Prof.Dr.M´arioOt´avioSalles Memorial

Memorial

Prof. Dr. M´ ario Ot´ avio Salles

Memorial

2 de setembro de 2011

Sum´ ario

1 Descric¸ ˜ao da atuac¸ ˜ao profissional 1

1.1 Identificac¸ ˜ao . . . 1

1.2 Formac¸ ˜ao acad ˆemica . . . 2

1.3 Experi ˆencia profissional . . . 5

1.4 Experi ˆencia na ´area de ensino . . . 5

1.5 Atuac¸ ˜ao profissional na ´area de ensino . . . 6

1.6 Atividades de pesquisa . . . 8

1.7 Participac¸ ˜ao em comiss ˜oes julgadoras . . . 13

1.8 Atividades acad ˆemicas . . . 14

1.9 Atividades administrativas . . . 15

1.10 Experi ˆencia em extens ˜ao universit ´aria . . . 17

2 Projeto de atuac¸ ˜ao profissional 19 2.1 Ensino . . . 19

2.2 Pesquisa . . . 21

2.3 Extens ˜ao . . . 27

A Poster 29

B Relat ´orio T ´ecnico 31

3

Cap´ıtulo 1

Descri¸ c˜ ao da atua¸ c˜ ao profissional

Neste cap´ıtulo farei uma exposic¸ ˜ao da minha trajet ´oria pessoal e acad ˆemica, incluindo formac¸ ˜ao, atividades de ensino, pesquisa e extens ˜ao universit ´aria, e que definiram a direc¸ ˜ao dada `a carreira a partir das linhas de atuac¸ ˜ao e escolhas profissionais.

1.1 Identifica¸ c˜ ao

Data de Nascimento: 07 de agosto de 1970 Local de Nascimento: Joinville - Santa Catarina Nacionalidade: Brasileiro

Estado Civil: Casado

CPF: 501507580-49

Enderec¸o: Rua Giulio Romano, 81 apto 44-A

CEP 05358-090 — Jd. Bonfiglioli, S ˜ao Paulo - SP

Telefone: (011) 37632978

(011) 96784678

Correio Eletr ˆonico: mario.salles@gmail.com

1

1.2 Forma¸ c˜ ao acadˆ emica

Para entender a construc¸ ˜ao da minha carreira acad ˆemica, levo ao in´ıcio desta trajet ´oria nos anos 80, quando estudante do curso t ´ecnico em auxiliar de adubac¸ ˜ao em S ˜ao Sebasti ˜ao do Ca´ı, uma pequena cidade do interior do Rio Grande do Sul. Nesta ´epoca tamb ´em trabalhava como auxiliar de laborat ´orio no setor de controle de qualidade em uma industria de alimentos. Assim que conclui o ensino m ´edio me deparei com a necessidade de decidir sobre duas possibilidades, continuar na ´area de engenharia qu´ımica ou alimentos, ou iniciar em outra ´area, na f´ısica. Em 1988, ap ´os uma visita a UFRGS, onde pude conversar com professores e alunos, decidi pelo curso de f´ısica. Inicie o curso em 1989 que posteriormente, por motivos pessoais abandonei.

1.2.1 Gradua¸ c˜ ao

Em 1992 reiniciei a graduac¸ ˜ao na USP, e neste periodo tive contato com as v ´arias atividades e vis ˜oes das possibilidades da f´ısica e entre as v ´arias habilitac¸ ˜oes do curso de f´ısica como mi- croeletr ˆonica, f´ısica m ´edica e outros, optei por pesquisa b ´asica. A atrac¸ ˜ao pela f´ısica te ´orica foi em grande parte influenciada pela autonomia e liberdade que esta ´area apresentava. Consider- ava a f´ısica experimental o motor da ci ˆencia, mas observava que encontraria maiores restric¸ ˜oes e limitac¸ ˜oes devido aos nichos que naturalmente surgem neste campo.

Curso: Bacharelado em F´ısica - Habilita¸c˜ao em Pesquisa B´asica

Instituic¸ ˜ao: Universidade de S ˜ao Paulo (USP) Instituto de F´ısica

Per´ıodo: 1992 a junho de 1996

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP

1.2.2 P´ os-gradua¸ c˜ ao

Por indicac¸ ˜ao do Prof. Dr. Henrique Fleming do IFUSP, ainda na graduac¸ ˜ao contatei o Prof.

Dr. Frank Michael Forger do IME-USP, que orientou-me no programa de Iniciac¸ ˜ao Cient´ıfica na ´area de Mec ˆanica Cl ´assica no Departamento de Matem ´atica Aplicada. Antes de termi- nar a graduac¸ ˜ao, como pr ´e-requisito para admiss ˜ao no programa de mestrado do Departa- mento de Matem ´atica Aplicada da USP cursei a disciplina de p ´os-graduac¸ ˜aoC ´alculo Diferencial Geom ´etrico emRⁿ. Durante o mestrado cursei 10 disciplinas nas ´areas de geometria, an ´alise, topologia e ´algebra. No mestrado o tema da dissertac¸ ˜ao estava dentro do contexto de mec ˆanica cl ´assica e no doutorado o tema da tese estava dentro do contexto da teoria cl ´assica dos campos.

1.2 Formac ¸˜ ao acadˆ emica

Mestrado

Area:´ Matem´atica Aplicada

Instituic¸ ˜ao: Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica Universidade de S ˜ao Paulo

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP Per´ıodo: De agosto de 1996 a fevereiro de 1999

Pesquisa: Integrabilidade do Fluxo Geod ´esico na Soluc¸ ˜ao de Kerr Orientador: Prof. Dr. Frank Michael Forger

Org ˜ao de Fomento: CNPq

Resumo

Neste trabalho, provamos a integrabilidade do fluxo geod ´esico na soluc¸ ˜ao de Kerr, que inclui como caso especial a soluc¸ ˜ao de Schwarzschild e descreve a geometria do espac¸o- tempo ao redor de um corpo isolado em rotac¸ ˜ao, em particular uma estrela de neutrons (pulsar) ou um buraco negro em rotac¸ ˜ao. Para verificar a integrabilidade do fluxo geod ´esico em uma variedade de Einstein, s ˜ao necess ´arias quatro constantes do movimento que comu- tam. Por ´em, o fluxo geod ´esico para a soluc¸ ˜ao de Kerr apresenta apenas tr ˆes constantes de movimento que comutam e s ˜ao mais ou menos ´obvias: a HamiltonianaH, a energiaE e o momento angularL₃ em torno do eixo de rotac¸ ˜ao. Uma quarta quantidade conservada foi descoberta por Carter e hoje ´e conhecida como constante de Carter: como a Hamiltoniana H, ela ´e quadr ´atica nos momentos. Sua exist ˆencia decorre do fato de que a m ´etrica de Kerr admite um segundo tensor de Killing de posto2, al ´em do tensor m ´etrico, que foi encontrado pela primeira vez por Walker e Penrose. Na presente dissertac¸ ˜ao, mostramos que estes dois tensores de Killing e os dois vetores de Killing tradicionais comutam sob o colchete de Schouten e que, portanto, as quatro constantes de movimento do fluxo geod ´esico no espac¸o- tempo de Kerr est ˜ao em involuc¸ ˜ao. Ademais, mostramos que estas constantes tamb ´em s ˜ao funcionalmente independentes, o que permite concluir que o fluxo geod ´esico no espac¸o- tempo de Kerr ´e um sistema Hamiltoniano completamente integr ´avel, no sentido de Liouville.

Doutorado

Area:´ Matem´atica Aplicada

Instituic¸ ˜ao: Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica Universidade de S ˜ao Paulo

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP Per´ıodo: De marc¸o de 1999 a outubro de 2004

Pesquisa: “Campos hamiltonianos e colchete de Poisson da teoria geometrica dos campos”

em: Orientador: Prof. Dr. Frank Michael Forger Org ˜ao de Fomento: CNPq

Resumo

Na generalizac¸ ˜ao do arcabouc¸o simpl ´etico da mec ˆanica `a teoria dos campos, o m ´etodo tradicional baseado em dados iniciais n ˜ao ´e covariante, pois depende da escolha “a priori”

de uma hipersuperf´ıcie de Cauchy. Dois formalismos tem sido desenvolvidos para superar este problema: a abordagem multissimpl ´etica [3, 18, 20–22, 30] e a abordagem pelo espac¸o de fase covariante ou formalismo funcional covariante [4, 5, 31, 32]. Uma quest ˜ao central em ambas ´e a procura por uma definic¸ ˜ao natural de colchetes de Poisson. Na abordagem multissimpl ´etica, existem v ´arias propostas de diferentes autores (veja, por exemplo, [10] e refer ˆencias citadas), enquanto que na abordagem pelo espac¸o de fase covariante, a definic¸ ˜ao

´e originalmente devida a Peierls [23] e foi geometrizada por DeWitt [6–8]; a construc¸ ˜ao deste colchete de Peierls -DeWitt dentro do formalismo multissimpl ´etico foi recentemente elaborada por Forger e Romero [16, 29]. Esta tese apresenta primeiros resultados mostrando que, pelo menos em certos casos especiais, os diferentes tipos de colchete de Poisson coincidem.

1.3 Experiˆ encia profissional

1.3 Experiˆ encia profissional

Minha primeira experi ˆencia profissional foi no comec¸o dos anos 80, sem registro em carteira, onde ajudava meio periodo na produc¸ ˜ao de uma olaria do meu av ˆo, que posteriormente pas- sou para administrac¸ ˜ao de um tio. No comec¸o de 85 ingressei no curso T ´ecnico de auxiliar de adubac¸ ˜ao. Antes de encerrar o ensino m ´edio comecei a trabalhar numa industria local como auxiliar t ´ecnico em qu´ımica.

• Auxiliar T´ecnico em Qu´ımica No per´ıodo de julho de 1986 `a junho de 1988 na Conservas Oderich S.A., Rua Oderich, 807, CEP 95760-00, S ˜ao Sebasti ˜ao do Ca´ı, RS.

P ´agina: www.oderich.com.br.

1.4 Experiˆ encia na ´ area de ensino

Durante a graduac¸ ˜ao e a p ´os-graduac¸ ˜ao tive uma s ´erie de experi ˆencias, fora da universidade e dentro dela, que foram fundamentais para construir um entendimento das rotinas e din ˆamicas do trabalho de ensinar. Dentro da USP trabalhei como monitor e participei de est ´agios.

Monitoria em disciplinas de Gradua¸c˜aono Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica da Universidade de S ˜ao Paulo nas disciplinas:

• MAT-105, Vetores e Geometria Anal´ıtica: 1^o semestre de 1996, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Jos ´e Ant ˆonio Verderesi.

• MAT-215,C´alculo Diferencial e Integral III para Oceonografia:1^osemestre de 2003, sob a coordenac¸ ˜ao dos Prof. Dr. Deciberg Lima Goncalves e Prof. Dr. Albert Meads Fisher.

• MAT-320, Introdu¸c˜ao `a An´alise Complexa: 2^o semestre de 2003, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira.

• MAT-205,C´alculo Diferencial e Integral III:1^o semestre de 2004, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Paulo Domingos Cordaro.

Est´agio docˆencia no Programa de Aperfeic¸oamento ao Ensino (PAE) no Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica da Universidade de S ˜ao Paulo. Participac¸ ˜ao incluia preparar e min- istrar aulas, al ´em de preparar e corrigir listas de Exerc´ıcios e Provas, nas seguintes disciplinas:

• MAP-0416,M´etodos Matem´aticos da F´ısica:2^osemestre de 2000, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Frank Michael Forger.

• MAP-0320, Mecˆanica Racional: 1^o semestre de 2001, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr.

Pedro Aladar Tonelli.

Professor particular em disciplina de P´os-Gradua¸c˜ao para aluno do mestrado da Fundac¸ ˜ao Get ´ulio Vargas

• Otimiza¸c˜ao dinˆamica:1^osemestre de 2004.

• Econometria:2^osemestre de 2004.

1.5 Atua¸ c˜ ao profissional na ´ area de ensino

No in´ıcio de 2006 fui contratado em regime emergencial como professor associado numa Facul- dade de Tecnologia (FATEC), instituic¸ ˜ao de ensino superior p ´ublica tecnol ´ogico estadual, que ini- ciaria as atividades no comec¸o deste ano. Esta FATEC est ´a localizada na cidade de Carapicu´ıba pertence Grande S ˜ao Paul e possue uma populac¸ ˜ao de aproximadamente 400.000 habitantes e respode pela menor renda per capita do estado de S ˜ao Paulo. A faculdade iniciou com o curso de Tecn ´ologo em Log´ıstica - ˆenfase em transporte, e em 2008 comec¸ou os cursos de ASTI - An ´alise de Sistemas e Tecnologia da Informac¸ ˜ao - que estava desenhado dentro do conceito de graus cumulativos adaptando-se ao processo de Bolonha. Neste modelo o curso possuia 4 vertentes:

Bacharelado, Licenciatura, Tecn ´ologo em redes e Tecn ´ologo em Jogos. Em 2009 iniciou o curso de Tecn ´ologo em Secretariado.

Instituic¸ ˜ao: Faculdade de Tecnologia de Carapicu´ıba - FATEC In´ıcio: marc¸o de 2006

V´ınculo: servidor p ´ublico Enquadrament: professor Associado

Enderec¸o Avenida Francisco Pignatari, 650 – CEP 06310-390 Vila Gustavo Correia - Carapicu´ıba/SP

Homepage: www.fateccarapicuiba.edu.br

Disciplinas ministradas no curso de Log´ıstica - ˆenfase em transportes

• 2006 (1^osem): Matem ´atica

• 2006 (2^osem): Matem ´atica Estat´ıstica

Matem ´atica Financeira

1.5 Atuac ¸˜ ao profissional na ´ area de ensino

Disciplinas ministradas no curso de Log´ıstica e Transportes

• 2007 (1^osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2007 (2^osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2008 (1^osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2008 (2^osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2009 (2^osem): Matem ´atica Financeira Estat´ıstica

Disciplinas ministradas no curso de An ´alise e Sistemas da Informac¸ ˜ao

• 2008 (1^osem): Matem ´atica Discreta I Disciplinas ministradas no curso de Log´ıstica

• 2010 (1^osem): C ´alculo para Log´ıstica II

• 2010 (2^osem): C ´alculo I

C ´alculo para Log´ıstica II Estat´ıstica Aplicada `a Gest ˜ao

• 2011 (1^osem): Estat´ıstica Aplicada `a Gest ˜ao

1.5.1 Outras atividades na ´ area de ensino

A partir de 2006 comecei a desenvolver uma din ˆamica voltada a atender a realidade socioeco- nomica dos alunos das disciplinas iniciais. Estas atividades receberam apoio institucional na forma de horas atividades especificas e fizeram parte de politica de apoio aos alunos da Fatec entre o segundo semestre de 2006 e o segundo semestre de 2008. Para este projeto eram disponibilizadas em m ´edia 6 horas semanais e uma bolsa de monitoria.

1.6 Atividades de pesquisa

Durante o periodo da minha graduac¸ ˜ao e p ´os-graduac¸ ˜ao participei do grupo de pesquisa de F´ısica Matem ´atica do departamento de Matem ´atica Aplicada da USP. V ´arias dissertac¸ ˜oes e teses foram gestadas, elaboradas e defendidas durante este periodo, sendo que os debates e discuss ˜oes invariavelmente eram feitos em semin ´arios e palestras. Linhas e projetos de pesquisa do grupo:

• Teoria Geom ´etrica dos Campos: desenvolvimento da teoria cl ´assica dos campos de um ponto de vista geom ´etrico, com ˆenfase em aspectos estruturais que s ˜ao importantes para a quantizac¸ ˜ao.

• Sistemas Hamiltonianos Integr ´aveis: investigar as matrizes R din ˆamicas, que ao contr ´ario da noc¸ ˜ao de uma matriz R introduzida por Yang e Baxter no final dos anos 60 (central nos

”grupos qu ˆanticos”).

• Biomatem ´atica: estudar simetria e quebra de simetria no c ´odigo gen ´etico. Assumindo a hip ´otese da evoluc¸ ˜ao atrav ´es de um processo acompanhado pela quebra de sime- tria, classificamos as poss´ıveis simetrias e esquemas de quebra de simetria que levam

`a distribuic¸ ˜ao de multipletos observada no c ´odigo padr ˜ao - um problema puramente alg ´ebrico.

Atividade: Inicia¸c˜ao Cientifica

Instituic¸ ˜ao: Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica Universidade de S ˜ao Paulo

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP Per´ıodo: De agosto de 1994 a fevereiro de 1995

Pesquisa: Simetrias locais e globais na mec ˆanica lagrangiana Orientador: Prof. Dr. Frank Michael Forger

Resumo

Na mec ˆanica cl ´assica geom ´etrica, um sistema Lagrangiano com simetria ´e especificado pelos seguintes dados:

• o seu espac¸o de configurac¸ ˜ao - uma variedadeQ,

• o Lagrangiano - uma func¸ ˜aoLsobre o fibrado tangenteT QdeQ,

• o grupo de simetria - um grupo de LieGcom uma ac¸ ˜aoG×Q→Q,(g, q)7→g.qde GsobreQ.

1.6 Atividades de pesquisa

Diz-se que este grupo descreve uma simetria global quandoL ´e um invariante sob a ac¸ ˜ao induzidaG×T Q → T Q,(g,(q, q⁰)) 7→ (g.q, g.q⁰)deGsobreT Q. Utilizando a extens ˜ao deGao grupo tangenteT G, ser ´a discutido como estes conceitos podem ser generalizados para incluir o caso de uma simetria local, ou uma simetria de gauge, sobG.

1.6.1 Participa¸ c˜ ao em semin´ arios

Participei de v ´arios semin ´arios tanto assistindo quento apresentando e auxiliando na organizac¸ ˜ao. Alguns deste fizeram parte da minha avaliac¸ ˜ao corricular como os dois primeiros citados abaixo.

• M ´etodos da Geometria Diferencial, Simetrias e Sistemas Integr ´aveis: de 15 de setem- bro a 09 de novembro de 1998 organizado pelo professor Frank Michael Forger com apresentac¸ ˜ao do trabalho:Simetrias locais e globais na mec ˆanica lagrangiana;

• T ´opicos de An ´alise Funcional: de 08 de setembro a 15 de dezembro de 2000 organizado pela professora Zara Issa Abud, com apresentac¸ ˜ao do trabalho:Distribuic¸ ˜oes e correntes;

• M ´etodos da Geometria Diferencial, Simetrias e Sistemas Integr ´aveis: de 06 de marc¸o a 30 de junho de 2006 organizado pelo professor Frank Michael Forger com apresentac¸ ˜ao do trabalho: Formalismo Funcional da Teoria dos Campos I e II.

1.6.2 Participa¸ c˜ ao em eventos

• Participac¸ ˜ao na 27^a Reuni ˜ao Anual da SBPC, realizado de 09 a 14 de julho de 1995, em S ˜ao Lu´ıs - Ma, com apresentac¸ ˜ao do trabalho: Simetrias Locais e Globais na Mec ˆanica Lagrangiana;

• Participac¸ ˜ao no 22^o Col ´oquio Brasileiro de Matem ´atica, realizado de 25 a 30 de junho de 1999, no IMPA - Instituto de Matem ´atica Pura e Aplicada, no Rio de Janeiro - RJ;

• Participac¸ ˜ao no XXXIII Encontro Nacional de F´ısica de Part´ıculas e Campos, realizado de 15 a 19 de outubro de 2002 em ´Aguas de Lind ´oia, com apresentac¸ ˜ao do trabalho:

Multisymplectic geometry in field theory.

• Participac¸ ˜ao na escola de ver ˜ao “Quantum Symmetries in Theoretical Physics and Math- ematics”, realizado de 10 e 22 de janeiro no Centro At ˆomico Balseiro em Bariloche na Argentina.

• Participac¸ ˜ao no International Congress on Mathematical Physics, realizado de 06 a 11 de agosto de 2006 no IMPA-Rio de Janeiro, com apresentac¸ ˜ao do trabalho (poster):Multisym- plectic geometry in field theory.

1.6.3 Produ¸ c˜ ao cientifica - publica¸ c˜ oes

Publicac¸ ˜ao Resumo em anais de evento cient´ıfico internacional T´ıtulo: Multisymplectic Geometry in Field Theory

Evento: XXXIII Encontro Nacional de F´ısica de Part´ıculas e Campos

Periodo: 15 a 19 de outubro de 2002 Local Aguas de Lind ´oia - S ˜ao Paulo´ Apresentac¸ ˜ao: Oral

Resumo

In the generalization of the symplectic framework from mechanics to field theory, the tradi- tional approach in terms of initial data, which depends on the “a priori” choice of a Cauchy hypersurface, is not covariant. Two formalisms have been proposed that overcome this prob- lem: the multisymplectic formalism [18] and the covariant phase space or covariant functional formalism [5]. The first uses well established methods from calculus on finite-dimensional manifolds and hence is mathematically rigorous and obviously compatible with the princi- ple of locality in field theory. The second is intrinsically global and its consistency with the principle of locality in field theory is not obvious; moreover, as a mathematical technique, it is based on the formal use of calculus on infinite-dimensional manifolds. A central issue for both formalisms is the quest for a natural definition of Poisson brackets. In the multisymplectic approach, there are various proposals by different authors (see, for example, [10] and refer- ences therein), while in the covariant phase space approach, the definition is originally due to Peierls [23] and has been geometrized by de Witt [8]; its relation with the multisymplectic approach has recently been elucidated by Forger and Romero [29].

Contexto

Este trabalho representa a parte inicial da pesquisa do doutorado onde procurei responder a pergunta: ”Existe uma extens ˜ao natural, da mec ˆanica para a teoria dos campos, do conceito do tensor de Poisson?”. No contexto da mec ˆanica, o tensor de Poisson π ´e o dual da forma simpl ´etica ω, o que em coordenadas locais de Darboux (qⁱ, p_i) podem ser representado pela f ´ormula

ω = dqⁱ∧ dp_i , π = ∂

∂q^{i ∧}

∂

∂p_i . (1.1)

No formalismo multissimpl ´etico da teoria cl ´assica dos campos, a proposta para um tensor de Poisson consistiu em introduzir, como dual da forma multissimpl ´etica, que ´e de graun+ 1e em coordenadas locais adaptadas tem a forma

ω = dqⁱ∧ dp^µ_i ∧ dⁿx_µ − dp∧dⁿx . (1.2)

1.6 Atividades de pesquisa

Desta forma, o tensor de Poisson seria um campo multivetorial π, tamb ´em de grau n + 1, na forma

π = ∂

∂q^{i ∧}

∂

∂p^µ_i ^∧

∂ⁿ

∂x_µ − ∂

∂p ^∧

∂ⁿ

∂x . (1.3)

Entretanto, ao contr ´ario de ω, este objeto n ˜ao ´e um campo tensorial, pois n ˜ao se transforma de maneira natural sob mudanc¸a de coordenadas. Este problema foi resolvido pela introduc¸ ˜ao de um refer ˆencial apropriado, geralmente n ˜ao hol ˆonomo, que chamamos de refer ˆencial de Dar- boux e que foi definido a partir de um conjunto apropriado de conex ˜oesΓ. Os resultados foram apresentados no cap´ıtulo 2 de [24] e est ˜ao em [12], onde s ˜ao incorporados novos resultados.

Publicac¸ ˜ao Resumo em anais de evento ci ˆentifico Internacional T´ıtulo: Multisymplectic Geometry in Field Theory

Evento: International Congress on Mathematical Physics Periodo: 06 a 11 de agosto de 2006

Local IMPA-Rio de Janeiro Apresentac¸ ˜ao: Poster (no anexo A)

Homepage: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/downloads/

2006 ICMP/Poster accept/salles-mo.pdf Resumo

We establish a link between the multisymplectic and the covariant phase space ap- proaches to geometric field theory by showing that:

• The functional hamiltonian vector fieldX_F for the functional F defined by integrating a hamiltonian (n−1)-form f, evaluated along sections, over a given hypersurface (possibly with boundary) is obtained by composition of the hamiltonian vector fieldX_f derived fromf with sections.

• The Peierls-DeWitt bracketF, Gbetween two functionalsF andGderived from hamil- tonian(n−1)-formsf andg, respectively, is the functional derived from the hamiltonian (n−1)-formf, g.

Contexto

Neste travalho estabelecemos uma estreita relac¸ ˜ao entre o colchete de Poisson do formalismo multissimpl ´etico [10, 15] entre formas diferenciais no espac¸o de multifase comum e o colchete de Peierls-DeWitt entre funcionais definidos a partir de tais formas, para o caso especial em que as referidas formas s ˜ao formas hamiltonianas de grau n −1 e os funcionais correspondentes s ˜ao obtidos, essencialmente, por pull-back destas formas com uma soluc¸ ˜ao das equac¸ ˜oes de

movimento do modelo e subsequente integrac¸ ˜ao sobre uma subvariedade de codimens ˜ao 1do espac¸o-tempo, tipicamente uma hipersuperf´ıcie de Cauchy. Os resultados foram apresentados no cap´ıtulo 3 de [24] e est ˜ao em [14], onde s ˜ao incorporados novos resultados.

Publicac¸ ˜ao Relat ´orio T ´ecnico

T´ıtulo: Hamiltonian Vector Fields on Multiphase Spaces of Classical Field Theory

Refer ˆencia: RT-MAP-0802

N ´umero de p ´aginas: 8 p ´aginas (no anexo B)

Periodo: outubro de 2010

Local: Universidade de S ˜ao Paulo Co-autor: Prof. Dr. Frank Michael Forger Homepage: http://arxiv.org/abs/1010.0337

Resumo

We present a classification of hamiltonian vector fields on multisymplectic and polysym- plectic fiber bundles closely analogous to the one known for the corresponding dual jet bun- dles that appear in the multisymplectic and polysymplectic approach to first order classical field theories.

Contexto

Os resultados foram apresentados no cap´ıtulo 1 de [24] e est ˜ao em [13], onde s ˜ao incorporados novos resultados.

Artigos em prepara¸c˜ao

Os seguintes artigos est ˜ao em preparac¸ ˜ao:

• Poisson Bracket in Classical Field Theory [14]: Trabalho com Prof. Dr. Frank Michael Forger que reune al ´em de resultados obtidos em [24] (espec´ıficamente cap´ıtulo 3), apresentados sob o t´ıtulo

”Multisymplectic Geometry in Field Theory” no International Congress on Mathematical Physics (poster em anexo), reune resultados que apontam a aproximac¸ ˜ao da abordagem m ´ultiss´ımpl ´etica com o formalismo covariante [5]. Outros resultados apontam tamb ´em para uma intersecc¸ ˜ao com a formulac¸ ˜ao alg ´ebrica da teoria qu ˆantica dos campos [2].

• Poisson Tensor in Multiphase Space [12]: Trabalho com Prof. Dr. Frank Michael Forger que reune al ´em de resultados obtidos em [24] (espec´ıficamente cap´ıtulo 2), novos resultados na caracterizac¸ ˜ao das estruturas geom ´etricas envolvidas [27];

1.7 Participac ¸˜ ao em comiss˜ oes julgadoras

• Hamiltonian Vector Fields on Multiphase Spaces of Classical Field Theory [13]: Trabalho com Prof.

Dr. Frank Michael Forger que reune al ´em de resultados obtidos em [24] (espec´ıficamente cap´ıtulo 1), e j ´a encontra-se na forma de relat ´orio t ´ecnico em anexo.

• Transversality and Boundary Conditions in Classical Field Theory: Trabalho individual e reune os primeiros resultados sobre otimizac¸ ˜ao.

1.7 Participa¸ c˜ ao em comiss˜ oes julgadoras

Participac¸ ˜ao em comiss ˜oes julgadoras de concursos da carreira docente para o ensino superior onde estavamos incumbidos de:

• analisar e emitir parecer sobre os pedidos de inscric¸ ˜ao, divulgar o resultado do processo de inscric¸ ˜ao;

• elaborar o processo de selec¸ ˜ao;

• submeter `a homologac¸ ˜ao pela Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao da Faculdade e divulgar resultado final do concurso.

Atividade: Membro de Banca Disciplinas: Matem ´atica Discreta I e

Matem ´atica Discreta II Cargo: Professor Associado

Periodo: 13 `a 14 de fevereiro de 2008

Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Atividade: Membro de Banca Disciplina: Matem ´atica Discreta I Cargo: Professor Associado Periodo: 01 `a 02 de outubro de 2008

Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Atividade: Presidente de Banca

Disciplina: C ´alculo Diferencial e Integral I Cargo: Professor Associado

Periodo: 17 `a 18 de fevereiro de 2009

Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

1.8 Atividades acadˆ emicas

Por perceber na din ˆamica das atividades acad ˆemicas a possibilidade de compreender administrac¸ ˜ao das Instituic¸ ˜oes p ´ublicas de ensino superior, sempre participei destas atividades. Na graduac¸ ˜ao, assim como na p ´os-graduac¸ ˜ao, participei como representante estudantil em comiss ˜oes e conselhos que atuam nas di- versas esferas da administrac¸ ˜ao das instituic¸ ˜oes de ensino, posteriormente, participei como representante da categoria dos docentes.

Atividade: Representante dos alunos de graduac¸ ˜ao na comiss ˜ao mista

Periodo: fevereiro `a julho de 1996

Enderec¸o Coordenadoria de Assist ˆencia Social - COSEAS / USP Contexto

A Comiss ˜ao Mista era formada por alunos profesores e funcion ´arios e foi respons ´avel por elaborar o regulamento do Conjunto Residencial da USP - moravam aproximadamente 1000 alunos de graduac¸ ˜ao e 400 alunos de mestrado e doutorado. Al ´em disto avali ´avamos os recursos de solicitac¸ ˜ao para perman ˆencia dos moradores que n ˜ao atingiram 75%de aprovac¸ ˜ao em todas disciplinas obrigat ´orias no semestre.

Atividade: Representante suplente dos alunos de p ´os graduac¸ ˜ao na Congregac¸ ˜ao do IME-USP

Periodo: fevereiro de 1999 `a fevereiro de 2000 Enderec¸o na Congregac¸ ˜ao do IME-USP

Contexto

A Congregac¸ ˜ao do IME-USP ´e o ´org ˜ao colegiado m ´aximo da unidade de ensino e se reunia mensalmente para discutir sobre todos assuntos de interesse tais como: prorrogac¸ ˜ao de contratos, reconhecimento de t´ıtulos e diplomas, aprovac¸ ˜ao de conv ˆenios, concursos da carreira docente e de livre-doc ˆencia, eleic¸ ˜ao de representantes e estrutura curricular.

Atividade: Membro da direc¸ ˜ao APG / USP - Capital Periodo: fevereiro de 2001 `a fevereiro de 2002 Enderec¸o Centro de Viv ˆencia, Rua da Reitoria, n^o74

Cidade Universit ´aria - S ˜ao Paulo - SP Telefone 7148-6871 Universidade de S ˜ao Paulo Homepage www.apgusp.com/

Contexto

Associac¸ ˜ao dos P ´os-graduandos da USP que congrega todos os p ´os-graduandos de Programas de p ´os- graduac¸ ˜ao situados nos campus da capital.

1.9 Atividades administrativas

Atividade: Membro da Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao Periodo: agosto de 2006 at ´e agosto de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba Atividade: Presidente da Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao Periodo: janeiro de 2009 at ´e agosto de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Contexto

A Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao ´e o ´org ˜ao de supervis ˜ao do ensino, da pesquisa e da extens ˜ao de servic¸os `a comunidade da Faculdade, obedecidas as diretrizes gerais da pol´ıtica educacional, conforme o Regimento Unificado das Faculdades de Tecnologia.

Atividade: Membro da Comiss ˜ao Permanente para Processos Seletivos Periodo: janeiro de 2009 at ´e agosto de 2010

Enderec¸o: Centro Paula Souza

Contexto

A realizac¸ ˜ao do Processo Seletivo Vestibular est ´a a cargo e sob a responsabilidade da Comiss ˜ao Perma- nente para Processos Seletivos - CPPS - Vestibulares, do Centro Paula Souza. Entre as atribuic¸ ˜oes est ´a estabelecer normas para a concess ˜ao de isenc¸ ˜ao.

1.9 Atividades administrativas

Como os primeiros professores da Fatec automaticamente constituiam a Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao in- tegrei e participei do processo de implantac¸ ˜ao desde o ´ınicio. Esta experi ˆencia foi fundamental para amadurecer minha vis ˜ao sobre a administrac¸ ˜ao p ´ublica de instituic¸ ˜oes de ensino superior, que havia adquirido com minha participac¸ ˜ao nas atividades acad ˆemicas na graduac¸ ˜ao e na p ´os-graduac¸ ˜ao. A Fatec de Carapicu´ıba possuia aproximadamente 2000 alunos, 80 professores e 40 funcion ´arios entre concursa- dos, terceirizados, cargos de confianc¸a e funcion ´arios de parcerias com prefeitura e estado.

Atividade: Curso Preparat ´orio para Diretores de Fatec Periodo: 14 a 18 de abril de 2008

Durac¸ ˜ao: 40 horas

Respons ´avel: Assessoria para Assuntos de Educac¸ ˜ao Superior do Centro Paula Souza

Enderec¸o: S ˜ao Paulo - SP

Contexto

Foram apresentadas as rotinas de gest ˜ao acad ˆemica, de pessoal, pedag ´ogica, financeira e educacional.

Ele era um pr ´e-requisito para assumir a direc¸ ˜ao de uma unidade.

Cargo: Diretor pr ´o-tempore

Periodo: janeiro de 2009 `a agosto de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Contexto:

As diversas obrigac¸ ˜oes administrativas e burocr ´aticas consumiam a maior parte do tempo, entre algumas destas posso citar:

• Implantac¸ ˜ao do curso de Tecn ´ologo em Log´ıstica e dos cursos de An ´alise de Sistemas e Tecnologia da Informac¸ ˜ao: Bacharelado, Licenciatura e os cursos de Tecn ´ologo em Redes e o T ´ecnologo em Jogos.

• Criac¸ ˜ao do curso de Secretariado.

• Formatura da primeira turma de Log´ıstica - enfase transporte

Estas atividades n ˜ao inviabilizaram a elaborac¸ ˜ao de projetos para melhoria no ambiente e nas pr ´aticas.

Estes projetos foram importantes pois para avaliar a capacidade de resoluc¸ ˜ao de problemas, disposic¸ ˜ao para assumir riscos e identificar oportunidades, e entender o poder do bom relacionamento. Apesar das restric¸ ˜oes e limitac¸ ˜oes de infraestrutura e de apoio direto, conseguimos elaborar algumas propostas de desenvolvimento de pesquisa tecnol ´ogica. Como resultados direto:

• O ingresso de 7 docentes no Regime de Jornada Integral - RJI. Este ´e o an ´alogo ao regime de dedicac¸ ˜ao exclusiva. Para admiss ˜ao o docente e a unidade submetiam projeto de 40 horas de atividades semanais pelo periodo de tr ˆes anos. Professores com projetos de pesquisa cient´ıficva e em regime de formac¸ ˜ao (doutorandos) foram a prioridade;

• Disponibilidade de 150 horas para professores dispostos a elaborar e trabalhar em projetos de pesquisa

• Aprovac¸ ˜ao e formulac¸ ˜ao de uma pol´ıtica de iniciac¸ ˜ao em atividades de desenvolvimento tecnol ´ogico junto ao CNPq. Foram aprovadas as primeiras bolsas de iniciac¸ ˜ao cientifica - PIBITI. Implantac¸ ˜ao do sistema de monitorias

Atividade: Coordenador Institucional de Iniciac¸ ˜ao em Desenvolvimento Tecnol ´ogico e Inovac¸ ˜ao Periodo: em andamento desde julho de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Contexto

Entre as responsabilidades est ´a acompanhar e auxiliar os orientadores e orientados, com bolsas de Iniciac¸ ˜ao cientifica - PIBITI do CNPq e avaliar os relat ´orios trimestrais dos orientandos. Neste sentido elaboramos uma pol´ıtica para o estimulo `a iniciac¸ ˜ao em atividades de desenvolvimento tecnol ´ogico e inovac¸ ˜ao e criamos um programa de pesquisa, desenvolvimento e inovac¸ ˜ao, para viabilizar a realizac¸ ˜ao das atividades de pesquisa e desenvolvimento do bolsista.

1.10 Experiˆ encia em extens˜ ao universit´ aria

1.10 Experiˆ encia em extens˜ ao universit´ aria

A participac¸ ˜ao em trabalhos e projetos volunt ´arios sempre fez parte das minhas atividades. Entre os motivos diretos e indiretos posso citar

• necessidade de trabalhar em equipe;

• administrar o tempo;

• co-responsabilidade.

Organizac¸ ˜ao: Centro de Educac¸ ˜ao e Organizac¸ ˜ao Popular - CEOP Periodo: junho de 1994 a dezembro de 1996

Enderec¸o: Associac¸ ˜ao de Moradores do Jardim S ˜ao Remo - Paulo/SP Contexto

Participac¸ ˜ao em atividades de Educac¸ ˜ao de Jovens e Adultos junto a comunidades carentes e participac¸ ˜ao na coordenac¸ ˜ao da ONG. As atividades de ensino exigiam, al ´em do exercic´ıo da pr ´atica em classe, um aprofundamento te ´orico buscando instrumentalizar as diversas correntes da alfabetizac¸ ˜ao, tais como o m ´etodo Paulo Freire e o construtivismo de Em´ılia Ferreiro. Atualmente o CEOP integra o MOVA-SP onde trabalha com aproximadamente 100 jovens e adultos. Participei das atividades pedag ´ogicas e organiza- cionais da entidade, onde ocupei o cargo de secret ´ario e tesoureiro. Encerrei minha participac¸ ˜ao ativa em dezembro de 1998. As atividades desta ONG foram temas em 2005 da dissertac¸ ˜ao de mestrado da Prof^a Dr^aK ´atia Evangelista R ´egis sob o t´ıtulo “Alfabetizac¸ ˜ao e p ´os-alfabetizac¸ ˜ao de jovens e adultos e educac¸ ˜ao popular - concepc¸ ˜oes, limites e possibilidades das pr ´aticas do Centro de Educac¸ ˜ao e Organizac¸ ˜ao Popular (CEOP) 1989-2004”.

Organizac¸ ˜ao: Centro de Estudos e Aplicac¸ ˜ao da Capoeira - CEACA Periodo: junho de 2003 a dezembro de 2009

Enderec¸o: EMEF Desembargador Amorim Lima

Rua Professor Vicente Peixoto, 50 - Vila Indiana - S ˜ao Paulo.

Homepage: www.capoeiraceaca.org.br

Contexto

Participac¸ ˜ao em atividades de ensino de Capoeira para crianc¸as e adolescentes junto a Comunidades carentes. Participac¸ ˜ao na organizac¸ ˜ao da entidade, exercendo a func¸ ˜ao de tesoureiro e secret ´ario, e nas atividades afins da ONG desde 1994, que incluiram entre outras apresentac¸ ˜ao em v ´arias atividades orga- nizadas pela Prefeitura de S ˜ao Paulo tais como a abertura do F ´orum Mundial de Educac¸ ˜ao e apresentac¸ ˜ao na Bienal do Livro. O CEACA desenvolve atividades de ensino/aprendizado em locais como o Lyc `ee Pas- teur, no Instituto Oceanog ´afico da USP e no EMEF Desembargador Amorim Lima. Neste ´ultimo partici- pamos do atividades na grade escolar, onde a capoeira surge como ferramenta que busca o desenvolvi- mento dos indiv´ıduos, de suas habilidades e aptid ˜oes. No ano de 2006, o CEACA teve aprovado pelo

Minist ´erio da Cultura projeto de transformar as atividades na escola num Ponto de Cultura. Este foi ren- ovado em 2009 e atende diretamente em torno de 650 crianc¸as e adolescentes. Em dezembro de 2009 recebi o cord ˜ao tranc¸ado de professor de capoeira.

Premios e editais aprovados

• Edital ponto de Cultura (2005-2008) - Minist ´erio da Cultura

• Pr ˆemio Escola Viva (2007) - Minist ´erio da Cultura

• Pr ˆemio ASAS (2008) - Minist ´erio da Cultura

• Edital ponto de Cultura (2010-20012) - Minist ´erio da Cultura e Secretaria Estadual de Cultura de S ˜ao Paulo

Cap´ıtulo 2

Projeto de atua¸ c˜ ao profissional

Este projeto de atuac¸ ˜ao profissional pretende expor os objetivos futuros nas ´areas de atividades de ensino, nos n´ıveis de graduac¸ ˜ao e p ´os-graduac¸ ˜ao, extens ˜ao universit ´aria e pesquisa. Estes objetivos s ˜ao amplos e ser ˜ao adaptados as circunst ˆancias e estar ˜ao limitados pelas condic¸ ˜oes locais e regionais de infraestrutura e demanda.

Na ´area de ensino, indo al ´em das pr ´aticas usuais de ensino na graduac¸ ˜ao, apresentarei uma proposta de pr ´atica pedag ´ogica. Havendo disponibilidade, tenho interesse lecionar disciplinas de p ´os-graduac¸ ˜ao.

Outra possibilidade de atuac¸ ˜ao, dependendo da demanda, ´e lecionar cursos intensivos no periodo de f ´erias.

Na ´area de pesquisa pretendo estabelecer aqui os pressupostos te ´oricos dessa atuac¸ ˜ao, algumas ac¸ ˜oes a serem realizadas e os resultados esperados, apresentando poss´ıveis desdobramentos e con- sequ ˆencias.

Na ´area de extens ˜ao pretendendo fazer, a m ´edio prazo, o reconhecimentodas demandas e possibili- dades de atuac¸ ˜ao, tanto no ambiente universit ´ario como em projetos voltados diretamente para sociedade.

2.1 Ensino

Voltada a ajudar a atender as demandas alunos encontram nas disciplinas iniciais das ´areas de exatas onde, em muitos casos, observa-se a aus ˆencia dos conceitos matem ´aticos m´ınimos necess ´arios quase sempre devido a um contato irregular com estes no ensino m ´edio.

2.1.1 Objetivo e justificativa

A proposta de atividades de revis ˜ao, reforc¸o e reconhecimento, est ´a organizada numa s ´erie de roteiros de pesquisa, que visam n ˜ao apenas gerar um ac ´umulo de conceitos matem ´aticos, mas buscam principal- mente estimular nos alunos a capacidade de diagnosticar suas defici ˆencias e necessidades e, auxiliados

19

pelos professores em sala de aula e por monitores em atividades extra classe, trabalhar individualmente e em grupo estas d ´uvidas. Parte destas atividades objetivam estimular o contato com outros aspec- tos dos conceitos desenvolvidos na disciplina durante o semestre. Por fim, atividades que remetam a aplicac¸ ˜oes destes conceitos matem ´aticos com atividades afins do curso correspondente, e possibilitem o aluno perceber nestes conceitos matem ´aticos uma ferramenta.

Como objetivos difusos temos os poss´ıveis desdobramentos:

• resgate dos alunos;

• estimulo ao auto-didatismo;

• exposic¸ ˜ao ao trabalho em grupo;

• autogest ˜ao.

2.1.2 Metodologia

Para um reconhecimento e avaliac¸ ˜ao dos alunos, fazemos num primeiro encontro uma prova diagn ´ostico que cobre tanto conceitos b ´asicos quanto conceitos a serem abordados durante o curso. Esta prova objetiva tanto uma avaliac¸ ˜ao dos alunos pela parte dos professores como uma reflex ˜ao por parte do aluno numa auto-avaliac¸ ˜ao. A partir desta avaliac¸ ˜ao s ˜ao criados grupos de estudos com os alunos que durante o semestre trabalham coletivamente, auxiliando-se mutuamente. Todas as atividades s ˜ao orientadas por roteiros de pesquisa. A proposta ´e a de que os grupos de trabalho tenham um n ´umero de horas atividades distribu´ıdas na semana, ora com acompanhamento do monitor, que realiza breves exposic¸ ˜oes dos temas e posteriormente os alunos trabalham em grupo. A avaliac¸ ˜ao ´e continuada e visa estimular o aluno na busca de uma auto-avaliac¸ ˜ao formada a partir do desenvolvimento do seu senso cr´ıtico.

Roteiros de pesquisa

Os roteiros de pesquisa envolvem uma s ´erie de atividades que incluem pesquisa a livros, sites e apostilas;

atividades de entrevistas, a outros alunos, professores e profissionais da ´area dos cursos; e indicac¸ ˜ao de filmes diversos de leitura de livro de divulgac¸ ˜ao. Os roteiros de pesquisa ser ˜ao divididos entre

• Roteiros de Revis ˜ao: A id ´eia ´e orientar o aluno a buscar e resgatar os conceitos b ´asicos necess ´arios e consolidar estes em exerc´ıcios. Na pr ´atica o aluno ter ´a que realizar pesquisas na literatura de 1.o e 2.o grau sobre estes conceitos, e em alguns casos, dependendo da solicitac¸ ˜ao do roteiro, elaborar um resumo desta pesquisa num trabalho e realizar os exerc´ıcios indicados. Fazem parte destes roteiros atividades que levem o aluno a uma fruic¸ ˜ao, onde ele possa ver a matem ´atica al ´em do desenvolvimento formal.

• Roteiros de Reforc¸o: A id ´eia ´e disponibilizar material que possa orientar os alunos a consolidar as atividades ministradas em sala de aulas.

• Roteiros de Reconhecimento: A id ´eia ´e produzir um material conjuntamente com os professores dos cursos cujas disciplinas tenham a matem ´atica como ferramenta essencial para o desenvolvimento de suas disciplinas, possibilitando uma perspectiva abrangente da import ˆancia e aplicabilidade dos conceitos aprendidos nas disciplinas.

2.2 Pesquisa

Monitores

A participac¸ ˜ao de monitores ´e fundamental, sendo necess ´ario aproximadamente seis horas semanais para cada grupo de quarenta alunos. As atividades dos monitores devem ser:

1. auxiliar no diagn ´ostico dos alunos ingressantes;

2. participar, em conjunto com alunos e professores, da organizac¸ ˜ao e elaborac¸ ˜ao de metas e crono- grama;

3. participar de atividades pr ´e estabelecidas de Revis ˜ao e Reforc¸o;

4. auxiliar, desenvolver e aplicar, com acompanhamento dos professores, aulas, listas de exerc´ıcios e provas;

5. auxiliar na elaborac¸ ˜ao da avaliac¸ ˜ao da efetividade e dos resultados da proposta;

2.1.3 Perspectiva

Algumas das mudanc¸as necess ´arias para aprimorarmos as atividades de revis ˜ao, reforc¸o e reconheci- mento que considero fundamental:

1. disponibilizar um maior variedade de material de apoio;

2. adequar os roteiros de pesquisa as acaracter´ısticas dos cursos;

3. propiciar a interdisciplinaridade direta e indireta;

4. elaborar uma proposta de avaliac¸ ˜ao da proposta e um relat ´orio final.

Trabalhos apresentados em congressos sobre esta pratica

• Limad, Watson Gomes Neto de ; Salles, M. O ; CARVALHO, A. C. B. D. . FERRAMENTA DE NIVE- LAMENTO : UM INSTRUMENTO DE MELHORIA DA QUALIDADE DE ENSINO. In: International Conference on Engineering and Technology Education, 2008, Santos. Proceding of INTERTECH 2008, 2008.

• Limad, Watson Gomes Neto de ; Salles, M. O ; CARVALHO, A. C. B. D. . THE USAGE OF THE LEVELLING AS A TOOL OF IMPROVEMENT OF EDUCATION. In: International Conference on Engineering Education, 2008, Budapeste. Proceeding of ICEE 2008.

2.2 Pesquisa

A proposta se enquadra no projeto de pesquisa que est ´a sendo desenvolvido no grupo no IME-USP e que, de forma geral, visa o desenvolvimento de aspectos do formalismo hamiltoniano covariante para a teoria cl ´assica dos campos.

Na mec ˆanica cl ´assica o dom´ınio das vari ´aveis independentes ´e a reta real do tempo, a ac¸ ˜ao ´e uma integral simples e as equac¸ ˜oes de Euler-Lagrange s ˜ao equac¸ ˜oes diferenciais ordin ´arias. J ´a na teoria cl ´assica dos campos o dom´ınio das vari ´aveis independentes ´e generalizado para uma variedade mul- tidimensional, o espac¸o-tempo, a ac¸ ˜ao ´e uma integral multipla e as equac¸ ˜oes de Euler-Lagrange s ˜ao equac¸ ˜oes diferenciais parciais.

A primeira abordagem local para este formalismo, i.e., que dependia da escolha de um sistema de co- ordenadas, voi proposto por Vito Volterra, no s ´eculo XIX. Nos anos 30, De Donder e Weyl desenvolveram o formalismo hamiltonian e somente nos anos 70 o grupo polones liderado por Tulczcyew desenvolve uma formulac¸ ˜ao global. Posteriormente v ´arios pesquisadores contribuiram pra o desenvolvimento desta ´area.

Na teoria cl ´assica dos campos, o m ´etodo mais tradicional de implementar o formalismo can ˆonico ´e baseado na identificac¸ ˜ao das vari ´aveis din ˆamicas da teoria com dados iniciais, ou seja, func¸ ˜oes sobre alguma hipersuperf´ıcie de Cauchy no espac¸o-tempo, sendo que o formalismo providencia equac¸ ˜oes difer- enciais para a evoluc¸ ˜ao temporal fora desta hipersuperf´ıcie. O problema principal desta abordagem reside no fato de que, pela mera escolha de uma hipersuperf´ıcie de Cauchy espec´ıfica para carregar os dados iniciais, perde-se a covari ˆancia expl´ıcita da teoria, isto ´e, a invari ˆancia de Lorentz (no contexto da relativi- dade restrita) ou, mais geralmente, a invari ˆancia sob transformac¸ ˜oes gerais de coordenadas (no contexto da relatividade geral). Tal perda n ˜ao significa que estas simetrias fundamentais sejam de fato quebradas, mas elas (ou pelo menos uma parte delas) deixam de se manifestar de forma direta: podemos dizer que s ˜ao ofuscadas. Isso poderia ser considerado uma mera falta de eleg ˆancia, pelo menos na teoria cl ´assica, mas cria problemas muito mais s ´erios quando queremos aplicar algum m ´etodo de quantizac¸ ˜ao, pois nada garante que exista algum m ´etodo de quantizac¸ ˜ao que preserva tais “simetrias escondidas”. Em particular, a quantizac¸ ˜ao can ˆonica conduz a modelos da teoria qu ˆantica dos campos cuja covari ˆancia est ´a longe de ser ´obvia e de fato constitui um problema formid ´avel: como um exemplo, podemos citar os esforc¸os necess ´arios para estabelecer invari ˆancia de Lorentz na eletrodin ˆamica qu ˆantica (perturbativa) no calibre de Coulomb.

Estas e outras observac¸ ˜oes similares t ˆem por muitas d ´ecadas motivado tentativas de desenvolver, na teoria cl ´assica dos campos, um formalismo can ˆonico inteiramente covariante, que poderia servir como ponto inicial para m ´etodos alternativos de quantizac¸ ˜ao, tais como a quantizac¸ ˜ao por deformac¸ ˜ao, por ex- emplo. Entre muitas ideias que foram propostas nesta direc¸ ˜ao, duas vieram ocupar um papel de destaque.

A primeira ´e o “formalismo funcional covariante” , baseado no conceito do “espac¸o de fase covariante ” que ´e definido como o espac¸o das soluc¸ ˜oes das equac¸ ˜oes de movimento, ao inv ´es de um espac¸o de dados de Cauchy. Esta formulac¸ ˜ao foi popularizada nos anos 80 por Crnkovi´c, Witten e Zuckerman [5, 32]

que mostraram como construir, para alguns dos modelos mais importantes da teoria dos campos (in- clu´ındo teorias de calibre e relatividade geral), uma estrutura simpl ´etica no espac¸o de fase covariante.

A segunda tornou-se conhecida como o “formalismo multissimpl ´etico”, baseado no conceito do “espac¸o de multifase” que, basicamente, pode ser definido localmente associando a cada coordenadaqⁱ n ˜ao ape- nas um momento conjugadopi masnmomentos conjugados p^µ_i (µ = 1, . . . , n), onden ´e a dimens ˜ao da variedade espac¸o-tempo subjacente. Em coordenadas locais, esta construc¸ ˜ao remonta aos trabalhos cl ´assicos de De Donder e Weyl nos anos 30 [30] e aos trabalhos poci divulgados de Vito Volterra, no s ´eculo XIX [26]. No entanto, a formulac¸ ˜ao global ´e bem mais recente: foi iniciada nos anos 70 por um grupo de f´ısicos matem ´aticos, principalmente na Pol ˆonia [21, 22] mas tamb ´em em outras partes do mundo [17], e

2.2 Pesquisa

foi definitivamente estabelecida nos anos 90 [3,19]; uma exposic¸ ˜ao detalhada, com v ´arios exemplos, pode ser encontrada no “GIMmsy paper” [18].

Os dois formalismos, embora inteiramente covariantes e consistentes com os princ´ıpios b ´asicos da teoria dos campos, em particular o de localidade, al ´em de dirigidos para o mesmo objetivo ´ultimo, s ˜ao substancialmente diferentes na natureza; cada um deles tem seus pr ´oprios m ´eritos e inconvenientes.

• O formalismo multissimpl ´etico ´e matematicamente rigoroso pois usa apenas m ´etodos bem esta- belecidos do c ´alculo em variedades de dimens ˜ao finita. Em relac¸ ˜ao ao colchete de Poisson, a proposta original de simplesmente adotar a mesma f ´ormula da mec ˆanica,

{f, g} = i_Xgi_Xfω , (2.1) cria um problema s ´erio, a saber que a identidade de Jacobi deixa de ser v ´alida. Este defeito foi corrigido em [10, 15], modificando a definic¸ ˜ao pela adic¸ ˜ao de um termo exato,

{f, g} = i_Xgi_Xfω + d

i_Xgf − i_Xfg − i_Xgi_Xfθ

. (2.2)

Por ´em, v ´arias outras dificuldades n ˜ao foram superadas, entre elas a aparente inexist ˆencia de um produto associativo com unidade em relac¸ ˜ao ao qual este colchete de Poisson satisfaria uma regra de Leibniz. Ademais, a introduc¸ ˜ao denmomentos conjugados para cada coordenada obscurece a dualidade usual entre vari ´aveis canonicamente conjugadas (tais como momentos e posic¸ ˜oes), que desempenha um papel fundamental em todos os m ´etodos conhecidos de quantizac¸ ˜ao. Uma soluc¸ ˜ao definitiva destes problemas ainda precisa ser encontrada.

• O formalismo funcional covariante segue os princ´ıpios da geometria simpl ´etica; em particular, ele admite uma definic¸ ˜ao natural do colchete de Poisson, que nesta vers ˜ao funcional ´e chamado de colchete de Peierls - De Witt: para dois funcionais F e G , este colchete ´e o funcional{F,G}definido pela seguinte integral dupla,

{F,G}[φ] = Z

M

dⁿx Z

M

dⁿy δF

δφⁱ(x)G^ij_φ(x, y) δG

δφ^j(y), (2.3)

ondeδF/δφeδG/δφdenota a derivada variacional de F e de G , respectivamente, eG_φ´e a func¸ ˜ao de Green causal do operador de Jacobi, ou seja, da linearizac¸ ˜ao do operador de De Donder - Weyl (ou de Euler-Lagrange) em torno da soluc¸ ˜aoφ. Esta definic¸ ˜ao - formulada em termos diferentes - remonta a um trabalho de Peierls [23], foi adaptada `a teoria da gravitac¸ ˜ao por De Witt [6–8] e, posteriormente, `a situac¸ ˜ao geral encontrada no ˆambito multissimpl ´etico por Forger e Romero [16].

Por ´em, o formalismo funcional, na forma que costuma ser apresentado na literatura, n ˜ao pode ser considerado matematicamente rigoroso, na medida em que se restringe `a aplicac¸ ˜ao formal de m ´etodos do c ´alculo em variedades, extrapolados ao caso de dimens ˜ao infinita: a transformac¸ ˜ao dos resultados formais assim obtidos em teoremas matem ´aticos ´e um problema separado, altamente complexo e dif´ıcil, que est ´a apenas comec¸ando a ser abordado [2].

A relac¸ ˜ao entre as duas formulac¸ ˜oes comec¸ou a ser investigada j ´a nos anos 70, mas foi amplamente negligenciada nas d ´ecadas subsequentes e ainda est ´a longe de ser completamente entendida: avanc¸os significativos s ´o foram alcanc¸ados nos ´ultimos anos, a partir da publicac¸ ˜ao do trabalho [16].

A presente proposta pretende dar continuidade `a investigac¸ ˜ao da quest ˜ao e iniciar uma aproximac¸ ˜ao em dois temas que est ˜ao intrinsecamente relacionados:

• Teoria cl ´assica dos campos;

• Otimizac¸ ˜ao din ˆamica cl ´assica.

2.2.1 Objetivo e justificativa

Formalismo funcional da teoria cl´assica dos campos

Um dos resultados principais obtidos em [24] estabelece uma relac¸ ˜ao simples en- tre o colchete de Poisson multissimpl ´etico (2.2) e o colchete de Peierls-DeWitt (2.3), para uma classe restrita de funcionais, obtidos da seguinte forma. A cada (n − 1)- forma hamiltoniana f no espac¸o de multifase e cada subvariedade Σ (sem bordo) de dimens ˜ao n − 1 do espac¸o-tempo M cuja intersec¸ ˜ao com a projec¸ ˜ao do suporte de f no espac¸o- tempo ´e compacta, associamos um funcional F sobre o espac¸o de fase covariante, ou seja, sobre o espac¸o das soluc¸ ˜oesφdas equac¸ ˜oes de movimento, cujo valor emφ ´e obtido integrando o pull-back de f viaφsobreΣ:

F[φ] = Z

Σ

φ^∗f . (2.4)

Ent ˜ao o resultado afirma que se F ´e associado a (f,Σ) e G ´e associado a (g,Σ), ent ˜ao {F,G} ´e associado a ({f, g},Σ). Em outras palavras, o colchete de Poisson multissimpl ´etico (2.2) ´e um caso especial do colchete de Peierls-DeWitt (2.3)!

A meta inicial do presente projeto ´e generalizar este resultado, uma vez que existem funcionais, rep- resentando observ ´aveis importantes, que s ˜ao obtidos a partir de formas de outro grau e por integrac¸ ˜ao sobre subvariedades que n ˜ao s ˜ao hipersuperf´ıcies: o valor de um campo escalar em um ponto do espac¸o- tempo (dimens ˜ao0), o operador de transporte paralelo, em relac¸ ˜ao a alguma conex ˜ao, ao longo de um caminho, o que inclui o ”Wilson loop” das teorias de calibre quando consideramos caminhos fechados e formamos o trac¸o (dimens ˜ao 1), integrais de superf´ıcie do tensor do campo eletromagn ´etico ou do seu dual de Hodge (dimens ˜ao2), e assim por diante.

Otimiza¸c˜ao dinˆamica cl´assica

Provavelmente, a otimizac¸ ˜ao de par ˆametros experimentais de relev ˆancia seja uma das etapas mais cr´ıticas do trabalho cient´ıfico, principalmente daqueles que objetivam o desenvolvimento de processos tecnol ´ogicos aplic ´aveis em grande escala.

2.2 Pesquisa

Quais as vari ´aveis relevantes? Quais os valores que devem ser ensaiados? Qual a ordem de estudo das vari ´aveis? Qual a melhor resposta a ser analisada? Como desenvolver um trabalho de otimizac¸ ˜ao, com o m´ınimo de trabalho experimental? Na maioria dos casos, o processo de otimizac¸ ˜ao ´e realizado utilizando-se o cl ´assico sistema de uma vari ´avel por vez. No entanto, por negligenciar a interac¸ ˜ao entre as vari ´aveis, o resultado obtido n ˜ao necessariamente corresponde `as condic¸ ˜oes que levam ao ´otimo ver- dadeiro uma vez que as vari ´aveis costumam se correlacionar fortemente, interagindo atrav ´es de mecan- ismos que proporcionam efeitos sin ´ergicos e antag ˆonicos. Desta forma todas as vari ´aveis estar ˜ao sendo otimizadas em conjunto, n ˜ao uma vari ´avel por vez. Uma observac¸ ˜ao fundamental ´e que neste processo devemos conhecer como est ˜ao relacionando-se as vari ´aveis internas.

2.2.2 Metodologia

Formalismo funcional da teoria cl´assica dos campos

O an ´alogo do colchete de Poisson multissimpl ´etico para formas - mais exatamente, formas de Poisson - de qualquer grau j ´a ´e conhecido [10, 11], o que nos coloca perante o desafio de mostrar como deduzir este tamb ´em a partir do colchete de Peierls - De Witt entre funcionais. Essa abordagem deve tamb ´em permitir resolver um outro problema antigo do formalismo multissimpl ´etico: definir um produto associativo natural entre formas de Poisson em relac¸ ˜ao ao qual o colchete multissimpl ´etico ´e uma derivac¸ ˜ao em cada um dos seus argumentos. A relac¸ ˜ao entre o formalismo multissimpl ´etico e o formalismo funcional sugere que esse produto deve ser obtido a partir de um produto associativo entre pares(f,Σ)que corresponde ao produto ´obvio entre os funcionais F por eles gerados.

A generalizac¸ ˜ao dos funcionais do tipo (2.4) para objetos na forma

F

Σ1

Z

Σ2

φ^∗f , (2.5)

onde a f agora ser ´a uma forma, de grau igual a soma das dimens ˆoes das hipersuperficies Σ₁ e Σ₂. Este procedimento nos possibilitar ´a a introduc¸ ˜ao de um produto natural entre funcionais, que generaliza o produto pontual de func¸ ˜oes, onde para dois funcionais

F

Σ1

φ^∗f ,

G

Σ2

φ^∗g , (2.6)

associados af eΣ₁, egeΣ₂, teremos

(

F

G

Σ1

Z

Σ2

φ^∗(f∧g). (2.7)

Otimiza¸c˜ao dinˆamica cl´assica

Num primeiro momento buscarei formalizar a otimizac¸ ˜ao din ˆamica cl ´assica atrav ´es do que ´e comumente conhecida como mec ˆanica n ˜ao-autonoma, uma vez que as teorias de controle tipicamente trabalham com

uma formulac¸ ˜ao que exige a escolha a priori de uma vari ´avel temporal externa. Para efetivarmos esta construc¸ ˜ao lanc¸aremos m ˜ao de ferramentas geom ´etricas associadas a estruturas fibradas. Este passo

´e fundamental, uma vez que a escolha arbitr ´aria da vari ´avel temporal, algo recorrente na literatura, gera uma s ´erie de an ´alogias infundadas. Ao final estaremos aptos a abordar o principal objetivo que seria a construc¸ ˜ao de uma proposta para uma otimizac¸ ˜ao din ˆamica onde todas as vari ´aveis sejam otimizadas.

Teoricamente, numa abordagem onde o objetivo seja modelar um problema real e a seguir otimiza-lo, temos como paradigma o seguinte problema de otimizac¸ ˜ao

maxJ(u, v) = Z t1

t0

g(x^µ, vⁱ(t), u^j(t))d^t

˙

vⁱ =fⁱ(vⁱ(t), u^j(t)) e

vⁱ(t₀) =v₀ vⁱ(t₁) =v₁

onde t ∈ R^, vⁱ(t) = (v(t), . . . , v^N(t)) ∈ R^{N e} u^j(t) = (u¹(t), . . . , u(t)) ∈ R^m s ˜ao as vari ´aveis temporal, de estado e de controle, respectivamente. Observemos que este problema de otimizac¸ ˜ao as soluc¸ ˜oes ´otimas s ˜ao curvas que dependem somente da vari ´avel tempo t e s ˜ao obtidas a partir de variac¸ ˜oes unidimensionais. Para uma generalizac¸ ˜ao apropriada, onde possamos ter uma otimizac¸ ˜ao mul- tidimensional, ter´ıamos que substituir a vari ´avel tempotda reta temporalR, por um conjunto de vari ´aveis x^µ = (x¹, . . . , xⁿ), do espac¸o-tempo n-dimensional M, de tal forma que em uma situac¸ ˜ao bem mais geral, poder´ıamos pensar num sistema de otimizac¸ ˜ao onde

maxJ(ϕ, ψ) = Z

U

g(x^µ, ϕⁱ(x^µ), ψ^j(x^µ))dⁿx

∂_µϕⁱ =f_µⁱ(ϕⁱ(x^µ), ψ^j(x^µ)) e

ϕⁱ(∂U) =hⁱ(x^µ, ϕⁱ(x^µ), ψ^j(x^µ))

onde x^µ = (x¹, . . . , xⁿ) ∈ R^n, ϕⁱ(x^µ) = (ϕ¹(x^µ), . . . , ϕ^N(x^µ)) ∈ R^{N e} ψ^j(x^µ) = (ψ¹(x^µ), . . . , ψ^m(x^µ)) ∈ R^m s ˜ao as vari ´aveis do espac¸o-tempo, de estado e de controle, respectiva- mente. Observemos que neste caso a vari ´avelx^µ= (x¹, . . . , xⁿ)∈Rⁿdescreve agora todo um conjunto de vari ´aveis independentes, inclusive o tempot.

Entre os aspectos inicias j ´a desenvolvidos temosi a abordagem da quest ˜ao da express ˜ao dos termos de bordo e das condic¸ ˜oes de transversalidade [25].

2.2.3 Perspectivas

A proposta deste projeto pode ser entendida sucintamente da seguinte forma ”como extender os objetos e as relac¸ ˜oes da mec ˆanica cl ´assica [1] para teoria cl ´assica dos campos“(vide Tabela 2.1). Diante do que foi exposto, considero ter uma expectativa de resultados vi ´aveis (publicac¸ ˜oes) em pesquisas iniciadas com a

2.3 Extens˜ ao

tese e outros em desenvolvimento em grande parte apoiado pelo progresso substancial nos fundamentos da ´area. Entre estes gostaria de citar os principais resultados obtidos pelo grupo de F´ısica Matem ´atica do IME-USP, coordenado pelo Prof. Dr. Frank Michael Forger

• entendimento correto da noc¸ ˜ao do colchete de Poisson no formalismo covariante [16] e no formal- ismo multisimpl ´etico [10]. Consitui um pr ´e-requisito para uma forma de quantizac¸ ˜ao;

• temos uma definic¸ ˜ao apropriada da noc¸ ˜ao de uma estrutura multis-simpl ´etica e/ou polissimpl ´etica que contempla os exemplos permite a demonstrac¸ ˜ao de um teorema de Darboux [9].

• esclarecemos alguns aspectos geom ´etricos intrinsicos da estrutura do espac¸o de multifase que podem caracterizar a exist ˆencia de um referencial de Darboux [27]

Al ´em dos trabalhos que j ´a est ˜ao sendo reformulados e estendidos para que possam se concretizar na forma de publicac¸ ˜oes [12–14, 25] e os apresentados neste projeto de pesquisa, gostaria de citar perspec- tivas futuras, onde novos resultados podem surgir

• formalismo funcional da teoria cl ´assica dos campos: tomando o mesmo procedimento com fun- cionais obtidos a partir de formas de grau arbitr ´ario poderemos aproximar o formalismo desen- volvido em [2], para teoria algebrica qu ˆantica dos campos, com o aqui desenvolvido. Outra quest ˜ao que surge ´e a introduc¸ ˜ao do conceito de bilocalidade, mais geralmente, multilocalidade. Numa inspec¸ ˜ao do colchete de Peirls (2.3) vemos explicitamente esta estrutura.

• otimizac¸ ˜ao din ˆamica cl ´assica: devem surgir aspectos novos, principalmente em relac¸ ˜ao `a ´area de otimizac¸ ˜ao e teoria do controle - afinal, m ´etodos do ramo de geometria envolvido neste formalismo t ˆem se mostrado ´uteis em aplicac¸ ˜oes a problemas de controle, por exemplo em rob ´otica.

2.3 Extens˜ ao

As ac¸ ˜oes de extens ˜ao distingue-se por sua abrangencia na Universidade, e atuam em todas as

´areas, seja na complementac¸ ˜ao de ac¸ ˜oes de ensino e pesquisa, seja por sua vocac¸ ˜ao para se constituir em elemento de aglutinac¸ ˜ao na Universidade ou por ser o canal aberto com a sociedade.

Conforme a vis ˜ao de extens ˜ao da USP:

”Na aus ˆencia de uma heranc¸a cultural coletivamente compartilhada, n ˜ao h ´a como preservar uma cultura p ´ublica, tampouco construir uma nac¸ ˜ao desenvolvida e social- mente mais equitativa, tornando centrais instituic¸ ˜oes portadoras de tais virtudes.”

Como a extens ˜ao caracteriza um setor de extrema complexidade, cobrindo desde atividades essen- ciais, cursos de especializac¸ ˜ao, conv ˆenios, desenvolvimento e ensino e outros, pretendo inicial- mente desenvolver um reconhecimento das necessidades e demandas, tanto da universidade, como da sociedade no seu entorno, para propor ou mesmo engajar-me em pol´ıticas p ´ublicas voltadas para este fim.

Tabela 2.1: Tabela comparativa entre a geometria simpl´etica na mecˆanica n˜ao-autˆonoma e a geometria multisimpl´etica na teoria cl´assica dos campos.

Mec ˆanica n ˜ao-aut ˆonoma Teoria dos campos

espac¸o de configurac¸ ˜ao estendido

R×Q→R coordenadas locais adaptadas t, qⁱ

fibrado de configurac¸ ˜ao E→M

coordenadas locais adaptadas x^µ, qⁱ espac¸o de fase duplamente estendido

P =T^∗(R×Q) =R×T^∗Q×R coordenadas locais adaptadas t, qⁱ, p_i, E

espac¸o de multifase estendido P =J^?E=J^?E⊗Vn

T^∗M

coordenadas locais adaptadas x^µ, qⁱ, p^µ_i, p espac¸o de fase simplesmente estendido

P0=R×T^∗Q coordenadas locais adaptadas t, qⁱ, pi

espac¸o de multifase comum P0=J~^∗E=J~^∗E⊗Vn

T^∗M

coordenadas locais adaptadas x^µ, qⁱ, p^µ_i 1-forma can ˆonica sobreP

θ=pidqⁱ+E dt

n-forma multican ˆonica sobreP θ=p^µ_i dqⁱ∧dⁿxµ+p dⁿx

2-forma simpl ´etica sobreP, n ˜ao degenerada

ω=−dθ=dqⁱ∧dp_i−dE∧dt

(n+ 1)-forma multisimpl ´etica sobreP, n ˜ao degenerada (em campos vetoriais)

ω=−dθ=dqⁱ∧dp^µ_i∧dⁿx_µ−dp∧dⁿx

hamiltoniana

H:P0→R func¸ ˜ao sobreP0

hamiltoniana

H:P0→ P

sec¸ ˜ao dePsobreP0(fibrado afim em linhas) Campo de Euler

Σ = p_i ∂

∂pi

+E ∂

∂E

Campo de Euler

Σ = p^µ_i ∂

∂p^µ_i + p ∂

∂p

Apˆ endice A

Poster

29

Apˆ endice B

Relat´ orio T´ ecnico

31

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1] R. ABRAHAM& J.E. MARSDEN: Foundations of Mechanics,2^ndedition, Benjamin/Cummings, Read- ing 1978.

[2] R. BRUNETTI, K. FREDENHAGEN, P. L. RIBEIRO:Algebraic Structure of Classical Field Theory I. The Case of a Real Scalar FieldTo appear.

[3] J.F. CARINENA˜ , M. CRAMPIN & L.A. IBORT: On the Multisymplectic Formalism for First Order Field Theories, Diff. Geom. Appl.1(1991) 345-374.

[4] C. CRNKOVIC´: Symplectic Geometry of Covariant Phase Space, Class. Quantum Grav. 5 (1988) 1557-1575.

[5] C. CRNKOVIC´ & E. WITTEN: Covariant Description of Canonical Formalism in Geometrical Theories, in: “Three Hundred Years of Gravitation”, pp. 676-684, eds: W. Israel & S. Hawking, Cambridge University Press.

[6] B. DEWITT: Invariant Commutators for the Quantized Gravitational Field, Phys. Rev. Lett.4(1960) 317-320.

[7] B. DEWITT: Dynamical Theory of Groups and Fields, in: “Relativity, Groups and Topology” (1963 Les Houches Lectures), pp. 585-820, eds: B. DeWitt & C. DeWitt, Gordon and Breach, New York 1964.

[8] B. DEWITT: The Spacetime Approach to Quantum Field Theory, in: “Relativity, Groups and Topology II” (1983 Les Houches Lectures), pp. 382-738, eds: B. DeWitt & R. Stora, Elsevier, Amsterdam 1984.

[9] M. FORGER & L. GOMES: Multisymplectic and Polysymplectic Structures on Fiber Bundles, arXiv:0708.1586.

[10] M. FORGER, C. PAUFLER& H. R ¨OMER: The Poisson Bracket for Poisson Forms in Multisymplectic Field Theory, Rev. Math. Phys.15(2003) 705-743,math-ph/0202043.

33