ISCTE - INSTITUTO UNIVERSIT ´ ARIO DE LISBOA Licenciaturas em Gest˜ao, Gest˜ao e Engenharia Industrial,

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Marketing, Economia e Finan¸cas e Contabilidade 1 ^o Teste de Optimiza¸c˜ ao / Matem´ atica II

6 de Abril de 2010 – Dura¸c˜ao: 1h+30m – Ano lectivo 2009/2010 Nome: ... N´ umero: ...

Curso:... Turma:...

Nome do docente:...

• N˜ao ´e permitido o uso de calculadora.

• Formul´ario dispon´ıvel no final do enunciado.

• N˜ao s˜ao esclarecidas d´ uvidas durante a prova.

• N˜ao s˜ao permitidos telem´oveis ligados.

• N˜ao destacar nenhuma folha do caderno de provas.

• Apresente todas as justifica¸c˜oes necess´arias.

(4.5 val.) 1. Determine a express˜ao geral das primitivas de f (x) = x ³ + x ⁷

√ 4 − x ⁸ + 1 x ³ + x ²

1

2. Calcule o valor de cada um dos integrais seguintes:

(1.0 val.) (a) R 3π/2 π/2

sin (2x) 1 − cos ² x dx.

(3.0 val.) (b) R 3

√ 3

1 x ² √

x ² + 9 dx.

2

(3.0 val.) 3. Determine a ´area do dom´ınio plano definido pelas condi¸c˜oes

− 1 ≤ y ≤ x − 2 ∧ y ≤ − ln (x − 1)

3

(2.5 val.) 4. Determine o integral geral da equa¸c˜ao diferencial ordin´aria tan (y) ln (x) dx + xdy = 0.

(3.0 val.) 5. Determine o integral particular da equa¸c˜ao diferencial ordin´aria y ⁰ + 2xy + x ³ = 0 sujeita `a condi¸c˜ao inicial y(0) = 3.

4

6. Estude quanto `a convergˆencia simples e absoluta cada uma das s´eries seguintes:

(0.75 val.) (a) P

n ≥ 1

2 ⁿ 3 (1.0 val.) (b) P

n ≥ 1

3n 5 n + 1

2n

(1.25 val.) (c) P

n ≥ 1

( − 1) ⁿ 3n − 1

5

FOLHA DE RASCUNHO ( mantenha esta folha agrafada ` as restantes )

6

FORMUL ´ ARIO

Algumas F´ ormulas Trigonom´ etricas

sin ² x + cos ² x = 1 sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2 x ) = cos ² x − sin ² x tan(2 x ) = _{1 −} ^{2 tanx} _tan

x

= 1 − 2 sin ² x

= 2 cos ² x − 1

sin ² ( ^x ₂ ) = ^{1 − cos} ₂ ^x cos ² ( ^x ₂ ) = ^1+cos ₂ ^x

tan ² ( ^x ₂ ) = ¹ _1+cos ^{− cos x} _x tan( ^x ₂ ) = ^{1 −} _sin ^cos _x ^x = _1+cos ^{sin x} _x tan ² x = _cos ¹

x − 1 cot ² x = _sin ¹

x − 1

x ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ sin x ¹ ₂ ^√ ₂ ^{2 √} ₂ ³ cos x ^√ ₂ ^{3 √} ₂ ^{2 1} ₂ tan x ^√ ₃ ³ 1 √ 3

Equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias

Equa¸c˜ao linear de 1 ^a ordem: y ⁰ + A(x)y = B(x) Solu¸c˜ao geral:

y = e ^{− R A(x)dx}

Z B(x)

e ^{− R A(x)dx} dx + Ce ^{− R A(x)dx} , C ∈ R

ou y =

R B(x).λ(x)dx

λ(x) , λ ( x ) = e ^{R A(x)dx} Equa¸c˜ao de Bernoulli: y ⁰ + A(x)y = B(x)y ⁿ

Solu¸c˜ao geral:

y =

s

e ^{(n − 1) R A(x)dx} (1 − n)

Z B(x)

e ^{(n − 1) R A(x)dx} dx + Ce ^{(n − 1) R A(x)dx} , C ∈ R ou y ^{1 − n} =

R (1 − n)B(x)λ(x)dx

λ ( x ) , λ(x) = e ^{R (1 − n)A(x)dx}

7