Probabilidade
Assunto muito frequente em provas de concursos públicos, a Probabilidade causa sempre sentimentos negativos no estudante de matemática para concursos.
Abordaremos nessa aula técnicas e princípios básicos que nos levarão a resolver qualquer questão desse assunto sem demora e com pouco trabalho.
Primeiro precisamos entender o que é a probabilidade. Probabilidade é um número que mede a chance de algum evento vir a acontecer. Para calcular esse número sempre faremos uma divisão. Veja a definição:
elementos de
desejados elementos
de º
total P n
Veja o exemplo:
Em um baralho com 52 cartas, temos 4 reis. Se retirarmos uma carta ao acaso, qual a chance de sair um rei?
Desejado = rei = 4 Total = 52
52 4 elementos
de
desejados elementos
de
º
total P n
Essa resposta 4/52 pode ser modificada. Ela já está correta, mas se necessário pode- se ajustar:
% 7 07 , 13 0
1 52
4
Os autores variam quanto a qual resposta eles colocam na alternativa, logo devemos estar preparados para chegar em todas.
Vamos separar o estudo em questões em que se pede um elemento, depois dois.
Exemplos em que se pede apenas um elemento Exemplo
Uma urna contém 5 bolas brancas, 2 verdes e 3 azuis. Qual a probabilidade de ao se
escolher um bola de modo aleatório, que seja de cor verde?
Desejado = verde = 2 Total = 10 bolas
% 20 20 , 5 0 1 10
2 elementos
de
desejados elementos
de
º
total P n
¨
Exemplo
Ao jogar um dado comum de 6 faces, qual a probabilidade de sair um número primo?
Desejado = primo = (2,3,5) = 3 possibilidades Total = 6 faces
% 50 50 , 2 0 1 6 3 elementos
de
desejados elementos
de
º
total P n
15
2 P
Exemplo
Em uma rifa com 900 números, Carlos comprou 9 números. Qual a Probabilidade de Carlos ganhar essa rifa?
Exemplo
Joga-se uma moeda comum. Qual a probabilidade de sair cara?
Exemplo
Contando com um alfabeto de 26 letras, qual a probabilidade de escolher-se uma vogal?
Exemplo
de ser um estado da região Sul?
Exemplos em que se pede dois elementos Exemplo
Numa urna com 20 bolas numeradas de 1 a 20, escolhem-se ao acaso duas bolas.
Qual é a probabilidade de serem duas bolas ímpares?
Desejado = ímpar = 10 níumeros Total = 20
1ª 2ª
19 9 20 10 P
Veja que na 1º bola, temos 10 números dentro das 20 bolas. Já na 2ª bola, temos apenas 9, pois a anterior foi retirada e com isso, também não temos mais as 20 bolas e sim somente 19.
Agora resolvemos o cálculo:
38 9 380
90 P
Exemplo
Duas moedas são jogadas simultaneamente. Qual a probabilidade das duas serem cara?
Cara cara
2 1 2 1
P ( em uma moeda a chance de dar cara é ½)
4
1 P
Exemplo
Duas moedas são jogadas simultaneamente. Qual a probabilidade de uma dar cara e a outra coroa?
Cara coroa
2 2) 1 2
(1 x
P
(multiplicamos por 2, pelo fato de que poderia ser invertido, isto é, primeiro coroa e depois cara)
2 1 4 2 2 4 2 1 2) 1 2
(1
x x
P
Exemplo
Numa caixa com 5 bolas brancas, 2 verdes e 3 azuis, qual a probabilidade de ao retirarmos duas bolas, serem ambas verdes?
verde verde
9 1 10
2
P
90
2 P
45
1 P
Exemplo
Numa caixa com 5 bolas brancas, 2 verdes e 3 azuis, qual a probabilidade de ao retirarmos duas bolas, ser uma verde e outra azul?
verde azul
2 9) 3 10
( 2 x
P
90 x2 12 90
6
P
Exemplo
Em uma rifa com 900 números, Carlos comprou 9 números e serão sorteados 2 prêmios. Qual a Probabilidade de Carlos ganhar os dois prêmios?
Exemplo
Joga-se uma moeda comum. Qual a probabilidade de sair duas caras?
Exemplo
Joga-se uma moeda comum. Qual a probabilidade de sair uma cara e uma coroa?
Exemplo
Contando com um alfabeto de 26 letras, qual a probabilidade de escolher duas vogais?
Exemplo
Tendo que escolher dois estados entre as 27 federações do Brasil, qual a probabilidade de serem os dois estados da região Sul?
Em algumas questões de probabilidades se utiliza para resolver uma fórmula chamada fórmula de adição de probabilidades. Nesta aula apresentaremos essa fórmula, bem como mostraremos a sua aplicação.
Fórmula da adição
Sejam A e B dois eventos:
) (
) ( ) ( )
( A ou B P A P B P A e B
P
Exemplo
Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par ?
Solução
Par = 50 (de 1 a 100 temos 100 números e a metade é par)
Maior que 40 = 60 ( temos 60 números maiores que 40 até chegar no 100 Par e maior que 40 = 30
) (
) ( ) ( )
( A ou B P A P B P A e B
P
) 40 (
) 40 ( ) ( ) 40
( par ou P par P P par e P
100 30 100
60 100
) 50 40
( par ou
P
% 100 80
) 80 40
( par ou P
Exemplo
Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. Qual A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar os pais?
Solução
Quando temos o termo “pelo menos um” devemos também utilizar a fórmula da soma.
Gustavo = 0,6 Carol = 0,8
Os dois = 0,6 x 0,8 = 0,48
) (
) ( ) ( )
( A ou B P A P B P A e B
P
) a (
) ( ) ( ) a
( Gu ou C P Gu P Ca P Gu e C
P
48 , 0 8 , 0 6 , 0 ) a
( Gu ou C
P
% 92 92 , 0 ) a
( Gu ou C
P
Exemplo
Numa prova com duas questões de múltipla escolha, um candidato vai “chutar” as duas questões. Qual a probabilidade de acertar pelo menos uma das duas questões?
Solução
Como dissemos na questão anterior, quando se usa o termo “pelo menos um” usamos a fórmula da soma:
Acertar a 1ª = 1/5 Acertar a 2ª = 1/5
Acertar as duas = 1/5 x 1/5 = 1/25
) (
) ( ) ( )
( A ou B P A P B P A e B
P
) ª 2 ª 1 ( ) ª 2 ( ) ª 1 ( ) ª 2 ª 1
( ou P P P e
P
25 1 5 1 5 ) 1 ª 2 ª 1
( ou
P
25 1 5 ) 2 ª 2 ª 1
( ou
P
25 ) 9 ª 2 ª 1
( ou
P
Exemplo
Sorteado um número de 1 a 25, qual a probabilidade de que seja ímpar ou múltiplo de 3?
Solução Ímpar = 13
Múltiplo de 3 = 8
Ímpar e múltiplo de 3 = 4 (3, 9, 15, 21)
) (
) ( ) ( )
( A ou B P A P B P A e B
P
) 3 (
) 3 ( ) ( ) M3
( I ou P I P M P I e M
P
25 4 25
8 25 ) 13 M3
( I ou
P
25 ) 17 M3 ( I ou P
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos A e B são chamados de independentes quando a ocorrência de um não interfere na ocorrência do outro. Pense por exemplo nos eventos A = jogar um dado e B = jogar uma moeda. O resultado que sair na Moeda não interfere em nada no resultado que saíra na moeda e vice-versa.
Na resolução de questões, deveremos utilizar a fórmula abaixo.
) ( ).
( )
(A B P A P B
P
Sempre que a fórmula acima for satisfeita, diremos que os eventos são independentes.
Temos ainda uma variação que precisamos saber:
) ( ) /
(A B P A
P
A linguagem P(A/B) significa “a probabilidade de ocorrência de A levando em conta que B já ocorreu. Veja que quando os eventos são independentes o evento B não interfere na ocorrência de A, por isso temos P(A/B)P(A), isto é, o evento B ter ocorrido não interfere na ocorrência de A.
Agora resolveremos questões para mostrar como esse tópico é cobrado em concursos.
1) Suponha que temos dois eventos aleatórios: o evento A, que ocorre com probabilidade P(A); e o evento B, que ocorre com probabilidade P(B).
Se a probabilidade que os dois eventos ocorram simultaneamente é P(A) ∩ P(B) = P(A)P(B), dizemos que os eventos A e B são:
a) multiplicativos.
b) condicionados.
c) correlacionados.
d) interseccionados.
e) independentes.
2. Dois eventos, A e B, são ditos independentes quando:
a) P(A/B) = P(B) b) P(B/A) = 1- P(B) c) P(A/B) = P(A) d) P(A ∩ B) = 0
e) P(A ∪ B) = P(A) P(B)
3. Sejam P e H dois eventos independentes com p(P) = 0,5 e p(P ∩ H) = 0,2. Desse modo, p(H) pode ser expresso por
a) 1/10 b) 3/10 c) 4/10 d) 7/10 e) 10/10
4. Considere os eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral S de um experimento aleatório ɛ. Caso P(A) = 0,40 então é possível supor que:
a) P(B) = 0,7 e P(AUB) = 0.8, se A e B forem independentes;
b) P(B) = 0,8, se A e B forem mutuamente exclusivos;
c) P(B) = 0,6 e P(AUB) = 0.76, se A e B forem independentes;
d) P(AUB) = 0,3, se A e B forem mutuamente exclusivos;
e) P(B) = 0,7 e P(A∩B) = 0.30, se A e B forem independentes.
5) Suponha que A e B são dois eventos quaisquer, tais que P(A) = 0,7 e P(A U B) = 0,9.
Então, se eles são independentes, pode-se afirmar que P(B) é igual a:
a) 0,6;
b) 3/4;
c) 2/3;
d) 0,2;
e) 1/2.
6) Considerando que um estudo a respeito da saúde mental em meio prisional tenha mostrado que, se A = “o preso apresenta perturbação antissocial da personalidade” e B = “o preso apresenta depressão”, então P(A) = 0,6 e P(B) = 0,5, julgue o item a partir dessas informações.
Se houver independência entre os eventos A e B, então P(A∩B)=0
7) Dois eventos de um mesmo espaço amostral são tais que P(A) = 0,34 e P(B) = 0,28.
Além disso, sabe-se que a probabilidade de que apenas o evento B ocorra é de 0,15.
Então
a) os eventos A e B são independentes.
b) os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
c) P(B∩A)=(0,13)
d) P(BC|A)=(0,21)⋅(0,28) e) P(A∪B)=0,51
1.E 2.C 3.C 4.C 5.C 6.E 7.C
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos serão chamados de mutuamente exclusivos quando for impossível que aconteçam simultaneamente, isto é, o acontecimento de um deles impossibilita o acontecimento do outro. Em outras palavras,
P(A ∩ B) = 0
Outra definição teórica importante é o fato de que o acontecimento de um evento torna zero a probabilidade de ocorrência do outro:
P(A/B) = 0 e P(B/A) = 0
Mais uma vez a fórmula da soma participará das questões e como temos P(A ∩ B) = 0, a fórmula fica:
) ( ) ( )
( A ou B P A P B
P
Questões
1) Se P(A) e P(B) são as probabilidades dos eventos A e B, respectivamente, pode-se dizer que P(A ou B) = P(A) + P(B)
a) sempre.
b) quando A e B forem eventos independentes.
c) quando A e B forem eventos mutuamente exclusivos d) quando A e B forem eventos exaustivos.
e) nunca.
2) Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então pode-se afirmar que:
a) A e B são eventos independentes b) P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
c) P(B/A) ≠ 0 d) P(A/B) ≠ 0 e) P(A ∩ B) = 0
3) Considerando que um estudo a respeito da saúde mental em meio prisional tenha mostrado que, se A = “o preso apresenta perturbação antissocial da personalidade” e B = “o preso apresenta depressão”, então P(A) = 0,6 e P(B) = 0,5, julgue o item a partir dessas informações.
Os eventos A e B não são mutuamente excludentes e 0,1 < P(A∩B) < 0,5.
4) No que se refere à teoria de probabilidades, julgue o seguinte item.
Considere dois eventos aleatórios A e B, tais que P(A|B) = 0, P(A) > 0 e P(B) > 0. Nesse caso, A e B são eventos disjuntos, mas não independentes.
1.C 2.E 3.C 4.C
PROBABILIDADE CONDICIONAL
TABELA CONJUNTOS FÓRMULA MACETE
TABELA
1) A tabela a seguir mostra os números de processos novos de duas câmaras criminais hipotéticas A e B, nas duas primeiras semanas de um determinado mês.
Câmara A Câmara B Semana 1 160 40
Semana 2 360 72
Sorteado um desses processos ao acaso, verificou-se que ele é um processo da Semana 2.
A probabilidade de o processo sorteado ser da Câmara B é:
a) 9/14;
b) 5/9;
c) 1/4;
d) 1/5;
e) 1/6.
CONJUNTOS
2) Leia o texto a seguir para responder à questão.
Uma pesquisa com uma amostra de jovens entre 18 e 25 anos de uma comunidade revelou que 70% deles estudam e que 50% deles trabalham. A pesquisa mostrou ainda que 40% desses jovens trabalham e estudam.
Escolhido um jovem entre 18 e 25 anos dessa comunidade, a probabilidade de que seja estudante, sabendo-se que não trabalha, é de
a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) 60%
e) 70%
FÓRMULA
) (
) ) (
/
( P B
B A B P
A
P
3) Quando Maria vai visitar sua família, a probabilidade de Maria encontrar sua filha Kátia é 0,25; a probabilidade de Maria encontrar seu primo Josino é igual a 0,30; a probabilidade de Maria encontrar ambos ─ Kátia e Josino ─ é igual a 0,05. Sabendo- se que, ao visitar sua família, Maria encontrou Kátia, então a probabilidade de ela ter encontrado Josino é igual a:
a) 0,30 b) 0,20 c) 0,075 d) 0,1667
e) 0,05
MACETE
4) Considere como verdadeiras as seguintes informações: 1) O Londrina Esporte Clube está com um time que ganha jogos com probabilidade de 0,40 em dias de chuva e de 0,70 em dias sem chuva; 2) A probabilidade de um dia de chuva em Londrina, no mês de março, é de 0,30. Se o time ganhou um jogo em um dia de março, em Londrina, então a probabilidade de que nessa cidade tenha chovido naquele dia é de:
a) 30%
b) 87,652%
c) 19,672%
d) 12,348%
e) 80,328%
1.E 2.C 3.B 4.C
