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Prof.Dr.M´arioOt´avioSalles Memorial

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Academic year: 2022

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Memorial

Prof. Dr. M´ ario Ot´ avio Salles

Memorial

2 de setembro de 2011

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Sum´ ario

1 Descric¸ ˜ao da atuac¸ ˜ao profissional 1

1.1 Identificac¸ ˜ao . . . 1

1.2 Formac¸ ˜ao acad ˆemica . . . 2

1.3 Experi ˆencia profissional . . . 5

1.4 Experi ˆencia na ´area de ensino . . . 5

1.5 Atuac¸ ˜ao profissional na ´area de ensino . . . 6

1.6 Atividades de pesquisa . . . 8

1.7 Participac¸ ˜ao em comiss ˜oes julgadoras . . . 13

1.8 Atividades acad ˆemicas . . . 14

1.9 Atividades administrativas . . . 15

1.10 Experi ˆencia em extens ˜ao universit ´aria . . . 17

2 Projeto de atuac¸ ˜ao profissional 19 2.1 Ensino . . . 19

2.2 Pesquisa . . . 21

2.3 Extens ˜ao . . . 27

A Poster 29

B Relat ´orio T ´ecnico 31

3

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Cap´ıtulo 1

Descri¸ c˜ ao da atua¸ c˜ ao profissional

Neste cap´ıtulo farei uma exposic¸ ˜ao da minha trajet ´oria pessoal e acad ˆemica, incluindo formac¸ ˜ao, atividades de ensino, pesquisa e extens ˜ao universit ´aria, e que definiram a direc¸ ˜ao dada `a carreira a partir das linhas de atuac¸ ˜ao e escolhas profissionais.

1.1 Identifica¸ c˜ ao

Data de Nascimento: 07 de agosto de 1970 Local de Nascimento: Joinville - Santa Catarina Nacionalidade: Brasileiro

Estado Civil: Casado

CPF: 501507580-49

Enderec¸o: Rua Giulio Romano, 81 apto 44-A

CEP 05358-090 — Jd. Bonfiglioli, S ˜ao Paulo - SP

Telefone: (011) 37632978

(011) 96784678

Correio Eletr ˆonico: mario.salles@gmail.com

1

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1.2 Forma¸ c˜ ao acadˆ emica

Para entender a construc¸ ˜ao da minha carreira acad ˆemica, levo ao in´ıcio desta trajet ´oria nos anos 80, quando estudante do curso t ´ecnico em auxiliar de adubac¸ ˜ao em S ˜ao Sebasti ˜ao do Ca´ı, uma pequena cidade do interior do Rio Grande do Sul. Nesta ´epoca tamb ´em trabalhava como auxiliar de laborat ´orio no setor de controle de qualidade em uma industria de alimentos. Assim que conclui o ensino m ´edio me deparei com a necessidade de decidir sobre duas possibilidades, continuar na ´area de engenharia qu´ımica ou alimentos, ou iniciar em outra ´area, na f´ısica. Em 1988, ap ´os uma visita a UFRGS, onde pude conversar com professores e alunos, decidi pelo curso de f´ısica. Inicie o curso em 1989 que posteriormente, por motivos pessoais abandonei.

1.2.1 Gradua¸ c˜ ao

Em 1992 reiniciei a graduac¸ ˜ao na USP, e neste periodo tive contato com as v ´arias atividades e vis ˜oes das possibilidades da f´ısica e entre as v ´arias habilitac¸ ˜oes do curso de f´ısica como mi- croeletr ˆonica, f´ısica m ´edica e outros, optei por pesquisa b ´asica. A atrac¸ ˜ao pela f´ısica te ´orica foi em grande parte influenciada pela autonomia e liberdade que esta ´area apresentava. Consider- ava a f´ısica experimental o motor da ci ˆencia, mas observava que encontraria maiores restric¸ ˜oes e limitac¸ ˜oes devido aos nichos que naturalmente surgem neste campo.

Curso: Bacharelado em F´ısica - Habilita¸c˜ao em Pesquisa B´asica

Instituic¸ ˜ao: Universidade de S ˜ao Paulo (USP) Instituto de F´ısica

Per´ıodo: 1992 a junho de 1996

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP

1.2.2 P´ os-gradua¸ c˜ ao

Por indicac¸ ˜ao do Prof. Dr. Henrique Fleming do IFUSP, ainda na graduac¸ ˜ao contatei o Prof.

Dr. Frank Michael Forger do IME-USP, que orientou-me no programa de Iniciac¸ ˜ao Cient´ıfica na ´area de Mec ˆanica Cl ´assica no Departamento de Matem ´atica Aplicada. Antes de termi- nar a graduac¸ ˜ao, como pr ´e-requisito para admiss ˜ao no programa de mestrado do Departa- mento de Matem ´atica Aplicada da USP cursei a disciplina de p ´os-graduac¸ ˜aoC ´alculo Diferencial Geom ´etrico emRn. Durante o mestrado cursei 10 disciplinas nas ´areas de geometria, an ´alise, topologia e ´algebra. No mestrado o tema da dissertac¸ ˜ao estava dentro do contexto de mec ˆanica cl ´assica e no doutorado o tema da tese estava dentro do contexto da teoria cl ´assica dos campos.

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1.2 Formac ¸˜ ao acadˆ emica

3

Mestrado

Area:´ Matem´atica Aplicada

Instituic¸ ˜ao: Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica Universidade de S ˜ao Paulo

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP Per´ıodo: De agosto de 1996 a fevereiro de 1999

Pesquisa: Integrabilidade do Fluxo Geod ´esico na Soluc¸ ˜ao de Kerr Orientador: Prof. Dr. Frank Michael Forger

Org ˜ao de Fomento: CNPq

Resumo

Neste trabalho, provamos a integrabilidade do fluxo geod ´esico na soluc¸ ˜ao de Kerr, que inclui como caso especial a soluc¸ ˜ao de Schwarzschild e descreve a geometria do espac¸o- tempo ao redor de um corpo isolado em rotac¸ ˜ao, em particular uma estrela de neutrons (pulsar) ou um buraco negro em rotac¸ ˜ao. Para verificar a integrabilidade do fluxo geod ´esico em uma variedade de Einstein, s ˜ao necess ´arias quatro constantes do movimento que comu- tam. Por ´em, o fluxo geod ´esico para a soluc¸ ˜ao de Kerr apresenta apenas tr ˆes constantes de movimento que comutam e s ˜ao mais ou menos ´obvias: a HamiltonianaH, a energiaE e o momento angularL3 em torno do eixo de rotac¸ ˜ao. Uma quarta quantidade conservada foi descoberta por Carter e hoje ´e conhecida como constante de Carter: como a Hamiltoniana H, ela ´e quadr ´atica nos momentos. Sua exist ˆencia decorre do fato de que a m ´etrica de Kerr admite um segundo tensor de Killing de posto2, al ´em do tensor m ´etrico, que foi encontrado pela primeira vez por Walker e Penrose. Na presente dissertac¸ ˜ao, mostramos que estes dois tensores de Killing e os dois vetores de Killing tradicionais comutam sob o colchete de Schouten e que, portanto, as quatro constantes de movimento do fluxo geod ´esico no espac¸o- tempo de Kerr est ˜ao em involuc¸ ˜ao. Ademais, mostramos que estas constantes tamb ´em s ˜ao funcionalmente independentes, o que permite concluir que o fluxo geod ´esico no espac¸o- tempo de Kerr ´e um sistema Hamiltoniano completamente integr ´avel, no sentido de Liouville.

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Doutorado

Area:´ Matem´atica Aplicada

Instituic¸ ˜ao: Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica Universidade de S ˜ao Paulo

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP Per´ıodo: De marc¸o de 1999 a outubro de 2004

Pesquisa: “Campos hamiltonianos e colchete de Poisson da teoria geometrica dos campos”

em: Orientador: Prof. Dr. Frank Michael Forger Org ˜ao de Fomento: CNPq

Resumo

Na generalizac¸ ˜ao do arcabouc¸o simpl ´etico da mec ˆanica `a teoria dos campos, o m ´etodo tradicional baseado em dados iniciais n ˜ao ´e covariante, pois depende da escolha “a priori”

de uma hipersuperf´ıcie de Cauchy. Dois formalismos tem sido desenvolvidos para superar este problema: a abordagem multissimpl ´etica [3, 18, 20–22, 30] e a abordagem pelo espac¸o de fase covariante ou formalismo funcional covariante [4, 5, 31, 32]. Uma quest ˜ao central em ambas ´e a procura por uma definic¸ ˜ao natural de colchetes de Poisson. Na abordagem multissimpl ´etica, existem v ´arias propostas de diferentes autores (veja, por exemplo, [10] e refer ˆencias citadas), enquanto que na abordagem pelo espac¸o de fase covariante, a definic¸ ˜ao

´e originalmente devida a Peierls [23] e foi geometrizada por DeWitt [6–8]; a construc¸ ˜ao deste colchete de Peierls -DeWitt dentro do formalismo multissimpl ´etico foi recentemente elaborada por Forger e Romero [16, 29]. Esta tese apresenta primeiros resultados mostrando que, pelo menos em certos casos especiais, os diferentes tipos de colchete de Poisson coincidem.

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1.3 Experiˆ encia profissional

5

1.3 Experiˆ encia profissional

Minha primeira experi ˆencia profissional foi no comec¸o dos anos 80, sem registro em carteira, onde ajudava meio periodo na produc¸ ˜ao de uma olaria do meu av ˆo, que posteriormente pas- sou para administrac¸ ˜ao de um tio. No comec¸o de 85 ingressei no curso T ´ecnico de auxiliar de adubac¸ ˜ao. Antes de encerrar o ensino m ´edio comecei a trabalhar numa industria local como auxiliar t ´ecnico em qu´ımica.

• Auxiliar T´ecnico em Qu´ımica No per´ıodo de julho de 1986 `a junho de 1988 na Conservas Oderich S.A., Rua Oderich, 807, CEP 95760-00, S ˜ao Sebasti ˜ao do Ca´ı, RS.

P ´agina: www.oderich.com.br.

1.4 Experiˆ encia na ´ area de ensino

Durante a graduac¸ ˜ao e a p ´os-graduac¸ ˜ao tive uma s ´erie de experi ˆencias, fora da universidade e dentro dela, que foram fundamentais para construir um entendimento das rotinas e din ˆamicas do trabalho de ensinar. Dentro da USP trabalhei como monitor e participei de est ´agios.

Monitoria em disciplinas de Gradua¸c˜aono Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica da Universidade de S ˜ao Paulo nas disciplinas:

• MAT-105, Vetores e Geometria Anal´ıtica: 1o semestre de 1996, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Jos ´e Ant ˆonio Verderesi.

• MAT-215,C´alculo Diferencial e Integral III para Oceonografia:1osemestre de 2003, sob a coordenac¸ ˜ao dos Prof. Dr. Deciberg Lima Goncalves e Prof. Dr. Albert Meads Fisher.

• MAT-320, Introdu¸c˜ao `a An´alise Complexa: 2o semestre de 2003, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Antonio Luiz Pereira.

• MAT-205,C´alculo Diferencial e Integral III:1o semestre de 2004, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Paulo Domingos Cordaro.

Est´agio docˆencia no Programa de Aperfeic¸oamento ao Ensino (PAE) no Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica da Universidade de S ˜ao Paulo. Participac¸ ˜ao incluia preparar e min- istrar aulas, al ´em de preparar e corrigir listas de Exerc´ıcios e Provas, nas seguintes disciplinas:

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• MAP-0416,M´etodos Matem´aticos da F´ısica:2osemestre de 2000, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr. Frank Michael Forger.

• MAP-0320, Mecˆanica Racional: 1o semestre de 2001, sob a coordenac¸ ˜ao do Prof. Dr.

Pedro Aladar Tonelli.

Professor particular em disciplina de P´os-Gradua¸c˜ao para aluno do mestrado da Fundac¸ ˜ao Get ´ulio Vargas

• Otimiza¸c˜ao dinˆamica:1osemestre de 2004.

• Econometria:2osemestre de 2004.

1.5 Atua¸ c˜ ao profissional na ´ area de ensino

No in´ıcio de 2006 fui contratado em regime emergencial como professor associado numa Facul- dade de Tecnologia (FATEC), instituic¸ ˜ao de ensino superior p ´ublica tecnol ´ogico estadual, que ini- ciaria as atividades no comec¸o deste ano. Esta FATEC est ´a localizada na cidade de Carapicu´ıba pertence Grande S ˜ao Paul e possue uma populac¸ ˜ao de aproximadamente 400.000 habitantes e respode pela menor renda per capita do estado de S ˜ao Paulo. A faculdade iniciou com o curso de Tecn ´ologo em Log´ıstica - ˆenfase em transporte, e em 2008 comec¸ou os cursos de ASTI - An ´alise de Sistemas e Tecnologia da Informac¸ ˜ao - que estava desenhado dentro do conceito de graus cumulativos adaptando-se ao processo de Bolonha. Neste modelo o curso possuia 4 vertentes:

Bacharelado, Licenciatura, Tecn ´ologo em redes e Tecn ´ologo em Jogos. Em 2009 iniciou o curso de Tecn ´ologo em Secretariado.

Instituic¸ ˜ao: Faculdade de Tecnologia de Carapicu´ıba - FATEC In´ıcio: marc¸o de 2006

V´ınculo: servidor p ´ublico Enquadrament: professor Associado

Enderec¸o Avenida Francisco Pignatari, 650 – CEP 06310-390 Vila Gustavo Correia - Carapicu´ıba/SP

Homepage: www.fateccarapicuiba.edu.br

Disciplinas ministradas no curso de Log´ıstica - ˆenfase em transportes

• 2006 (1osem): Matem ´atica

• 2006 (2osem): Matem ´atica Estat´ıstica

Matem ´atica Financeira

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1.5 Atuac ¸˜ ao profissional na ´ area de ensino

7

Disciplinas ministradas no curso de Log´ıstica e Transportes

• 2007 (1osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2007 (2osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2008 (1osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2008 (2osem): Estat´ıstica C ´alculo I C ´alculo II

• 2009 (2osem): Matem ´atica Financeira Estat´ıstica

Disciplinas ministradas no curso de An ´alise e Sistemas da Informac¸ ˜ao

• 2008 (1osem): Matem ´atica Discreta I Disciplinas ministradas no curso de Log´ıstica

• 2010 (1osem): C ´alculo para Log´ıstica II

• 2010 (2osem): C ´alculo I

C ´alculo para Log´ıstica II Estat´ıstica Aplicada `a Gest ˜ao

• 2011 (1osem): Estat´ıstica Aplicada `a Gest ˜ao

1.5.1 Outras atividades na ´ area de ensino

A partir de 2006 comecei a desenvolver uma din ˆamica voltada a atender a realidade socioeco- nomica dos alunos das disciplinas iniciais. Estas atividades receberam apoio institucional na forma de horas atividades especificas e fizeram parte de politica de apoio aos alunos da Fatec entre o segundo semestre de 2006 e o segundo semestre de 2008. Para este projeto eram disponibilizadas em m ´edia 6 horas semanais e uma bolsa de monitoria.

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1.6 Atividades de pesquisa

Durante o periodo da minha graduac¸ ˜ao e p ´os-graduac¸ ˜ao participei do grupo de pesquisa de F´ısica Matem ´atica do departamento de Matem ´atica Aplicada da USP. V ´arias dissertac¸ ˜oes e teses foram gestadas, elaboradas e defendidas durante este periodo, sendo que os debates e discuss ˜oes invariavelmente eram feitos em semin ´arios e palestras. Linhas e projetos de pesquisa do grupo:

• Teoria Geom ´etrica dos Campos: desenvolvimento da teoria cl ´assica dos campos de um ponto de vista geom ´etrico, com ˆenfase em aspectos estruturais que s ˜ao importantes para a quantizac¸ ˜ao.

• Sistemas Hamiltonianos Integr ´aveis: investigar as matrizes R din ˆamicas, que ao contr ´ario da noc¸ ˜ao de uma matriz R introduzida por Yang e Baxter no final dos anos 60 (central nos

”grupos qu ˆanticos”).

• Biomatem ´atica: estudar simetria e quebra de simetria no c ´odigo gen ´etico. Assumindo a hip ´otese da evoluc¸ ˜ao atrav ´es de um processo acompanhado pela quebra de sime- tria, classificamos as poss´ıveis simetrias e esquemas de quebra de simetria que levam

`a distribuic¸ ˜ao de multipletos observada no c ´odigo padr ˜ao - um problema puramente alg ´ebrico.

Atividade: Inicia¸c˜ao Cientifica

Instituic¸ ˜ao: Instituto de Matem ´atica e Estat´ıstica Universidade de S ˜ao Paulo

Enderec¸o: Rua do Mat ˜ao, 1010 - Caixa Postal 20.570 Cidade Universit ´aria. S ˜ao Paulo-SP Per´ıodo: De agosto de 1994 a fevereiro de 1995

Pesquisa: Simetrias locais e globais na mec ˆanica lagrangiana Orientador: Prof. Dr. Frank Michael Forger

Resumo

Na mec ˆanica cl ´assica geom ´etrica, um sistema Lagrangiano com simetria ´e especificado pelos seguintes dados:

• o seu espac¸o de configurac¸ ˜ao - uma variedadeQ,

• o Lagrangiano - uma func¸ ˜aoLsobre o fibrado tangenteT QdeQ,

• o grupo de simetria - um grupo de LieGcom uma ac¸ ˜aoG×Q→Q,(g, q)7→g.qde GsobreQ.

(13)

1.6 Atividades de pesquisa

9

Diz-se que este grupo descreve uma simetria global quandoL ´e um invariante sob a ac¸ ˜ao induzidaG×T Q → T Q,(g,(q, q0)) 7→ (g.q, g.q0)deGsobreT Q. Utilizando a extens ˜ao deGao grupo tangenteT G, ser ´a discutido como estes conceitos podem ser generalizados para incluir o caso de uma simetria local, ou uma simetria de gauge, sobG.

1.6.1 Participa¸ c˜ ao em semin´ arios

Participei de v ´arios semin ´arios tanto assistindo quento apresentando e auxiliando na organizac¸ ˜ao. Alguns deste fizeram parte da minha avaliac¸ ˜ao corricular como os dois primeiros citados abaixo.

• M ´etodos da Geometria Diferencial, Simetrias e Sistemas Integr ´aveis: de 15 de setem- bro a 09 de novembro de 1998 organizado pelo professor Frank Michael Forger com apresentac¸ ˜ao do trabalho:Simetrias locais e globais na mec ˆanica lagrangiana;

• T ´opicos de An ´alise Funcional: de 08 de setembro a 15 de dezembro de 2000 organizado pela professora Zara Issa Abud, com apresentac¸ ˜ao do trabalho:Distribuic¸ ˜oes e correntes;

• M ´etodos da Geometria Diferencial, Simetrias e Sistemas Integr ´aveis: de 06 de marc¸o a 30 de junho de 2006 organizado pelo professor Frank Michael Forger com apresentac¸ ˜ao do trabalho: Formalismo Funcional da Teoria dos Campos I e II.

1.6.2 Participa¸ c˜ ao em eventos

• Participac¸ ˜ao na 27a Reuni ˜ao Anual da SBPC, realizado de 09 a 14 de julho de 1995, em S ˜ao Lu´ıs - Ma, com apresentac¸ ˜ao do trabalho: Simetrias Locais e Globais na Mec ˆanica Lagrangiana;

• Participac¸ ˜ao no 22o Col ´oquio Brasileiro de Matem ´atica, realizado de 25 a 30 de junho de 1999, no IMPA - Instituto de Matem ´atica Pura e Aplicada, no Rio de Janeiro - RJ;

• Participac¸ ˜ao no XXXIII Encontro Nacional de F´ısica de Part´ıculas e Campos, realizado de 15 a 19 de outubro de 2002 em ´Aguas de Lind ´oia, com apresentac¸ ˜ao do trabalho:

Multisymplectic geometry in field theory.

• Participac¸ ˜ao na escola de ver ˜ao “Quantum Symmetries in Theoretical Physics and Math- ematics”, realizado de 10 e 22 de janeiro no Centro At ˆomico Balseiro em Bariloche na Argentina.

• Participac¸ ˜ao no International Congress on Mathematical Physics, realizado de 06 a 11 de agosto de 2006 no IMPA-Rio de Janeiro, com apresentac¸ ˜ao do trabalho (poster):Multisym- plectic geometry in field theory.

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1.6.3 Produ¸ c˜ ao cientifica - publica¸ c˜ oes

Publicac¸ ˜ao Resumo em anais de evento cient´ıfico internacional T´ıtulo: Multisymplectic Geometry in Field Theory

Evento: XXXIII Encontro Nacional de F´ısica de Part´ıculas e Campos

Periodo: 15 a 19 de outubro de 2002 Local Aguas de Lind ´oia - S ˜ao Paulo´ Apresentac¸ ˜ao: Oral

Resumo

In the generalization of the symplectic framework from mechanics to field theory, the tradi- tional approach in terms of initial data, which depends on the “a priori” choice of a Cauchy hypersurface, is not covariant. Two formalisms have been proposed that overcome this prob- lem: the multisymplectic formalism [18] and the covariant phase space or covariant functional formalism [5]. The first uses well established methods from calculus on finite-dimensional manifolds and hence is mathematically rigorous and obviously compatible with the princi- ple of locality in field theory. The second is intrinsically global and its consistency with the principle of locality in field theory is not obvious; moreover, as a mathematical technique, it is based on the formal use of calculus on infinite-dimensional manifolds. A central issue for both formalisms is the quest for a natural definition of Poisson brackets. In the multisymplectic approach, there are various proposals by different authors (see, for example, [10] and refer- ences therein), while in the covariant phase space approach, the definition is originally due to Peierls [23] and has been geometrized by de Witt [8]; its relation with the multisymplectic approach has recently been elucidated by Forger and Romero [29].

Contexto

Este trabalho representa a parte inicial da pesquisa do doutorado onde procurei responder a pergunta: ”Existe uma extens ˜ao natural, da mec ˆanica para a teoria dos campos, do conceito do tensor de Poisson?”. No contexto da mec ˆanica, o tensor de Poisson π ´e o dual da forma simpl ´etica ω, o que em coordenadas locais de Darboux (qi, pi) podem ser representado pela f ´ormula

ω = dqi dpi , π = ∂

∂qi

∂pi . (1.1)

No formalismo multissimpl ´etico da teoria cl ´assica dos campos, a proposta para um tensor de Poisson consistiu em introduzir, como dual da forma multissimpl ´etica, que ´e de graun+ 1e em coordenadas locais adaptadas tem a forma

ω = dqi dpµi dnxµ − dpdnx . (1.2)

(15)

1.6 Atividades de pesquisa

11

Desta forma, o tensor de Poisson seria um campo multivetorial π, tamb ´em de grau n + 1, na forma

π = ∂

∂qi

∂pµi

n

∂xµ − ∂

∂p

n

∂x . (1.3)

Entretanto, ao contr ´ario de ω, este objeto n ˜ao ´e um campo tensorial, pois n ˜ao se transforma de maneira natural sob mudanc¸a de coordenadas. Este problema foi resolvido pela introduc¸ ˜ao de um refer ˆencial apropriado, geralmente n ˜ao hol ˆonomo, que chamamos de refer ˆencial de Dar- boux e que foi definido a partir de um conjunto apropriado de conex ˜oesΓ. Os resultados foram apresentados no cap´ıtulo 2 de [24] e est ˜ao em [12], onde s ˜ao incorporados novos resultados.

Publicac¸ ˜ao Resumo em anais de evento ci ˆentifico Internacional T´ıtulo: Multisymplectic Geometry in Field Theory

Evento: International Congress on Mathematical Physics Periodo: 06 a 11 de agosto de 2006

Local IMPA-Rio de Janeiro Apresentac¸ ˜ao: Poster (no anexo A)

Homepage: http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/downloads/

2006 ICMP/Poster accept/salles-mo.pdf Resumo

We establish a link between the multisymplectic and the covariant phase space ap- proaches to geometric field theory by showing that:

• The functional hamiltonian vector fieldXF for the functional F defined by integrating a hamiltonian (n−1)-form f, evaluated along sections, over a given hypersurface (possibly with boundary) is obtained by composition of the hamiltonian vector fieldXf derived fromf with sections.

• The Peierls-DeWitt bracketF, Gbetween two functionalsF andGderived from hamil- tonian(n−1)-formsf andg, respectively, is the functional derived from the hamiltonian (n−1)-formf, g.

Contexto

Neste travalho estabelecemos uma estreita relac¸ ˜ao entre o colchete de Poisson do formalismo multissimpl ´etico [10, 15] entre formas diferenciais no espac¸o de multifase comum e o colchete de Peierls-DeWitt entre funcionais definidos a partir de tais formas, para o caso especial em que as referidas formas s ˜ao formas hamiltonianas de grau n −1 e os funcionais correspondentes s ˜ao obtidos, essencialmente, por pull-back destas formas com uma soluc¸ ˜ao das equac¸ ˜oes de

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movimento do modelo e subsequente integrac¸ ˜ao sobre uma subvariedade de codimens ˜ao 1do espac¸o-tempo, tipicamente uma hipersuperf´ıcie de Cauchy. Os resultados foram apresentados no cap´ıtulo 3 de [24] e est ˜ao em [14], onde s ˜ao incorporados novos resultados.

Publicac¸ ˜ao Relat ´orio T ´ecnico

T´ıtulo: Hamiltonian Vector Fields on Multiphase Spaces of Classical Field Theory

Refer ˆencia: RT-MAP-0802

N ´umero de p ´aginas: 8 p ´aginas (no anexo B)

Periodo: outubro de 2010

Local: Universidade de S ˜ao Paulo Co-autor: Prof. Dr. Frank Michael Forger Homepage: http://arxiv.org/abs/1010.0337

Resumo

We present a classification of hamiltonian vector fields on multisymplectic and polysym- plectic fiber bundles closely analogous to the one known for the corresponding dual jet bun- dles that appear in the multisymplectic and polysymplectic approach to first order classical field theories.

Contexto

Os resultados foram apresentados no cap´ıtulo 1 de [24] e est ˜ao em [13], onde s ˜ao incorporados novos resultados.

Artigos em prepara¸c˜ao

Os seguintes artigos est ˜ao em preparac¸ ˜ao:

• Poisson Bracket in Classical Field Theory [14]: Trabalho com Prof. Dr. Frank Michael Forger que reune al ´em de resultados obtidos em [24] (espec´ıficamente cap´ıtulo 3), apresentados sob o t´ıtulo

”Multisymplectic Geometry in Field Theory” no International Congress on Mathematical Physics (poster em anexo), reune resultados que apontam a aproximac¸ ˜ao da abordagem m ´ultiss´ımpl ´etica com o formalismo covariante [5]. Outros resultados apontam tamb ´em para uma intersecc¸ ˜ao com a formulac¸ ˜ao alg ´ebrica da teoria qu ˆantica dos campos [2].

• Poisson Tensor in Multiphase Space [12]: Trabalho com Prof. Dr. Frank Michael Forger que reune al ´em de resultados obtidos em [24] (espec´ıficamente cap´ıtulo 2), novos resultados na caracterizac¸ ˜ao das estruturas geom ´etricas envolvidas [27];

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1.7 Participac ¸˜ ao em comiss˜ oes julgadoras

13

• Hamiltonian Vector Fields on Multiphase Spaces of Classical Field Theory [13]: Trabalho com Prof.

Dr. Frank Michael Forger que reune al ´em de resultados obtidos em [24] (espec´ıficamente cap´ıtulo 1), e j ´a encontra-se na forma de relat ´orio t ´ecnico em anexo.

• Transversality and Boundary Conditions in Classical Field Theory: Trabalho individual e reune os primeiros resultados sobre otimizac¸ ˜ao.

1.7 Participa¸ c˜ ao em comiss˜ oes julgadoras

Participac¸ ˜ao em comiss ˜oes julgadoras de concursos da carreira docente para o ensino superior onde estavamos incumbidos de:

• analisar e emitir parecer sobre os pedidos de inscric¸ ˜ao, divulgar o resultado do processo de inscric¸ ˜ao;

• elaborar o processo de selec¸ ˜ao;

• submeter `a homologac¸ ˜ao pela Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao da Faculdade e divulgar resultado final do concurso.

Atividade: Membro de Banca Disciplinas: Matem ´atica Discreta I e

Matem ´atica Discreta II Cargo: Professor Associado

Periodo: 13 `a 14 de fevereiro de 2008

Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Atividade: Membro de Banca Disciplina: Matem ´atica Discreta I Cargo: Professor Associado Periodo: 01 `a 02 de outubro de 2008

Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Atividade: Presidente de Banca

Disciplina: C ´alculo Diferencial e Integral I Cargo: Professor Associado

Periodo: 17 `a 18 de fevereiro de 2009

Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

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1.8 Atividades acadˆ emicas

Por perceber na din ˆamica das atividades acad ˆemicas a possibilidade de compreender administrac¸ ˜ao das Instituic¸ ˜oes p ´ublicas de ensino superior, sempre participei destas atividades. Na graduac¸ ˜ao, assim como na p ´os-graduac¸ ˜ao, participei como representante estudantil em comiss ˜oes e conselhos que atuam nas di- versas esferas da administrac¸ ˜ao das instituic¸ ˜oes de ensino, posteriormente, participei como representante da categoria dos docentes.

Atividade: Representante dos alunos de graduac¸ ˜ao na comiss ˜ao mista

Periodo: fevereiro `a julho de 1996

Enderec¸o Coordenadoria de Assist ˆencia Social - COSEAS / USP Contexto

A Comiss ˜ao Mista era formada por alunos profesores e funcion ´arios e foi respons ´avel por elaborar o regulamento do Conjunto Residencial da USP - moravam aproximadamente 1000 alunos de graduac¸ ˜ao e 400 alunos de mestrado e doutorado. Al ´em disto avali ´avamos os recursos de solicitac¸ ˜ao para perman ˆencia dos moradores que n ˜ao atingiram 75%de aprovac¸ ˜ao em todas disciplinas obrigat ´orias no semestre.

Atividade: Representante suplente dos alunos de p ´os graduac¸ ˜ao na Congregac¸ ˜ao do IME-USP

Periodo: fevereiro de 1999 `a fevereiro de 2000 Enderec¸o na Congregac¸ ˜ao do IME-USP

Contexto

A Congregac¸ ˜ao do IME-USP ´e o ´org ˜ao colegiado m ´aximo da unidade de ensino e se reunia mensalmente para discutir sobre todos assuntos de interesse tais como: prorrogac¸ ˜ao de contratos, reconhecimento de t´ıtulos e diplomas, aprovac¸ ˜ao de conv ˆenios, concursos da carreira docente e de livre-doc ˆencia, eleic¸ ˜ao de representantes e estrutura curricular.

Atividade: Membro da direc¸ ˜ao APG / USP - Capital Periodo: fevereiro de 2001 `a fevereiro de 2002 Enderec¸o Centro de Viv ˆencia, Rua da Reitoria, no74

Cidade Universit ´aria - S ˜ao Paulo - SP Telefone 7148-6871 Universidade de S ˜ao Paulo Homepage www.apgusp.com/

Contexto

Associac¸ ˜ao dos P ´os-graduandos da USP que congrega todos os p ´os-graduandos de Programas de p ´os- graduac¸ ˜ao situados nos campus da capital.

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1.9 Atividades administrativas

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Atividade: Membro da Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao Periodo: agosto de 2006 at ´e agosto de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba Atividade: Presidente da Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao Periodo: janeiro de 2009 at ´e agosto de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Contexto

A Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao ´e o ´org ˜ao de supervis ˜ao do ensino, da pesquisa e da extens ˜ao de servic¸os `a comunidade da Faculdade, obedecidas as diretrizes gerais da pol´ıtica educacional, conforme o Regimento Unificado das Faculdades de Tecnologia.

Atividade: Membro da Comiss ˜ao Permanente para Processos Seletivos Periodo: janeiro de 2009 at ´e agosto de 2010

Enderec¸o: Centro Paula Souza

Contexto

A realizac¸ ˜ao do Processo Seletivo Vestibular est ´a a cargo e sob a responsabilidade da Comiss ˜ao Perma- nente para Processos Seletivos - CPPS - Vestibulares, do Centro Paula Souza. Entre as atribuic¸ ˜oes est ´a estabelecer normas para a concess ˜ao de isenc¸ ˜ao.

1.9 Atividades administrativas

Como os primeiros professores da Fatec automaticamente constituiam a Comiss ˜ao de Implantac¸ ˜ao in- tegrei e participei do processo de implantac¸ ˜ao desde o ´ınicio. Esta experi ˆencia foi fundamental para amadurecer minha vis ˜ao sobre a administrac¸ ˜ao p ´ublica de instituic¸ ˜oes de ensino superior, que havia adquirido com minha participac¸ ˜ao nas atividades acad ˆemicas na graduac¸ ˜ao e na p ´os-graduac¸ ˜ao. A Fatec de Carapicu´ıba possuia aproximadamente 2000 alunos, 80 professores e 40 funcion ´arios entre concursa- dos, terceirizados, cargos de confianc¸a e funcion ´arios de parcerias com prefeitura e estado.

Atividade: Curso Preparat ´orio para Diretores de Fatec Periodo: 14 a 18 de abril de 2008

Durac¸ ˜ao: 40 horas

Respons ´avel: Assessoria para Assuntos de Educac¸ ˜ao Superior do Centro Paula Souza

Enderec¸o: S ˜ao Paulo - SP

Contexto

Foram apresentadas as rotinas de gest ˜ao acad ˆemica, de pessoal, pedag ´ogica, financeira e educacional.

Ele era um pr ´e-requisito para assumir a direc¸ ˜ao de uma unidade.

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Cargo: Diretor pr ´o-tempore

Periodo: janeiro de 2009 `a agosto de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Contexto:

As diversas obrigac¸ ˜oes administrativas e burocr ´aticas consumiam a maior parte do tempo, entre algumas destas posso citar:

• Implantac¸ ˜ao do curso de Tecn ´ologo em Log´ıstica e dos cursos de An ´alise de Sistemas e Tecnologia da Informac¸ ˜ao: Bacharelado, Licenciatura e os cursos de Tecn ´ologo em Redes e o T ´ecnologo em Jogos.

• Criac¸ ˜ao do curso de Secretariado.

• Formatura da primeira turma de Log´ıstica - enfase transporte

Estas atividades n ˜ao inviabilizaram a elaborac¸ ˜ao de projetos para melhoria no ambiente e nas pr ´aticas.

Estes projetos foram importantes pois para avaliar a capacidade de resoluc¸ ˜ao de problemas, disposic¸ ˜ao para assumir riscos e identificar oportunidades, e entender o poder do bom relacionamento. Apesar das restric¸ ˜oes e limitac¸ ˜oes de infraestrutura e de apoio direto, conseguimos elaborar algumas propostas de desenvolvimento de pesquisa tecnol ´ogica. Como resultados direto:

• O ingresso de 7 docentes no Regime de Jornada Integral - RJI. Este ´e o an ´alogo ao regime de dedicac¸ ˜ao exclusiva. Para admiss ˜ao o docente e a unidade submetiam projeto de 40 horas de atividades semanais pelo periodo de tr ˆes anos. Professores com projetos de pesquisa cient´ıficva e em regime de formac¸ ˜ao (doutorandos) foram a prioridade;

• Disponibilidade de 150 horas para professores dispostos a elaborar e trabalhar em projetos de pesquisa

• Aprovac¸ ˜ao e formulac¸ ˜ao de uma pol´ıtica de iniciac¸ ˜ao em atividades de desenvolvimento tecnol ´ogico junto ao CNPq. Foram aprovadas as primeiras bolsas de iniciac¸ ˜ao cientifica - PIBITI. Implantac¸ ˜ao do sistema de monitorias

Atividade: Coordenador Institucional de Iniciac¸ ˜ao em Desenvolvimento Tecnol ´ogico e Inovac¸ ˜ao Periodo: em andamento desde julho de 2010 Enderec¸o: Faculdade Tecnol ´ogica de Carapicuiba

Contexto

Entre as responsabilidades est ´a acompanhar e auxiliar os orientadores e orientados, com bolsas de Iniciac¸ ˜ao cientifica - PIBITI do CNPq e avaliar os relat ´orios trimestrais dos orientandos. Neste sentido elaboramos uma pol´ıtica para o estimulo `a iniciac¸ ˜ao em atividades de desenvolvimento tecnol ´ogico e inovac¸ ˜ao e criamos um programa de pesquisa, desenvolvimento e inovac¸ ˜ao, para viabilizar a realizac¸ ˜ao das atividades de pesquisa e desenvolvimento do bolsista.

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1.10 Experiˆ encia em extens˜ ao universit´ aria

17

1.10 Experiˆ encia em extens˜ ao universit´ aria

A participac¸ ˜ao em trabalhos e projetos volunt ´arios sempre fez parte das minhas atividades. Entre os motivos diretos e indiretos posso citar

• necessidade de trabalhar em equipe;

• administrar o tempo;

• co-responsabilidade.

Organizac¸ ˜ao: Centro de Educac¸ ˜ao e Organizac¸ ˜ao Popular - CEOP Periodo: junho de 1994 a dezembro de 1996

Enderec¸o: Associac¸ ˜ao de Moradores do Jardim S ˜ao Remo - Paulo/SP Contexto

Participac¸ ˜ao em atividades de Educac¸ ˜ao de Jovens e Adultos junto a comunidades carentes e participac¸ ˜ao na coordenac¸ ˜ao da ONG. As atividades de ensino exigiam, al ´em do exercic´ıo da pr ´atica em classe, um aprofundamento te ´orico buscando instrumentalizar as diversas correntes da alfabetizac¸ ˜ao, tais como o m ´etodo Paulo Freire e o construtivismo de Em´ılia Ferreiro. Atualmente o CEOP integra o MOVA-SP onde trabalha com aproximadamente 100 jovens e adultos. Participei das atividades pedag ´ogicas e organiza- cionais da entidade, onde ocupei o cargo de secret ´ario e tesoureiro. Encerrei minha participac¸ ˜ao ativa em dezembro de 1998. As atividades desta ONG foram temas em 2005 da dissertac¸ ˜ao de mestrado da Profa DraK ´atia Evangelista R ´egis sob o t´ıtulo “Alfabetizac¸ ˜ao e p ´os-alfabetizac¸ ˜ao de jovens e adultos e educac¸ ˜ao popular - concepc¸ ˜oes, limites e possibilidades das pr ´aticas do Centro de Educac¸ ˜ao e Organizac¸ ˜ao Popular (CEOP) 1989-2004”.

Organizac¸ ˜ao: Centro de Estudos e Aplicac¸ ˜ao da Capoeira - CEACA Periodo: junho de 2003 a dezembro de 2009

Enderec¸o: EMEF Desembargador Amorim Lima

Rua Professor Vicente Peixoto, 50 - Vila Indiana - S ˜ao Paulo.

Homepage: www.capoeiraceaca.org.br

Contexto

Participac¸ ˜ao em atividades de ensino de Capoeira para crianc¸as e adolescentes junto a Comunidades carentes. Participac¸ ˜ao na organizac¸ ˜ao da entidade, exercendo a func¸ ˜ao de tesoureiro e secret ´ario, e nas atividades afins da ONG desde 1994, que incluiram entre outras apresentac¸ ˜ao em v ´arias atividades orga- nizadas pela Prefeitura de S ˜ao Paulo tais como a abertura do F ´orum Mundial de Educac¸ ˜ao e apresentac¸ ˜ao na Bienal do Livro. O CEACA desenvolve atividades de ensino/aprendizado em locais como o Lyc `ee Pas- teur, no Instituto Oceanog ´afico da USP e no EMEF Desembargador Amorim Lima. Neste ´ultimo partici- pamos do atividades na grade escolar, onde a capoeira surge como ferramenta que busca o desenvolvi- mento dos indiv´ıduos, de suas habilidades e aptid ˜oes. No ano de 2006, o CEACA teve aprovado pelo

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Minist ´erio da Cultura projeto de transformar as atividades na escola num Ponto de Cultura. Este foi ren- ovado em 2009 e atende diretamente em torno de 650 crianc¸as e adolescentes. Em dezembro de 2009 recebi o cord ˜ao tranc¸ado de professor de capoeira.

Premios e editais aprovados

• Edital ponto de Cultura (2005-2008) - Minist ´erio da Cultura

• Pr ˆemio Escola Viva (2007) - Minist ´erio da Cultura

• Pr ˆemio ASAS (2008) - Minist ´erio da Cultura

• Edital ponto de Cultura (2010-20012) - Minist ´erio da Cultura e Secretaria Estadual de Cultura de S ˜ao Paulo

(23)

Cap´ıtulo 2

Projeto de atua¸ c˜ ao profissional

Este projeto de atuac¸ ˜ao profissional pretende expor os objetivos futuros nas ´areas de atividades de ensino, nos n´ıveis de graduac¸ ˜ao e p ´os-graduac¸ ˜ao, extens ˜ao universit ´aria e pesquisa. Estes objetivos s ˜ao amplos e ser ˜ao adaptados as circunst ˆancias e estar ˜ao limitados pelas condic¸ ˜oes locais e regionais de infraestrutura e demanda.

Na ´area de ensino, indo al ´em das pr ´aticas usuais de ensino na graduac¸ ˜ao, apresentarei uma proposta de pr ´atica pedag ´ogica. Havendo disponibilidade, tenho interesse lecionar disciplinas de p ´os-graduac¸ ˜ao.

Outra possibilidade de atuac¸ ˜ao, dependendo da demanda, ´e lecionar cursos intensivos no periodo de f ´erias.

Na ´area de pesquisa pretendo estabelecer aqui os pressupostos te ´oricos dessa atuac¸ ˜ao, algumas ac¸ ˜oes a serem realizadas e os resultados esperados, apresentando poss´ıveis desdobramentos e con- sequ ˆencias.

Na ´area de extens ˜ao pretendendo fazer, a m ´edio prazo, o reconhecimentodas demandas e possibili- dades de atuac¸ ˜ao, tanto no ambiente universit ´ario como em projetos voltados diretamente para sociedade.

2.1 Ensino

Voltada a ajudar a atender as demandas alunos encontram nas disciplinas iniciais das ´areas de exatas onde, em muitos casos, observa-se a aus ˆencia dos conceitos matem ´aticos m´ınimos necess ´arios quase sempre devido a um contato irregular com estes no ensino m ´edio.

2.1.1 Objetivo e justificativa

A proposta de atividades de revis ˜ao, reforc¸o e reconhecimento, est ´a organizada numa s ´erie de roteiros de pesquisa, que visam n ˜ao apenas gerar um ac ´umulo de conceitos matem ´aticos, mas buscam principal- mente estimular nos alunos a capacidade de diagnosticar suas defici ˆencias e necessidades e, auxiliados

19

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pelos professores em sala de aula e por monitores em atividades extra classe, trabalhar individualmente e em grupo estas d ´uvidas. Parte destas atividades objetivam estimular o contato com outros aspec- tos dos conceitos desenvolvidos na disciplina durante o semestre. Por fim, atividades que remetam a aplicac¸ ˜oes destes conceitos matem ´aticos com atividades afins do curso correspondente, e possibilitem o aluno perceber nestes conceitos matem ´aticos uma ferramenta.

Como objetivos difusos temos os poss´ıveis desdobramentos:

• resgate dos alunos;

• estimulo ao auto-didatismo;

• exposic¸ ˜ao ao trabalho em grupo;

• autogest ˜ao.

2.1.2 Metodologia

Para um reconhecimento e avaliac¸ ˜ao dos alunos, fazemos num primeiro encontro uma prova diagn ´ostico que cobre tanto conceitos b ´asicos quanto conceitos a serem abordados durante o curso. Esta prova objetiva tanto uma avaliac¸ ˜ao dos alunos pela parte dos professores como uma reflex ˜ao por parte do aluno numa auto-avaliac¸ ˜ao. A partir desta avaliac¸ ˜ao s ˜ao criados grupos de estudos com os alunos que durante o semestre trabalham coletivamente, auxiliando-se mutuamente. Todas as atividades s ˜ao orientadas por roteiros de pesquisa. A proposta ´e a de que os grupos de trabalho tenham um n ´umero de horas atividades distribu´ıdas na semana, ora com acompanhamento do monitor, que realiza breves exposic¸ ˜oes dos temas e posteriormente os alunos trabalham em grupo. A avaliac¸ ˜ao ´e continuada e visa estimular o aluno na busca de uma auto-avaliac¸ ˜ao formada a partir do desenvolvimento do seu senso cr´ıtico.

Roteiros de pesquisa

Os roteiros de pesquisa envolvem uma s ´erie de atividades que incluem pesquisa a livros, sites e apostilas;

atividades de entrevistas, a outros alunos, professores e profissionais da ´area dos cursos; e indicac¸ ˜ao de filmes diversos de leitura de livro de divulgac¸ ˜ao. Os roteiros de pesquisa ser ˜ao divididos entre

• Roteiros de Revis ˜ao: A id ´eia ´e orientar o aluno a buscar e resgatar os conceitos b ´asicos necess ´arios e consolidar estes em exerc´ıcios. Na pr ´atica o aluno ter ´a que realizar pesquisas na literatura de 1.o e 2.o grau sobre estes conceitos, e em alguns casos, dependendo da solicitac¸ ˜ao do roteiro, elaborar um resumo desta pesquisa num trabalho e realizar os exerc´ıcios indicados. Fazem parte destes roteiros atividades que levem o aluno a uma fruic¸ ˜ao, onde ele possa ver a matem ´atica al ´em do desenvolvimento formal.

• Roteiros de Reforc¸o: A id ´eia ´e disponibilizar material que possa orientar os alunos a consolidar as atividades ministradas em sala de aulas.

• Roteiros de Reconhecimento: A id ´eia ´e produzir um material conjuntamente com os professores dos cursos cujas disciplinas tenham a matem ´atica como ferramenta essencial para o desenvolvimento de suas disciplinas, possibilitando uma perspectiva abrangente da import ˆancia e aplicabilidade dos conceitos aprendidos nas disciplinas.

(25)

2.2 Pesquisa

21

Monitores

A participac¸ ˜ao de monitores ´e fundamental, sendo necess ´ario aproximadamente seis horas semanais para cada grupo de quarenta alunos. As atividades dos monitores devem ser:

1. auxiliar no diagn ´ostico dos alunos ingressantes;

2. participar, em conjunto com alunos e professores, da organizac¸ ˜ao e elaborac¸ ˜ao de metas e crono- grama;

3. participar de atividades pr ´e estabelecidas de Revis ˜ao e Reforc¸o;

4. auxiliar, desenvolver e aplicar, com acompanhamento dos professores, aulas, listas de exerc´ıcios e provas;

5. auxiliar na elaborac¸ ˜ao da avaliac¸ ˜ao da efetividade e dos resultados da proposta;

2.1.3 Perspectiva

Algumas das mudanc¸as necess ´arias para aprimorarmos as atividades de revis ˜ao, reforc¸o e reconheci- mento que considero fundamental:

1. disponibilizar um maior variedade de material de apoio;

2. adequar os roteiros de pesquisa as acaracter´ısticas dos cursos;

3. propiciar a interdisciplinaridade direta e indireta;

4. elaborar uma proposta de avaliac¸ ˜ao da proposta e um relat ´orio final.

Trabalhos apresentados em congressos sobre esta pratica

• Limad, Watson Gomes Neto de ; Salles, M. O ; CARVALHO, A. C. B. D. . FERRAMENTA DE NIVE- LAMENTO : UM INSTRUMENTO DE MELHORIA DA QUALIDADE DE ENSINO. In: International Conference on Engineering and Technology Education, 2008, Santos. Proceding of INTERTECH 2008, 2008.

• Limad, Watson Gomes Neto de ; Salles, M. O ; CARVALHO, A. C. B. D. . THE USAGE OF THE LEVELLING AS A TOOL OF IMPROVEMENT OF EDUCATION. In: International Conference on Engineering Education, 2008, Budapeste. Proceeding of ICEE 2008.

2.2 Pesquisa

A proposta se enquadra no projeto de pesquisa que est ´a sendo desenvolvido no grupo no IME-USP e que, de forma geral, visa o desenvolvimento de aspectos do formalismo hamiltoniano covariante para a teoria cl ´assica dos campos.

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Na mec ˆanica cl ´assica o dom´ınio das vari ´aveis independentes ´e a reta real do tempo, a ac¸ ˜ao ´e uma integral simples e as equac¸ ˜oes de Euler-Lagrange s ˜ao equac¸ ˜oes diferenciais ordin ´arias. J ´a na teoria cl ´assica dos campos o dom´ınio das vari ´aveis independentes ´e generalizado para uma variedade mul- tidimensional, o espac¸o-tempo, a ac¸ ˜ao ´e uma integral multipla e as equac¸ ˜oes de Euler-Lagrange s ˜ao equac¸ ˜oes diferenciais parciais.

A primeira abordagem local para este formalismo, i.e., que dependia da escolha de um sistema de co- ordenadas, voi proposto por Vito Volterra, no s ´eculo XIX. Nos anos 30, De Donder e Weyl desenvolveram o formalismo hamiltonian e somente nos anos 70 o grupo polones liderado por Tulczcyew desenvolve uma formulac¸ ˜ao global. Posteriormente v ´arios pesquisadores contribuiram pra o desenvolvimento desta ´area.

Na teoria cl ´assica dos campos, o m ´etodo mais tradicional de implementar o formalismo can ˆonico ´e baseado na identificac¸ ˜ao das vari ´aveis din ˆamicas da teoria com dados iniciais, ou seja, func¸ ˜oes sobre alguma hipersuperf´ıcie de Cauchy no espac¸o-tempo, sendo que o formalismo providencia equac¸ ˜oes difer- enciais para a evoluc¸ ˜ao temporal fora desta hipersuperf´ıcie. O problema principal desta abordagem reside no fato de que, pela mera escolha de uma hipersuperf´ıcie de Cauchy espec´ıfica para carregar os dados iniciais, perde-se a covari ˆancia expl´ıcita da teoria, isto ´e, a invari ˆancia de Lorentz (no contexto da relativi- dade restrita) ou, mais geralmente, a invari ˆancia sob transformac¸ ˜oes gerais de coordenadas (no contexto da relatividade geral). Tal perda n ˜ao significa que estas simetrias fundamentais sejam de fato quebradas, mas elas (ou pelo menos uma parte delas) deixam de se manifestar de forma direta: podemos dizer que s ˜ao ofuscadas. Isso poderia ser considerado uma mera falta de eleg ˆancia, pelo menos na teoria cl ´assica, mas cria problemas muito mais s ´erios quando queremos aplicar algum m ´etodo de quantizac¸ ˜ao, pois nada garante que exista algum m ´etodo de quantizac¸ ˜ao que preserva tais “simetrias escondidas”. Em particular, a quantizac¸ ˜ao can ˆonica conduz a modelos da teoria qu ˆantica dos campos cuja covari ˆancia est ´a longe de ser ´obvia e de fato constitui um problema formid ´avel: como um exemplo, podemos citar os esforc¸os necess ´arios para estabelecer invari ˆancia de Lorentz na eletrodin ˆamica qu ˆantica (perturbativa) no calibre de Coulomb.

Estas e outras observac¸ ˜oes similares t ˆem por muitas d ´ecadas motivado tentativas de desenvolver, na teoria cl ´assica dos campos, um formalismo can ˆonico inteiramente covariante, que poderia servir como ponto inicial para m ´etodos alternativos de quantizac¸ ˜ao, tais como a quantizac¸ ˜ao por deformac¸ ˜ao, por ex- emplo. Entre muitas ideias que foram propostas nesta direc¸ ˜ao, duas vieram ocupar um papel de destaque.

A primeira ´e o “formalismo funcional covariante” , baseado no conceito do “espac¸o de fase covariante ” que ´e definido como o espac¸o das soluc¸ ˜oes das equac¸ ˜oes de movimento, ao inv ´es de um espac¸o de dados de Cauchy. Esta formulac¸ ˜ao foi popularizada nos anos 80 por Crnkovi´c, Witten e Zuckerman [5, 32]

que mostraram como construir, para alguns dos modelos mais importantes da teoria dos campos (in- clu´ındo teorias de calibre e relatividade geral), uma estrutura simpl ´etica no espac¸o de fase covariante.

A segunda tornou-se conhecida como o “formalismo multissimpl ´etico”, baseado no conceito do “espac¸o de multifase” que, basicamente, pode ser definido localmente associando a cada coordenadaqi n ˜ao ape- nas um momento conjugadopi masnmomentos conjugados pµi (µ = 1, . . . , n), onden ´e a dimens ˜ao da variedade espac¸o-tempo subjacente. Em coordenadas locais, esta construc¸ ˜ao remonta aos trabalhos cl ´assicos de De Donder e Weyl nos anos 30 [30] e aos trabalhos poci divulgados de Vito Volterra, no s ´eculo XIX [26]. No entanto, a formulac¸ ˜ao global ´e bem mais recente: foi iniciada nos anos 70 por um grupo de f´ısicos matem ´aticos, principalmente na Pol ˆonia [21, 22] mas tamb ´em em outras partes do mundo [17], e

(27)

2.2 Pesquisa

23

foi definitivamente estabelecida nos anos 90 [3,19]; uma exposic¸ ˜ao detalhada, com v ´arios exemplos, pode ser encontrada no “GIMmsy paper” [18].

Os dois formalismos, embora inteiramente covariantes e consistentes com os princ´ıpios b ´asicos da teoria dos campos, em particular o de localidade, al ´em de dirigidos para o mesmo objetivo ´ultimo, s ˜ao substancialmente diferentes na natureza; cada um deles tem seus pr ´oprios m ´eritos e inconvenientes.

• O formalismo multissimpl ´etico ´e matematicamente rigoroso pois usa apenas m ´etodos bem esta- belecidos do c ´alculo em variedades de dimens ˜ao finita. Em relac¸ ˜ao ao colchete de Poisson, a proposta original de simplesmente adotar a mesma f ´ormula da mec ˆanica,

{f, g} = iXgiXfω , (2.1) cria um problema s ´erio, a saber que a identidade de Jacobi deixa de ser v ´alida. Este defeito foi corrigido em [10, 15], modificando a definic¸ ˜ao pela adic¸ ˜ao de um termo exato,

{f, g} = iXgiXfω + d

iXgf − iXfg − iXgiXfθ

. (2.2)

Por ´em, v ´arias outras dificuldades n ˜ao foram superadas, entre elas a aparente inexist ˆencia de um produto associativo com unidade em relac¸ ˜ao ao qual este colchete de Poisson satisfaria uma regra de Leibniz. Ademais, a introduc¸ ˜ao denmomentos conjugados para cada coordenada obscurece a dualidade usual entre vari ´aveis canonicamente conjugadas (tais como momentos e posic¸ ˜oes), que desempenha um papel fundamental em todos os m ´etodos conhecidos de quantizac¸ ˜ao. Uma soluc¸ ˜ao definitiva destes problemas ainda precisa ser encontrada.

• O formalismo funcional covariante segue os princ´ıpios da geometria simpl ´etica; em particular, ele admite uma definic¸ ˜ao natural do colchete de Poisson, que nesta vers ˜ao funcional ´e chamado de colchete de Peierls - De Witt: para dois funcionais F e G , este colchete ´e o funcional{F,G}definido pela seguinte integral dupla,

{F,G}[φ] = Z

M

dnx Z

M

dny δF

δφi(x)Gijφ(x, y) δG

δφj(y), (2.3)

ondeδF/δφeδG/δφdenota a derivada variacional de F e de G , respectivamente, eGφ´e a func¸ ˜ao de Green causal do operador de Jacobi, ou seja, da linearizac¸ ˜ao do operador de De Donder - Weyl (ou de Euler-Lagrange) em torno da soluc¸ ˜aoφ. Esta definic¸ ˜ao - formulada em termos diferentes - remonta a um trabalho de Peierls [23], foi adaptada `a teoria da gravitac¸ ˜ao por De Witt [6–8] e, posteriormente, `a situac¸ ˜ao geral encontrada no ˆambito multissimpl ´etico por Forger e Romero [16].

Por ´em, o formalismo funcional, na forma que costuma ser apresentado na literatura, n ˜ao pode ser considerado matematicamente rigoroso, na medida em que se restringe `a aplicac¸ ˜ao formal de m ´etodos do c ´alculo em variedades, extrapolados ao caso de dimens ˜ao infinita: a transformac¸ ˜ao dos resultados formais assim obtidos em teoremas matem ´aticos ´e um problema separado, altamente complexo e dif´ıcil, que est ´a apenas comec¸ando a ser abordado [2].

(28)

A relac¸ ˜ao entre as duas formulac¸ ˜oes comec¸ou a ser investigada j ´a nos anos 70, mas foi amplamente negligenciada nas d ´ecadas subsequentes e ainda est ´a longe de ser completamente entendida: avanc¸os significativos s ´o foram alcanc¸ados nos ´ultimos anos, a partir da publicac¸ ˜ao do trabalho [16].

A presente proposta pretende dar continuidade `a investigac¸ ˜ao da quest ˜ao e iniciar uma aproximac¸ ˜ao em dois temas que est ˜ao intrinsecamente relacionados:

• Teoria cl ´assica dos campos;

• Otimizac¸ ˜ao din ˆamica cl ´assica.

2.2.1 Objetivo e justificativa

Formalismo funcional da teoria cl´assica dos campos

Um dos resultados principais obtidos em [24] estabelece uma relac¸ ˜ao simples en- tre o colchete de Poisson multissimpl ´etico (2.2) e o colchete de Peierls-DeWitt (2.3), para uma classe restrita de funcionais, obtidos da seguinte forma. A cada (n − 1)- forma hamiltoniana f no espac¸o de multifase e cada subvariedade Σ (sem bordo) de dimens ˜ao n − 1 do espac¸o-tempo M cuja intersec¸ ˜ao com a projec¸ ˜ao do suporte de f no espac¸o- tempo ´e compacta, associamos um funcional F sobre o espac¸o de fase covariante, ou seja, sobre o espac¸o das soluc¸ ˜oesφdas equac¸ ˜oes de movimento, cujo valor emφ ´e obtido integrando o pull-back de f viaφsobreΣ:

F[φ] = Z

Σ

φf . (2.4)

Ent ˜ao o resultado afirma que se F ´e associado a (f,Σ) e G ´e associado a (g,Σ), ent ˜ao {F,G} ´e associado a ({f, g},Σ). Em outras palavras, o colchete de Poisson multissimpl ´etico (2.2) ´e um caso especial do colchete de Peierls-DeWitt (2.3)!

A meta inicial do presente projeto ´e generalizar este resultado, uma vez que existem funcionais, rep- resentando observ ´aveis importantes, que s ˜ao obtidos a partir de formas de outro grau e por integrac¸ ˜ao sobre subvariedades que n ˜ao s ˜ao hipersuperf´ıcies: o valor de um campo escalar em um ponto do espac¸o- tempo (dimens ˜ao0), o operador de transporte paralelo, em relac¸ ˜ao a alguma conex ˜ao, ao longo de um caminho, o que inclui o ”Wilson loop” das teorias de calibre quando consideramos caminhos fechados e formamos o trac¸o (dimens ˜ao 1), integrais de superf´ıcie do tensor do campo eletromagn ´etico ou do seu dual de Hodge (dimens ˜ao2), e assim por diante.

Otimiza¸c˜ao dinˆamica cl´assica

Provavelmente, a otimizac¸ ˜ao de par ˆametros experimentais de relev ˆancia seja uma das etapas mais cr´ıticas do trabalho cient´ıfico, principalmente daqueles que objetivam o desenvolvimento de processos tecnol ´ogicos aplic ´aveis em grande escala.

(29)

2.2 Pesquisa

25

Quais as vari ´aveis relevantes? Quais os valores que devem ser ensaiados? Qual a ordem de estudo das vari ´aveis? Qual a melhor resposta a ser analisada? Como desenvolver um trabalho de otimizac¸ ˜ao, com o m´ınimo de trabalho experimental? Na maioria dos casos, o processo de otimizac¸ ˜ao ´e realizado utilizando-se o cl ´assico sistema de uma vari ´avel por vez. No entanto, por negligenciar a interac¸ ˜ao entre as vari ´aveis, o resultado obtido n ˜ao necessariamente corresponde `as condic¸ ˜oes que levam ao ´otimo ver- dadeiro uma vez que as vari ´aveis costumam se correlacionar fortemente, interagindo atrav ´es de mecan- ismos que proporcionam efeitos sin ´ergicos e antag ˆonicos. Desta forma todas as vari ´aveis estar ˜ao sendo otimizadas em conjunto, n ˜ao uma vari ´avel por vez. Uma observac¸ ˜ao fundamental ´e que neste processo devemos conhecer como est ˜ao relacionando-se as vari ´aveis internas.

2.2.2 Metodologia

Formalismo funcional da teoria cl´assica dos campos

O an ´alogo do colchete de Poisson multissimpl ´etico para formas - mais exatamente, formas de Poisson - de qualquer grau j ´a ´e conhecido [10, 11], o que nos coloca perante o desafio de mostrar como deduzir este tamb ´em a partir do colchete de Peierls - De Witt entre funcionais. Essa abordagem deve tamb ´em permitir resolver um outro problema antigo do formalismo multissimpl ´etico: definir um produto associativo natural entre formas de Poisson em relac¸ ˜ao ao qual o colchete multissimpl ´etico ´e uma derivac¸ ˜ao em cada um dos seus argumentos. A relac¸ ˜ao entre o formalismo multissimpl ´etico e o formalismo funcional sugere que esse produto deve ser obtido a partir de um produto associativo entre pares(f,Σ)que corresponde ao produto ´obvio entre os funcionais F por eles gerados.

A generalizac¸ ˜ao dos funcionais do tipo (2.4) para objetos na forma

F

[φ] = Z

Σ1

Z

Σ2

φf , (2.5)

onde a f agora ser ´a uma forma, de grau igual a soma das dimens ˆoes das hipersuperficies Σ1 e Σ2. Este procedimento nos possibilitar ´a a introduc¸ ˜ao de um produto natural entre funcionais, que generaliza o produto pontual de func¸ ˜oes, onde para dois funcionais

F

[φ] = Z

Σ1

φf ,

G

[φ] = Z

Σ2

φg , (2.6)

associados af eΣ1, egeΣ2, teremos

(

F

·

G

) [φ] = Z

Σ1

Z

Σ2

φ(fg). (2.7)

Otimiza¸c˜ao dinˆamica cl´assica

Num primeiro momento buscarei formalizar a otimizac¸ ˜ao din ˆamica cl ´assica atrav ´es do que ´e comumente conhecida como mec ˆanica n ˜ao-autonoma, uma vez que as teorias de controle tipicamente trabalham com

(30)

uma formulac¸ ˜ao que exige a escolha a priori de uma vari ´avel temporal externa. Para efetivarmos esta construc¸ ˜ao lanc¸aremos m ˜ao de ferramentas geom ´etricas associadas a estruturas fibradas. Este passo

´e fundamental, uma vez que a escolha arbitr ´aria da vari ´avel temporal, algo recorrente na literatura, gera uma s ´erie de an ´alogias infundadas. Ao final estaremos aptos a abordar o principal objetivo que seria a construc¸ ˜ao de uma proposta para uma otimizac¸ ˜ao din ˆamica onde todas as vari ´aveis sejam otimizadas.

Teoricamente, numa abordagem onde o objetivo seja modelar um problema real e a seguir otimiza-lo, temos como paradigma o seguinte problema de otimizac¸ ˜ao

maxJ(u, v) = Z t1

t0

g(xµ, vi(t), uj(t))dt

˙

vi =fi(vi(t), uj(t)) e

vi(t0) =v0 vi(t1) =v1

onde t ∈ R, vi(t) = (v(t), . . . , vN(t)) ∈ RN e uj(t) = (u1(t), . . . , u(t)) ∈ Rm s ˜ao as vari ´aveis temporal, de estado e de controle, respectivamente. Observemos que este problema de otimizac¸ ˜ao as soluc¸ ˜oes ´otimas s ˜ao curvas que dependem somente da vari ´avel tempo t e s ˜ao obtidas a partir de variac¸ ˜oes unidimensionais. Para uma generalizac¸ ˜ao apropriada, onde possamos ter uma otimizac¸ ˜ao mul- tidimensional, ter´ıamos que substituir a vari ´avel tempotda reta temporalR, por um conjunto de vari ´aveis xµ = (x1, . . . , xn), do espac¸o-tempo n-dimensional M, de tal forma que em uma situac¸ ˜ao bem mais geral, poder´ıamos pensar num sistema de otimizac¸ ˜ao onde

maxJ(ϕ, ψ) = Z

U

g(xµ, ϕi(xµ), ψj(xµ))dnx

µϕi =fµii(xµ), ψj(xµ)) e

ϕi(∂U) =hi(xµ, ϕi(xµ), ψj(xµ))

onde xµ = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, ϕi(xµ) = (ϕ1(xµ), . . . , ϕN(xµ)) ∈ RN e ψj(xµ) = (ψ1(xµ), . . . , ψm(xµ)) ∈ Rm s ˜ao as vari ´aveis do espac¸o-tempo, de estado e de controle, respectiva- mente. Observemos que neste caso a vari ´avelxµ= (x1, . . . , xn)∈Rndescreve agora todo um conjunto de vari ´aveis independentes, inclusive o tempot.

Entre os aspectos inicias j ´a desenvolvidos temosi a abordagem da quest ˜ao da express ˜ao dos termos de bordo e das condic¸ ˜oes de transversalidade [25].

2.2.3 Perspectivas

A proposta deste projeto pode ser entendida sucintamente da seguinte forma ”como extender os objetos e as relac¸ ˜oes da mec ˆanica cl ´assica [1] para teoria cl ´assica dos campos“(vide Tabela 2.1). Diante do que foi exposto, considero ter uma expectativa de resultados vi ´aveis (publicac¸ ˜oes) em pesquisas iniciadas com a

(31)

2.3 Extens˜ ao

27

tese e outros em desenvolvimento em grande parte apoiado pelo progresso substancial nos fundamentos da ´area. Entre estes gostaria de citar os principais resultados obtidos pelo grupo de F´ısica Matem ´atica do IME-USP, coordenado pelo Prof. Dr. Frank Michael Forger

• entendimento correto da noc¸ ˜ao do colchete de Poisson no formalismo covariante [16] e no formal- ismo multisimpl ´etico [10]. Consitui um pr ´e-requisito para uma forma de quantizac¸ ˜ao;

• temos uma definic¸ ˜ao apropriada da noc¸ ˜ao de uma estrutura multis-simpl ´etica e/ou polissimpl ´etica que contempla os exemplos permite a demonstrac¸ ˜ao de um teorema de Darboux [9].

• esclarecemos alguns aspectos geom ´etricos intrinsicos da estrutura do espac¸o de multifase que podem caracterizar a exist ˆencia de um referencial de Darboux [27]

Al ´em dos trabalhos que j ´a est ˜ao sendo reformulados e estendidos para que possam se concretizar na forma de publicac¸ ˜oes [12–14, 25] e os apresentados neste projeto de pesquisa, gostaria de citar perspec- tivas futuras, onde novos resultados podem surgir

• formalismo funcional da teoria cl ´assica dos campos: tomando o mesmo procedimento com fun- cionais obtidos a partir de formas de grau arbitr ´ario poderemos aproximar o formalismo desen- volvido em [2], para teoria algebrica qu ˆantica dos campos, com o aqui desenvolvido. Outra quest ˜ao que surge ´e a introduc¸ ˜ao do conceito de bilocalidade, mais geralmente, multilocalidade. Numa inspec¸ ˜ao do colchete de Peirls (2.3) vemos explicitamente esta estrutura.

• otimizac¸ ˜ao din ˆamica cl ´assica: devem surgir aspectos novos, principalmente em relac¸ ˜ao `a ´area de otimizac¸ ˜ao e teoria do controle - afinal, m ´etodos do ramo de geometria envolvido neste formalismo t ˆem se mostrado ´uteis em aplicac¸ ˜oes a problemas de controle, por exemplo em rob ´otica.

2.3 Extens˜ ao

As ac¸ ˜oes de extens ˜ao distingue-se por sua abrangencia na Universidade, e atuam em todas as

´areas, seja na complementac¸ ˜ao de ac¸ ˜oes de ensino e pesquisa, seja por sua vocac¸ ˜ao para se constituir em elemento de aglutinac¸ ˜ao na Universidade ou por ser o canal aberto com a sociedade.

Conforme a vis ˜ao de extens ˜ao da USP:

”Na aus ˆencia de uma heranc¸a cultural coletivamente compartilhada, n ˜ao h ´a como preservar uma cultura p ´ublica, tampouco construir uma nac¸ ˜ao desenvolvida e social- mente mais equitativa, tornando centrais instituic¸ ˜oes portadoras de tais virtudes.”

Como a extens ˜ao caracteriza um setor de extrema complexidade, cobrindo desde atividades essen- ciais, cursos de especializac¸ ˜ao, conv ˆenios, desenvolvimento e ensino e outros, pretendo inicial- mente desenvolver um reconhecimento das necessidades e demandas, tanto da universidade, como da sociedade no seu entorno, para propor ou mesmo engajar-me em pol´ıticas p ´ublicas voltadas para este fim.

(32)

Tabela 2.1: Tabela comparativa entre a geometria simpl´etica na mecˆanica n˜ao-autˆonoma e a geometria multisimpl´etica na teoria cl´assica dos campos.

Mec ˆanica n ˜ao-aut ˆonoma Teoria dos campos

espac¸o de configurac¸ ˜ao estendido

R×Q→R coordenadas locais adaptadas t, qi

fibrado de configurac¸ ˜ao E→M

coordenadas locais adaptadas xµ, qi espac¸o de fase duplamente estendido

P =T(R×Q) =R×TQ×R coordenadas locais adaptadas t, qi, pi, E

espac¸o de multifase estendido P =J?E=J?E⊗Vn

TM

coordenadas locais adaptadas xµ, qi, pµi, p espac¸o de fase simplesmente estendido

P0=R×TQ coordenadas locais adaptadas t, qi, pi

espac¸o de multifase comum P0=J~E=J~E⊗Vn

TM

coordenadas locais adaptadas xµ, qi, pµi 1-forma can ˆonica sobreP

θ=pidqi+E dt

n-forma multican ˆonica sobreP θ=pµi dqidnxµ+p dnx

2-forma simpl ´etica sobreP, n ˜ao degenerada

ω=−dθ=dqidpi−dEdt

(n+ 1)-forma multisimpl ´etica sobreP, n ˜ao degenerada (em campos vetoriais)

ω=−dθ=dqidpµidnxµ−dpdnx

hamiltoniana

H:P0→R func¸ ˜ao sobreP0

hamiltoniana

H:P0→ P

sec¸ ˜ao dePsobreP0(fibrado afim em linhas) Campo de Euler

Σ = pi

∂pi

+E ∂

∂E

Campo de Euler

Σ = pµi

∂pµi + p ∂

∂p

(33)

Apˆ endice A

Poster

29

(34)
(35)

Apˆ endice B

Relat´ orio T´ ecnico

31

(36)
(37)

Referˆ encias Bibliogr´ aficas

[1] R. ABRAHAM& J.E. MARSDEN: Foundations of Mechanics,2ndedition, Benjamin/Cummings, Read- ing 1978.

[2] R. BRUNETTI, K. FREDENHAGEN, P. L. RIBEIRO:Algebraic Structure of Classical Field Theory I. The Case of a Real Scalar FieldTo appear.

[3] J.F. CARINENA˜ , M. CRAMPIN & L.A. IBORT: On the Multisymplectic Formalism for First Order Field Theories, Diff. Geom. Appl.1(1991) 345-374.

[4] C. CRNKOVIC´: Symplectic Geometry of Covariant Phase Space, Class. Quantum Grav. 5 (1988) 1557-1575.

[5] C. CRNKOVIC´ & E. WITTEN: Covariant Description of Canonical Formalism in Geometrical Theories, in: “Three Hundred Years of Gravitation”, pp. 676-684, eds: W. Israel & S. Hawking, Cambridge University Press.

[6] B. DEWITT: Invariant Commutators for the Quantized Gravitational Field, Phys. Rev. Lett.4(1960) 317-320.

[7] B. DEWITT: Dynamical Theory of Groups and Fields, in: “Relativity, Groups and Topology” (1963 Les Houches Lectures), pp. 585-820, eds: B. DeWitt & C. DeWitt, Gordon and Breach, New York 1964.

[8] B. DEWITT: The Spacetime Approach to Quantum Field Theory, in: “Relativity, Groups and Topology II” (1983 Les Houches Lectures), pp. 382-738, eds: B. DeWitt & R. Stora, Elsevier, Amsterdam 1984.

[9] M. FORGER & L. GOMES: Multisymplectic and Polysymplectic Structures on Fiber Bundles, arXiv:0708.1586.

[10] M. FORGER, C. PAUFLER& H. R ¨OMER: The Poisson Bracket for Poisson Forms in Multisymplectic Field Theory, Rev. Math. Phys.15(2003) 705-743,math-ph/0202043.

33

Referências

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