Lógica e Fundamentos da Matemática

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Lógica e Fundamen-

tos da Matemática

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1. Apresentação 4

Introdução 5

2. Inferência e Argumento 8

1.1.Dedução e Indução 9

1.2.Validade de um Argumento 9

1.3.Verdade e Validade 10

1.3.1.Como Reconhecer Argumentos? 11

1.4.Demonstrações 12

1.5.Enunciados Categóricos 12

1.6.Representação dos Enunciados Categóricos por

Diagramas 13

1.7.Cálculo Proposicional 14

1.7.1.Operadores Lógicos 14

1.7.2.Valor Lógico De Uma Proposição Composta 15

1.7.3.Tabela-Verdade 15

1.7.4.Cálculo Proposicional 16

1.7.4.1. A negação 16

1.7.4.2. A conjunção: p∧ q 16

1.7.4.3.A Disjunção: p∨ q 16

1.7.4.4.A condicional: p→q 17

1.7.4.5.A Bicondicional: P↔Q 18

1.8.Construção de Tabela-Verdade de Proposições

Compostas 18

1.9.Tautologia e Contradição 19

1.10.Parênteses & Precedência de Operadores Lógicos 21 1.11.Escrita Correta de Proposições 22 1.11.Escrita Correta de Proposições 22

1.12.Implicações e Equivalências 23

1.12.1.Relação de Implicação 23

1.12.2.Relação de Equivalência 23

1.12.3.Propriedades das Operações 25

Materiais Complementares 25

3. Referências Bibliográficas 27

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1. Apresentação

Fonte: www.divulgacaodinamica.pt¹

rezado (a) aluno (a),

Durante essa disciplina estare- mos fazendo uma introdução ao estudo da lógica e fundamentos da ma- temática voltada para o ensino bá- sico.

A Lógica é benéfica para qualquer área que ordene raciocínios elaborados, assim como em casos objetivos do nosso dia-a-dia.

Um conhecimento basilar de Lógica é imperativo para estudantes de áreas como Matemática, Línguas,

1 Retirado em www.divulgacaodinamica.pt

Filosofia, Ciências ou Direito. Sua prática auxilia os alunos no raciocí- nio, no entendimento de conceitos básicos e na verificação ritual de provas, preparando para a compre- ensão dos conteúdos de tópicos mais avançados. A Lógica Matemática traz hoje aplicações concretas muito relevantes em múltiplos domínios.

Ela é empregada no planeja- mento dos atualizados computadores eletrônicos e é nela que se releva a “inteligência” dos computadores atuais.

P

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LÓGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA Além da Lógica, o entendi-

mento de noções básicas sobre conjuntos é efetivo para a Matemática.

Os conceitos da Matemática mo- derna, iniciando pelos mais básicos até os mais complexos possibilitam a formulação na linguagem de conjuntos. Desse jeito, para dar consis- tência a alguma afirmação matemá- tica, satisfaz, assim, dar rigor às afir- mações sobre conjuntos.

O caráter fundamentalmente conceptual da Teoria dos Conjuntos proporciona-lhe lugar de destaque em todos os espaços em que o pensamento racional e, em privado, o pensamento científico é fundamental e, semelha natural que ela neces- site estar na base de todas as ciên- cias.

Tendo alguma dúvida, não deixe de encaminhar as suas per- guntas ao setor pedagógico por meio do protocolo ou atendimento aos alunos. Bons estudos!

Introdução

Note que as palavras “lógica” e

“lógico” nos são análogas. Discorre- mos frequentemente de comporta- mento lógico”, de elucidação lógica”

em contraste com procedimento iló- gico”, de elucidação ilógica”.

Nestes episódios, a palavra ló- gica é usual no mesmo sentido de

“razoável”. Um indivíduo com “espí- rito lógico” é um indivíduo “razoá- vel”. Esses costumes podem ser esti- mados como derivativos de um sentido mais especialista do termo “ló- gico” para distinguir os argumentos racionais.

Assim, veja que o estudo de ló- gica é da matéria dos processos e princípios utilizados para diferen- ciar o raciocínio correto do incorreto. Isto não significa que só se tem raciocínio lógico quem estuda ló- gica. Entretanto um indivíduo que estuda lógica tem maior perspectiva de raciocinar corretamente.

Logo a lógica matemática é co- nhecida ainda como Lógica Proposi- cional ou Lógica Simbólica Clássica.

Seu desígnio é a formulação de crité- rios que consintam na análise da legitimidade dos contextos utilizados na demonstração de algumas afir- mações.

De tal modo, usando contextos

"legítimos", se conseguirmos despontar que uma afirmação segue de afirmações antecedentes já estabele- cidas, adviemos a considerar essa afirmação como situada também.

Isso dá o modelo universal de uma teoria matemática por conta de determinado assunto, onde aceita- mos como verdadeiras certos núme- ros de afirmações primitivos (axiomas ou postulados) e nesse instante,

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empregando argumentos logicamente válidos, iniciamos por dedu- zir outras afirmações arquitetando a teoria. (Isso fica esclarecido no de- senvolvimento da geometria euclidi- ana, juntamente com a teoria dos conjuntos, etc.).

Uma parte do estudo da lógica versa no exame e na análise das me- todologias incorretas do raciocínio, isto é, as falácias.

O estudo de lógica não somente dá um espectro mais pro- fundo dos princípios do raciocínio via de regra, como o conhecimento desses ardis ampara, além disso a evitá-los.

Também, o estudo de lógica apresenta, por meio da aplicação de determinadas técnicas, alguma cor- reção ou incorreção de todos os raci- ocínios.

Exemplos:

 Ou você é a favor do presi- dente ou você é contra a reelei- ção.

 Você é contra a reeleição.

 Você não é a favor do presi- dente.

 Criança que tem brinquedo es- trela é feliz.

 A criança é feliz.

 A criança tem brinquedo es- trela.

O primeiro argumento tem um erro de falsa dicotomia e o segundo induz a pensar que o antecedente segue do consequente, ou o contrário.

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8

2. Inferência e Argumento

Fonte: medium.com²

lógica zela pela correção do procedimento do raciocínio, uma vez completo. Sua interrogação é consecutivamente essa: “a conclu- são que se alcançou deriva das premissas utilizadas ou pressupostas?”

Se as premissas aprovisionam base ou boas provas para o remate, se a asseveração da verdade das premissas afiança a afirmação de que a con- clusão ainda é verdadeira, então o raciocínio é adequado. No caso con- trário, é incorreto. A diferenciação entre o raciocínio correto e o incorreto é a problemática central de que se incide sobre a lógica. Apodamos de inferência ao método pelo qual al- cançamos a uma conclusão. Digres- são, associações de ideias, imagina-

2 Retirado em medium.com

ção são soluções válidas para o pensamento, nos quais os resultados podem ser desde crença e conceitos até sentenças científicas. Para a lógica vela o argumento que obedece à in- ferência. Isto é, após o processo de descobrimento, qualquer que tenha constituído o caminho percorrido, compete ao lógico examinar o modo que a inferência a fim de averiguar se é justificável chegar a alguma con- clusão. Para isso o Argumento é uma sequência de proposições, cuja uma das proposições é a conclusão e as outras, denominadas premissas, de- senvolvem as provas ou evidências para a conclusão.

Exemplos:

 Argumento 1: Como todo brasileiro é sul-americano e todo

A

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LÓGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

 paulista é brasileiro, então todo paulista é sul-americano.

Neste caso, “Todo brasileiro é sul-americano” e “Todo paulista é brasileiro” são as premissas e “Todo paulista é sul-americano” é a conclu- são desse argumento.

 Argumento 2: Como todo ma- temático é louco e eu sou ma- temático, então eu sou louco.

Neste caso, a argumentação é válida embora as premissas sejam falsas.

1.1. Dedução e Indução Note que os argumentos podem ser rotulados em argumentos dedutivos ou indutivos.

Fonte: pt.slideshared.net

Argumento dedutivo é um argumento na qual conclusão é infe- rida fundamentalmente de suas premissas. No argumento dedutivo, tem uma ligação entre as premissas

e a terminação visto que a conclusão se torna indispensável, isto é, tem que ser esta e não outra.

Além do mais, o enunciado da conclusão não extrapola o conteúdo das premissas, ou seja, não se arti- cula mais na conclusão do que foi falado nas premissas.

Por sua vez, o Argumento in- dutivo é um argumento no qual a conclusão não é derivada fundamentalmente de suas premissas. A indução é uma alegação cuja, a partir de dados singulares satisfatoria- mente enumerados, inferimos uma veridicidade universal.

Variavelmente do argumento dedutivo, em um argumento indu- tivo, o teor da conclusão extrapola o das premissas. A conclusão da indu- ção tem somente probabilidade de ser correta.

Esta configuração de argumento é responsável pelo embasa- mento de grande parte de nossas in- formações na vida diária e de grande parte das ciências experimentais.

Além do mais, todas as previsões que improvisamos para o futuro tem apoio na indução.

1.2. Validade de um Argu- mento

Um argumento dedutivo é correto quando suas premissas, se verdadeiras, aprovisionam provas plau-

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síveis para sua conclusão, ou seja, quando as premissas e a terminação estão igualmente relacionadas que é categoricamente impossível as premissas significarem verdadeiras se a conclusão também não for verdadeira.

A legitimidade de um argumento depende tão-somente de sua forma, e não do seu teor ou da verdade ou falsidade dos expressos que nele ocorrem. Assim, todo entendimento (ou argumento) dedutivo é válido ou inválido.

Todos os baianos gostam de carnaval

Ora, eu gosto de carnaval Logo, eu sou baiano

Todos os homens são xenófobos Ora, eu sou homem, Logo, eu sou xenófobo Toda baleia é mamífera

Nenhum mamífero é peixe., Logo, a baleia não é peixe

A água provoca câncer pois todas as pessoas que morreram de câncer bebiam água.

Note que nos exemplos supra- citados, o primeiro e o último argumento não serão corretos.

1.3. Verdade e Validade

Verdade(V) e falsidade(F) possuem a possibilidade de serem pre- dicados das proposições, jamais dos argumentos, do mesmo modo com as propriedades de validade ou inva- lidade somente podem incumbir a argumentos dedutivos, entretanto jamais a proposições. Logo, determinados argumentos válidos con- têm tão-somente proposições verdadeiras, a título de exemplo:

Todas os macacos são mamífe- ros

Todos os mamíferos possuem pulmão

Portanto, todas os macacos possuem pulmão

Contudo um argumento pode conter tão-somente proposições falsas e, apesar disso, ser válido. A tí- tulo de exemplo:

Todas os cachorros tem quatro patas

Todos os seres de quatro patas têm asas

Portanto, todos cachorros têm asas

Esse argumento é válido pois, se suas premissas significassem verdadeiras, sua conclusão além disso seria correta, mesmo no caso em que, deveras, fossem todas falsas.

Assim:

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LÓGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA Se eu possuísse todo petróleo

da Arábia saudita, eu seria muito rico.

Não possuo o petróleo da Ará- bia saudita.

Portanto, não sou muito rico.

Note que, embora as premissas constituam ser verdadeiras, o ra- ciocínio não é apropriado.

De tal modo, pode-se lembrar que têm argumentos válidos com conclusões falsas, assim como argumentos inválidos com fins verdadeiros. Assim, a verdade ou falsidade da sua conclusão não motivam a validade ou não validade de um contexto. Existe raciocínios impecavel- mente válidos que tem conclusão falsa contudo, para que isso acon- teça, necessitam ter pelo menos uma premissa falsa. Os argumentos invá- lidos ou aqueles válidos ou não que possuem pelo menos uma premissa falsa são denominados falácia ou so- fisma.

1.3.1. Como Reconhecer Argu- mentos?

Para se distinguir se um argumento é válido ou inválido, neces- sita-se em primeiro lugar saber co- nhecer os argumentos, quando eles acontecem, além de identificar as suas premissas se conclusões. A con- clusão de um circunstanciado não precisa ser enunciada essencial- mente no seu final ou começo.

Note que nenhuma proposição é solitariamente uma premissa ou conclusão. Só pode ser premissa quando acontece como pressuposi- ção num contexto ou raciocínio. Só é conclusão quando advém de um argumento em que se afiançar decor- rer das proposições pressupostas nesse contexto.

Exemplos:

Tudo que é predeterminado é necessário.

Todo evento é predeterminado.

Logo, todo evento é necessário

Todo evento causado por outros eventos é predeterminado

Todo evento é causado por outros eventos Logo, todo evento é predeterminado

Veja que no primeiro contexto a proposição “todo evento é predeterminado” é uma premissa, por outro lado no segundo argumento ela é conclusiva.

Além do mais, nem tudo que é falado ao longo de um argumento é premissa ou conclusão desse contexto. Um trecho que possui um argumento pode ainda possuir outro

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material que tanto pode ser despre- zível quanto apresentar importantes elementos sobre os antecedentes do argumento. Por exemplo:

“Se o código penal proíbe o sui- cídio, esta proibição é ridícula;

pois que penalidade pode assustar um homem que não teme a própria morte?”

Note que a proposição “o có- digo penal coíbe o suicídio” não é premissa nem conclusivo, entretanto ajuda a se ter informação de que proibição se acena o texto. Por- quanto, pode-se escrever esse argumento de outra forma:

“Como nenhuma penalidade pode assustar um homem que não teme a própria morte A proibição suicídio do código penal é ridícula.”

1.4. Demonstrações

A matemática utiliza predomi- nantemente métodos dedutivos de raciocínio. A proposição matemática é corroborada quando a deduzimos de proposições prontamente admiti- das como verdadeiras.

Uma confissão é a consignação de uma verdade e é construída por meio de uma sequência composta de raciocínios lógicos, com começo e fim determinados. Todo raciocínio, particularmente, carece ter sua veracidade afiançada e justificada. O

apoio para a construção de demons- trações carece, fundamentalmente, ser um contíguo de axiomas, isto é, um conjunto de afirmações que simulam fatos, reservados do mundo real e para os quais não é indispen- sável justificação.

Existe diferentes modos de se realizar demonstrações. A título de exemplo:

 Demonstração por contradi- ção (ou redução ao absurdo);

 Demonstração por con- traposição;

 Demonstração por implicação direta;

Os detalhes e as altercações de cada modo serão abordados oportu- namente. Por agora, o basilar é en- tender que uma afirmação apenas pode ser respeitada como válida se for comboiada de uma demonstra- ção, ritual, de sua veracidade.

1.5. Enunciados Categóricos

Fora os argumentos falaciosos, também tem o problema das frases ambíguas. Assim, analisemos a de- claração: Políticos são Corruptos:

[...] Do ponto de vista lógico, esta declaração é imprecisa.

Surge então a questão: como podemos eliminar esta impreci- são? Segundo o filósofo grego Aristóteles (séc. IV a.C) isso somente é possível se enunciar-

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mos as sentenças na forma ca- tegórica.

Acrescentando as expressões

"todos", "alguns", "nenhum" à afirmação acima, obtemos enunciados categóricos, ou seja, enunciados precisos, no sentido de que podemos atri- buir-lhes um e somente um valor lógico.

A declaração: "Políticos são corruptos" adquire as seguintes formas enunciativas, quando acrescidas de uma das expres- sões: "todo", "nenhum" e "alguns":

A - "Todos os políticos são corruptos."

E - "Nenhum político é cor- rupto."

I - "Alguns políticos são corruptos." ou "Existem políticos corruptos."

O- "Alguns políticos não são corruptos." ou "Existem políti- cos que não são corruptos." [...]

(SKOVSMOSE, 2001).

Logo, as sentenças de tal modo formuladas foram denominadas de proposições categóricas.

Conforme a classificação de Aristóteles elas se dividem em quatro tipos:

[...] Tipos de enunciados cate- góricos: Formas lógicas:

A - afirmação universal: Todo S é P

E - negação universal : Nenhum S é P

I - afirmação particular : Algum S é P

O - negação particular : Algum S é não P [...]

1.6. Representação dos Enun- ciados Categóricos por Dia- gramas

SKOVSMOSE (2001) cita que:

[...] No séc. XVIII, o matemá- tico Leonard Euler utilizou-se de diagramas para explicar a uma princesa alemã o signifi- cado dos quatro enunciados ca- tegóricos. Para isso ele utilizou desenhos que se revelaram muito eficientes e ficaram conhecidos como diagramas de Euler. Esses diagramas são bas- tante utilizados no estudo de conjuntos. [...]

Logo, um conjunto é uma cole- ção de dados que apresentam uma característica, um predicado que os assinala.

Quando discorremos sobre o conjunto A dos políticos, estamos aglomerando em uma só coleção todos os objetos que exibem a caracte- rística: ser político. Portanto, podemos simular o conjunto A por uma região restrita do plano. Os pontos do seu interior simulam os elementos de A, ou seja, os políticos. Os pontos externos dessa região com- põem o conjunto ~A, isto é, o dos não-políticos.

Então chamando de S o conjunto de indivíduos saudáveis e de A o conjunto de Esportistas, os diagramas abaixo simulam as quatro pro-

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posições decisivas de Aristóteles:

1.7. Cálculo Proposicional

Note que determinados ter- mos especiais empregados em ló- gica:

[...] Proposição Simples é uma sentença declarativa. As propo- sições são verdadeiras ou falsas não havendo outra alternativa (Princípio do Terceiro Exclu- ído) e nisso diferem das per- guntas, ordens e exclamações.

Só as proposições podem ser afirmadas ou negadas. Além disso, uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa (Princípio da não Con- tradição).

Valor lógico das proposições:

chama-se de valor lógico de uma proposição a verdade

(V) se a proposição é verdadeira e falsidade (F) se a proposição for falsa. Notação: V(p) [...] (DEME- TRIUS, 2016).

Assim as proposições são geralmente descritas por letras minús- culas: p, q, r, s, ...

Exemplos:

(1) p: 3 + 4 = 9

(2) q: Minas Gerais é um estado da região sudeste do Brasil.

(3) r: 7 + 9 (falta predicado)

(4) s: João estuda matemática?

(interrogativa)

(5) t: 3x + 2 = 6 (qual o número que multiplicado por 3 e somado com 2 é igual a 6?)

Mas vale ressaltar que a linguagem seguida pela lógica mate- mática é muito particular, entretanto em nada muda de outras lin- guagens de programação. Não passa de um conjunto de símbolos e ex- pressões com significações predefi- nidas e que podem ser empregados desde que acatadas certas regras.

Contudo, é importante compreender que cada símbolo tem um sentido próprio, isto é, deve-se apreciar e respeitar os significados dos símbo- los empregados.

1.7.1. Operadores Lógicos

No cotidiano empregamos constantemente expressões bem como: não, e, ou, se...então, se e somente se ou análogas. Estas expres- sões são indispensáveis para a co-

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LÓGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA municação do pensamento. São cha-

mados operadores lógicos, porquanto permitem compor proposi- ções compostas a partir de proposi- ções simples.

Já os conectivos são palavras utilizadas para compor novas propo- sições. Os conectivos usados em ma- temática são: e, ou, se ... então e se e somente se.

As proposições compostas são alcunhadas pelas letras latinas mai- úsculas: P, Q, R, S, ...

Exemplos:

P: João estuda música ou Paulo estuda química.

Q: João estuda música e Paulo estuda química.

R: Se João estuda música en- tão Paulo estuda química. T: Não estudo música nem química.

1.7.2. Valor Lógico De Uma Pro- posição Composta

De acordo com o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples p é (V) verdadeira ou (F) falsa, ou seja, possui um valor lógico.

[...] A determinação do valor ló- gico de uma proposição composta depende do valor lógico das proposições que a compõe.

Dada uma proposição composta P(p, q, r, s, ...), pode-se sempre determinar o seu valor lógico quando são conhecidos os valores lógicos das proposi- ções simples que a compõe. [...]

1.7.3. Tabela-Verdade

Veja que para se estabelecer um valor lógico de uma proposição composta, pode-se empregar um dispositivo denominado tabela-verdade cujo figuram todos os plausí- veis valores lógicos da proposição composta, equivalente a todas as possíveis imputações de valores ló- gicos são proposições simples que a forma.

[...] Nos enunciados compostos de duas proposições p e q, temos quatro situações possíveis:

p e q são verdadeiros, p é verdadeiro e q é falso, p é falso e q é verdadeiro e ambos são falsos, isto é para cada valor lógico de p, temos dois valores lógicos de q. Estas quatro possibilidades são representadas, respectiva- mente, pelas quatro linhas hori- zontais de valores-verdade. [...]

Fonte: pt.slideshare.net

Assim, quando uma proposi- ção composta é desenvolvida por três proposições simples p, q e r, logo, para cada valor lógico de p, in- cluímos dois valores lógicos de q e assim, para cada valor lógico de q, incluímos dois de r.

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Fonte: pt.slideshare.net

Desse modo, para se formarr uma tabela verdade com n proposi- ções simples, aplica-se à 1ª proposi- ção, 2n /2 valores (V) acompanha- dos de , 2n /2 valores (F); à 2ª pro- posição, 2 n /4 valores (V) acompa- nhados de , 2n /4 valores (F) e do mesmo modo consecutivamente.

1.7.4. Cálculo Proposicional

1.7.4.1. A negação

O argumento "não é verdade que" ou uma análoga, via de regra, antecede um enunciado para compor um novo enunciado, cujo é chamado de negação do primeiro. Ex- pressa-se, desse modo, a negação de uma proposição p a proposição “não p” no qual o valor lógico é (V) sendo que se p é falsa e (F) logo p é verdadeira. Vejamos o exemplo dado:

1.7.4.2. A conjunção: p∧ q

Uma composição composta por dois enunciados, unidos pelo co- nectivo lógico "e" ou uma expressão análoga, denomina-se conjunção no qual o valor lógico é (V) quando são duas verdadeiras e (F) nos demais acontecimentos.

Exemplos:

1.7.4.3. A Disjunção: p∨ q Note que a proposição composta pelo ajuntamento de duas pro- posições simples por meio do operador lógico "ou" denomina-se disjun- ção, isto é, é a afirmação pela qual se alega pelo menos uma das afirma- ções p e q.

[...] Na linguagem corrente a palavra "ou" possui dois significados distintos. O chamado sentido não- exclusivo para o qual ao menos um dos enunciados componentes é verdadeiro ou ambos. E o sentido exclusivo onde um dos enunciados é verdadeiro e o outro é falso. Na lógica matemática a expressão "ou" se usa sempre no sentido não-exclusivo.

[...]

Logo, a disjunção p∨q possui um valor lógico (F) quando são p e q

Tabela I

P P

V F

F V

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LÓGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA e são falsas e (V) nos demais aconte-

cimentos. Observe os exemplos abaixo:

Exemplos:

p:3 < 7 (V)

q: 15 é divisível por 5 (V) p∨q: 3 < 7 ou 15 é divisível por 5. (V)

p: o triângulo ABC é retângulo.

q: o triângulo ABC é isóscele.

p ∨ q: o triângulo ABC é retân- gulo ou isósceles.

A seguir representa a tabela- verdade da conjunção e disjunção:

P Q P∧ Q P∨ Q

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

1.7.4.4. A condicional: p→q Teremos que a junção de dois enunciados através de palavras

"se...então..." compõe um enunciado conexo que ganha o nome de condicional. A partícula à qual se acha prefixada a palavra se denomina-se antecedente e a cláusula adentrada pela palavra então denomina-se consequente. A proposição “se p en- tão q” possui valor lógico (F) apenas quando p é verdadeira e q é falsa. Ou seja, negar que acontece “se p então q” é dizer que p adveio e q não afluiu.

Pode-se predisser a condicional p→q na configuração:

p é condição satisfatória para q q é condição necessária para p

Exemplos p: 7 < 3 (F)

q: 15 é divisível por 5 (V) p→q: Se 3 < 7 então 15 é divi- sível por 5 (V)

Note que sejam as proposi- ções:

P: Se todos os números natu- rais pertencem a IN e 1689 é um nú- mero natural, logo 1689 pertence a IN.

Q: Se 58 é par, então 58 não é impar.

R: Se o Atlético Mineiro perder o jogo, então mastigarei minha ca- misa.

Pode-se lembrar que as condicionais supra são de tipos bem diferentes.

O consequente da proposição P advém, logicamente, do seu anterior; o consequente da proposição Q, só advém de seu anterior em benefí- cio da definição do número par, que constitui número não ímpar; a pro- posição R informa uma decisão do indivíduo. Não obstante dessas al- tercações, as três proposições apresentam um fato em comum: todas afirmam determinado tipo de impli- cação.

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Logo, uma condicional p→ q não afirma que o consequente q é consequência do anterior p. O que uma condicional afiança é exclusiva- mente uma relação em meio aos valores lógicos do anterior e do consequente.

1.7.4.5. A Bicondicional:

P↔Q

Um enunciado composto pela expressão "se e somente se" denomina-se bicondicional e pode ser es- timado como a conjunção de ambos enunciados condicionais no modo de (p→q)^(q → p)

Em seguida a proposição bicondicional “p se e somente se q”

possui valor lógico (V) se p e q apre- sentarem o mesmo valor lógico e (F) nos demais acontecimentos. Nota- ção: p↔q.

Exemplos:

p:3 < 7

q: 15 é divisível por 5

p→ q: 3 < 7 se e somente se 15 é divisível por 5.

p: o triângulo ABC é retângulo.

q: o triângulo ABC é isósceles.

p → q: o triângulo ABC é re- tângulo se e somente se ele for isós- celes.

Note que se pode decifrar a bicondicional p↔q no modo:

(i) p é condição imprescin- dível e satisfatória para q

(ii) q é condição imprescin- dível e satisfatória para p.

A seguir representa a tabela- verdade da condicional e da bicondicional:

P Q P→Q P↔Q

V V V V

V F F F

F V V F

F F V V

1.8. Construção de Tabela- Verdade de Proposições Com- postas

Exemplo 1: para construir a tabela verdade com a proposição P(p, q) = ~(p∧~q).

Inicia-se formando o par de colunas apropriadas à duas proposi- ções simples, depois se compõe a coluna para ~q, em seguida para p∧ ~q e, por último, para ~(p ∧ ~q).

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19

p q ~q p∧ ~q ~(p∧ ~q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

Exemplo 2: já para construir a tabela verdade com a proposição P(p, q)

= ~(p ∧ q)∨ ~(q↔p).

p q p∧ q q↔p ~(p∧ q) ~(q↔p) ~(p∧ q)∨ ~(q↔p)

V V V V F F F

V F F F V V V

F V F F V V V

F F F V V F V

Exemplo 3: ainda para construir a tabela verdade com a proposição P(p, q, r) = p∨ ~r→ q∧ ~r.

p q r ~r p∨ ~r q∧ ~r p∨ ~r →q∧ ~r

V V V F V F F

V V F V V V V

V F V F V F F

V F F V V F F

F V V F F F V

F V F V V V V

F F V F F F V

F F F V V F F

1.9. Tautologia e Contradição Denomina-se tautologia a pro- posição composta que sempre será verdadeira sem levar em conta os valores lógicos das proposições que a

forma. Por exemplo, as proposições p∨ ~p e ~(p∧ ~p) são modelos de tautologias. Logo, na tabela-verdade de uma tautologia, a última coluna possui somente o valor lógico V.

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Exemplo 4: note que para construir a tabela verdade com a proposição P(p, q, r) = p ∧ r→~q ∨ r:

p q r ~q p^∧ r ~q∨ r p∧ r→ ~q ∨ r

V V V F V V V

V V F F F F V

V F V V V V V

V F F V F V V

F V V F F V V

F V F F F F V

F F V V F V V

F F F V F V V

Assim, denomina-se contradi- ção a proposição composta que sempre será falsa sem levar em conside- ração os valores lógicos das proposi- ções que a formam. Por exemplo, as proposições p∧ ~p e ~(pv~p), logo, são exemplos de contradições.

Na tabela-verdade de uma contradição, sua última coluna possui somente valor lógico (F). Note

que como uma tautologia é sempre será verdadeira, por outro lado a ne- gação de uma tautologia é sempre será falsa, isto é, uma contradição e vice-versa.

Exemplo 5: logo a proposição

~((p ↔q∧ p)→ q) é será uma contra- dição

Exemplo 5: logo a proposição ~((p ↔q∧ p)→ q) é será uma contradi- ção

p q p↔q (p↔q)∧ p (p↔q∧ p)→q ~((p↔q∧ p)→ q)

V V V V V F

V F F F V F

F V F F V F

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F F V F V F

Exemplo 6: ainda a proposição p ∨(q ∧~q)↔p será uma tautologia

p q ~q q∧ ~q p∨ (q∧ ~q) p∨ (q∧ ~q)↔p

V V F V V

V F F V V

F V F F V

F F F F V

Exemplo 7: Também a proposição p∧(q∨r)↔(p∧q)∨(p∧r) será uma tautologia

p q r q∨ r p∧ (q∨ r) p∧ q p∧ r (p∧ q)∨ (p∧ r) p∧ (q∨ r)↔ (p∧ q)∨ (p∧ r)

V V V V V V V V V

V V F V V V F V V

V F V V V F V V V

V F F F F F F F V

F V V V F F F F V

F V F V F F F F V

F F V V F F F F V

F F F F F F F F V

1.10. Parênteses & Precedên- cia de Operadores Lógicos

Veja que na Lógica Matemá- tica é ajustada a consequente ordem de precedência entre os operadores:

~ (2) ∧ , ∨ (3) → ,↔

Assim, duas regras importantes precisam ser notadas:

1. A ordem de prioridade de uma operação lógica tão-somente pode ser modificada por meio do emprego de parênteses.

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2. Operadores díspares e de mesma prioridade fundamentalmente necessitam ter sua ordem apontada pelo emprego de parênte- ses.

Exemplos: As consequentes sentenças es-

tão incorretamente grafadas (não contém definição definitiva!!!):

Sentença Erro

(a). p ∧ q ∨ r Os operadores ∧ e ∨ são diferentes e têm mesma prioridade.

O resultado é ambíguo.

(b). p → q ↔ p Os operadores → e ↔ são diferentes e têm mesma prioridade.

O resultado é ambíguo.

(c). ( p ∨ q ) ↔ ( ~p ∧) ~q Falta uma proposição entre o ∧ e o parênteses. Falta um operador entre o parênteses e a proposição ¬ q.

A colocação de parênteses pos- sibilita a modificação do valor lógico (e o sentido) de uma proposição:

(i) V ∨ F → F ⇔ V → F ⇔ F (ii) V ∨ ( F → F ) ⇔ V ∨ V ⇔ V 1.11. Escrita Correta de Propo- sições

Um motivo que causa muito comum de erros em Matemática é a convertimento de frases da linguagem coloquial para expressões e

proposições. Note os exemplos a seguir:

1.11. Escrita Correta de Propo- sições

Um motivo que causa muito comum de erros em Matemática é a convertimento de frases da linguagem coloquial para expressões e proposições. Note os exemplos a seguir:

Sentença Errado Certo

Se x² = 1 então x é igual a 1 ou a –1. x² = 1 → x = 1 ∨ -1 x² = 1 → x = 1 ∨ x = -1 Se x² = 1 então as soluções são 1 e –1. x² = 1 → x = 1 ∧ -1 x² = 1 → x = 1 ∨ x = -1 Se x² = 1 então as soluções são 1 e –1. x² = 1 → x = 1 ∧ x = -1 x² = 1 → x = 1 ∨ x = -1

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1.12. Implicações e Equivalên- cias

1.12.1. Relação de Implicação Fala-se que uma proposição P(p, q, r,..) sugere uma proposição Q(p, q, r...), P⇒Q, caso seja para valor verdadeiro da primeira logo a segunda é verdadeira. Da acepção

acompanhada que P⇒Q somente se a condicional P→Q é uma tautologia

Geralmente, toda proposição insinua uma tautologia e somente uma contradição sugere uma con- tradição.

Exemplo: Constituindo P: p∧q e Q: p∨q, averiguar que P⇒Q, ou seja, que p∧q→p∨q é uma tautologia.

p q p ∧ q p∨ q p ∧ q→p∨ q

V V V V V

V F F V V

F V F V V

F F F F V

Cuidado! os símbolos → e ⇒ são díspares porquanto o primeiro é de operação lógica (justaposto às proposições p e q oferece uma nova proposição p →q), por outro lado, o segundo é de relação (constitui uma condicional P→Q é uma tautologia).

Uma relação em meio a propo- sições se diferencia de operação em meio a proposições pois a primeira não origina uma nova proposição, já a segunda sim.

Aviso: Todo teorema é uma implicação de modo HIPÓTESE ⇒ TESE. Então, evidenciar um teorema constitui mostrar que não acontece o fato de a hipótese ser ver-

dadeira e a tese falsa, ou seja, a verdade da hipótese é suficiente para afiançar a verdade do argumento.

1.12.2. Relação de Equiva- lência

Fala-se que uma proposição P(p, q, r,..) será equivalente a uma proposição Q(p, q, r...), se elas suge- rirem uma a outra e representa-se por P⇔ Q. De tal modo, P⇔ Q se a bicondicional P↔Q é uma tautologia. Assim, seja duas tautologias ou duas contradições são análogas (equivalente).

Exemplo 1: Significando P:

p↔q e Q: (p→q)∧ (q→p), constatar

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que P⇔ Q, ou seja, despontar que (p↔q) ↔ ((p→q)∧ (q→p)) é uma tautologia.

p q p→q q→p p↔q (p→q)^∧ (q→p) (p↔q)↔((p →q)^∧ (q→p))

V V V V V V V

V F F V F F V

F V V F F F V

F F V V V V V

Exemplos 2: Constituindo P: ~(p→q) e Q: p^∧ ~q, constatar se P⇔ Q, ou seja, ~(p→q)⇔ p ^∧ ~q

p q ~q (p→q) ~(p →q) p ∧~q ~(p →q) ↔p ∧ ~q

V V F V F F V

V F V F V V V

F V F V F F V

F F V V F F V

Exemplos 3: Sendo P: p^∧~q →f aonde f é uma proposição no qual o valor lógico é (F) e Q: p→q, logo P⇔ Q, ou seja, P↔Q é uma tautologia.

p q ~q p→q p∧ ~q f p∧~q→f (p∧ ~q→f)↔(p→q)

V V F V F F V V

V F V F V F F V

F V F V F F V V

F F V V F F V V

Aviso: Desta equivalência de- corre o método de demonstração por absurdo. As expressões por absurdo incidem em vincular à hipótese a ne- gação da tese e despontar que isso induze a uma proposição falsa. Ou

seja, confirmar que a verdade da hi- pótese é satisfatória para a verdade da tese, é também o mesmo que afir- mar uma hipótese e negando a tese se chegar a um absurdo.

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1.12.3. Propriedades das Operações

Para finalizar nossos estudos vamos relembrar de algumas equi- valências são bem úteis nas demons- trações. Lembrado por v as tautologias e pôr f as contradições, apresen- tamos as propriedades que se se- guem.

[...] (I) Propriedade da opera- ção de conjunção

(1) p ∧ q ⇔ q ∧ p (comutativa) (2) (p∧ q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r) (associa- tiva)

(3) p∧ p ⇔ p (idempotente) (4) p∧ v ⇔ p

(5) p∧ f ⇔ f

(II) Propriedade da operação de disjunção

(1) p∨ q ⇔ q∨ p (comutativa) (2) (p∨ q) ∨ r ⇔ p∨ (q∨ r) (associ- ativa)

(3) p∨ p ⇔ p (idempotente) (4) p∨ v ⇔ v

(5) p∨ f ⇔ p

(III) Propriedades relativas sà duas operações

(1) p∧ (q∨ r) ⇔ (p∧ q)∨ (p∧ r) (distributiva da conjunção relativa- mente à disjunção)

(2) p∨ (q∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p∨ r) (distributiva da disjunção relativa- mente à conjunção)

(3) p∧ (p∨ q) ⇔ p (absorção) (4) p∨ (p∧ q) ⇔ p (absorção)

(IV) Propriedade da opera- ção de negação

~(~p)⇔ p

(V) Propriedades relativas à três operações (leis de De Morgan ou de dualidade)

(1) ~(p ∧ q) ⇔ ~p∨ ~q (2) ~(p∨ q) ⇔ ~p∧ ~q [...]

Materiais Complementares Links “gratuitos” a serem con- sultados para um acrescentamento no estudo do aluno de assuntos que não poderão ser abordados na apos- tila em questão. Assim, sentenças abertas, quantificadores, Negação de proposições, entre tantos outros.

Logica e Conjuntos Introdução a lógica

Fundamentos da lógica matemática

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3. Referências Bibliográficas

DEMETRIUS, Lisandro. Raciocínio Ló- gico, Quantitativo E Matemático. Clube de Autores, 2016.

LUCAS, Joao. Raciocínio Lógico Para Con- cursos E Vestibulares. Clube de Autores (managed).

MARTINS, Alvaro. Raciocínio Lógico Para Concursos E Vestibulares. Clube de Auto- res (managed).

SKOVSMOSE, Ole. Educação Matemática Crítica: a questão da democracia. Papirus editora, 2001.

UFV. Introdução à Lógica Matemática. Re- tirado em: https://www.goo- gle.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&s ou-

rce=web&cd=3&cad=rja&uact=8&ved=2a hUKEwjbl9vCi-XoAhVDI7kGHT7vA- zEQFjACe

gQIBBAB&url=ftp%3A%2F%2Fftp.ufv.br

%2Fdma%2FListas%2520Antigas%2Flo- gica.PDF&usg=AOvVaw3r8fxL-

zOvF5I926SthF6h. Acessado em: 06 de abr de 2020.

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