Pela regra do quociente,f0(x

Quest˜ao 1 Calcule as derivadas das fun¸c˜oes abaixo:

(a) f(x) = x²sen(x).

Pela regra do produto, f⁰(x) = 2xsenx+x²cosx.

(b) f(x) = x x² + 4.

Pela regra do quociente,f⁰(x) = (x²+ 4)−x∗2x

(x²+ 4)² = −x²+ 4 (x²+ 4)². (c) f(x) = cosec √

x .

Lembre que cosec(θ) = 1

sen(θ), da´ı da regra do quociente mais a regra da cadeia d

dxcosec(√

x) = −cos(√ x) (sen(√

x))² 1 2x^−1/2

= −cosec(√

x) cotan(√ x) 2√

x .

(d) f(x) = tan(x³).

Pela rega da cadeia, lembrando que tan⁰(θ) = cosec²(θ), temosf⁰(x) = 3x²cosec²(x³).

Quest˜ao 2 Considere a fun¸c˜aof(x) = x²

x−1. Resolva os itens abaixo:

(a) Determine seu dom´ınio. (Valor: 0,6)

O dom´ınio de f ´e o conjunto de todos x para os quais sua express˜ao faz sentido. Desse modo, dom(f) = R\1 =x∈R;x6= 1.

(b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento. (Valor: 0,6)

Devemos estudar o sinal de f⁰(x). Para tanto, veja que f⁰(x) = 2x∗(x−1)−x² ∗1 (x−1)² = x² −2x

(x−1)². Como (x−1)²0, para todox6= 1, o sinal de f⁰ ser´a o mesmo que x²−2x. Da´ı, veja que x²−2x = 0 se x = 0 ou x = 2 e x² −2x > 0 se x < 0 ou x > 2 e x²−2x < 0 se 0 < x < 2. Logo, f ´e crescente nos intervalos (−∞,0) e (2,∞) e ´e decrescente no intervalo (0,2).

(c) Determine os pontos cr´ıticos e estude suas naturezas. (Valor: 0,6)

Os pontos cr´ıticos de f s˜ao os valores de x para os quais f⁰(x) = 0. Como feito anteri- ormente, temos x = 0 e x = 2. Pelo teste da primeira derivada, segue que x = 0 ´e um m´aximo local e x= 2 ´e um m´ınimo local.

(d) Encontre quais intervalos a fun¸c˜ao tem concavidade para baixo e quais intervalos a con- cavidade ´e para cima, apontando os pontos de inflex˜ao. (Valor: 0,6)

Para estudar a concavidade de f devemos avaliar o sinal de f⁰⁰. Para tanto, veja que f⁰⁰(x) = (2x−2)∗(x−1)²−(x²−2x)∗2(x−1)

(x−1)⁴ , ou seja, f⁰⁰(x) = 2

(x−1)³. Como 2 > 0, o sinal de f⁰⁰(x) ´e o mesmo que (x− 1)³ que ´e o mesmo que x−1. Ou seja, f⁰⁰(x)>0 se x >1 e f⁰⁰(x)<0, se x <1. Da´ı, f tem concavidade para baixo se x <1 e concavidade para cima sex >1. Comox= 1 n˜ao faz parte do dom´ınio n˜ao h´a pontos de inflex˜ao.

(e) Verifique se existem, determinando-as, ass´ıntotas horizontais, verticais e obl´ıquas. (Valor:

0,6)

Como x = 1 n˜ao pertence ao dom´ınio de f devemos verificar a existˆencia de ass´ıntotas verticais em x = 1. Para tanto, avaliemos os limites laterais de f(x) quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita. Note que, lim_x→1⁻ _x−1^x2 =−∞ e lim_x→1⁺ _x−1^x2 = +∞, pelo sinal do denominador. Assim, a reta x= 1 ´e uma ass´ıntota vertical def(x).

Para verificar ass´ıntotas horizontais e obl´ıquas, note que limx→±∞ x²

x−1 = ±∞ e, dessa maneira, n˜ao existem ass´ıntotas horizontais. Para verificar se existem ass´ıntotas obl´ıquas devemos calcular os limites limx→∞

x2 x−1

x e limx→−∞

x2 x−1

x . Veja que limx→∞

x2 x−1

x = limx→∞ x² x²−x = 1 e, analogamente, limx→−∞

x2 x−1

x = limx→−∞ x²

x²−x = 1. Devemos agora determinar a equa¸c˜ao da ass´ıntota obl´ıqua avaliando o limite limx→∞ x²

x−1 −x = limx→∞ x²−x²+x x−1 = 1.

Da mesma maneira, limx→−∞ x²

x−1 −x = 1 e segue que a reta y =x+ 1 ´e uma ass´ıntota obl´ıqua para o gr´afico def(x) tanto paraxtendendo a infinito quanto para menos infinito.

(f) Com as informa¸c˜oes obtidas nos itens anteriores esboce o gr´afico da fun¸c˜ao. (Valor: 1,0)

Quest˜ao 3 Uma curva no plano ´e dada implicitamente pela equa¸c˜ao 4x²+y²−8 = 0. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva no ponto (1,2).

Podemos calcular a derivada implicitamente se y=y(x) =f(x), fazendo 8x+ 2f(x)f⁰(x) = 0. Ou seja, f⁰(x) = _2f^−8x_(x), desde que y =f(x) 6= 0. Em (1,2), temos f⁰(1) = _2∗2⁻⁸=-2. Logo, a equa¸c˜ao da reta ´e dada por y−2 =−2(x−1), ou seja, y=−2x+ 4 .

Quest˜ao 4 Lu´ıs In´acio quer construir um galinheiro retangular de modo que um dos lados seja uma parte de um muro. Sabendo-se que ele possuil metros de tela, dimensione o galinheiro de modo que este possua espa¸co m´aximo.

A fun¸c˜ao que descreve a ´area do galinheiro em fun¸c˜ao da quantidade de tela usada para fazer um dos lados do retˆangulo ´e dada por A(x) = x(l−2x) = −2x² +lx. Como queremos maximizar esta fun¸c˜ao, devemos encontrar seus pontos cr´ıticos, em f⁰(x) = 0. Isto ´e,−4x+l= 0⇒x=l/4. Dessa forma, a dimens˜ao do galinheiro ´e dada por

muro

x x

l−2x muro

l 4

l 4

l/2

Quest˜ao 5 Determine um ponto do gr´afico de f(x) = 1

1 +x² cujo coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico def, neste ponto, seja m´aximo.

O coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico no ponto (x, f(x)) ´e dado pela derivada da fun¸c˜ao no ponto x. Da´ı, como f(x) = (1 +x²)⁻¹ temos, pela regra da cadeia, f⁰(x) =

−(1 +x²)⁻²2x= −2x (1 +x²)².

Como buscamos o coeficiente m´aximo, queremos maximizar a fun¸c˜ao f⁰. Busquemos pelos pontos cr´ıticos de f⁰ ent˜ao, ou seja, queremos x tais que f⁰⁰(x) = 0. A´ı,

f⁰⁰(x) = −2(1 +x²)²+ 2x∗2(1 +x²)2x (1 +x²)⁴

= (1 +x²) [(−2−2x²) + 8x²] (1 +x²)⁴

= 6x²−2 (1 +x²)³.

Desse modo, as ra´ızes de f⁰⁰(x) = 0 s˜ao os pontos x₁ = 1/√

3 e x₂ = −1√

3. Observe que o coeficiente angular em 1/√

3 ´e negativo (pois f⁰(1/√

3)<0 e em −1/√

3 ´e positivo. Logo, o m´aximo deve ser atingido quandox=−1√

3, ou seja, no ponto P =

−1

√3,3 4

.

Quest˜ao 6 Utilizando seus conhecimentos na disciplina e os teoremas vistos em sala de aula, responda os itens abaixo:

(a) Quanto ´e sete vezes oito? (Valor: 0,5) 56.

(b) Prove que arctanx+ arctan

1

x

= π

2, para todo x6= 0. (Valor: 1,5) Escrevaf(x) = arctanx+arctan _x¹

. Lembre que _dx^d arctanx= _1+x¹ 2. Da´ı_dx^d arctan(1/x) =

1 1+(1/x)²

−1

x² = _x⁻¹₂₊₁. Ou seja, f⁰(x) = _1+x¹ ₂+_x⁻¹₂₊₁ = 0, para todox. Isto significa quef(x) ´e uma fun¸c˜ao constante e, como emx= 1, temosf(1) = arctan 1 + arctan 1 =π/4 +π/4 = π/2, segue que f(x) = arctanx+ arctan _x¹

= ^π₂.