CAPITULO 1: Teste de Hipóteses

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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Engenharia de Produção

Disciplina: Métodos Estatísticos Prof. Anna Regina Corbo

CAPITULO 1: Teste de Hipóteses

1) INTRODUÇÃO

O objetivo da Teoria da Estimação é induzir valores de parâmetros populacionais.

Considerando uma estatística qualquer (média, variância, proporção etc.), temos duas abordagens distintas dentro deste contexto:

1. Dados valores amostrais, estimar o valor do parâmetro: Intervalo de Confiança;

2. Dada uma hipótese acerca de um parâmetro, utilizar os valores amostrais para aceitar ou não esta hipótese: Teste de Hipóteses.

Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma distribuição de probabilidade.

Exemplo 1: Podemos formular a hipótese que a produtividade de uma industria é diferente de 25 peças por hora.

H0: µ = 25 peças/hora H1: µ ≠ 25 peças/hora H0 é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa.

Nesse caso, a alternativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tai como:

H0: µ >= 25 peças/hora H1: µ < 25 peças/hora

Exemplo 2: Suponha que dois grupos específicos de pessoas (Engenheiros e Advogados) variam no tempo que dispensam à leitura, onde:

µ1 = tempo médio de leitura de engenheiros µ2 = tempo médio de leitura de advogados

Queremos testar a hipótese dada pela suposição acima, logo usaremos esta afirmação como nossa hipótese alternativa H1, ou seja:

H0: µ1 = µ2 (Não há diferença no tempo de leitura entre os dois grupos) H1: µ1 ≠ µ2 (Há diferença no tempo de leitura)

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Se preferirmos estabelecer alternativas unilaterais, poderíamos ter:

H0: µ1 = µ2

H1: µ1 > µ2 (Engenheiros com maior tempo de leitura)

2) PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESES

• Passo 1 : Definição da Hipótese

O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótese nula e hipótese alternativa.

Hipótese Nula (Ho): É um valor suposto para um parâmetro. Se os resultados da amostra não forem muito diferentes de Ho, ela não poderá ser rejeitada.

Hipótese Alternativa (H1 ou HA) : É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de Ho. Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de Ho.

• Passo 2: Calcular a estatística do Teste

É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a estatística do teste.

Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variável padronizada Z:

• Passo 3: Região Crítica ou Região de Rejeição

O valor da estatística do teste, no caso, o valor Z, é calculado supondo que a hipótese nula (Ho) é verdadeira. No entanto, o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito baixa. Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese alternativa.

Z_calc= X−μ

σ /ⁿ^

Variabilidade das médias Estatística

do teste

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A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área da região crítica é igual ao nível de significância (α), que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira.

Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 5%, a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais de alfa são α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.

Unilateral à esquerda (ou superior):

Ho: µ = 50 H1:: µ > 50

Unilateral à direita (inferior):

Ho: : µ = 50 H1: : µ <50

Bilateral:

Ho: µ = 50 H1: µ ≠ 50

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• Passo 4. Regra de Decisão

Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se Ho. Ao rejeitar a hipótese nula (Ho) existe uma forte evidência de sua falsidade.

Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.

Com valores obtidos na amostra calcula-se o valor do teste (tcalc). Se o teste apresenta resultado na região pré-determinada pelo valor tabelado t*, rejeita-se H0.

a) Se o teste é unilateral superior → Se t calc > t*, rejeita-se H0.

b) Se o teste é unilateral inferior → Se t calc < t*, rejeita-se H0.

c) Se o teste é bilateral → Se t calc < t1* ou t calc > t2*, rejeita-se H0.

Resultando desta decisão que a probabilidade de ocorrência de H0 é muito pequena e H0 só pode ocorrer em duas opções:

1o) Se estiver dentro do erro permitido a;

2o) Se é rara ou improvável.

• Passo 5: Conclusão

Se não é possível rejeitar H0, o teste é dito inconclusivo e deverá ser reformulado em parte ou em sua totalidade.

Ou seja: aceitar Ho, implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada!

Não aceitar Ho implica que temos evidências estatísticas para rejeitá-la com um risco conhecido : α.

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3) TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA POPULACIONAL

O objetivo é testar se a média µ é diferente de um dado valor µ0. Devemos, então, seguir o seguinte procedimento:

(1) Defina as hipóteses e o tipo de teste (unilateral ou bilateral):

H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0 (a) µ > µ0 (b) µ < µ0 (c)

(2) Fixar o nível de significância α .

(3) Encontrar a região de rejeição e de aceitação através dos valores críticos t*

(tabelados):

3.a) Se a variância σ² populacional é conhecida, utilizamos a variável padronizada Z na tabela Normal Padrão.

 Se teste bilateral , os valores críticos serão t1* = -Z_α/2e t2* = Z_α/2.

 Se teste unilateral superior, o valor crítico será t* = Z_α

 Se teste unilateral inferior, o valor crítico será t* = - Z_α

3.b) Se a variância σ² populacional é desconhecida, utilizamos a variável T na tabela de distribuição t-Student.

 Se teste bilateral , os valores críticos serão - t* = -T_α/2e t* = T_α/2.

 Se teste unilateral superior, o valor crítico será t* = T_α

 Se teste unilateral inferior, o valor crítico será t* = - T_α (4) Calcular o valor da estatística do teste tcalc:

4.a) Se a variância σ² populacional é conhecida:

4.b) Se a variância σ² populacional é desconhecida:

t_calc= X−μ

σ /n

s/n

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(5) Conclusão:

(a) Se -t* <= tcalc <= t*, aceito H0.

(b) Se tcalc > t*, rejeito H0.

(c) Se tcalc < t*, rejeito H0.

Exemplo 1: Uma empresa de vidros possui um contrato de fornecimento de vidros para janelas residenciais e comerciais. O contrato especifica que a espessura média do vidro deve ser de 0,375cm. O desvio-padrão σ = 0,05cm é conhecido. Antes de enviar o primeiro carregamento, os gerentes decidiram testar, com nível de significância de 5%, se eles estão satisfazendo a condição do contrato selecionando uma amostra aleatória de 100 vidros, cuja média é 0,378 cm.

 Hipóteses e nível de significância:

H0: µ = 0,375 cm onde α = 0,05 H1: µ ≠ 0,375 cm

 Valores críticos t*:

O teste é bilateral e com variância populacional conhecida, logo os valores críticos serão:

- t* = - Z0,05/2 = - Z0,025 = -1,96 t* = Z0,05/2 = Z0,025 = 1,96

Ou seja a região de rejeição será: t calc < -1,96 e t calc > 1,96.

 Valor da estatística do teste:

 Conclusão:

Como -1,96 < t calc = 0,60 < 1,96 → Não rejeite H0.

Logo, a empresa de vidros não possui evidências suficientes para concluir que não satisfaz o contrato.

Exemplo 2: Uma empresa de callcenter funciona em várias cidades onde os usuários podem ligar para este serviço e obter esclarecimentos sobre a sua conta de luz. Estudos anteriores indicaram que o tempo de atendimento de cada ligação é normalmente distribuído, com média de 540 segundos. Gerentes da empresa selecionaram uma amostra aleatória de 16 ligações e desejam determinar, com nível de significância de 1%, se o tempo de ligação agora é menor, uma vez que foi oferecido um programa de treinamento

σ /ⁿ^⁼

0,378−0,375

0,05/¹⁰⁰^ ^=0,60

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aos funcionários. Sabe-se que desta amostra aleatória, obtemos média igual a 510 seg e desvio-padrão igual a 45 seg.

H0: µ >=540 s onde α = 0,01 H1: µ < 540 s

O teste é unilateral inferior, com variância populacional desconhecida e n=16, logo os valores críticos serão:

t* = - T0,01; 15 = -2,6025

Ou seja, a região de rejeição será: t calc < -2,6025.

 Conclusão:

Como t calc =-2,67 < -2,6025 → Rejeite H0.

Logo, existem fortes evidências para concluir que o tempo médio de ligação foi reduzido.

4) TESTE DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL

O objetivo é testar se a proporção p(ou π, em alguns livros), é diferente de um dado valor p0 (ou π0). Devemos, então, seguir o seguinte procedimento:

H0: p = p0 H1: p ≠ p0 (a) p > p0 (b) p < p0 (c)

(tabelados):

Neste tipo de teste sempre utilizamos a variável padronizada Z na tabela Normal Padrão.

s/ⁿ^⁼

510−540

45/¹⁶^ ^=−2,67

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 Se teste bilateral , os valores críticos serão - t* = -Z_α/2e t* = Z_α/2.

 Se teste unilateral superior, o valor crítico será t* = Z_α

 Se teste unilateral inferior, o valor crítico será t* = - Z_α

(4) Calcular o valor da estatística do teste tcalc:

Considerando a freqüência f como estimador da proporção p, temos:

onde x é o número de casos favoráveis na amostra.

Com isto, a estatística do teste será dada por:

(5) Conclusão:

(a) Se -t* <= tcalc <= t*, aceito H0.

(c) Se tcalc < t*, rejeito H0.

Exemplo: As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobreviveram até 60 anos é de 0,6. Testar essa hipótese, ao nível de 5% de significância, se em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.

H0: p = 0,6 onde α = 0,05 H1: p ≠ 0,6

O teste é bilateral, com n = 1000, logo os valores críticos serão:

- t* = - Z0,05/2 = - Z0,025 =-1,96 t* = Z0,05/2 = Z0,025 =1,96

f=x n

t_calc=p_calc= f−p₀



^p⁰^1−ⁿ ^p⁰^

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 Conclusão:

Como t calc =-4,52 <-1,96 → Rejeite H0.

Logo, existem fortes evidências para concluir que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é diferente de 0,6 ou 60%.

Exemplo: Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicações no motor de automóveis. O consumidor requer que a fração defeituosa em uma etapa critica de fabricação não exceda 0,05 e que o fabricante demonstre uma capacidade de processo nesse nível de qualidade, usando α = 0,05. O fabricante de semicondutores retira uma amostra aleatória de 200 aparelhos e encontra que quatro deles são defeituosos. O fabricante pode demonstrar uma capacidade de processo para o consumidor?

H0: p >= 0,05 onde α = 0,05 H1: p < 0,05

O teste é unilateral inferior, com n = 200, logo o valor crítico será:

t* = - Z0,05 = - 1,645

Ou seja, a região de rejeição será: t calc < -1,645.

f=x n=530

1000=0,53

t_calc=p_{ca lc}= f−p₀



^p⁰^1−ⁿ ^p⁰^⁼

0,53−0,6

^{0,61−0,6}¹⁰⁰⁰ ^^=−4,52

f=x n= 4

200=0,02

t_calc=p_calc= f−p₀



^p⁰^1−ⁿ ^p⁰^⁼

0,02−0,05

0,051−0,05 200

=−1,95

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 Conclusão:

Como t calc =-1,95 < -1,645 → Rejeite H0.

Logo, existem evidências para concluir que a fração defeituosa do processo é menor que 0,05.

5) TESTE DE HIPÓTESES PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL

O objetivo é testar se a variância populacional σ² é diferente de um dado valor σ²0. Devemos, então, seguir o seguinte procedimento:

H0: σ² = σ²0

H1: σ² ≠ σ²0 (a) σ²> σ²0 (b) σ²< σ²0 (c)

(tabelados):

Neste tipo de teste, admitimos que a população possui distribuição normal e utilizamos a variável χ²n-1 apresentada na tabela Qui-Quadrado.

 Se teste bilateral , os valores críticos serão - t* = χ²n-1; 1-α/2 e t* = χ²n-1; α/2.

 Se teste unilateral superior, o valor crítico será t* = χ²n-1; α

 Se teste unilateral inferior, o valor crítico será t* = χ²n-1; 1 - α

(4) Calcular o valor da estatística do teste tcalc:

Tomando a variância amostral s², a estatística do teste é dada por:

(5) Conclusão:

(a) Se -t* <= tcalc <= t*, aceito H0, caso contrário H0 é rejeitada.

t_calc=²_calc=n−1s² σ₀²

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Exemplo: Uma máquina automática de enchimento é usada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância amostral de s² = 0,0153 litros². Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 litros², existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou cujo enchimento foi em demasia. Há evidencia nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha problema com garrafas cheias com falta ou excesso de detergente? Use α = 0,05 e considere que o volume do enchimento tenha uma distribuição normal.

H0: σ² <= 0,01 onde α = 0,05 H1: σ² > 0,01

O teste é unilateral superior, com n = 20, logo o valor crítico será:

t* = χ²n-1; α = χ²19; 0,05 = 30,04

Ou seja, a região de rejeição será: t calc > 30,04.

 Conclusão:

Como t calc =29,07 < 30,04 → Não rejeite H0.

Logo, não existe evidência forte para concluir que a variância do volume do enchimento exceda 0,01 litros².

t_calc=²_calc=n−1s²

σ ₀² =190,0153

0,01 =29,07