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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br Cilindros – 2013 - GABARITO

1. (UCS) A superfície lateral de embalagens em forma de cilindro circular reto é confeccionada unindo–se dois lados opostos de folhas de flandres retangulares de 12 cm x 18 cm. Conforme os lados que são unidos, obtêm- se embalagens de alturas diferentes. Qual é a razão entre o volume V1 da embalagem de altura menor e o volume V2 da embalagem de altura maior?

a) 1 b) 2 c) 2

1 d) 2

3 e) 4

Solução. Conforme a união dos lados, temos duas possibilidades. Calculando cada volume, temos:

  ^{ }

  ^{  648 972 . 648 6 9 18.6. 12.9. 6 9 2 3}

972 V V 648 cm 6. 18.

V

972 cm 9. 12.

V

2 6 r 12 ou

2 9 r 18

r2 12 ou

r2 18

2 1 2 3

2 2 3 1

2 1

2 1



 

 



 



 



 



 

 

 

 

 



 





 



 

 



 







.

2. (UNESP) A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex de uma fábrica de preservativos cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, vazaram 12 mil litros de látex. Considerando a aproximação 3, e que 1000 litros correspondem a 1m³, se utilizássemos vasilhames na forma de um cilindro circular reto com 0,4m de raio e 1m de altura, a quantidade de látex derramado daria para encher exatamente quantos vasilhames?

a) 12 b) 20 c) 22 d) 25 e) 30 Solução. Calculando o volume de um vasilhame, temos:

       

litros 480 )

litros 1000 .(

48 , 0 ) vasilhame (

V

m 48 , 0 m ) 16 , 0 ).(

3 ( 1 . 4 , 0 ).

3 ( h . r . ) vasilhame (

V ^{2 2 3 3}













 .

Distribuindo os 12 mil litros de látex pelos vasilhames seriam utilizados:

480 25 12000 )

vasilhames (

Número   .

3. (UFCG) Uma receita de bolo leva 600ml de leite. Para medir o leite, Dona Iolanda dispõe de dois recipientes:

uma caixa na forma de um paralelepípedo com arestas 7cm, 11cm e 13cm; e um copo na forma de um cilindro circular reto com altura 15cm e raio da base 3cm. Qual procedimento que permite medir a quantidade aproximada (com 4ml de erro) necessária de leite para a receita? (use 3).

a) Usando duas medidas do copo.

b) Com o copo cheio de leite, Dona Iolanda enche a caixa despejando o leite do copo e o que restou no copo ela utiliza no bolo.

c) Usando duas medidas da caixa.

d) Com a caixa cheia de leite, ela enche o copo despejando o leite da caixa e o que restou na caixa ela utiliza no bolo.

e) Usando três vezes o copo para encher a caixa e o que sobrou na terceira vez é a medida procurada.

Solução. Calculando os volumes do paralelepípedo e do copo, utilizando o fato de que 1cm³ = 1ml, temos:

ml 405 cm

405 ) 15 ).(

9 ).(

3 ( ) 15 .(

) 3 .(

) copo ( V

ml 1001 cm

1001 )

13 ).(

11 ).(

7 ( ) pedo paralelepí (

V

3 2

3















 .

Se despejar o conteúdo da caixa (paralelepípedo) no copo de 405 ml, sobram (1001 – 405) = 596ml.

Essa quantidade será usada no bolo. Como seriam usados 600ml, há um erro de (600 – 596) = 4ml.

4. (UFOP) Um recipiente cilíndrico, com graduação, na altura, em centímetros, está cheio de água até a marca 30. Imerge-se nele uma pedra, elevando-se o nível da água para 40. O raio da base do recipiente mede 8cm e a densidade da pedra é 2kg/L (quilogramas por litro). Considerando 3,1, a massa da pedra, em quilogramas, está mais próxima de:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

Solução. O volume de água elevado é devido à imersão da pedra. Esse volume (pedra) é o mesmo do cilindro de raio igual ao da base do recipiente e altura (40 – 30) = 10. Utilizando a relação entre massa e volume, temos:

   

_{3,968kg 4kg}

L L 984 , 1 . kg M 2

L 984 , 1 L M / kg V 2

D M

L 984 , 1 ml 1984 cm

1984 )

10 ).(

64 ).(

1 , 3 ( ) 10 .(

) 8 ).(

( ) elevado (

V ) pedra (

V ^{2 3}





























.

5. (UFMS) Dentro de um recipiente cilíndrico, de altura 1,98 metros, há quatro barras maciças cilíndricas iguais, de alturas iguais à do recipiente e tais que a soma de três de seus diâmetros é igual ao diâmetro do recipiente.

Nessa situação, enchem-se completamente os espaços vazios com água até a borda do recipiente. Qual será a altura do nível da água em relação ao fundo do

recipiente, em centímetros, após serem retiradas as quatro barras, sem desperdiçar nenhuma quantidade de água?

Solução. O volume inicial é a soma dos volumes das quatro barras e o volume de água no recipiente cilíndrico. Logo, o volume final será somente o volume da água. Temos:

 

cm 110 m1 r. ,1 9

r.

h 9,9 r.

92, 7 r.

82 , 17 h.

r.

9

h.

r.

9 r.

92 ,7 r.

82 , 17 h.

r.

9 )h .(

)r3 .(

) água (V

r.

92 ,7 ) 98, 1.(

)r .(

4 ) barras 4(

Volume

r.

82, 17 ) 98 ,1.(

)r3 .(

) inicial (V

) água (V ) barras 4(

Volume ) inicial (V

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2



 

 





























 



 





























.

6. (UFGD) Um tanque de combustível possui a forma de um cilindro circular reto com diâmetro interno medindo 8 metros e 15 metros de comprimento. Sabendo-

se que o tanque está mais cheio do que vazio, e que a superfície do combustível dentro do tanque forma um retângulo de área igual a 90m², qual o desnível (h) entre a superfície do combustível e o ponto mais alto no teto do tanque?

a) ^6m b) 7 m c)



^{4 7}



^m

d)



^{4 7}



^m e) ^6m

Solução. A superfície de área 90m² possui dimensões 15m e y. Logo, y = 90 ÷ 15 = 6m. Na visão frontal da circunferência, base do tanque, temos as relações:

7 4 h raio x h ) ii

7 x 9 16 x 3 x 4 )

i ^{2 2 2 2}























 .

7.(UNIMONTES) Quantos gramas de ouro são utilizados para fabricar uma aliança cilíndrica, cujos diâmetros medem 22mm e 21mm e altura 3mm? (A massa específica do ouro é 20g/cm³).

a) 645g b) 6,45g c) 0,645g d) 64,5g

Solução. O volume da aliança será a diferença entre os volumes dos cilindros de altura é 0,3cm e raios 10,5mm = 1,05cm e 11mm = 1,1cm.



20g/cm



0,645 g

).

cm 03225 ,

0 ( V M

D M ) ii

cm 03225 , 0 ) aliança (

V

363 , 0 33075 ,

0 ) 3 , 0 .(

) 05 , 1 .(

) 3 , 0 .(

) 1 , 1 .(

) aliança (

V ) i

3 3

3

2 2





































.

8. (UFG) Um cilindro é obtido pela rotação do segmento de reta de equação x = 3, no intervalo 0  y  5, em torno do eixo y. O volume desse cilindro é:

a)15 b) 25 c) 30 d) 45 e)

 75

Solução. A rotação gera um cilindro de raio 3 e altura 5. Logo, o volume é: V .(3)².(5) .(9).(5) 45.

9. (UNESP) Uma moeda circular é composta por duas partes: a parte central, de material prateado, de raio 9mm, e a parte externa, de material dourado, em forma de um anel de 4mm de largura, conforme figura. A espessura de cada parte da moeda é igual a 1,5mm.

Qual a razão entre os volumes das partes prateada e dourada?

Solução. O raio maior mede (9 + 4) = 13mm. O volume da parte dourada será a diferença entre o volume da moeda e o volume da parte prateada (central).

88 81 15 15 1320 1215 132

5 , 121 )

dourado (

V

) prateado (

: V razão ) iii

mm 132 mm

5 , 121 mm

5 , 253 )

dourado (

V ) ii

mm 5 , 121 )

5 , 1 ).(

81 ( ) 5 , 1 .(

) 9 .(

) prateado (

V ) ii

mm 5 , 253 )

5 , 1 ).(

169 ( ) 5 , 1 .(

) 13 .(

) moeda (

V ) i

3 3

3

3 2

3 2

 

 



 





































.

10. (UNCISAL) Para identificar corretamente a formulação de um determinado medicamento, um rótulo retangular R, que tem 251,2cm², será colado em um recipiente

com a forma de um cilindro circular reto, contornando-o totalmente, até as extremidades se encontrarem, sem haver superposição. O volume desse recipiente, desprezando-se a sua espessura, é igual a:

a) 100



^cm3 b) 140



^cm3 c) 160



^cm3 d) 250



^cm3 e) 360



^cm3

Solução. A área de do retângulo R é o produto da altura pelo comprimento de 25,12cm. Logo, a altura mede h = 251,2 ÷ 25,12 = 10cm. O comprimento do retângulo R é o perímetro da base do cilindro.

Calculando o raio da base utilizando π = 3,14, temos:

28, 4 6

12, 25 )14, 3(2

12, r 25 12, 25 12, r.2

25 C

r.2

C      

 







.

Logo, o volume do recipiente será: V  .(4)².(10) .(16).(10)160cm³.

11. (UEG) Um reservatório de uma distribuidora de gás tem capacidade para 88,4m³ do produto. Sabendo-se que o botijão, usado nas cozinhas, vem embalado na forma líquida (transformando-se em gás depois) e que cada botijão tem capacidade para 13 litros, a capacidade total do reservatório da distribuidora equivale a:

a) 7.110 botijões de gás. b) 7.010 botijões de gás. c) 6.900 botijões de gás.

d) 6.880 botijões de gás. e) 6.800 botijões de gás.

Solução. Utilizando o fato de que 1m³ = 1000 litros, temos que 88,4m³ = 88400 litros. Distribuindo essa quantidade em botijões de 13 litros, temos: 88400 ÷ 13 = 6800 botijões.

12. (MACK) Uma lata tem forma cilíndrica com diâmetro da base e altura iguais a 10cm. Do volume total, 5 4 é

ocupado por leite em pó. Adotando-se 3, o volume de leite em pó, em cm³, contido na lata é:

a) 650 b) 385 c) 600 d) 570 e) 290 Solução. Calculando a fração do volume da lata, temos:



²

 ^

^{(3).(25).(10)}

^

⁴

^

¹⁵⁰

^

^600cm3

5 ) 4 10 .(

) 5 ).(

5 ( ) 4 pó em leite (

V      .

13. (MACK) Um cilindro reto C1 tem altura igual ao diâmetro da base e um cilindro C2, também reto, tem altura igual a oito vezes o diâmetro da base. Se a razão entre os volumes de C1 e de C2 é

27

1 , então a razão entre

os respectivos raios é:

a) 9

1 b) 27

2 c) 27

1 d) 3

1 e) 3 2

Solução. No cilindro C1 (equilátero), temos D1 = h1 e no cilindro C2, temos 8D2 = h2. Estabelecendo a relação informada, temos:

 

3 2 27

8 R R 27

8 R R 27

1 R.8 R 27

1 R.16 R.2 27

1 V : V razão )iii

R.16 )R 16.() R.(

h V R16 R2.8 D8

)h.(

)R.(

)ii V

R.2 )R2 .() R.(

h V R2

)h.(

)R.(

)i V

3 2 1 3

2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 1

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

3 1 1 2 1 1 1 1

1 2 1 1





 



 



 





 

 







 

 













 

 





.

14. (CEFET) Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como mostra a figura. Entre um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o formato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e

volume de 126



cm³. Com base nesses dados, pode-se dizer que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será igual a: (use 3,14)

a) 36 b) 41 c) 12 d) 17 e) 48

Solução. O comprimento interno não levará em conta as medidas de 1cm das extremidades. Logo o comprimento pedido será a soma (12r + 5)cm, onde “r” é o raio de cada copo. Calculando o valor desse raio, temos:

cm 3 9 r 14 9 r 126 126 )14 .()r . .(

126 V

)14 .()r .(

V ² _{2 2}















 

 







.

O comprimento interno vale: 12.(3) + 5 = 36 + 5 = 41cm.