TESTE DE HIPÓTESES - CONCEITOS

AULA 9 – Teste de hipóteses em relação à média aritmética e em relação à proporção

Parte 1

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRAÇÃO

TESTE DE HIPÓTESES - CONCEITOS

Teste de hipóteses

É um procedimento que permite a comparação de médias aritméticas de duas amostras diferentes de modo a testar hipóteses sujeito à ocorrência de dois tipos de erro: Erro Tipo I e Erro do Tipo II.

População ou População-alvo

Amostra 1

Altura: 1,75m Inferência

2018

População ou População-alvo Amostra 2 2019

Altura: 1,77m Inferência

TESTE DE HIPÓTESES - CONCEITOS

Hipótese Nula

Corresponde a uma afirmação em relação a um determinado parâmetro da população, que é presumida como verdadeira, até que seja declarada falsa.

Hipótese Alternativa

É uma afirmação em relação a um determinado parâmetro da população que será verdadeira se a hipótese nula for falsa.

Amostra 1

Altura: 1,75m Inferência

Amostra 2 Altura: 1,77m

Inferência

Hipótese nula (H₀):

A média não se alterou, ou seja, µ = 1,75.

Hipótese alternativa (H₁):

A média se alterou, ou seja, µ ≠ 1,75.

Caudas do teste

Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas as caudas; com cauda à esquerda possui região de rejeição na cauda esquerda; e cauda à direita rejeição na cauda direita.

x C₂

C₁ µ= 1,75

C₂ tal que α/2 dos valores é z > C₂ C₁ tal que α/2 dos

valores é z < C₁

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

Região de não-rejeição

C₁ e C₂ são chamados de valores críticos

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL - RESUMO

Hipótese nula (H₀):

A média não se alterou, ou seja, µ = 1,75.

Hipótese alternativa (H₁): A média se alterou, ou seja, µ ≠ 1,75.

Amostra 1

Altura: 1,75m Inferência

Amostra 2 Altura: 1,77m

Inferência

x C₂

C₁ µ = 1,75

C₂ tal que α/2 dos valores é z > C₂ C₁ tal que α/2 dos

valores é z < C₁

Região de não-rejeição

C₁ e C₂ são chamados de valores críticos

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

Em 1998, a média aritmética do tamanho médio das famílias nos EUA era de 3,18 pessoas. Deseja-se verificar se este valor se alterou ou não desde de 1998. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

TESTE DE HIPÓTESES BICAUDAL

EXEMPLO 1

Em 1998, a média aritmética do tamanho médio das famílias nos EUA era de 3,18 pessoas. Deseja-se verificar se este valor se alterou ou não desde de 1998. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

Hipótese nula (H₀):

A média não se alterou, ou seja, µ = 3,18.

Hipótese alternativa (H₁):

A média se alterou, ou seja, µ ≠ 3,18.

H₀: µ = 3,18.

H₁: µ ≠ 3,18.

x C₂

C₁ µ = 3,18

Teste Bicaudal rejeição na cauda esquerda e direita

Caudas do teste

Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas as caudas; com cauda à esquerda possui região de rejeição na cauda esquerda; e cauda à direita rejeição na cauda direita.

µ x

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

Região de não-rejeição

C é chamado de valor crítico

C

C tal que α dos valores é z > C

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

Amostra 1

Altura: 1,75m Inferência

Amostra 2 Altura: 1,77m

Inferência

Hipótese nula (H₀):

A média não é maior, ou seja, µ = 1,75 ou µ ≤ 1,75.

Hipótese alternativa (H₁): A média é maior, ou seja, µ > 1,75.

µ= 1,75 x Região de

não-rejeição

C é chamado de valor crítico

C

C tal que α dos valores é z > C

Cauda à direita rejeição na cauda direita

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 2

Em 1999, a média aritmética do salário médio dos professores nos EUA era de $25.735. Deseja-se verificar se este valor se é maior ou não desde de 1999. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À DIREITA

EXEMPLO 2

Em 1999, a média aritmética do salário médio dos professores nos EUA era de $25.735. Deseja-se verificar se este valor se é maior ou não desde de 1999. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

Hipótese nula (H₀):

A média não é maior, ou seja, µ = 25735 ou µ ≤ 25735.

Hipótese alternativa (H₁):

A média é maior, ou seja, µ > 25735.

H₀: µ = 25735.

H₁: µ > 25735.

µ = 25735 C x

Cauda à direita rejeição na cauda direita

Caudas do teste

Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas as caudas; com cauda à esquerda possui região de rejeição na cauda esquerda; e cauda à direita rejeição na cauda direita.

x C₁ µ= 1,77

C tal que α dos valores é z < C

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

Região de não-rejeição

C é chamado de valor crítico

TESTE DE HIPÓTESES - CONCEITOS

População ou População-alvo

Amostra 1

Altura: 1,77m Inferência

2018

População ou População-alvo Amostra 2 2019

Altura: 1,75m Inferência

REDUÇÃO

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

Amostra 1

Altura: 1,77m Inferência

Amostra 2 Altura: 1,75m

Inferência

Hipótese nula (H₀):

A média não é menor, ou seja, µ = 1,77 ou µ ≥ 1,77.

Hipótese alternativa (H₁): A média é menor, ou seja, µ < 1,77.

C é chamado de valor crítico

Cauda à esquerda rejeição na cauda esquerda

x C µ = 1,77

C tal que α dos valores é z < C

Região de não-rejeição

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

EXEMPLO 3

Uma empresa produz latas com média aritmética de 300 ml. Uma agência deseja verificar se este valor é menor ou não. Seja µ a média aritmética atual da quantidade de refrigerante contida em todas as latas. Formule as hipóteses do teste.

TESTE DE HIPÓTESES UNICAUDAL À ESQUERDA

EXEMPLO 3

Uma empresa produz latas com média aritmética de 300 ml. Uma agência deseja verificar se este valor é menor ou não. Seja µ a média aritmética atual da quantidade de refrigerante contida em todas as latas. Formule as hipóteses do teste.

Hipótese nula (H₀):

A média não é menor, ou seja, µ = 300 ou µ ≥ 300.

Hipótese alternativa (H₁):

A média é menor, ou seja, µ < 300.

H₀: µ = 300.

H₁: µ < 300.

Cauda à esquerda rejeição na cauda esquerda

x C µ = 300

TESTE DE HIPÓTESES: RESUMO

Gráfico Sinal da hipótese nula H₀

Sinal da hipótese alternativa H₁

Região de Rejeição Teste

Bicaudal

= ≠

Teste com Cauda à

Esquerda

= , ≥ <

Teste com Cauda à

Direita

= , ≤ >

O QUE É E COMO ESCOLHER O PONTO CRÍTICO C?

µ C x

Não existem

evidências

suficientes para rejeitar a hipótese nula nesta região

Nível de evidências

Existem evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula nesta região

Ponto crítico

COMO ESCOLHER O VALOR DE α ?

Erro do Tipo I

Ocorre quando uma hipótese nula verdadeira é rejeitada. O valor de α representa a probabilidade de cometer este tipo de erro:

α = P(H₀ é rejeitada | H₀ é verdadeira)

O valor α representa o nível de significância do teste.

C é chamado de valor

crítico C µ x

C tal que α dos valores é z < C

Região de não-rejeição

COMO ESCOLHER O VALOR DE α ?

Erro do Tipo II

Ocorre quando uma hipótese nula falsa não é rejeitada.

O valor de β representa a probabilidade de cometer este tipo de erro:

β = P(H₀ não é rejeitada | H₀ é falsa)

O valor 1-β é chamado de eficácia do teste e representa a probabilidade não cometer o Erro do tipo II.

Observação: Se α for reduzido, então, β cresce, e vice- versa. Porém, α e β serão reduzidos simultaneamente se o tamanho da amostra aumentar.

COMO ESCOLHER O VALOR DE α ?

Erro do Tipo II

Ocorre quando uma hipótese nula falsa não é rejeitada: β = P(H₀ não é rejeitada | H₀ é falsa)

Observação: Se α for reduzido, então, β cresce, e vice- versa. Porém, α e β serão reduzidos simultaneamente se o tamanho da amostra aumentar.

Produto perfeito rejeitado

Produto defeituoso

aceito

Erro do Tipo I

Ocorre quando uma hipótese nula verdadeira é rejeitada:

α = P(H₀ é rejeitada | H₀ é verdadeira)

TESTE DE HIPÓTESES: TIPOS DE ERRO

Situação Efetiva

H₀ é verdadeira H₀ é falsa

Decisão

Decisão Correta Erro Tipo II ou Erro β

Rejeitar H₀

Erro Tipo I

ou Erro α

EXEMPLO 1: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Uma empresa produz latas com 350 ml. Uma agência de fiscalização deseja testar se a média aritmética da quantidade por lata é menor que 350 ml. O teste de hipótese será formulado como:

EXEMPLO 1: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Uma empresa produz latas com 350 ml. Uma agência de fiscalização deseja testar se a média aritmética da quantidade por lata é menor que 350 ml. O teste de hipótese será formulado como:

EXEMPLO 1: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Uma empresa produz latas com 350 ml. Uma agência de fiscalização deseja testar se a média aritmética da quantidade por lata é menor que 350 ml. O teste de hipótese será formulado como:

Hipótese nula (H₀): µ = 350

A média não é menor, ou seja, µ = 350 ou µ ≥ 350.

Hipótese alternativa (H₁): µ < 350 A média é menor, ou seja, µ < 350.

x C µ= 350

C tal que α dos valores é z < C

Região de não-rejeição Cauda à esquerda

rejeição na cauda esquerda

EXEMPLO 1: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Situação Efetiva

H₀ é verdadeira H₀ é falsa

Decisão

Não tem 350 ml, mas é aprovada

pela agência!

Rejeitar H₀ Erro do Tipo I:

Tem 350 ml, mas é rejeitada pela

agência!

Decisão Correta

EXEMPLO 1: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Produto perfeito rejeitado

Produto defeituoso

aceito

EXEMPLO 2: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

EXEMPLO 4

Em 1998, a média aritmética do tamanho médio das famílias nos EUA era de 3,18 pessoas. Deseja-se verificar se este valor se alterou ou não desde de 1998. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

EXEMPLO 2: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

EXEMPLO 4

Em 1998, a média aritmética do tamanho médio das famílias nos EUA era de 3,18 pessoas. Deseja-se verificar se este valor se alterou ou não desde de 1998. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

EXEMPLO 2: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

EXEMPLO 4

Em 1998, a média aritmética do tamanho médio das famílias nos EUA era de 3,18 pessoas. Deseja-se verificar se este valor se alterou ou não desde de 1998. Seja µ a média aritmética atual para todas as famílias. Formule as hipóteses do teste.

Hipótese nula (H₀):

A média não se alterou, ou seja, µ = 3,18.

Hipótese alternativa (H₁):

A média se alterou, ou seja, µ ≠ 3,18.

H₀: µ = 3,18.

H₁: µ ≠ 3,18.

x C₂

C₁ µ = 3,18

Teste Bicaudal rejeição na cauda esquerda e direita

EXEMPLO 2: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Situação Efetiva

H₀ é verdadeira H₀ é falsa

Decisão

Rejeitar H₀ Decisão Correta

EXEMPLO 2: INTERPRETANDO OS TIPOS DE ERROS

Situação Efetiva

H₀ é verdadeira H₀ é falsa

Decisão

Não tem 3,18, mas é aceito!

Rejeitar H₀ Erro do Tipo I:

Tem 3,18, mas é rejeitada!

Decisão Correta

OBRIGADO !!!