A Mandado pelo Prof Lista MD 1 fatec 2013

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Lista de Exercícios - Parte: Lógica e Teoria de Conjuntos

1- i) Sejam as seguintes proposições: p: “todos gostam de matemática” q: “Não existe povo ateu ”;

r: “ Todo mundo foi tirou nota vermelha na prova de Lógica ”

ii)- p: “27 _-1_{é um número primo”} q: “(-2)3_{+ 5 = 13 ”;}

r: “ 125 é divisível por 25 ”

Determine o valor lógico da proposição

a) ( p’  q  r )’ ; b) p’  q  r; c): ( p r  q )  ( p  q)  ( p  q).

b) determine os valores lógicos das proposições p e q , sabendo que o valor lógico de p  q é a Verdade (p  q = V), e o valor lógico de p  q é a Falsidade (p  q = F) .

2.- Construa a tabela verdade da fórmula abaixo. Identifique se é tautologia, contradição ou contingência. [(p  q) ( p  q’ )]’  (p’  q). OBS: p´ negação de p.

Definição: Uma seqüência da forma P1 , P2 ,P3 ,... , Pn , Q (n  0) de fórmulas onde os Pi , 0 i  n, denominadas

premissas e a última fórmula Q, conclusão, é chamada de argumento.

Dizemos que o argumento é válido, se e somente se, sendo as premissas Pi´s verdadeiras então a conclusão Q

também é verdadeira. Equivale a mostrar que P1  P2 P3 ...  Pn  Q é uma tautologia. Se lê : "B decorre de

P1 , ... , Pn " ou ainda, "Q se infere de P1 , ... , Pn ."

Exemplo1: O argumento p, q r,  r,  q ou [p q r) , r   q] é válido pois a fórmula

[ p  (q  r)  r ]  q é uma tautologia. Verifique

3.- É um argumento válido? Justifique (as premissas são verdadeiras implicam que a conclusão também é verdadeira):

Se, eu casar com viúva rica, serei rico. Eu casei com viúva rica. Logo, sou rico.

b.- Justifique cada passo a validade do argumento:p  q , q  r , r  s ,  s  p

Demonstração :

1. p  q premissa 2. q   r premissa 3. r  s premissa 4. p r 1.2. ? 5. r  s 3. ? 6. p  s 4.5. 7. s p 6.

8. s  p Conclusão

c.- Justifique os passos da prova, por absurdo, a validade do argumento

p  q , q  r , r  s ,  s  p

1.p  q hipótese 2. q   r hipótese 3. r  s hipótese

4. ( s  p) hipótese adicional

5.p  r 1.2. ? 6. r  s 3. 7. p  s 5.6. 8. s  p 7.

9. ( s  p)  ( s  p) 4. 8.

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4.- Demonstrar a validade do argumento

1. p  q , q  r , r  s ,  s  p 2. (p  q )  ( ~p  q )  q

3. (~p  q )  ( q  r )  ( r  s)  (~p  s) (*)

4. ( A  B)  ( A  C)  (B  C) C

5. (~p  q )  ( q  r )  ( r  s) ~p



s (*)

5.- Verifique que é uma tautologia: A  (B C)  (A  B)  C. A seguir, usando uma serie de equivalências, verifique: A  (B C)  (A  B)  C

6.- Mostrar as identidades

i.- A B B�  �A

ii.- A� �(B C) ( A B� � �) (A C)

iii.- (_{A B}_� )c

= c c

A �B

iv.- A� �(B C) ( A B� �) C

v.- prove se, x≠0  y≠0



xy≠0

A B B�  �A comutativa

( ) ( ) ( )

A� �B C  A B� � �A C distributiva

(_{A B}_� )c

= c c

A �B Leis de Morgan

( ) ( )

A� �B C  A B� �C associativa Usar a contraposição e SD

7)- Enumere se possível os elementos dos conjuntos a seguir. Calcule ainda o complementar de cada um. Se não for possível, justifique.

a) A = {x | x



N/ -3< x < 8}, b).- B= {x | x



R , 2 < x x < 8} c) C = { x



Z | x = y - 3  y  {1, -4, -2, 3}}

d) D = {x | x é natural, x > 0  x < 10  x  C}, em que C foi definido no item anterior. 8- Sejam os conjuntos numéricos

i) A={ x



N / 9x2_{+ 4x – 8 = 3x +2 } e B={ x}



_{N / 0< x < 7 }.} ii) A={ x



N / 5x2_{+ 4x – 8 = x} e B={ x}



_{N / 0< x < 6 }.} Portanto, para cada caso, podemos afirmar que

a) A = B ou A=  ou A  B ou B  A? b) A é um conjunto unitário?

c) A  B =  ou A - B = ? ou B  A ou A  A  B. ? JUSTIFIQUE 9.- i.- Mostre que o produto xy í impar se, e somente se, x e y são inteiros impares. ii.- Mostre que a soma de três inteiros consecutivos é divisível por três.

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iv.- A diferença entre dois cubos consecutivos é impar. v.- A soma de um numero inteiro com seu quadrado é par

vi.- Se x é positivo então x+1 também o é. ( Use a contraposição) vii.- O numero n é impar se, e só se, 3n +5 é par.