Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumário Página
O triângulo e seus elementos ... 1
Reconhecendo triângulos ... 1
Classificação quanto aos lados ... 1
Classificação quanto aos ângulos ... 2
Relação entre as medidas dos ângulos do triângulo ... 2
Os quadriláteros e seus elementos ... 6
Conhecendo alguns quadriláteros especiais... 6
Paralelogramos ... 6
Retângulo ... 7
Losango... 7
Quadrado... 7
Trapézios ... 8
Relação entre as medidas dos ângulos do quadrilátero ... 8
Referências bibliográficas... 12
Noções básicas de triângulos e quadriláteros
O triângulo e seus elementos
Como você sabe, triângulo é um polígono de três lados. No triângulo ABC da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:
Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo ABC.
Os segmentos AB , AC e BC são os lados do triângulo ABC.
Os ângulos Aˆ , Bˆ e Cˆ assinalados na figura são os ângulos internos do triângulo ABC.
Utilizamos o símbolo ∆ para indicar um triângulo.
Reconhecendo triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou com as medidas de seus ângulos internos.
Classificação quanto aos lados
Classificação quanto aos ângulos
Relação entre as medidas dos ângulos do triângulo
Consideremos o ∆ABC, a seguir, e sendo a, b e c as medidas de seus ângulos internos.
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º.
Se a, b e c expressam as medidas dos três ângulos internos de um triângulo qualquer, temos: a+b+c =180o.
Exemplos:
a) Calcular a medida x na figura abaixo.
Como 75º, x e 2x são as medidas dos ângulos internos do ∆ABC, temos:
o o
o o o
o o
35 x
3 x 105
105 x
3
75 180 x
3
180 x
2 x 75
=
=
=
−
=
= + +
b) No triângulo retângulo da figura, a medida de Bˆ supera a medida de Cˆ em 10º. Quais as medidas dos três ângulos do triângulo?
medida de Cˆ = x medida de Bˆ = x + 10º medida de Aˆ = 90º
Através da relação, temos:
o o o
o o
o o
o o
o
40 x
2 x 80
80 2x
100 180
x 2
180 100
x 2
180 90
10 x x
=
=
=
−
=
= +
= +
+ +
EXERCÍCIOS A
(1) Com o auxílio de uma régua, efetue as medições necessárias e classifique os triângulos quanto aos lados:
a) b) c)
(2) Com o auxílio de um transferidor, efetue as medições necessárias e classifique os triângulos quanto aos ângulos:
a) b) c)
(3) Nas figuras a seguir, determine o valor de x:
a) b)
c) d)
Os quadriláteros e seus elementos
Como você já estudou anteriormente, quadrilátero é um polígono de quatro lados. No quadrilátero ABCD da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:
Os pontos A, B, C e D são os vértices do quadrilátero ABCD.
Os segmentos AB , BC, CD e DA são os lados do quadrilátero ABCD.
Os ângulos Aˆ , Bˆ , Cˆ e Dˆ assinalados na figura são os ângulos internos do quadrilátero ABCD.
O segmento AC , cujas extremidades são dois vértices não-consecutivos, é uma diagonal do quadrilátero ABCD. O segmento BD é outra diagonal desse quadrilátero.
Conhecendo alguns quadriláteros especiais
Paralelogramos
O paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, dois a dois.
Paralelogramo ABCD:
CD //
AB e AD//BC
Dentre os paralelogramos podemos destacar:
Retângulo
É o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes (os quatro ângulos são retos).
Losango
É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.
Quadrado
É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e também os quatro ângulos congruentes (retos).
Trapézios
O trapézio é o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos.
Trapézio ABCD:
CD //
AB
As figuras nos mostram trapézios que têm os três
lados diferentes. São os chamados trapézios
escalenos.
As figuras nos mostram trapézios que têm dois ângulos internos retos. São
os chamados trapézios retângulos.
As figuras nos mostram trapézios cujos lados não- paralelos são congruentes.
São os chamados trapézios isósceles.
Relação entre as medidas dos ângulos do quadrilátero
Consideremos o quadrilátero ABCD, a seguir, e sendo a, b, c e d as medidas de seus ângulos internos.
Em quadrilátero, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 360º. Se a, b, c e d expressam as medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero
qualquer, temos: a+b+c+d = 360o.
Exemplo:
► Calcular a medida x e Bˆ na figura abaixo.
Como x, x − 14º, 69º e 133º são as medidas dos ângulos internos do quadrilátero ABCD, temos:
o o
o o
o
86 x
2 x 172
º 172 x
2
º 188 º 360 x
2
360 º
188 x 2
360 º 202 º 14 x 2
360 º
133 º 69 º 14 x x
=
=
=
−
=
= +
= +
−
= +
+
− +
Como:
72º Bˆ
14º 86º Bˆ
14º x Bˆ
=
−
=
−
=
EXERCÍCIOS B
(1) O quadrilátero da figura abaixo é um paralelogramo? Justifique sua resposta.
(2) Sabemos que o retângulo possui os quatro ângulos congruentes e retos. No retângulo abaixo, determine o valor de a+b+c+d, onde a, b, c e d são as medidas dos quatro ângulos internos do retângulo.
(3) No trapézio abaixo, determine, usando um transferidor, as medidas a, b, c e d dos ângulos internos. A seguir, calcule a+b+c+d.
(4) Complete as palavras cruzadas abaixo de acordo com as perguntas.
HORIZONTAIS VERTICAIS
1. Quadrilátero com os lados opostos paralelos.
2. Diz-se de um triângulo que tem um ângulo interno obtuso.
3. Diz-se de um triângulo que tem todos os lados iguais.
6. Quadrilátero com todos os lados iguais.
4. Quadrilátero com os ângulos internos retos.
8. Paralelogramo com os lados iguais e os ângulos retos.
5. Diz-se de um triângulo que tem todos os ângulos internos agudos.
7. Diz-se de um trapézio que tem dois lados iguais.
9. Quadrilátero com pelo menos dois lados paralelos.
10. Diz-se de um trapézio com os lados todos diferentes.
Referências bibliográficas
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS LIMA DE FREITAS. Disponível em:
<http://www.limafreitas.org >. Acesso em: 8 de novembro de 2008.
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo:
Ática, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>.
Acesso em: 23 de outubro de 2008.
