Indicações para a elaboração do trabalho a realizar em horário extra lectivo

Indica¸c˜oes para a elabora¸c˜ao do trabalho a realizar em hor´ario extra lectivo

O trabalho consiste na elabora¸c˜ao de um programa que contenha a implementa¸c˜ao de um dos m´etodos estudados na disciplina em MATLAB e na elabora¸c˜ao de um relat´orio.

Em rela¸c˜ao ao relat´orio, os grupos s˜ao livres de escolher a sua estrutura, devendo no entanto atender a que:

• deve ser escrito de forma clara e concisa;

• a primeira p´agina dever´a conter a informa¸c˜ao do curso, disciplina, ano lectivo actual, t´ıtulo do trabalho, nome e n´umero de estudante dos elementos do grupo e data.

O conte´udo do relat´orio dever´a conter

• introdu¸c˜ao (onde, sucintamente, s˜ao apresentados o objectivo e a estrutura do trabalho desenvolvido);

• fundamenta¸c˜ao te´orica do m´etodo em causa;

• o programa final, explicando com detalhe os comandos e procedimentos utilizados;

• resultados obtidos pelo programa na resolu¸c˜ao do exemplo proposto no enunciado do tra-balho;

• conclus˜oes;

• bibliografia consultada.

No final, o grupo dever´a enviar um email ao docente da disciplina com o assunto Trabalho pr´atico de M´etodos Num´ericoscontendo como anexo o ficheiro MATLAB com a implementa¸c˜ao do m´etodo e no corpo do email a identifica¸c˜ao dos elementos do grupo. O relat´orio dever´a ser entregue por escrito.

A data limite de entrega dos trabalhos ´e 7 de Junho de 2006.

Trabalho 1 - M´etodo do Ponto-Fixo

O volume V de um l´ıquido num tanque esf´erico de raio r est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌ πh

2

(3r − h)

3 (1)

Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o do Ponto Fixo.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m3

. Considere como crit´erio de paragem um erro m´aximo de 10−3

Trabalho 2 - M´etodo do Ponto-Fixo

O volume V de um l´ıquido num tanque esf´erico de raio r est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌ πh

2

(3r − h)

3 (1)

Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o do Ponto Fixo.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m3

Trabalho 3 - M´etodo de Newton-Raphson

O volume V de um l´ıquido num tanque esf´erico de raio r est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌ πh

2

(3r − h)

3 (1)

Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de Newton-Raphson.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m3

. Considere como crit´erio de paragem um erro m´aximo de 10−3

Trabalho 4 - M´etodo de Newton-Raphson

O volume V de um l´ıquido num tanque esf´erico de raio r est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌ πh

2

(3r − h)

3 (1)

Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de Newton-Raphson.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m3

Trabalho 5 - M´etodo de Ponto-Fixo

O volume V de um l´ıquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌  r2 arccos r − h r  − (r − h) √ 2rh − h2  L ₍₁₎

Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r,L e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de M´etodo de Ponto-Fixo.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V= 8 m3

. Considere como crit´erio de paragem um erro m´aximo de 10−5

Trabalho 6 - M´etodo de Ponto-Fixo

O volume V de um l´ıquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌  r2 arccos r − h r  − (r − h) √ 2rh − h2  L ₍₁₎

Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r,L e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de M´etodo de Ponto-Fixo.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V= 8 m3

Trabalho 7 - M´etodo de Newton-Raphson

O volume V de um l´ıquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌  r2 arccos r − h r  − (r − h) √ 2rh − h2  L ₍₁₎

Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r,L e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de M´etodo de Newton-Raphson.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V= 8 m3

Trabalho 8 - M´etodo de Newton-Raphson

O volume V de um l´ıquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L est´a relacionado com a altura h do l´ıquido por:

V ₌  r2 arccos r − h r  − (r − h) √ 2rh − h2  L ₍₁₎

Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m3

).

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular h, a partir da igualdade (1). O programa dever´a ter como inputs as constantes r,L e V e como outputs dever´a apresentar o valor calculado, o n´umero de itera¸c˜oes calculadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de M´etodo de Newton-Raphson.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ mostrar o gr´afico da fun¸c˜ao em quest˜ao, por forma a garantir a existˆencia de solu¸c˜ao; + indicar ao utilizador a aproxima¸c˜ao inicial a utilizar;

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao;

Aplica¸

c˜

ao

Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V= 8 m3

. Considere como crit´erio de paragem um erro m´aximo de 10−5

Trabalho 9 - M´etodo de Gauss-Seidel

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares. O programa dever´a ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproxima¸c˜oes iniciais. Como outputs dever´a apresentar a aproxima¸c˜ao calculada, o n´umero de itera¸c˜oes efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de Gauss-Seidel.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ verificar se a matriz dos coeficientes do sistema ´e estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso n˜ao o seja, informar o utilizador e dar-lhe a op¸c˜ao de continuar ou parar a execu¸c˜ao do programa;

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao.

Aplica¸

c˜

ao

Considere a figura: O seguinte sistema de equa¸c˜oes foi gerado por aplica¸c˜ao da lei de voltagem nos n´os

para o circuito representado na figura anterior:    17V1_{− 8}V2_{− 3}V3 = 480 −2V1+ 6V2_{− 3}V3 = 0 −V1 _{− 4}V2+ 13V3 = 0

Encontre uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao ( [V1 V2 V3]T ) do sistema com erro inferior a 10− 4

Trabalho 10 - M´etodo de Jacobi

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares. O programa dever´a ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproxima¸c˜oes iniciais. Como outputs dever´a apresentar a aproxima¸c˜ao calculada, o n´umero de itera¸c˜oes efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de Jacobi.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ verificar se a matriz dos coeficientes do sistema ´e estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso n˜ao o seja, informar o utilizador e dar-lhe a op¸c˜ao de continuar ou parar a execu¸c˜ao do programa;

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao.

Aplica¸

c˜

ao

Considere a figura: O seguinte sistema de equa¸c˜oes foi gerado por aplica¸c˜ao da lei de voltagem nos n´os

para o circuito representado na figura anterior:    17V1_{− 8}V2_{− 3}V3 = 480 −2V1+ 6V2_{− 3}V3 = 0 −V1 _{− 4}V2+ 13V3 = 0

Encontre uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao ( [V1 V2 V3]T ) do sistema com erro inferior a 10− 4

Trabalho 11 - M´etodo de Jacobi

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares. O programa dever´a ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproxima¸c˜oes iniciais. Como outputs dever´a apresentar a aproxima¸c˜ao calculada, o n´umero de itera¸c˜oes efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de Jacobi.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ verificar se a matriz dos coeficientes do sistema ´e estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso n˜ao o seja, informar o utilizador e dar-lhe a op¸c˜ao de continuar ou parar a execu¸c˜ao do programa;

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao.

Aplica¸

c˜

ao

Considere a figura: O seguinte sistema de equa¸c˜oes foi gerado por aplica¸c˜ao da lei de voltagem nos n´os

para o circuito representado na figura anterior:    17V1_{− 8}V2_{− 3}V3 = 480 −2V1+ 6V2_{− 3}V3 = 0 −V1 _{− 4}V2+ 13V3 = 0

Encontre uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao ( [V1 V2 V3]T ) do sistema efectuando 15 itera¸c˜oes do referido

Trabalho 12 - M´etodo de Gauss-Seidel

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes lineares. O programa dever´a ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproxima¸c˜oes iniciais. Como outputs dever´a apresentar a aproxima¸c˜ao calculada, o n´umero de itera¸c˜oes efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O m´etodo num´erico utilizado pelo programa dever´a ser o de Gauss-Seidel.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ permitir ao utilizador escolher o crit´erio de paragem do m´etodo num´erico (no

de itera¸c˜oes ou erro m´aximo);

+ verificar se a matriz dos coeficientes do sistema ´e estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso n˜ao o seja, informar o utilizador e dar-lhe a op¸c˜ao de continuar ou parar a execu¸c˜ao do programa;

+ fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao.

Aplica¸

c˜

ao

Considere a figura: O seguinte sistema de equa¸c˜oes foi gerado por aplica¸c˜ao da lei de voltagem nos n´os

para o circuito representado na figura anterior:    17V1_{− 8}V2_{− 3}V3 = 480 −2V1+ 6V2_{− 3}V3 = 0 −V1 _{− 4}V2+ 13V3 = 0

Encontre uma aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao ( [V1 V2 V3]T ) do sistema efectuando 15 itera¸c˜oes do referido

Trabalho 13 - Ajuste Polinomial

Projecto

Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular o polin´omio de grau m que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. O programa dever´a ter como input o conjunto de pontos e o grau do polin´omio e como outputs o polin´omio de grau m que melhor se ajusta ao conjunto de dados, o valor do polin´omio num ponto especificado e o respectivo coeficiente de determina¸c˜ao.

Especifica¸

c˜

oes

O programa dever´a

+ Calcular o polin´omio de grau m que melhor se ajusta aos pontos dados;

+ permitir o c´alculo do valor desse polin´omio num ponto especificado pelo utilizador; + fornecer ao utilizador todas as indica¸c˜oes necess´arias `a sua correcta utiliza¸c˜ao.

Aplica¸

c˜

ao

Considere a seguinte figura:

Um individuo ´e suspenso num t´unel de vento como mostra a figura anterior e ´e medida a for¸ca da resistˆencia do ar para diferentes valores de velocidade do vento. Os dados obtidos encontram-se na seguinte tabela:

Velocidade(m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80 For¸ca(N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450 1. Calcule o polin´omio de grau:

(a) m = 3 (b) m = 5