hv − e, x

^j

i

≥ A − B x

^j

≥ A − B

x

^j

− z

+ kzk

, (2.4)

em que, A = f(¯ x, z) − hv, zi + he, xi ¯ e B = kv − ek. Assim, combinando as desigualdades (2.3) e (2.4) obtemos que

lim inf

j→∞

f(¯x, x^j) + (γ−θ)∆j

≥lim inf

j→∞A−B

x^j−z +kzk

+ (γ−θ) x^j−z

g(x^j)

= lim inf

j→∞A+ (γ−θ) x^j−z

g(x^j)− B γ−θ

1 + kzk kx^j−zk

. (2.5)

Para que a propriedade P6 seja satisfeita, basta observar que a express˜ ao em colchete na desigualdade (2.5) ´ e positiva para j suficientemente grande. Isto evidentemente ´ e satisfeito pois para j suficientemente grande, o termo 1 +

_kx^kzkj−zk

´ e limitado e g(x

^j

) → ∞ devido a que ψ cumpre H5.

Esta ´ ultima proposi¸c˜ ao estabelece que a classe de fun¸c˜ oes que satisfazem H5, concideradas em [15], s˜ ao automaticamente de fun¸c˜ oes que cumprem a propriedade P6.

Um exemplo claro disto, s˜ ao as fun¸c˜ oes 1−coercivas, isto ´ e, lim

kxk→∞

ψ(x)

kxk

= +∞, entre as quais temos a fun¸c˜ ao quadr´ atica ψ(x) =

¹₂

kxk

²

e Kullback−Leibler ψ(x) = x log x − x + 1.

Assim, conhecendo uma classe de fun¸c˜ oes para as quais garantimos solu¸c˜ ao do problema regularizado com perturba¸c˜ ao e, uma pergunta natural ´ e saber se existem fun¸c˜ oes que satisfazem P6 mas n˜ ao cumprem H5. Tal quest˜ ao ´ e respondida na seguinte observa¸c˜ ao.

Observa¸ c˜ ao 2.9. A condi¸ c˜ ao P6 ´ e estritamente mais fraca que H5 pois, se consideramos ψ : R → R dada por ψ(x) = x − log x + 1 e C ⊂ D = (0, +∞) temos que a condi¸ c˜ ao P6

´ e satisfeita desde que γ − θ seja suficientemente grande mas H5 n˜ ao ´ e satisfeita. Com efeito, seja (x

^j

) ⊂ D, tal que x

^j

→ ∞. Evidentemente, lim

x^j→∞

ψ(x)

x^j−z

< ∞ e pela Proposi¸ c˜ ao 1.11 obtemos que H5 n˜ ao ´ e satisfeita. Por outro lado, realizando um procedimento similar ao considerado em (2.4) na proposi¸ c˜ ao anterior obtemos:

f (¯ x, x

^j

) + (γ − θ)∆

_j

≥ A − Bx

^j

+ (γ − θ)

(ψ

⁰

(¯ x) − ψ

⁰

(x

^j

))(¯ x − x

^j

)

= A − Bx

^j

+ (γ − θ) (¯ x − x

^j

)

²

¯ xx

^j

= A + x

^j

(γ − θ)

¯ x

1 − x ¯

x

^j

²

− B

. (2.6)

Em que A = f (¯ x, z) − hv, zi + he, xi ¯ e B = kv − ek. Note que o sinal da express˜ ao em

colchete (2.6) ´ e positivo quando γ − θ ´ e suficiente grande. Logo, tomando limite inferior

nesta ´ ultima desigualdade obtemos que a propriedade P6 ´ e satisfeita.

M´ etodos de ponto proximal exatos e inexatos para problemas de equil´ıbrio 28 A exposi¸c˜ ao anterior foi realizada para garantir uma boa defini¸c˜ ao dos algoritmos que descreveremos a seguir, os quais foram introduzidos em [15]. Assumiremos daqui em diante, que C ⊂ intD e que existe uma fun¸c˜ ao ψ que satisfaz as hip´ oteses H1-H4 e P6.

Algoritmo IPPBPM: M´ etodo de ponto proximal inexato com proje¸c˜ ao para EP(f, C ).

Passo 1: Considere a sequˆ encia limitada γ

_j

⊂ R

++

, uma tolerˆ ancia para o erro σ ∈ (0, 1) e um ponto inicial x

⁰

∈ C.

Passo 2: Dado o ponto x

^j

, encontre o par (˜ x

^j

, e

^j

) ∈ R

ⁿ

× R

ⁿ

tal que ˜ x

^j

resolve o problema EP( ˜ f

_j^e

, C ), com ˜ f

_j^e

dada por

f ˜

_j^e

(x, y) = f(x, y) + γ

_j

h∇ψ(x) − ∇ψ(x

^j

), y − xi − he

^j

, y − xi, (2.7) e e

^j

satisfazendo

ke

^j

k ≤



 

 

σ γ

^j

D

_ψ

(˜ x

^j

, x

^j

) se kx

^j

− x ˜

^j

k < 1 σγ

^j

ν

_ψ

(x

^j

, 1) se kx

^j

− x ˜

^j

k ≥ 1.

(2.8)

Passo 3: Defina v

^j

= γ

^j

[∇ψ(x

^j

) − ∇ψ(˜ x

^j

)] + e

^j

. Se v

^j

= 0 ou x

^j

= ˜ x

^j

ent˜ ao pare. Caso contr´ ario, considere o hiperplano H

_j

= {x ∈ D | hv

^j

, x − x ˜

^j

i = 0} e tome

x

^j+1

= arg min

x∈Hj

D

_ψ

(x, x

^j

). (2.9)

Algoritmo IPPEM: M´ etodo de ponto proximal inexato com passo extragradi- ente para EP(f, C).

Passo 1: Considere a sequˆ encia limitada γ

_j

⊂ R

++

, uma tolerˆ ancia para o erro σ ∈ (0, 1) e um ponto inicial x

⁰

∈ C.

Passo 2: Dado o ponto x

^j

, encontre o par (˜ x

^j

, e

^j

) ∈ R

ⁿ

× R

ⁿ

tal que ˜ x

^j

∈ C resolve o problema EP( ˜ f

_j^e

, C ), com ˜ f

_j^e

dada por

f ˜

_j^e

(x, y) = f (x, y) + γ

j

h∇ψ(x) − ∇ψ(x

^j

), y − xi − he

^j

, y − xi, (2.10) e e

^j

satisfaz

D

ψ

(˜ x

^j

, (∇ψ )

⁻¹

[∇ψ(˜ x

^j

) − γ

_j⁻¹

e

^j

]) ≤ σD

ψ

(˜ x

^j

, x

^j

), (2.11) Passo 3: Se ˜ x

^j

= x

^j

ent˜ ao pare. Caso contr´ ario, tome

x

^j+1

= (∇ψ)

⁻¹

[∇ψ(˜ x

^j

) − γ

_j⁻¹

e

^j

]. (2.12)