CAMPO ELÉTRICO e POTENCIAL ELÉTRICO

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Campo Eletromagnético | Eletromagnetismo

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CAMPO ELÉTRICO e POTENCIAL ELÉTRICO

Lei de Coulomb | Lei de Gauss | Potencial Elétrico e Trabalho | Energia Potencial

1. (CEM-19/11/2007) Os dois fios da figura são arcos opostos centrados na origem, de raio R e comprimento πR/3. O fio de cima tem uma densidade linear de carga constante +λ e o fio de baixo tem uma densidade de carga simétrica –λ. Considere λ>0.

a) Calcule o campo elétrico na origem das coordenadas (O).

b) Qual é a direção e sentido do vetor campo elétrico ao longo do eixo dos xx?

c) Qual é o trabalho realizado pelas forças de campo quando uma carga Q é trazida até O, vinda do ponto P, situado à distância L da origem das coordenadas?

2. (CEM-19/11/2007) Uma coroa esférica isoladora de raio interno R1 e externo R2 está rodeada por uma coroa esférica condutora de raio interno R3 e raio externo R4.

As duas coroas são concêntricas. A coroa interna tem uma densidade volúmica de carga positiva uniforme e carga total +Q. A coroa condutora tem uma carga total negativa -Q.

a) Mostre como se distribui a carga elétrica no condutor.

b) Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço.

c) Calcule a diferença de potencial entre um ponto no interior da coroa condutora e um outro ponto a uma distância r da origem tal que R1 <r<R2.

d) Se o condutor for ligado à terra, que alterações sofre a sua distribuição de carga elétrica?

R

x y

0

π/6

+λ

-λ P x=L

R

₂

R

₄

R

₃

R

₁

(2)

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3. (CEM-08//01/2008) Considere uma esfera de raio R, não condutora, com densidade uniforme de carga ρ com uma cavidade esférica sem carga, tal como se apresenta na figura.

a) Calcule o campo elétrico E num ponto genérico dentro da cavidade.

b) Mostre que o potencial no ponto P, Vp, de coordenadas (x,y,z) localizado fora da esfera é dado por:

𝑉_𝑝 = ^𝑅³^𝜌

3𝜋𝜖₀[ ¹

√𝑥²+𝑦²+𝑧²− ¹

8√𝑥²+(𝑦−𝑅/2)²+𝑧²]

c) Suponha que a esfera é condutora. Qual a distribuição de carga?

d) Calcule o campo E em todo o espaço nas condições de c) e desenhe as linhas de campo.

4. (CEM-22/01/2008) Considere um plano infinito não condutor com uma distribuição superficial de carga -, situado no plano XOY.

a) Calcule o campo elétrico em todo o espaço.

b) Suponha que um segundo plano infinito e não condutor com uma distribuição superficial de carga + é colocado paralelamente ao primeiro em z=d. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.

c) Suponha que é introduzido um dielétrico com permitividade elétrica relativa r

entre as duas placas. Calcule o novo valor de campo elétrico em todo o espaço e explique os mecanismos físicos responsáveis pela alteração encontrada.

d) Calcule a diferença de potencial entre as placas de carga nas situações das alíneas b) e c).

5.

x y

z=d z

-  + 

y

O R x

X=3R

O

z x

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6. (CEM-03/09/2009) Considere uma esfera de raio R com uma distribuição volúmica de carga ρ(r) e uma distribuição superficial de cargas uniforme σ(R)=σ, coberta por uma armadura esférica condutora com raios R1>R e R2>R1 concêntrica com aquela e electricamente neutra.

a) Determine a função ρ(r) sabendo que o campo elétrico dentro da esfera é radial, com simetria esférica e de módulo constante E0.

b) Calcule a carga total Q contida na esfera.

c) Determine o campo elétrico em todo o espaço. Comente as descontinuidades no campo que encontrar.

d) Calcule o potencial elétrico para todo o espaço.

7. (CEM-20/10/2008) Considere o fio de espessura desprezável e com carga Q, com a forma de um quarto de circunferência de raio R (ver figura).

a) Calcule o vetor campo elétrico no centro de curvatura.

b) Mostre que o potencial elétrico é dado por:

𝑉 = 1 4𝜋𝜖₀

𝑄 𝑅

c) Utilize o resultado anterior para obter o potencial no centro criado por um quarto de anel com raios interno R1 e externo R2 e densidade superficial de carga uniforme σ (ver figura).

d) Qual é o trabalho realizado pelas forças externas quando uma carga q é transportada a velocidade constante:

i. do infinito até à origem do sistema de coordenadas? Justifique.

ii. do ponto A para o ponto B?

Justifique.

R

R₂ R₁

R₁

x y

0

R2

A σ B

R

x y

0

(4)

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8. (CEM-20/10/2008) Numa dada zona do espaço existe uma distribuição volúmica de carga. A expressão do campo elétrico nessa região é, em coordenadas cilíndricas, dada por (a e b são constantes):

𝐸⃗ = 𝑎. 𝑟 𝑢̂𝑟+ 𝑏 𝑢̂𝑧

a) Mostre que o campo é conservativo. Qual a consequência deste resultado?

b) Determine a expressão para a densidade de carga nesta região.

c) Prove que o potencial elétrico nessa região não pode ter a expressão (V0 é uma constante)

𝑉 = 𝑉₀−𝑎𝑟²

d) Altere a expressão da alínea c) de forma a obter um potencial compatível com 2 o carácter conservativo do campo elétrico.

Operadores diferenciais em coordenadas cilíndricas.

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = ∇⃗⃗ 𝑉 =𝑑𝑉 𝑑𝑟𝑢̂_𝑟+1

𝑟 𝑑𝑉

𝑑𝜃𝑢̂_𝜃+𝑑𝑉 𝑑𝑧𝑢̂_𝑧 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = ∇.⃗⃗⃗ 𝐴 =1

𝑟 𝑑

𝑑𝑟(𝑟. 𝐴_𝑟 ) +1 𝑟

𝑑𝐴_𝜃 𝑑𝜃 +𝑑𝐴_𝑧

𝑑𝑧

9. (CEM-19/10/2009) Considere um par de cargas +q e –q com uma separação 2a entre elas, como indica a figura.

a) Escreva as expressões do campo elétrico nos pontos P1 e P2 às distâncias x e z do centro do dipolo: explicite a direção e o sentido do campo nos dois pontos, em termos do vetor dipolo que aponta da carga negativa para a carga positiva.

b) Obtenha a expressão do campo elétrico no ponto P1 na aproximação 2a<<z.

c) Partindo do resultado da alínea b) reescreva a expressão do campo no ponto P1 para a situação em que o dipolo está à distância a da origem, de acordo com a figura seguinte.

P

₂

2a

x +q P

₁

-q z

+q

-q 2a

z

P₁ O

a

alínea c

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d) Considere agora os dois dipolos da figura, um deslocado da origem para a esquerda, como o da alínea anterior, e outro da origem para a direita. Assim as quatro cargas estão nos vértices de um quadrado de lado 2a. Obtenha a expressão do campo em P1 nesta nova situação, utilizando o resultado da alínea anterior.

e) Considere agora, na configuração com quatro cargas, que o sentido do dipolo mais afastado do ponto P1 é invertido. Calcule o campo em P1 na aproximação em que utilizou 2a<< z.

Demonstre que, neste caso o campo diminui mais rapidamente com z que na situação da alínea b.

10.(CEM-19/10/2009) Considere um anel circular de raio R e um ponto genérico ao longo do eixo do anel, a uma distância z do seu centro, como indica a figura.

a) Escreva a expressão da função potencial elétrico no ponto P quando o anel tem uma carga Q distribuída uniformemente ao longo do perímetro. Explique o raciocínio.

b) Escreva a expressão da alínea anterior na aproximação z << R e assim obtenha a expressão do campo elétrico no centro do anel. Comente os resultados?

c) Considere agora que um anel largo de raio interior R1 e raio exterior R2, como mostra a figura. O anel tem uma densidade superficial de carga uniforme igual a σ.

Usando o princípio da sobreposição e o facto de o anel poder ser dividido em anéis de espessura dr, obtenha para o potencial a seguinte expressão:

𝑉(𝑧) = 𝜎

2 𝜖₀(√𝑅₂²+ 𝑧²− √𝑅₁²+ 𝑧²) d) Escreva a expressão do potencial devido a um

disco de raio R e demonstre que para z << R o campo elétrico é praticamente constante.

Comente os resultados.

11. (CEM-19/10/2009)

a) Explicite sucintamente a lei de Gauss. Diga em que situações a lei de Gauss pode ser utilizada para o cálculo do campo elétrico E criado por uma dada distribuição de carga.

b) Considere um cilindro infinito de raio R preenchido por uma densidade volúmica uniforme de carga ρ.

c) Aplicando a lei de Gauss, calcule 𝐸⃗ num ponto genérico à distância x do eixo do cilindro.

(considere separadamente as duas regiões 0 < 𝑥 ≤ 𝑅 𝑒 𝑥 ≥ 𝑅.

O P

z R

P O

R₁ z R₂ +q

-q 2a

z

P₁ O

2a

alínea d

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d) Para o caso 𝑥 ≥ 𝑅, calcule a densidade linear de carga λ de m fio que crie o mesmo campo elétrico 𝐸⃗ calculado na alínea anterior.

e) Considere o mesmo cilindro, mas com um buraco cilíndrico de raio a cujo centro está deslocado de d no eixo dos xx, como mostra a figura. Calcule o campo elétrico 𝐸⃗ ao longo do eixo dos xx dentro do buraco.

12. (CEM-12/01/2010)

a) Considere uma esfera condutora de raio R que é progressivamente eletrizada com uma carga final Q. Calcule o trabalho realizado para a eletrizar.

b) Uma outra esfera, carregada também com Q, possui um 𝜌 que varia linearmente com r.

Calcule o fluxo do campo elétrico que atravessa uma face dum cubo de lado 4R concêntrico com ela.

c) Se essa densidade for dada por 𝜌(𝑟) = 𝜌0. 𝑟, determine 𝜌0.

13. (CEM-12/01/2010) Considere um cilindro muito longo de raio R, carregado com uma densidade volúmica de carga uniforme igual a ρ.

a) Calcule a sua densidade linear λ, isto é, a carga por unidade de comprimento.

b) Calcule o potencial elétrico para todo o espaço.

c) Calcule o trabalho necessário para transportar em linha recta uma carga q entre os pontos com coordenadas

(𝑟, 𝜑, 𝑧) = (2𝑅, 0,0) e (𝑟, 𝜑, 𝑧) = (4𝑅, 𝜋/2,10).

Justifique os seus cálculos.

14. (CEM-26/01/2010) O fio da figura tem um comprimento L, uma espessura desprezável e está carregado com uma densidade linear de carga uniforme λ. O eixo dos xx é perpendicular ao fio. A origem do sistema de coordenadas coincide com o ponto médio do fio.

a) Mostre que o campo elétrico do fio, em qualquer ponto do eixo dos xx é dado por

𝐸⃗ = 1 4𝜋𝜖₀

𝜆𝐿 𝑥 (𝑥²+𝐿²

4 )

1/2𝑒̂_𝑥

b) Partindo da relação anterior escreva a expressão aproximada para o campo elétrico nos limites |x|>>L e |x|<<L

c) Obtenha diretamente os resultados da alínea b) sem usar a alínea a), ou seja, sem usar nem recalcular a expressão para um x genérico. Justifique adequadamente.

x λ

O

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15. (CEM-06/11/2010) Um fio de espessura desprezável, dobrado em forma de anel circular de raio R, está carregado uniformemente com uma carga total Q. Considere que o anel se encontra no plano xoy e que o eixo dos zz passa pelo seu centro. (que, assim, coincide com a origem das coordenadas)

a) Mostre que o campo elétrico num ponto genérico P do eixo dos zz, com coordenadas (0,0,z) é dado por:

𝐸⃗ = 𝑄 4𝜋𝜀0

𝑧

(𝑧²+ 𝑅²)^3/2𝑘̂

b) Considere um disco plano circular de raio R com uma densidade superficial de carga uniforme σ. Este disco pode ser visto como sendo composto por anéis concêntricos de espessura infinitesimal dr e carga dq=σ2πrdr. Partindo do resultado da alínea anterior, calcule o campo elétrico no eixo do disco.

c) Quando a distância de um ponto ao centro do disco é muito menor que a sus distância à periferia do disco, podemos aplicar uma aproximação ao resultado da alínea anterior. Qual passa a ser a expressão do campo elétrico?

d) Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico de um plano infinito e assim confirme o resultado da alínea anterior.

16. (CEM-06/11/2010) Um cilindro de comprimento L e raio R, com 𝑅 ≪ 𝐿 está carregado com uma densidade volúmica de carga 𝜌 = 𝛼𝑟.

a) Determine a carga total do cilindro. Numa primeira aproximação, qual é o campo elétrico num ponto a uma distância do cilindro muito maior que L?

b) Calcule o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do eixo do cilindro muito menor que a sua distância a qualquer das duas extremidades.

Enuncie as aproximações que fizer e apresente resultados para 𝑟 ≤ 𝑅 𝑒 𝑟 ≥ 𝑅.

c) Nas condições da alínea anterior, determine a diferença de potencial entre dois pontos, A e B cujas distâncias ao eixo são rA=R/2 e rB=2R, respetivamente.

d) Considere agora que dois cilindros com as características descritas acima são dispostos paralelamente. Um dos cilindros está centrado na origem e o seu eixo está sobre o eixo dos zz. O eixo do outro cilindro está deslocado 3R segundo 𝑖 (veja a figura).

Considere pontos situados sobre o eixo dos xx. Determine o campo elétrico 𝐸⃗

nas seguintes posições: x=0, x= 3R e x=3/2R.

X=3R

O

z x

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17. (CEM-11/01/2011) A figura representa um conjunto de três cargas pontuais que constituem um quadripolo linear elétrico.

a) Determine o trabalho realizado pelas forças exteriores para trazer as três cargas, que se encontram inicialmente muito afastadas umas das outras, até à configuração representada.

b) Calcule o campo elétrico no ponto S.

c) Calcule o campo elétrico no ponto T.

d) Considere que 𝑑 ≫ 𝑎. Calcule a expressão aproximada do campo elétrico no ponto T e verifique que o seu módulo varia com d^-4. Provavelmente,

as suas contas ficarão mais simples se usar (𝑏 − 𝑐)²(𝑏 + 𝑐)²= ⌊(𝑏 − 𝑐)(𝑏 + 𝑐)⌋² = (𝑏²− 𝑐²)²

18. (CEM-27/01/2011) Um fio de espessura desprezável foi dobrado de maneira a formar ¾ de uma circunferência de raio R. Considere que o fio está no plano xoy, com o centro na origem, de acordo com a figura. O fio está carregado com uma densidade linear de carga λ.

a) Determine o campo elétrico na origem.

b) Determine o potencial elétrico na origem.

c) Considere o ponto P, situado sobre o eixo dos yy, na posição y=1000R. Determine o potencial elétrico nesse ponto, enunciando e justificando todas as aproximações que tiver de fazer.

d) Uma carga pontual –Q encontra-se inicialmente no ponto P da alínea anterior. Calcule o trabalho realizado pelas forças externas para levar quasiestaticamente essa carga até à origem.

Explique porque é que o sinal desse trabalho tinha que ser o que determinou.

19. (CEM-27/01/2011)

a) Uma esfera isoladora de raio R, uniformemente carregada com uma densidade volúmica de carga ρ, tem o seu centro na origem. Calcule o campo elétrico nos pontos P1, de coordenadas x=0, y=R/2 e z=0, e P2 de coordenadas x=2R, y=0 e z=0. Exprima os vetores em coordenadas cartesianas.

b) Considere agora que existe também uma folha plana uniformemente carregada com densidade superficial –σ. Considere

que a folha é suficientemente extensa para ser considerada aproximadamente infinita e que é paralela ao plano xoz, encontrando-se a uma distância 2R dele.

Calcule a nova expressão do campo elétrico no ponto P2.

c) Se tivermos σ/ρ=R/2, existirão dois pontos no semi-eixo positivo dos yy onde o campo elétrico é nulo. Determine as coordenadas y desses dois pontos.

+2Q - Q

-Q O

a

x Z

a

S

X=d Z=d

x y

R

2R R

y

x

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20. (CEM-05/09/2011)

a) Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico criado por um fio recto muito comprido (considerado infinito), carregado uniformemente com uma densidade linear de carga λ.

b) Aplicando o resultado da alínea anterior e o princípio de sobreposição, determine o campo elétrico criado por um plano infinito carregado uniformemente com uma densidade superficial de carga σ.

c) Aplicando diretamente a lei de Gauss, confirme o resultado da alínea anterior.

d) Considere uma placa quadrada de lado a, fixa, centrada na origem e perpendicular ao eixo dos zz. A placa está carregada uniformemente com uma densidade superficial de carga σ. Uma carga pontual q desloca-se ao longo do semieixo positivo zz. Explicando sempre as aproximações que estiver a fazer, qual o trabalho de deslocar quase estaticamente a carga pontual de:

i. z=0,001a para z=0,002a ii. z=2000a para z=1000a.

21. (CEM-26-01-2012) Considere uma esfera isolante de raio R1 carregada com uma densidade volúmica de carga 𝜌 = 𝜌₀𝑟, envolvida por uma coroa esférica de raio interno R1 e externo R2. A superfície externa de raio R2 está ligada à terra, como se mostra na figura.

a) Diga, justificando, qual a distribuição de cargas na esfera (na parte isolante e na parte condutora).

b) Calcule o campo elétrico (𝐸⃗ (𝑟)) em todo o espaço.

c) Calcule o potencial elétrico (V(r)) em todo o espaço.

Considere, agora, que a ligação à terra é feita através de uma fonte de tensão V0 e uma resistência R, como se mostra na figura seguinte. Nesta situação calcule:

d) A distribuição de cargas.

e) A diferença de potencial entre os pontos A e B.

f) A corrente que passa pela resistência R, em regime estacionário.

22. (CEM-10/01/2012) Considere uma esfera isolante, de raio a, carregada com uma densidade volúmica de carga, tal que 𝜌 = 𝑘𝑟². Concêntrica com ela, está uma coroa esférica condutora, com raio interior e exterior a e b, respetivamente. A parte condutora possui carga Q.

a) Diga qual a distribuição de cargas na coroa esférica condutora.

b) Calcule o campo elétrico em todo o espaço.

c) As alterações que sofria a distribuição de cargas na esfera isolante (interior) e na coroa esférica condutora (exterior) quando a parte externa da coroa é ligada à terra.

R₂ R₁

A B

R V₀

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23. (CEM-4/11/2011) Considere um anel de raio R, carregado uniformemente com densidade linear de carga 𝜆>0.

a) Calcule o campo elétrico (𝐸⃗⃗⃗⃗ ₀) no centro do anel.

b) Calcule o potencial elétrico no mesmo ponto (V0).

c) Calcule agora o campo elétrico num ponto P a uma distância d do centro anel, sobre a linha que passa no centro e é perpendicular ao plano que contém o anel (𝐸⃗⃗⃗⃗ _𝑝).

d) Calcule, também, para esse ponto o potencial elétrico Vp.

e) Considere d>>R, obtenha uma expressão aproximada para (𝐸⃗⃗⃗⃗ _𝑝) e comente o resultado.

f) Calcule a energia necessária para colocar uma carga q>0, no centro do anel, vinda do infinito.

24. (CEM-4/1/2011) Considere uma coroa esférica condutora, descarregada, de raios interno e externo a e b respectivamente.

No seu centro está colocada uma carga –Q (ver figura A).

a) Diga qual a distribuição de cargas na esfera condutora.

Calcule:

b) O campo elétrico em todo o espaço.

c) O potencial em todo o espaço.

d) O fluxo do campo elétrico através duma superfície de um cubo com centro na carga –Q e lado l=2a (b>2a). Se o cubo tivesse lado l=10b, qual o novo fluxo?

e) Imagine que no interior da coroa existe uma cavidade oca, esférica, de raio R (ver figura B). Calcule o campo elétrico no centro da cavidade.

25. (EM-10/12/2002) Considere quatro cargas pontuais de valor Q colocadas nos vértices de um quadrado de lado a. Nos dois vértices superiores as cargas são positivas e nos outros vértices são negativas. Calcule o campo elétrico no centro do quadrado.

a) Determine o campo elétrico no ponto central de cada lado.

b) Determine o potencial nos pontos das alíneas a) e b).

c) Determine a energia necessária para trazer uma carga +q de um ponto muito distante para o centro do quadrado. Explique a influência do caminho utilizado na resolução do problema.

d) Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície esférica de raio 2a centrada em O. Justifique claramente se com este resultado pode calcular o campo pedido na alínea a.

R d

λ

P

O

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26. (EM-07/02/2002) Considere o sistema de três cargas pontuais representado na figura.

a) Obtenha uma expressão simplificada para o campo elétrico num ponto do eixo xx’ tal que x>>a.

b) Calcule o potencial elétrico em x=0.

c) Calcule a energia potencial do sistema de três cargas da figura.

d) Considere uma superfície esférica centrada na origem e de raio 2a. Calcule o fluxo do campo elétrico através dessa superfície.

27. (EM-23/01/2006) Um conjunto de três cargas pontuais é colocado nos vértices de um triângulo equilátero de lado L.

a) Determine o fluxo do campo elétrico devido a essas cargas através de uma superfície esférica de raio R concêntrica com o

triângulo, para os casos em que:

i) R>4L ii) R<L/10

b) Determine o campo elétrico nos pontos:

1. À distância d da carga negativa.

2. No ponto médio (b) entre as cargas positivas

c) Enuncie as leis e princípios que utilizou para resolver a alínea anterior.

d) Verifique que condição deve impor para que o valor do campo num determinado ponto tenda para: ₂

4 0

1 d

Q



^.

28. (EM-12/02/1999) Duas esferas (raio de 0.1 a) uniformemente carregadas com carga +q e distanciadas de a estão na configuração da figura. Uma

terceira carga –q é trazida desde o infinito até ao ponto O através da linha marcada.

a) Determine o campo elétrico e o potencial no ponto O (situação inicial: só as cargas positivas).

b) Determine o trabalho que realizam as forças de campo para trazer a carga –q até O.

c) Calcule o fluxo do campo elétrico através das paredes de um cilindro imaginário representado na figura (situação final). Este cálculo permite calcular o campo no ponto A?

d) Considere que a configuração de três cargas é envolvida por uma coroa esférica condutora descarregada, centrada em O, de raio interior 0.8 a e raio exterior a.

i. Esboce a distribuição de carga na superfície da coroa esférica.

ii. Diga, justificando, se é possível calcular o campo elétrico para x=2a. Se a resposta for afirmativa calcule-o.

+q +

+q

a/2

x y

0

+ 2a

A

-q - d L

A B

+Q -Q

+Q

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29. (EM-28/10/2005) Considere um anel de raio R carregado uniformemente com uma carga total Q.

a) Calcule o potencial num ponto P do eixo do anel, à distância d do seu centro.

b) Calcule o campo elétrico num ponto P do eixo do anel à distância d do seu centro.

30. Considere um fio de comprimento L, no qual se encontra uma distribuição de carga λ constante, como se mostra na figura.

a) Calcule o campo elétrico num ponto à distância a da extremidade do fio.

b) Calcule o trabalho realizado para levar uma carga Q daquele ponto até um ponto à distância 2a da mesma extremidade do fio.

31. (EM-01/09/2009) Considere um fio isolante de comprimento L, carregado com uma densidade linear de carga λ constante.

a) Para o cálculo do campo elétrico no ponto P, distanciado de a do fio, pode usar a lei de Gauss?

Justifique a resposta.

b) Calcule o campo elétrico no ponto P.

32. (EM-12/01/2010) Considere uma esfera isoladora de raio a, uniformemente carregada com carga +Q. Concêntrica com ela está uma coroa esférica condutora de raios b e c, interior e exterior respectivamente. Esta coroa esférica está descarregada.

a) Mostre como se distribuem as cargas.

c) Que alterações aconteceriam na distribuição de cargas e no campo elétrico se a coroa esférica fosse ligada à terra.

d) Suponha que a uma distância d do centro da primeira esfera (considere d>c) se encontra uma outra esfera de raio e

(considere e<(d-c)), carregada com carga –Q. Calcule o trabalho realizado pelo sistema constituído pelas duas esferas ao transportar uma carga unitária desde o infinito até ao ponto médio entre elas quando:

i. A esfera de raio c está ligada à terra.

ii. A esfera de raio c não está ligada à terra.

L L+a x

y

c

b a

a λ

P

(13)

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33. (EM-02/11/2009) Considere uma esfera de raio a carregada com uma carga que apresenta uma distribuição volúmica do tipo 𝜌 = 𝑟³. Concêntrica com ela está uma coroa esférica condutora com carga +Q1, de raios interior e exterior b e c respectivamente.

a) Faça um esboço da distribuição de cargas.

c) Calcule o potencial em r=b.

d) Calcule a divergência do campo para r=a/2.

34. (EM-12/11/2008) Considere uma esfera de raio a, carregada, com distribuição volúmica de carga 𝜌 = 2𝑟. Concêntrica com ela está uma coroa esférica condutora carregada com carga +Q, de raios interior e exterior b e c respetivamente.

c) Calcule o potencial para r=b.

Seguidamente liga a esfera exterior à terra.

d) Faça um esboço da nova distribuição de carga.

e) Diga, justificando, em que zonas o campo elétrico é alterado, relativamente à alínea a).

f) Calcule a divergência do campo elétrico para 𝑏 ≤ 𝑟 ≤ 𝑐.

g) Considere agora que entre b e c e centrado em (b+c)/2 existe um buraco de forma esférica com raio menor que

(c-b)/2. Diga justificando qual o campo elétrico em todo o espaço.

35. (EM-13/01/2009) Considere uma esfera condutora de raio a, carregada com carga +Q.

Concêntrica com ela está uma coroa esférica isoladora de raio interior b e exterior c.

Esta coroa, isoladora, está carregada tendo uma distribuição volúmica 𝜌 = 2𝑟. (r é a distância ao centro)

c) Calcule o trabalho realizado ao mover uma carga +q do infinito até r=c.

d) Calcule o divergente do campo elétrico para 𝑏 ≤ 𝑟 ≤ 𝑐.

Considere agora que dentro do condutor (isto é, dentro da esfera de raio a) existe um orifício esférico.

e) Qual o campo elétrico no interior deste orifício? Justifique a resposta.

f) Que alterações sofre este campo elétrico se ligar um ponto da superfície de raio c à terra? Justifique.

36. (EM-12/11/2007) Considere uma esfera de raio a, carregada positivamente com, uma distribuição volúmica de carga ρ1=K (K é uma constante). Concêntrica com ele está uma coroa esférica de raios interior e exterior b e c respetivamente, carregada com distribuição volúmica de carga ρ2=S-r (S é uma constante).

b) Esboce o gráfico do campo elétrico em função da distância para r<b.

c) Calcule a diferença de potencial entre a superfície da esfera de raio a e o centro da mesma.

d) Calcule a 𝑑𝑖𝑣 𝐸⃗ para um ponto à distância r=a/2do centro.

e) Calcule o fluxo do campo elétrico através de uma superfície de um cubo de lado d, com d>2c, centrado com a esfera.

c

b a

(14)

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37. (EM-27/01/2009) Considere um cilindro muito comprido, de raio a, carregado com carga cuja densidade é +λ1. Concêntrico com aquele está uma superfície cilíndrica condutora de raio b, com densidade de carga –λ2.(ver figura)

b) Calcule a diferença de potencial entre os condutores.

c) O que acontece quando liga a superfície exterior à terra?

Justifique.

d) Que alterações se verificam na alínea quando se preenche o espaço entre a e b com um dielétrico com permitividade relativa εr=10?

Justifique.

38. (EM-08/01/2008) Um tubo longo cilíndrico, condutor, tem comprimento L, raio interior r1 e raio exterior r2, considerar que L>>r2 de forma a poder ignorar efeitos de ponta. Uma quantidade de carga +q é colocada no tubo, na sua parte interior, através de contacto com um objeto carregado.

a) Identifique o processo de eletrização utilizado.

b) Explique o que se entende por efeito de ponta.

c) Como se vai distribuir a carga? Determine os valores das cargas em cada superfície.

d) Calcule o campo elétrico em todo o espaço.

e) Qual é a diferença de potencial entre o exterior do cilindro e o seu eixo.

Justifique.

f) Se colocar um dielétrico na cavidade do tubo, com permitividade εr, como se altera a resposta à alínea d)?

39. (EM-09/01/2007) Considere uma esfera de raio R1, carregada. O fluxo do campo elétrico através de uma superfície esférica de raio Rs que encerra completamente a esfera condutora, mas está descentrada, é dada por φ.

a) Qual o valor da carga na esfera condutora?

b) Como se distribui a carga na esfera? Justifique.

c) Determine o campo elétrico e o potencial elétrico em todo o espaço.

d) Imagine que liga através de um cabo condutor uma outra esfera condutora à esfera inicial. Esta

nova esfera tem raio R2 e carga inicial Q2. Qual o potencial final e a carga em cada uma das esferas? (suponha que as esferas estão muito afastadas).

a

b

R₁ RS

(15)

15/15 Impresso em 30-09-2014

40. Considere um plano infinito carregado com uma densidade superficial de carga σ.

b) Explique qualitativamente porque razão dois pontos a distâncias diferentes do plano apresentam o mesmo campo elétrico.

c) Mostre que o campo elétrico produzido por um disco de raio R, carregado com uma densidade superficial de carga σ é, num eixo perpendicular ao disco dada por(x é a distância ao disco)

𝐸 = 𝜎

2𝜖₀(1 − 𝑥

√𝑥²+ 𝑅²)

d) Calcule o potencial no centro do disco, considerando o potencial nulo para o ponto x=1.

e) Imagine que, no plano da figura se abriu um buraco circular de raio R (ver figura). Calcule o campo elétrico no ponto P.

R

3R P