Eletromagnetismo I Prof. Dr. Cláudio S. Sartori CAPÍTULO II - Campo Elétrico

Condutores e Isolantes:

Em alguns materiais, como aos metais, algumas das cargas negativas podem se mover livremente.

Chamamos esses materiais de condutores. Em outros materiais, como o vidro, borracha e plástico, as cargas não podem se mover livremente. Chamamos de isolantes ou não-condutores

A estrutura e natureza elétrica dos átomos são responsáveis pelas propriedades dos condutores e isolantes. Os átomos consistem de cargas positivas, os prótons, cargas neutras, os nêutrons e cargas negativas, os elétrons. Os prótons e os nêutrons estão compactados no núcleo central e os elétrons orbitar o núcleo.

Quando os átomos de um condutor, como o cobre, ficam juntos para formar um sólido alguns dos elétrons não ficam presos ao núcleo, mas tornam-se livres para percorrer o sólido. Chamamos estes elétrons de elétrons de condução. Há poucos elétrons livres em um isolante.

Chama-se de semicondutores, materiais formados por silício e germânio (Si, Ge), por exemplo, aqueles materiais que são intermediários entre condutores e isolantes. Os elétrons num átomo só podem assumir níveis de energia discretos, obedecendo a Teoria atômica de Bohr e o princípio da exclusão de Pauli, que diz que os elétrons possuem números quânticos distintos.

Quando dois átomos se aproximam em uma ligação química, os níveis se sobrepõem devido à interação entre os campos dos dois átomos. Em um cristal, o grande número de superposição dos níveis de energia dos átomos, origina um contínuo de níveis de energia próximos, denominado banda de energia. A configuração dessas bandas de energia determinará a natureza do material.

Figura 1 – Representação das bandas de energia em um sólido semicondutor, isolante e condutor.

Nos materiais isolantes, há uma região proibida de energia que separa as bandas de valência e de

(1eV = 1,6.10^-19J). Nos materiais condutores, não há essa separação.

Nos materiais semicondutores, essa separação é da ordem de 1 eV, de modo que alguns elétrons podem ser promovidos da banda de valência para a banda de condução. Os átomos de Si, C e Ge possuem 4 elétrons na última camada, formando entre si ligações covalentes e tetravalentes. Quando essas ligações num cristal desse material (Si, C ou Ge) são quebradas pela energia térmica dos elétrons a temperatura ambiente, surge os elétrons livres na banda de condução, gerando uma densidade de elétrons livres n, e aparecem “buracos” (ausência de elétrons na ligação) que geram a densidade de buracos p. Quando n = p denominamos de semicondutor intrínseco. A concentração n.p depende da temperatura:

p n T n

i²

( ) = ⋅

O avanço da microeletrônica se deve ao grande desenvolvimento que das últimas décadas nos materiais semicondutores, com a descoberta que pode-se controlar o número de elétrons livres n ou de buracos p, inserindo-se átomos dopantes na rede cristalina do material semicondutor.

Tabela I – Tipos de átomos doadores e aceitadores.

Dopantes

Tipo Átomos Função

Doadores n

Com 5 elétrons na última camada:

P,As, Sb

Aumenta n e reduz p

Aceitadores p

Com 3 elétrons na última camada:

B,Ga, In

Aumenta p e reduz n

Os circuitos integrados, por exemplo, são constituídos por milhares de diodos e transistores, estes por sua vez são fabricados por materiais semicondutores construídos a base dos elementos silício e germânio.

Banda de condução

Finalmente temos os materiais supercondutores, assim chamados pelo fato de não haver resistência elétrica ao movimento de cargas elétricas através desses materiais. Quando as cargas elétricas se movem em um material, dizemos que ele está sendo atravessado por uma corrente elétrica.

Naturalmente, os materiais possuem certa resistência à passagem de corrente elétrica. Por exemplo, o fio usado em dispositivos eletrônicos é um bom condutor de corrente elétrica, mas ainda assim apresenta certa resistência elétrica. Em um supercondutor a resistência elétrica é nula. Por exemplo, se você dispusesse de um material

E ≈ 6 eV E > 6 eV

Banda de valência

Isolante Semicondutor Condutor

uma corrente elétrica por ele, esta irá atravessá-lo indefinidamente, sem a necessidade de uma bateria elétrica para mantê-la.

A supercondutividade foi descoberta em 1911 pelo físico holandês Kammerlingh Onnes, que observou que mercúrio sólido perde sua resistência elétrica completamente a temperaturas inferiores a 4,2 K. Até 1986, a supercondutividade estava limitada a pouca utilidade prática, pois até então havia o conhecimento de que os materiais que se tornavam supercondutores necessitavam de uma temperatura abaixo de 20 K. Nos anos recentes, novos materiais supercondutores foram descobertos a temperaturas superiores, dando possibilidade de uma nova era de aplicações.

• Condutores esféricos:

Se um excesso de carga é colocado em um material condutor esférico, esta carga é distribuída uniformemente na superfície externa do condutor. Por exemplo, ao colocarmos uma quantidade de elétrons em uma casca esférica condutora, estes elétrons se repelirão uns aos outros se distribuindo uniformemente sobre a superfície esférica externa.

™ Princípio da conservação da carga:

Benjamin Franklin pensava que a carga elétrica era um fluido contínuo, como o ar e a água, por exemplo. Hoje sabemos que a matéria é composta de certa quantidade de átomos: ela é discreta. Assim ocorre com a carga elétrica. Experimentos mostram que a carga elétrica é discreta, que toda carga elétrica pode ser escrita como:

q=ne n; = ± ±1 2, ,...,⇔ =e 1 6 10, . ⁻¹⁹C

Aqui e é denominada de carga elétrica elementar, uma importante constante da natureza.

É de fundamental importância o princípio da conservação da carga elétrica:

Num sistema eletricamente isolado, a soma algébrica das cargas negativas e positivas se mantém constante.

A tabela a seguir mostra algumas propriedades das três partículas elementares de um átomo.

Tabela II – Dados das partículas que constituem o átomo.

Nome S Q Massa

m_e=9 1110, . ⁻³¹kg

Mom ento angu lar

=2π

Elétron e -1e 1 1/2

Próton p 1e 1836.15 1/2

Nêutron n 0 1836.68 1/2

Quando uma quantidade física, como a carga elétrica, assume valores discretos, dizemos que esta quantidade é quantizada. A matéria, a energia e momento angular são quantidades quantizadas. Por exemplo, em um bulbo de uma lâmpada de 100 W, em torno de 10 elementos de carga entram e deixam o bulbo a cada segundo.

19

Exemplo 1 - Um material de Cobre de 3,11 g contém igual quantidade de cargas positivas e negativas. Qual a magnitude da quantidade de cargas positivas neste material?

Qualquer átomo neutro possui uma quantidade Ze de prótons e uma quantidade Ze de elétrons, onde Z é seu número atômico. Assim, a quantidade de carga no material é o produto de NZe, onde N é o número de átomos no material e e a carga elétrica elementar.

Sendo M a massa molar do Cu (M=63,5 g/mol) teremos:

N N m

A M

= =6 02 10 3 11=

63 5 2 95 10

23 22

, . . .

. , . Átomos.

Sendo o número atômico do Cu Z=23:

q=NZe=( ,2 95 10. ²²).(29).( , .1 6 10⁻¹⁹)=137000C

™ A Conservação da carga elétrica:

Se você esfregar uma haste em um tecido, medidas mostram que as cargas positivas se acumularam na haste e as negativas no tecido. Isto sugere que não há criação da carga, porém uma transferência da mesma. Essa hipótese de conservação da carga foi colocada pela primeira vez por Benjamin Franklin.

Um exemplo de fenômeno que envolve a conservação da carga: o decaimento do urânio, no qual um núcleo se transforma espontaneamente em outro tipo de núcleo. Por exemplo, o ²³⁸ , ou urânio 238, o qual é encontrado, pode decair emitindo uma partícula alfa: e transformando-se em tório 234:

U

238U→234Th+4He

Outro exemplo de conservação da carga é o que acontece quando um elétron (e ) encontra sua anti-partícula, o pósitron (e ) , cuja carga é +e, dando origem a dois raios gama de alta energia:

− +

e⁻ +e⁺ → +γ γ

Este processo é chamado de aniquilação.

Exercícios:

1) Qual a força eletrostática entre duas cargas de 1C separadas por uma distância de:

a) 1 m.

b) 1 km

2) Uma carga puntiforme de 3 00 10, . ⁻⁶C está a 12cm de uma outra carga puntiforme de −1 5 10, . ⁻⁶C. Calcule a magnitude da .força sobre cada carga.

3) Qual deve ser a distância entre as cargas puntiformes q₁=26 0. µC q; ₂= −47 0. µC para que a força entre elas seja de 5.7 N?

4) Em um dispositivo luminoso, uma corrente de flui durante 20ms. Qual a quantidade de carga que a atravessa?

2 5 10, . ⁴A

5) A figura ilustra três cargas puntiformes, de intensidades q₁=q₂=q₃=20µC, e o valor de d é 1,5m.

a)

d q

q 1

2

q 1

q2

q3 d

d d

a) Encontre a força elétrica sobre a carga q1 em cada caso.

6) Porque experimentos em eletrostática não se realizam muito bem emdias húmidos?

7) As cargas q1 e q2 e q3 estão alinhadas nas posições x=-a, x=0 e x=a, respectivamente, no eixo x. Os valores das cargas são:q₁= +Q q, ₂= −Q q; ₃= +2Q. Determine:

a) A força elétrica resultante sobre a carga q1.

b) A força elétrica resultante sobre a carga q2.

c) A força elétrica resultante sobre a carga q3.

8) Dispõe-se de 4 cargas localizadas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura abaixo:

+q -q y

a

Determine a força elétrica resultante sobre cada carga.

9) Duas cargas puntuais, de valores +q e +4q, estão a uma distância L entre si. Uma terceira carga é colocada de modo que o sistema permaneça em equilíbrio.

a) Determine a localização, a magnitude e o sinal da terceira carga.

b) Mostre que o equilíbrio do sistema é instável.

10) Determine a quantidade de elétrons em uma carga de 1 C.

11) A magnitude da força elétrica entre dois íons separados de 5 0, .10⁻¹⁰m é 3 7, .10⁻⁹N.

a) Qual o valor da carga elétrica de cada íon?

b) Determine o excesso de elétrons do íon.

12) Quantos megacoulombs em de carga elétrica (prótons ou elétrons) estão presentes em 1,00 mol de gás molecular hidrogênio (H2)?

13) A atmosfera terrestre é constantemente bombardeada por raios cósmicos (prótons) provenientes do espaço. Se em cada metro quadrado da superfície terrestre é bombardeado por uma taxa média de 1500 prótons por segundo, qual seria a correspondente corrente interceptada pela superfície total da terra?

14) Qual a magnitude da força elétrica entre um íon de sódio Na⁺(carga + e) e um íon de cloro Cl⁻(de carga -e) presentes no cristal NaCl (separação:Na-Cl: 2 8, 2 10. ⁻¹⁰m)?

15) Coloca-se uma carga A de magnitude +Q em contato com uma carga neutra B. Em seguida aproxima-se a carga A de uma carga C de valor -2Q colocando-as em contato e separando-as. Sabendo que as cargas estão isoladas eletricamente, determine:

a) O valor da carga A após o contato com a carga B.

b) Os valores das cargas A,B e C após os contatos finais.

c) Encontre a força de interação entre as cargas A e C, sabendo que sua separação é r.

16) aproxima-se um condutor de carga negativa de um corpo neutro. Em seguida aterra-se o

17) Duas idênticas esferas condutoras, fixas no espaço, atraem-se com uma força de 0,108 N quando separadas por uma distância de 50,0 cm. As esferas são então conectadas por um fio condutor. Quando o fio é removido, as esferas exercem entre si uma força de 0,0360 N. Qual o valor inicial da carga das esferas?

18) Que quantidade de cargas positivas deveria ser colocada naTerra e na Lua para neutralizar sua atração gravitacional? Quantos kilogramas de hidrogênio seriam necessários para prover essa carga?

19) São colocadas algumas cargas no plano xy:

q1=+3µC; x1=3,5 cm e y1=0,5cm; q2=-4µC; x2=-2,0 cm, y2=1,5 cm.

a) Encontre a magnitude e direção da força eletrostática sobre a carga q2.

b) Onde seria necessário colocar uma carga q3 = +4 µC para que anulasse a força eletrostática sobre a carga 2 ?

20) Uma lâmpada de 100 W opera a 120 V e passa por ela uma corrente de 0,83 A (assumindo a corrente estacionária). Quanto tempo demora para 1 mol de elétrons atravessar a lâmpada?

™ Campo Elétrico

• Introdução:

Suponha que uma carga fixa positiva q1 está fixa em um ponto do espaço e colocamos uma segunda carga q₂ próxima a ela. Da Lei de Coulomb sabemos que q₁ exerce uma força eletrostática repulsiva sobre q₂ e poderíamos, conhecidas as cargas e a distância entre elas, determinar a força de interação. Porém permanece a questão: Como q1 "sabe" da presença de q₂?

Esta questão sobre ação à distância pode ser explicada devido a presença de um campo elétrico, criado no espaço em torno da carga q1. Em um dado ponto P do espaço, o campo elétrico dependerá da magnitude da carga q1 e da distância da carga q1 a P.

Quando colocamos q2 em P, q1 interage com q2, através do campo elétrico em P.

Como um exemplo prático de ação à distância, durante o vôo da espaçonave Voyager II em torno do planeta Urano, sinais de comando eram enviados da Terra para a espaçonave. Esses sinais enviados por ondas de rádio, (um tipo de onda eletromagnética), eram gerados por meio de oscilações de elétrons em uma antena de transmissão na Terra. O sinal movia-se através do espaço e era recebido pela espaçonave somente quando elétrons na antena receptora da nave oscilavam, 2,3 h depois do sinal ser enviado pela Terra. O sinal se propaga pela velocidade c da luz no vácuo. Este e muitos outros exemplos mostram que a eletricidade, o magnetismo, a ótica podem representar juntas uma maneira conjunta de se explicar um fenômeno.

• O Campo Elétrico:

O campo elétrico é um campo vetorial:

consiste de uma distribuição de vetores, um em cada ponto da região em torno de um objeto carregado. Em princípio, definimos o campo elétrico quando colocamos uma carga teste ou carga de prova q0 em uma região do espaço próxima a um objeto carregado, em um ponto P, como mostra a figura 2 (a):

E G

R G = r G − r G ′

P(x, y, z)

Q(x’, y’, z’)

r G ′

r G

O (Origem)

Figura 2 – (a) Cálculo do campo em P (x, y, z).

r r

r r r r r Q

E − ′

− ′

− ′

= G G

G G G G G

G

2

4

0

)

( πε

Aqui:

• O vetor

r G ′

localiza o ponto Q da carga .

r G

• O vetor identifica o ponto genérico do espaço P(x, y, z).

• O vetor

R G = r G − r G ′

de Q a P.

Podemos ainda escrever:

( )

3

4

0

) (

r r

r r r Q

E − ′

− ′

= G G

G G G

G

πε

Ou:

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

[

^{2 2 2}

]

³²

4 0

ˆ ˆ

) ˆ (

z z y y x x

a z z a y y a x x r Q

E ^{x y z}

− ′

′ +

−

′ +

−

− ′

′ +

−

′ +

= − πε G G

O campo devido a n cargas pontuais Q1

localizada em rG₁

rG2

, Q2 localizada em ,..., Qn

localizada em

r G

_n

será dado por:

n n

n a

r r a Q

r r a Q r r r Q

E ˆ

ˆ 4 4

ˆ 4

) (

0 2

2 2 0

2 1

2 1 0

1 G G G " G G

G G G

+ −

− +

− +

= πε πε πε

∑

= −

= ⁿ

m

m m

m a

r r r Q

E

1

2 1 0

ˆ 4

)

(G G G

G

πε

Esse resultado é conhecido como o princípio da superposição, que veremos adiante.

Figura 2 – (b) Carga de prova na presença de um campo elétrico.

+ + + + + + + + + + + + Objeto carregado Carga teste

F + + + + + + + + + + +

Campo e em P

E

a) b)

+ P .

Mede-se a força eletrostática F que atua na carga de prova. O Campo elétrico no ponto P devido a presença do objeto carregado é definido por:

G G

E F

= q 0

Figura 3 – Representação das linhas de força de uma carga elétrica negativa.

A direção de E é a direção da força elétrica e o sentido depende do sinal da carga do corpo carregado. A unidade do sistema internacional (SI) para o campo elétrico é o Newton por Coulomb (N/C).

Na figura a seguir ilustramos o sentido do campo elétrico para dois corpos carregados com cargas opostas:

Figura 4 – Campo elétrico de carga positiva e negativa.

+ + + - - - - -

- - - - - + + +

P

P

E E

Corpo carregado

Ou seja, o campo converge em P para o objeto carregado negativamente e diverge em P para um objeto carregado negativamente.

A força atuando entre duas partículas carregadas era pensada como uma interação direta e instantânea entre as partículas: A ação à distância era vista como:

Carga 1 → Carga 2

Hoje, sabemos que o campo elétrico atua como um intermediário entre as cargas, ou seja, a ação é simbolizada por:

Carga 1 → campo → Carga 2

A tabela a seguir ilustra alguns campos elétricos existentes na natureza:

Tabela III – Valores de Campos elétricos típicos.

Campo Valor (N/C)

Na superfície de um

núcleo de Urânio ^{3 0 10} , . 21 Átomo de Hidrogênio (órbita de

um elétron)

5 0 10, . ¹¹

Acelerador de elétrons em um tubo de TV

10⁵

Baixa atmosfera ₁₀²

Dentro de um fio de cobre em circuitos de casa

10⁻²

• Linhas de Força - Linhas de Campo Elétrico:

Michael Faraday introduziu a idéia de campo elétrico no século XIX, através de linhas de força que preenchiam o espaço ao redor de uma carga elétrica.

A relação entre as linhas de campo e o vetor campo elétrico é:

1) Em qualquer ponto, a direção do campo a de linha de força.

elétrico é o da tangente à curv

2) O número de linhas de força por unidade de área, medida em um plano que é perpendicular às linhas de força, é proporcional à magnitude do campo elétrico E. Ou seja, se as linhas de campo estão mais juntas, o campo é intenso, se estão mais distanciadas, o campo é pequeno.

A figura abaixo ilustra as linhas de força para cargas elétricas puntiformes de sinais iguais e de sinais opostos.

Figura 5 – Linhas de força de cargas positivas (a) e dipolo elétrico (b).

(a)

(b)

Observe que: O número de linhas de força que saem da carga positiva é o mesmo que chegam à carga negativa; as linhas de força não se cruzam em nenhum ponto do espaço e convergem para a carga negativa, divergindo para a carga positiva.

Equação das linhas de Força:

Observe que:

x y

E E dx dy =

O campo elétrico de uma carga pontual é dado por:

E k q r

= 2

Onde q é o valor da carga, r é a distância do ponto à carga elétrica.

Se tivermos diversas cargas puntiformes q1,q2,...,qn , o campo elétrico resultante em um ponto P do espaço é da_Gdo pelo princípio da sup_{G G G} erposição: _G

E_RP =E₁+E₂+E₃+ +... E_n

Exemplo 2 - A figura abaixo mostra uma carga +8q na origem do eixo x e uma carga -2q localizada em x=L. Em que posição o campo elétrico resultante se anula?

Figura 6 – Distribuição de cargas do Exemplo 2.

Observe que as únicas regiões possíveis do campo elétrico resultante se anular estão à direita da carga -2q (carga 2) e a esquerda da carga +8q (carga 1). Assim temos: _{G G G G G}

E=E₁+E₂ = ⇒0 E₁= −E₂

Em módulo temos:E^G₁ = E^G₂ . Chamando a distância do ponto à carga 1 de x, teremos:

k q x

k q

x L

x L

x x L

8 2 1

4 2

2 2

= 2

− ⇒ −

= → =

( )

( )

Exemplo 3 - O núcleo de um átomo de Urânio têm raio igual a 6,8 fm (fermi) . Assumindo que a carga positiva no núcleo está distribuida uniformemente, determine o campo elétrico num ponto da superfície do núcleo devido a esta carga.

O núcleo tem uma carga positiva Ze, onde o número atômico Z para o átomo de urânio é de Z=92, e e=1 6 10, . ⁻¹⁹C é a carga de um próton. Se a carga está distribuída uniformemente, a força eletrostática sobre uma carga de prova na superfície do núcleo é a mesma se toda a carga nuclear estivesse concentrada no centro nuclear. Então:

E Ze

R

N

= 1 = ₋⁻ = C

4 9 0 10 92 1 6 10

6 8 10

2 9 10 0 2

9 19

15 2

21

πε ^{, .}

( , . )

( , . )

, .

• Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico:

Duas cargas de mesma magnitude porém sinais opostos formam um dipolo elétrico. O campo elétrico num ponto P é dado por (Observe da figura):

Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.

+ -

+q -q

P E(-)

E(+)

r(+) r(-) d

p

z

E E E k q

r k q

r

kq z d z d

= ₊ − ₋ = − = −

+ − − +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

[ ]

2 2

1 1

1 2

2 1

2 2

Após uma pequena álgebra, chega-se a:

E k q z

d z

d

= − ⁻ − + z ⁻

2 2

2 2

1 1 2

[( ) ( ) ]

É interessante usualmente verificar os efeitos do dipolo a distâncias grandes comparadas com suas dimensões. Assim, suponha que

z>>d a grandes distâncias ⇒^d_2z<<1. Pode-se expandir as duas quantidades no colchetes da equação acima por:

E k q z

d z

d

z d

= + + − − + ⇒ z<

2[(1 ...) (1 ...)] <1 Teremos o campo elétrico do dipolo dado por:

E k qd z

p z

= 2 = 1

3 2

0 3 πε

Chamamos de p o momento de dipolo elétrico o produto q.d:

G G

p=qd

p possui sentido da carga negativa para a positiva e direção do eixo do dipolo.

• Distribuições de Carga:

Uma distribuição de carga consiste de muitas cargas pontuais (bilhões) espaçadas ao longo de uma linha, superfície ou volume. Desde que estas distribuições são dita contínua e contém um número enorme de cargas elétricas pontuais, o campo elétrico é encontrado considerando cada carga da distribuição. Nesse caso, é conveniente tratar o problema com o auxílio da densidade de carga, que pode ser de acordo com a tabela abaixo:

Nome Símbolo SI

Unidade

Carga q C

Densidade de Carga

Linear λ = r_L C/m

Densidade de Carga

Superficial σ = rS C

m² Densidade de Carga

Volumétrica ρ = rv C

m³

Aqui, escrevemos a densidade de carga volumétrica por:

v Q

v v

∆

= ∆

→

∆

lim

0

ρ

A carga total num volume finito é:

dv Q

V

∫∫∫

v

= ρ

Campo Elétrico devido a uma distribuição de cargas:

r r

r r r r r Q

E − ′

− ′

− ′

= ∆

∆ G G

G G G G G

G

2

4

0

)

( πε

r r

r r r r r v

E ^v

− ′

− ′

− ′

∆ ′

=

∆ G G

G G G G G

G

2

4 0

)

(

πε

ρ

Se somarmos as contribuições para todas as cargas deste volume em uma dada região e considerarmos o volume elementar dv’ tendendo a zero a medida que esses elementos se tornam infinitos, o somatório se torna uma integral:

∫∫∫

^′_{− ′}^′ ₋⁻ _′^′

=

v v

r r

r r r r

v d r r

E G G

G G G G G G

G

2

4 0

) ) (

(

πε

ρ

A seguir, indicaremos os versores, elementos de volume e transformação de coordenadas que serão úteis na resolução de problemas.

Coordenadas Cilíndricas Relações: P(r, f, z) → P(x,y,z):

φ ρ cos

=

x

;

y = ρ sen φ

;

z = z

Relações: P(x,y,z) → P(r, f, z):

x arctg y

φ =

z=z

2

2

y

x + ρ =

z

P

y r aˆ_z

a ˆ

_φ

f aˆ_z

a ˆ

_ρ

a ˆ

_y

x

a ˆ

_x

• Relações entre versores das coordenadas cartesianas para cilíndricas:

Mostramos que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

−

=

z z y

x

a a

a sen a a

sen a a

a

ˆ ˆ

ˆ cos ˆ

ˆ

cos ˆ ˆ ˆ

φ φ

φ φ

φ ρ

φ ρ

• Relações entre versores das coordenadas cilíndricas para cartesianas:

Manipulando as equações acima, veja que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

=

+

=

z z

y x

y x

a a

a sen a a

sen a a

a

ˆ ˆ

ˆ cos ˆ

ˆ

cos ˆ ˆ ˆ

φ φ

φ φ

φ ρ

Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e cilíndrico

a ˆ

ρ

a ˆ

_φ aˆ_z

a ˆ

x

cos φ − sen φ

⁰

a ˆ

y

sen φ cos φ

⁰

aˆz ^{0 0 1}

• Elemento de Volume:

dz d d dv = ρ ρ φ

• Vetor deslocamento:

z y

x

y a z a

a x

r G = ˆ + ˆ + ˆ

z y

x sen a za

a

r^G =

ρ

cos

φ

ˆ +

ρ φ

ˆ + ˆ

a

z

z a r ^G = ρ ˆ

_ρ

+ ˆ

• Diferencial do deslocamento:

Diferenciando a relação acima, vemos que:

a

z

dz a d a d r

d ^G = ρ ˆ

_ρ

+ ρ φ ˆ

_φ

+ ˆ

• Coordenadas Esféricas

Relações: P(f,r,θ) → P(x,y,z):

θ φ sen r

x = cos

;

y = rsen θ sen φ

;z=rcos

θ Relações: P(x,y,z) → P( f ,r, θ ):

2 2

2

y z

x

r = + +

x arctg y φ =

z y arctg x

2 2

+

θ =

z aˆ_r

a ˆ

_φ

θ P r

a ˆ

_θ y r

f aˆ_z

a ˆ

_y

x

a ˆ

_x

• Vetor deslocamento:

z y

x

y a z a

a x

r G = ˆ + ˆ + ˆ

ar

r rG= ˆ

• Diferencial do deslocamento:

φ

θ

θ φ

θ a rsen d a rd

a dr r

d G = ˆ

_r

+ ˆ + ˆ

• Relações entre versores das coordenadas cartesianas para esféricas:

Veja que:

z y x

r

x a y a z a

a r

r G = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ

z y

x

r

r sen a rsen sen a r a

a

r ˆ = cos φ θ ˆ + φ θ ˆ + cos θ ˆ

z y

x

r sen a sen sen a a

aˆ =cos

φ θ

ˆ +

φ θ

ˆ +cos

θ

ˆ Da figura, veja que:

z y

x sen a sen a

a

aˆ_θ =cos

θ

cos

φ

ˆ +cos

θ φ

ˆ −

θ

ˆ E:

y

x

a

a sen

a ˆ

_φ

= − φ ˆ + cos φ ˆ

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+ +

=

+

−

=

− +

=

z y

x r

y x

z y

x

a a

sen sen a sen a

a a

sen a

a sen a sen a

a

cos ˆ ˆ cos ˆ

ˆ

cos ˆ ˆ

ˆ

ˆ cos ˆ

cos ˆ ˆ cos

θ θ

φ θ

φ

φ φ

θ φ

θ φ

θ

φ θ

Produtos escalares entre os sistemas cartesiano e esférico

aˆr

a ˆ

_θ

a ˆ

_φ

a ˆ

x

sen θ cos φ cos θ cos φ − sen φ a ˆ

y

sen θ sen φ cos θ sen φ cos φ

aˆz

cos φ

−sen

θ

⁰

• Elemento de Volume:

θ φ θ drd d sen

r dv =

²

Exemplo 4 - Encontre o Campo elétrico resultante sobre o eixo de um anel de raio R com densidade de carga uniforme e positiva.

Figura 8 – Anel de raio R com carga Q.

(Young & Freedman, Física III)

Cada elemento de carga se relaciona com a densidade linear l por: dq=λds. Este elemento de carga diferencial produz um vetor campo elétrico dE no ponto P, dado por:

dE k k ds

r dq

= r₂ = 2 λ

Podemos escrever:

dE k ds

z R

= +

λ ( ^{2 2})

, porém, somente a componente do campo elétrico ao longo do eixo do anel contribuirá para o campo elétrico resultante:

12

) )(

( )

cos ( _{2 2 2 2 2 2}

R z

z R

z k ds R

z k ds

dE _r^z

+ + + =

=

λ λ

θ

32

) cos ( _{2 2}

R z

ds k z

dE

θ

= +

λ

Para adicionar todas as componentes integra-se sobre todos os elementos de campo:

∫

⁼ ₊

∫

=

R

ds R

z k z dE

E

λ

π

θ

²

0 2

2 ³₂

) (

cos

E k z R

z R

= +

λ π2 2 2 ³₂

( )

2 3 2 2

0

( )

4 1

R z

z E Q

+

= ⋅ πε

Exemplo 5 – Seja um fio longo e carregado, com densidade linear λ por unidade de comprimento.O fio encontra-se sobre o eixo y. Deseja-se calcular a intensidade do campo elétrico, devido ao fio, num ponto P a uma distância r do ponto médio, como é mostrado na figura:

Figura 9 – Fio longo com densidade de carga linear λ..

Seja o fio dividido em pequenos pedaços dy.

A carga dq em cada elemento será:

dy dy

dy dq dq L Q

ρ

L

λ

λ = = ⇒ = =

O Campo elétrico devido a este elemento de carga será:

2 0 2

0

4

1 4

1

r dE dy

r

dE dq λ

πε

πε ^{⇒ =}

=

O campo total em P terá componentes em x e em y, de forma que:

⎩⎨

⎧

⋅

=

⋅

=

α α

sen dE dE

dE dE

y

x cos

Assim, com

r

²

= x

²

+ y

², teremos:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

⋅ −

=

⋅ +

=

2 2

2 2

y x dE y dE

y x dE x dE

y x

Assim, teremos:

( )

( )

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

⋅ +

= −

⋅ +

=

2 3 0 2

2 3 0 2

4 4

y x dE ydy

y x dE xdy

y x

πε λ πε

λ

Os campos totais serão dados pelas integrais das expressões anteriores:

( )

( )

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

⋅ +

= −

⋅ +

=

∫

∫

− +

−

dy y x E y

dy y x E x

L

L y

L

L x

2 2 3 2 0

2 2 3 2 0

4 4

πε λ πε

λ

Calculando as integrais:

( )

( )

L y

L y

x x x y

y x E y

+

=

−

⎥ =

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

= + ₃₂

2 2

2 2

4

πε

0

λ

( )

( ) ( )

( ) ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

+ +

− − +

= +

₃₂

2 2

2 2 2

2 3 2

2 2

4

0

x x L

L x L L

x x

L x E

_x

L

πε λ

( )

( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

= + ₃₂

2 2

2 2

0

2

4 x x L

L x E_x L

πε

λ

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= +

2 2 0

2

4 x x L

E_x L

πε

λ

Mostre que: Ey=0

Veja que se L

L x x

L>> ⇔ ² + ² ≅ Então:

E_x

λ

x

πε

₀ 2

= 1

No livro do Hayt, a expressão mostrada idêntica é:

ρ

ρ

πε ρ

a

E ^L ˆ

2 ₀ G =

Aqui:

r é a distância do fio ao ponto, perpendicular ao fio (em coordenadas cilíndricas, se o fio estiver sobre o eixo Oz, por exemplo).

a ˆ

ρ: vetor unitário que sai do ponto P que se quer calcular o campo elétrico.

Exemplo 6 – Um plano infinito carregado com uma carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A densidade superficial de carga é r_S = σ. Encontre o campo elétrico em P situado a uma distância a do plano.

z y´ dy’

y

r’

θ

P(x,0,0) x E dG

, dEG_x

Vamos calcular o campo elétrico em P como o campo devido a contribuição de infinitos fios colocados no plano zy:

As densidades superficial e linear de carga se relacionam por:d

y y d

d z d y d

dQ A

d dQ

S L L

S

⇒ = ′

= ′

′

= ′

= ′ ρ ρ ρ

ρ

Da figura observe que:

θ

ρ πε

ρ

cos 2 ₀ ′

= ^L

dEx

πε θ

ρ

cos

2 ₀ x² y ² y dE_x ^Sd

+ ′

= ′

2 2 2 2

2 0 x y

x y

x y dE_x ^Sd

+ ′ + ′

= ′

πε

ρ

2 2

2 0 x y

y dE_x ^S d

+

= ′

πε ρ

Fazendo a integração, consideraremos a contribuição de todas as faixas:

+∞

∫

∞

−

+ ′

=

₂

′

₂

2

0

x y

y E

_x ^S

xd

πε ρ

+∞

∫

∞

−

+ ′

=

₂

′

₂

2

0

x y

y d E

_x ^S

x

πε ρ

( ( ) )

+∞

∫

∞

−

+

′

= ′

₂

0 2

1

2

x

y S

x

x

y x d

E πε

ρ

Fazendo:

d y xdu

x

u y ′ ⇒ ′ =

=

+∞

∫

∞

−

+

=

₂

0

1

1

2 u

xdu E

_x ^S

x

πε ρ

+∞

∫

∞

−

+

=

₂

0

1

2 u

du x E

_x ^S

x

πε ρ

Como:

C arctgu u

du = +

∫ ₁ +

²

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ′

′−

= →+∞ →−∞ x

arctg y x

arctg y E

y y

S

x ' '

0

lim 2

πε

lim

ρ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

=2 ₀ 2 2

π π

πε ρ

_S Ex

2

ε

0

ρ

_S Ex =

Observe que se o ponto P estivesse no semieixo Ox negativo:

2

ε

0

ρ

_S Ex =−

Se definirmos um vetor sempre normal ao plano:

N S a

E ˆ

2

ε

₀

=

ρ

G Observações:

• O campo é constante em módulo e direção.

• Se uma segunda lâmina com mesma densidade de carga, porém negativa, estivesse localizada no plano paralelo ao anterior x = a teríamos na prática, um capacitor plano, desde que desprezassem os efeitos de borda. Nesse caso, o campo será dado por:

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

>

<

<

<

=

a x

a x a

x

E

^S _x

; 0

0 ˆ ;

0

; 0

0

G

G G

ε ρ

Exemplo 7 – Um disco carregado com uma carga positiva Q distribuída uniformemente sobre sua superfície no plano xy. A densidade superficial de carga é rS = σ. Se o raio externo do disco é R, determine o campo no eixo do disco.

rdr dA

dQ = ρ

_S

= ρ

_s

2 π ρ πρ ρ

ρ =

=

az

z rG= ˆ

ρ a

ρ

r G ′ = ˆ ρ a

ρ

a z r

r G − G ′ = ˆ

_z

− ˆ

2 2 +

ρ

′ =

−r z

rG G

r r

r r r r r dQ

E

d − ′

− ′

− ′

= G G

G G G G G

G

2

4

0

)

( πε

(

⁺

)

^⎜⎜_⎝^⎛ ₊ ^⎟⎟_⎠^⎞

= 2 2 2 2

4 0

) 2

(

πε ρ ρ

ρ πρ ρ

z z z

r d

dE_z G ^S

φ

ρ

a φ a sen

a ˆ = ˆ

_x

cos + ˆ

_y

As componentes Ex e Ey são nulas. Mostre isso integrando.

( ^{ρ ρ} ) ^ρ

πε π

ρ d

z r z

E

R S

z

⁼ ∫ ₊

0

2 2 3 2

4

0

) 2 ( G

R S

z

z r z

E

=

⎥

=

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

− +

=

ρ

ρ

ρ

πε π ρ

0 2 0 2

1 4

) 2 ( G

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

+ −

−

= R z z

r z

E

_z ^S

1 1

) 2

(

2 2

ε

0

ρ G

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

=

2 2

0

1 1

) 2 (

z z R

r z

E

_z ^S

ε ρ G

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

=

2 2

0

2 1 ) (

z R r z

E

_z ^S

ε ρ G

Observe que interessante: quando R tender a infinito, teremos: teremos:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

=

→∞

∞

→ 2 2

0

lim 2 1

) ( lim

z R r z

E

R

S

R z

ε

G ρ

2 0

)

(

ε

ρ

_S

z r E G =

Ou seja, o campo do disco infinito fica idêntico ao de um plano infinito, o que era esperado!!!.

Aplicações:

1. Forno de Microondas:

o muda, pois na

devem quebrar pelo menos uma de suas

pos se separam, aumentando assim a sua

ilustram a orientação de m dipolo na presença de um campo elétrico niforme, a molécula de água e a energia associada à

tação devido ao torque.

Na água, as moléculas se encontram livres para se mover relativamente às outras moléculas. O campo elétrico produzido por cada dipolo afeta os outros dipolos em sua volta.Como resultado, as moléculas podem estar ligadas em grupos de dois ou três, devido ao fim negativo de um dipolo (oxigênio) e ao fim positivo de outro dipolo (hidrogênio) que se atraem.

Quando cada grupo é formado, a energia potencial elétrica é transferida através de movimento térmico do grupo e para as moléculas em volta. Quando ocorre a colisão entre as moléculas, há a transferência inversa de energia. A temperatura da água, que está associado com o movimento térmico das moléculas, nã

média, a energia transferida é zero.

Em um forno de microondas, porém, ocorre um processo diferente. Quando está funcionando, as microondas produzidas pelo forno produzem um campo elétrico que oscilam rapidamente numa direção para frente e para trás. Se há água no forno, o campo elétrico oscilante exerce torques também oscilantes na molécula de água, rodando continuamente para trás e para frente alinhando seus momentos de dipolo com a direção do campo elétrico. As moléculas que estão ligadas aos pares podem se alinhar, porém aquelas ligadas em grupos de três

três ligações.

As energias para quebrar essas ligações vêm do campo elétrico, isto é, das microondas. Então as moléculas que se separaram dos grupos podem formar outros grupos, transferindo a energia que ganharam em energia térmica. Então a energia térmica é adicionada à água quando os grupos se formam, mas não é removida quando os gru

temperatura.

Graças ao dipolo elétrico que a molécula de água forma, é possível cozinhar alimentos a partir de um forno de microondas.

As figuras abaixo u

u ro

2. Tubo de Raios Catódicos.

Em 1897, J.J. Thompson, juntamente com um grupo dos estudantes diplomado dele, tinha a intenção de investigar o elétron. Ele projetou alguns tubos que continham eletrodos dentro com o ar evacuado dos tubos. Estes foram chamados “Tubos”

de Crookes nomeados mais tarde de “Tubos” de Raios Catódicos. Foram executadas Experiências nestes tubos nas quais atas voltagens geradas por uma corrente elétrica passada entre os dois elétrodos.

Foram gerados raios como emanações procedidas do elétrodo de Cátodo ao elétrodo de Ânodo.

Considerando que estas emanações originaram do elétrodo de Cátodo que eles seriam chamados "Raios"

Catódicos. J.J. Thompson projetou alguns tubos especiais que investigaram as propriedades destes

"Raios" Catódicos. Ele projetou um tubo que permitiu Raios Catódicos imprensar contra uma tela de superfície de Sulfeto de Zinco. Como os raios imprensaram na superfície, emitiu uma faísca de luz de forma que o caminho do raio invisível poderia ser observado. Ele procedeu fazer um campo elétrico que

consiste em um prato positivo e um prato negativo perto do vacinity dos Raios. Quando a corrente elétrica do campo elétrico foi invertida, o caminho dos “raios” foi mudado para longe do prato negativo e para o prato positivo. Esta era uma indicação clara que deduziu que os raios possuíam uma carga negativa. Uma sombra em forma de cruz foi formada na frente do tubo. O único modo que os “raios” pudessem lançar uma impressão de sombra

gia

s dentro dos átomos. É interessante notar que a terçeira

ossa compreensão da quím

eterminação da carga de pólvora por

trário

provar que o cátodo roduziu que um fluxo de partículas negativamente arregadas chamado elétrone.

3. Impressoras jato de Tinta. (DeskJet).

4.

na parte de trás do tubo era se eles fossem além do caminho de saída e formassem a cruz. Isto indicaria fortemente que os teriam que possuir massa

Mas se os “raios” possuíssem massa que significaria que eles não eram raios (pura radiação) e sim partículas com uma massa finita! Outro tubo experimental envolvendo uma roda de remo colocada no caminho dos raios de cátodo resultado no movimento da roda de remo quando a corrente foi invertida. Para que a roda de remo seja usada para mover, os Raios teriam que ter impulso passando para a roda. Isso significaria que o assim chamou raios teriam que possuir impulso isto para dar impulso a algum outro objeto. Estes “raios” eram na verdade elétrons. Em 1891 um Professor chamado Stony (Prof. de Eletricidade) investigava uma fonte de ener para reações químicas. Ele sugeriu que uma corrente elétrica fosse o resultado de partículas móveis que ele sugeriu deveriam ser chamadas "elétrons".

Estas experiências definitivamente definiram os raios como partículas atuais que têm uma carga de negativa e uma massa finita. Em 1886, Professor Goldstein executou experiências semelhantes que usam uma superfície de cátodo perfurada. Isto produziu uma partícula que possuiu uma carga positiva e uma massa umas 2000 vezes mais que o elétron de Thompson. Esta partícula foi chamada de próton. Considerando que elétrons e prótons vieram da superfície de um objeto, é lógico concluir que todo objeto está composto destas partícula

partícula subatômica do átomo não foi observada até 1932 uns 35 anos depois da descoberta do elétron e o próton.

A partícula tinha sido predita em 1920, mas não foi descoberta até 1932, quando Chadwick observou estas partículas neutras que ele chamou de nêutrons enquanto executava uma série de experiências de câmara de nuvem. Era o caminho de condensação dos nêutrons semelhante para os rastros de jato que motores a jato fazem quando a altitude que permitiu a observação destas partículas. Como a chave para n

ica reside em nosso conhecimento dos elétrons e prótons, a descoberta atrasada dos nêutrons não alterou o quadro formado do átomo em 1932.

Em 1909, Robert Millikan executou a experiência de gota de óleo legendária dele que lhe permitiu determinar a magnitude exata da carga de

relação do elétron, 1.76 X 108 coulomb / grama, assim esta d

Millikan permitiu a determinação da massa do elétron, 9.09.10^-28 gramas.

A experiência de J.J. Thompson demonstrou que átomos estão realmente compostos de agregados de partículas carregadas. Antes do trabalho dele, acreditava-se que átomos eram distribuídos de maneira uniforme. A primeira evidência ao con veio quando as pessoas começaram a estudar as propriedades de átomos em campos elétricos.

Se uma amostra de gás é introduzida na região entre dois pratos carregados, um fluxo atual pode ser observado e sugere que os átomos estiveram abaixo quebrados em componentes carregados. Em 1897, Thompson teve a intenção de

p c

Experiência de Millikan.

Robert Andrew Millikan nasceu em 22 de março, 1868, em Morrison. (EUA), como o segundo filho do Reverendo Silas Franklin Millikan e Mary Jane Andrews. Os avós dele eram da Velha ação de Inglaterra Nova que tinha vindo para a América antes das 1750, e era o colono pioneiro no Oeste Mediano.

Sua infância teve aspectos rurais e freqüentou a escola secundária de Maquoketa (Iowa). Depois de trabalhar pouco tempo como um repórter de tribunal, ele entrou em Faculdade de Oberlin (Ohio) em 1886.

Durante seu curso de estudante universitário seus assuntos favoritos eram gregos e matemáticos; mas depois da graduação em 1891 levou, durante dois