Distribuições de Probabilidade
Distribuições usuais discretas
Distribuições usuais discretas
Bernoulli
Binomial
Poisson
Distribuição de Bernoulli
Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis pode ser descrita por uma variável aleatória de Bernoulli. Por convenção utilizam-se os
valores 0 e 1 (0 → insucesso, 1 → sucesso) e designa-se por p a probabilidade da
variável assumir o valor 1.
X ∈ {0,1}, p ∈ [ 0,1 ] ,
P(X=1)=f(1)=p P(X=0)=f(0)=1-p
Distribuição de Bernoulli
Exemplos:
O sexo de um indivíduo;
Pretende-se estudar a incidência de uma certa doença numa certa população. X pode indicar se a doença está presente (X=1) ou ausente (X=0) num indivíduo da população (seleccionado ao acaso).
O factor Rh do sangue das pessoa (ou é positivo
ou é negativo).
Distribuição Binomial, X ~ B(n,p)
X= número de sucessos em n experiências de Bernoulli (todas independentes), com n
fixo à partida e p a probabilidade de sucesso em cada experiência.
f(x)= P(X=x)=
nC
xp
x(1-p)
n-x, x=0,1,2,…,n.
n = 6, x = 0 n = 6, x = 1
n = 6, x = 3
0 x n
Exemplo:
Distribuição Binomial
Exemplos:
O nº de pessoas com Rh positivo num conjunto de 10 indivíduos.
O nº de gatas (fêmeas) numa ninhada de 5 gatinhos.
O nº de alunos de Biologia (entre os que entraram este ano) que vão concluir o curso em 3 anos.
µ =E[X]=np σ
2= np(1-p) σ = np(1-p)
Gráfico de f(x) para a distribuição
Binomial
Distribuição Binomial no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Binom(x,n,p)
Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable
Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group
Seleccionar a expressão Pdf.Binom na lista de funções
Preencher os campos da função: Pdf.Binom(x,n,p)
Carregar em OK
Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela
variable view.
Distribuição Binomial no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de
F(x)=P(X ≤ x)= Σ
i ≤ xf(i)
no menu Transform / Compute: F(x)= Cdf.Binom(x,n,p)
Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group
Seleccionar a expressão Cdf.Binom na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Binom(x,n,p)
Propriedades da distribuição Binomial
A soma de duas variáveis Binomiais independentes e com o mesmo parâmetro p, é ainda uma variável Binomial com parâmetros n igual à soma dos
respectivos parâmetros n
1e n
2e p.
Exemplo: X representa o número de machos de
uma ninhada de 6 ratos e Y o número de machos
de uma ninhada de 5 ratos. Nas duas ninhadas o
número de machos tem distribuição Binomial de
parâmetros n=11 e p=probabilidade de um rato
recém-nascido ser macho.
Distribuição de Poisson, X ~ P(λ)
A distribuição de Poisson é utilizada para modelar contagens em intervalos de tempo ou regiões do espaço. X ∈ {0,1,2,…} (pode ir até infinito); λ representa o valor médio da
contagem (λ>0).
f(x)= P(X=x)= e
-λλ
x/ x! , x=0,1,2,…
µ =E[X]= λ σ
2= λ σ = λ
Distribuição de Poisson, X ~ P(λ)
Exemplos:
Nº de tigres existentes em determinada área (da Índia), num dado momento.
Nº de carros que vão abastecer o depósito numa bomba de gasolina, num dia.
Nº de chamadas telefónicas efectuadas por um
aluno, num dia.
Gráfico de f(x) para a distribuição de
Poisson
Distribuição de Poisson no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de f(x) no menu Transform / Compute --- f(x)= Pdf.Poisson(x,λ)
Inserir um nome de variável (qualquer) na janela Target Variable
Seleccionar PDF & Noncentral PDF na janela Function Group
Seleccionar a expressão Pdf.Poisson na lista de funções
Preencher os campos da função: Pdf.Poisson(x,λ)
Carregar em OK
Verificar se a variável criada tem um número suficiente de casas decimais. Em caso negativo alterar na janela
variable view.
Distribuição de Poisson no SPSS
No SPSS obtêm-se os valores de
F(x)=P(X ≤ x)= Σ
i ≤ xf(i)
no menu Transform / Compute:
F(x)= Cdf.Poisson (x,λ)
Seleccionar CDF & Noncentral CDF na janela Function Group
Seleccionar a expressão Cdf.Poisson na lista de funções e preencher os campos da função: Cdf.Poisson(x,λ)
Propriedades da distribuição de Poisson
A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros.
Exemplo: X representa o número de viaturas que abastecem o depósito de combustível numa estação de serviço de uma
pacata vila alentejana na manhã de um certo dia (variável de Poisson com média 5.1) e Y representa o número de número de viaturas que abastecem o depósito na mesma estação de
serviço durante a tarde do mesmo dia (variável de Poisson com média 8.4). Ao todo, no dia inteiro, o número de viaturas que abastecem o depósito tem distribuição de Poisson com média 13.5.
