M´etodo de Pontos Interiores

(1)

Compara¸c˜ ao Entre Diferentes Formula¸c˜ oes do Problema de Fluxo de Potˆencia ´ Otimo Utilizando o

M´etodo de Pontos Interiores

A.R.L. OLIVEIRA¹, A.M. LIMA², IMECC - Instituto de Matemática, Estat´ıstica, e Ciência da Computa¸cão, UNICAMP, Pra¸ca Sérgio Buarque de Holanda 651, 13081- 970 Campinas, SP, Brasil.

Resumo. Neste trabalho, os problemas de fluxo de potência ótimo DC utilizando o modelo de fluxo em redes e o princ´ıpio do m´ınimo esfor¸co são apresentados. Em seguida, um método de pontos interiores preditor-corretor espec´ıfico é desenvolvido para os dois modelos de fluxo de potência. Resultados numéricos em MATLAB comparando as duas abordagens para sistemas reais de grande porte são apresentados e o método de pontos interiores se mostra bastante robusto, convergindo rapidamente para todos os casos testados.

1. Introdu¸ c˜ ao

O objetivo deste trabalho consiste em comparar duas abordagens do problema de fluxo de potência ótimo utilizando o método de pontos interiores preditor-corretor [6, 4], que é o método de pontos interiores mais utilizado na prática.

O problema de fluxo de potência linearizado DC é representado por um modelo de fluxos em redes com restri¸cões adicionais [1]. Aplicamos o princ´ıpio do m´ınimo esfor¸co [7] a este problema obtendo, assim, uma outra formula¸cão do fluxo de potência ótimo. Desenvolvemos, então, o método de pontos interiores preditor- corretor [6, 4, 12] para as duas formula¸cões mencionadas. Em [8], os métodos de pontos interiores primais-duais são desenvolvidos e seu desempenho é comparado para ambas formula¸cões.

O problema de fluxo de potência ótimo DC é de grande importância na área de sistemas de potência, servindo como base para diversas outras aplica¸cões. O surgi- mento dos métodos de pontos interiores trouxe à tona uma nova linha de pesquisa nesta área. Estes métodos são reconhecidos por sua robustez [11, 5], principalmente devido ao tratamento eficiente de desigualdades.

1aurelio@ime.unicamp.br

2amlima@ime.unicamp.br.

(2)

2. Problema de Fluxo de Potˆ encia ´ Otimo DC e o Princ´ıpio do m´ınimo Esfor¸ co

O problema quadrático de fluxo de potência ótimo (FPO) DC pode ser representado por um problema de fluxo em redes com restri¸cões adicionais [10], como segue:

min αf^tRf+β(p^tHp+c^tp) s.a. Af=p−l, T f= 0

f^min≤f ≤f^max, p^min≤p≤p^max

(2.1)

onde:

f representa o vetor de fluxo de potˆencia ativa;

prepresenta o vetor de gera¸c˜ao de potˆencia ativa;

Rrepresenta a matriz diagonal das resistˆencias das linhas;

H representa a componente quadr´atica do custo de gera¸c˜ao;

crepresenta a componente linear do custo de gera¸c˜ao;

Arepresenta a matriz de incidˆencia da rede de transmiss˜ao;

T representa a matriz de reatˆancia da rede de transmiss˜ao;

l representa o vetor demanda de potˆencia ativa;

f^max, f^min, p^max e p^min são os vetores de limites de fluxo e de gera¸cão de potência ativa;

αeβ s˜ao pondera¸c˜oes dos objetivos a minimizar.

Para simplificar o desenvolvimento do m´etodo, faremos as seguintes altera¸c˜oes no modelo:

• Mudan¸ca de variáveis ˜f =f−f^min e ˜p=p−p^min, reduzindo o número de variáveis de folga do problema.

• As pondera¸cõesαeβserão incorporadas às matrizesReH, respectivamente, eβ ao vetorc.

Após estas altera¸cões, as condi¸cões de otimalidade são dadas por:

factibilidade primal:











Af−p = l_i T f = l_v f+sf = f^max

p+sp = p^max (f, sf) ≥ 0 (p, sp) ≥ 0

,

factibilidade dual:











C^ty+zf−wf−Rf = cf

−y(p) +zp−wp−Hp = cp

(zp, wp) ≥ 0 (zf, wf) ≥ 0

,

(3)

condi¸c˜oes de complementaridade:











F Zfe = 0 P Zpe = 0 SfWfe = 0 SpWpe = 0

,

onde c_f = 2Rf^min, c_p = 2Hp^min+c, l_i = p^min −l −Af^min, l_v = −T f^min, s_f =f^max−f es_p =p^max−psão as variáveis de folga do problema primal, z_f e z_p são as variáveis de folga do problema dual, C^t= A^t T^t

ey(p) representa os elementos da variável dualycorrespondentes às barras de gera¸cão. Utilizamos a nota¸cãoF =diag(f) ee= (1,1, . . . ,1)^t.

O princ´ıpio do m´ınimo esfor¸co consiste na simplifica¸cão do modelo de fluxo de potência ativa linearizado (2.1), correspondente a um fluxo em redes, antes da aplica¸cão de um método de otimiza¸cão.

Aplicando ao problema (2.1) o princ´ıpio do m´ınimo esfor¸co (PME), com as simplifica¸c˜oes definidas anteriormente, ou seja, substituindo a rela¸c˜aof =X⁻¹A^tθ, onde:

X representa a matriz diagonal das reatˆancias das linhas;

θ representa o vetor dos ˆangulos das tens˜oes;

e ignorando a restri¸c˜aoT f = 0, obtemos:

min θ^tBθ˜ +p^tHp+c^tp s.a. Bθ−p=−l

0≤p≤p^max

(2.2)

ondeB=AX⁻¹A^te ˜B=AX^−tRX⁻¹A^t. Para o qual as condi¸c˜oes de otimalidade s˜ao:

factibilidade primal:







Bθ−p = l p+sp = p^max (p, sp) ≥ 0

,

factibilidade dual:







B^ty−Bθ˜ = 0

−y(p) +z_p−w_p−Hp = c_p (zp, w_p) ≥ 0

,

condi¸c˜oes de complementaridade:

P Zpe = 0 SpWpe = 0 .

Então, de posse das condi¸cões de otimalidade, desenvolveremos o método de pontos interiores preditor-corretor para estas duas abordagens do problema de fluxo de potência ótimo (FPO e PME). Na segunda abordagem, um conjunto de variáveis θsubstitui as variáveisf do problema original, reduzindo a dimensão do problema.

No entanto, não é poss´ıvel afirmar de antemão que esta redu¸cão leva a um método mais eficiente, uma vez que as itera¸cões dos métodos desenvolvidos para ambos modelos geram dire¸cões distintas [3].

(4)

3. M´ etodo Preditor-Corretor Aplicado ao Modelo de Fluxos em Rede

A idéia do método preditor–corretor desenvolvido em [6, 4] consiste em utilizar uma dire¸cão que contenha três componentes:

- Dire¸c˜ao Afim–Escala (dire¸c˜ao preditora ou de Newton).

- Dire¸c˜ao de Centragem.

- Dire¸cão de Corre¸cão, que busca compensar a aproxima¸cão linear do método de Newton.

Ou seja, primeiramente é calculada a dire¸cão afim. A segunda dire¸cão é calculada utilizando o mesmo Jacobiano, para que o esfor¸co computacional por itera¸cão não duplique. Então, temos de resolver dois sistemas lineares para determinar as dire¸cões.

Primeiramente, ´e calculada a dire¸c˜ao afim (d˜x, d˜y, d˜t), onded˜x= (df , d˜˜ p, ds˜_f, ds˜_p) ed˜t= (dz˜_f, dw˜_f, dz˜_p, dw˜_p), resolvendo o sistema linear abaixo:











Adf˜−d˜p = ri

T df˜ = r_v df˜+ds˜f = rf

d˜p+ds˜p = rp

C^td˜y+dz˜f−dw˜f−Rdf˜ = ry

−dy(p) +˜ dz˜p−dw˜p−Hd˜p = rg

Z_fdf˜+F dz˜_f = ˜r_zf Z_pd˜p+P dz˜_p = ˜r_zp W_fds˜_f+S_fdw˜_f = r_wf˜

W_pds˜_p+S_pdw˜_p = r_wp˜

, (3.1)

onde os res´ıduos s˜ao











ri = li+p−Af rv = lv−T f rf = f^max−f−sf

rp = p^max−p−sp

ry = cf−C^ty−zf+wf+Rf r_g = c_p+y(p)−z_p+w_p+Hp

˜

r_zf = −F Zfe

˜

r_zp = −P Zpe

˜

r_wf = −SfW_fe

˜

r_wp = −SpW_pe

.

Em seguida, a dire¸cão desejada é obtida substituindo as quatro últimas equa¸cões de (3.1) por:











Zfdf+F dzf = rzf

Zpdp+P dzp = rzp

Wfdsf+Sfdwf = rwf

W_pds_p+S_pdw_p = r_wp

(3.2)

(5)

e resolvendo-se o sistema linear resultante, onde:











r_zf = µe−F Z_fe−∆ ˜F∆ ˜Z_f r_zp = µe−P Z_pe−∆ ˜P∆ ˜Z_p rwf = µe−SfWfe−∆ ˜Sf∆ ˜Wf

rwp = µe−SpWpe−∆ ˜Sp∆ ˜Wp

.

O cálculo de µé fun¸cão da dire¸cão afim. Quanto melhor a dire¸cão afim, menor a perturba¸cão e vice–versa. Ou seja:

γ=x^tt, ˜γ= (x+ ˜α_pd˜x)^t(t+ ˜α_dd˜t) e µ=σ _γ

np

,onde

σ=





 γ˜

γ

3

, seγ≥1 ˜γ

√np

, seγ <1 .

Os sistemas (3.1) e (3.2) podem ter suas dimensões substancialmente reduzidas através de elimina¸cão de variáveis

(CD_f⁻¹C^t+D)dy=r, (3.3)

onder= ˜r+CD⁻_f¹ra−Drb.

O fato de a matriz C ter dimensão (n+ 1)×n é bastante relevante. Esta caracter´ıstica pode ser utilizada para reduzir o esfor¸co computacional por itera¸cão dos métodos de pontos interiores, assim, se formarmos a matriz não singular ˜C = [C e_j], onde e_j representa um vetor canônico (vetor formado pelas colunas da matriz identidade), ondej é um ´ındice referente a uma barra de gera¸cão, o sistema (3.3) pode ser reescrito na seguinte forma:

( ˜CD˜_f⁻¹C˜^t+ ˜D)dy=r, (3.4) onde ˜D⁻_f¹incorpora o elemento diagonal retirado deDpara formar ˜D. A resolu¸cão de (3.4) se dá em duas etapas. Na primeira, um sistema linear contendo apenas a matriz ˜CD˜⁻_f¹C˜^té resolvido. Vale observar que como ˜C é quadrada, a resolu¸cão do sistema com a matriz ˜CD˜_f⁻¹C˜^tfica muito barata, pois apenas a matriz diagonal ˜D_f varia a cada itera¸cão. Então, apenas uma decomposi¸cão de ˜C é necessária e pode ser realizada antes da aplica¸cão do método iterativo.

Na segunda etapa, a fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury [2] é aplicada para a obten¸cão dedy

W = ˜C⁻¹E, Z = W^tD˜_fW,

v = ( ˜CD˜⁻_f¹C˜^t)⁻¹r,

dy = v−( ˜CD˜⁻_f¹C˜^t)⁻¹E( ˜D⁻¹+Z)⁻¹E^tv,

onde E é formada por vetores canônicos correspondentes aos elementos diagonais não nulos de ˜D. Consequentemente, W é fixa para uma determinada rede e pode ser calculada antes da aplica¸cão do método iterativo.

(6)

Obtidas as dire¸c˜oes, o m´etodo preditor-corretor pode ser resumido como segue:

Dados (f⁰, p⁰, s⁰_f, s⁰_p, z⁰_f, w⁰_f, z_p⁰, w⁰_p)≥0,y⁰ livre eτ ∈(0,1).

Sejam x= (f, p, sf, sp),t= (zf, wf, zp, wp),np=dim(x) e ˜C= [C ej].

Calcule W = ˜C⁻¹E.

Parak= 0,1,2, . . ., fa¸ca:

Calcule os res´ıduosr_i^k,r^k_v,r_f^k,r_p^k,r^k_y,r_g^k, ˜r_zf^k, ˜r_zp^k, ˜r_wf^k e ˜r_wp^k. r^k_a = r^k_y−(F^k)⁻¹r˜zfk+ (S_f^k)⁻¹rwf˜ k−(S_f^k)⁻¹W_f^kr_f^k r^k_b = r^k_g−(P^k)⁻¹r˜zpk+ (S_p^k)⁻¹rwp˜ k−(S_p^k)⁻¹W_p^kr^k_p D^k_f = (F^k)⁻¹Z_f^k+ (S_f^k)⁻¹W_f^k+R

r^k =

r_i^k r_v^k

+C(D_f^k)⁻¹r^k_a−Dr_b^k Z^k = W^tD˜^k_fW

v^k = ( ˜C⁻^t( ˜D_f^k)⁻¹C˜^t)⁻¹r^k

d˜y^k = v^k−( ˜C^−t( ˜D^k_f)⁻¹C˜^t)⁻¹E( ˜D⁻¹+Z^k)⁻¹E^tv^k df˜^k = −(D^k_f)⁻¹(r^k_a−C^td˜y^k)

dy(p)˜ ^k =

−(D_p^k)⁻¹ 0

d˜y^k

D^k_p = (P^k)⁻¹Z_p^k+ (S_p^k)⁻¹W_p^k+H d˜p^k = −(D^k_p)⁻¹(r^k_b +dy(p)˜ ^k) ds˜_f^k = r^k_f−df˜^k

ds˜pk = r^k₂−d˜p^k

dz˜fk = (Z^k)⁻¹( ˜rzfk−Z_f^kdf˜^k) dz˜pk = (P^k)⁻¹( ˜rzpk−Z_p^kd˜p^k) dw˜_f^k = (S_f^k)⁻¹( ˜r_wf^k−W_f^kds˜_f^k) dw˜_p^k = (S_p^k)⁻¹( ˜r_wp^k−W_p^kds˜_p^k)

d˜x^k = (df˜^k, dp˜^k, ds˜_f^k, ds˜_p^k) d˜t^k = (dz˜fk

, dw˜fk

, dz˜pk

, dw˜pk)

˜

ρpk = min

d˜xik<0

− xik

d˜x_i^k

; ρ˜dk= min

d˜tik

<0

(

−tik

d˜ti k

)

˜

α_p^k = min(1, τρ˜_p^k); α˜_d^k =min(1, τρ˜_d^k)

˜

γ^k = (x^k+ ˜αpkd˜x^k)^t(t^k+ ˜αdk

d˜t^k) Calcule σ^k eµ^k.

Calcule os res´ıduosr_zf^k ,r^k_zp,r^k_wf er^k_wp.

r^k_sa = r^k_y−(F^k)⁻¹r_zf^k + (S_f^k)⁻¹r_wf^k −(S_f^k)⁻¹W_f^kr^k_f

(7)

r^k_sb = r^k_g−(P^k)⁻¹r_zp^k + (S^k_p)⁻¹r_wp^k −(S_p^k)⁻¹W_p^kr^k_p r^k =

rik

rvk

+C(D_f^k)⁻¹r^k_sa−Dr_b^k v^k = ( ˜C^−t( ˜D_f^k)⁻¹C˜^t)⁻¹r^k

dy^k = v^k−( ˜C⁻^t( ˜D^k_f)⁻¹C˜^t)⁻¹E( ˜D⁻¹+Z^k)⁻¹E^tv^k df^k = −(D^k_f)⁻¹(r^k_sa−C^tdy^k)

dy(p)^k =

−(D_p^k)⁻¹ 0

dy^k

D^k_p = (P^k)⁻¹Z_p^k+ (S_p^k)⁻¹W_p^k+H dp^k = −(D^k_p)⁻¹(r^k_sb+dy(p)^k) ds^k_f = r^k_f−df^k

ds^k_p = r^k₂−dp^k

dz^k_f = (Z^k)⁻¹(rzf^k−Z_f^kdf^k) dz^k_p = (P^k)⁻¹(r_zp^k −Z_p^kdp^k) dw^k_f = (S_f^k)⁻¹(r^k_wf−W_f^kds^k_f) dw^k_p = (S_p^k)⁻¹(r^k_wp−W_p^kds^k_p)

dx^k = (df^k, dp^k, dsf^k, ds^k_p) dt^k = (dz^k_f, dw^k_f, dz_p^k, dw^k_p) ρ_p^k = min

dxik<0

− x_i^k dx_i^k

; ρ_d^k= min

dtik<0

t_i^k dt_i^k

α^k_p = min(1, τ ρ^k_p); α^k_d=min(1, τ ρ^k_d)

˜

γ^k = (x^k+α^k_pdx^k)^t(t^k+α^k_ddt^k) x^k+1 = x^k+α^k_pdx^k

y^k+1 = y^k+α^k_ddy^k t^k+1 = t^k+α^k_ddt^k At´e convergir.

O maior esfor¸co do método consiste na resolu¸cão do sistema linear resultante da elimina¸cão de variáveis. Para resolver este sistema utilizamos a fórmula de Sherman- Morrison-Woodbury [2], o que nos permite reduzir bastante o esfor¸co computacional [9]. A matriz ˜C é uma matriz quadrada, que só depende dos dados do problema e, então apenas uma decomposi¸cão dessa matriz é necessária e pode ser realizada antes do processo iterativo.

3.1. Inicializa¸ c˜ ao, Parˆ ametros e Crit´ erio de Convergˆ encia

Para a implementa¸c˜ao do m´etodo de pontos interiores utilizaremos:

• τ= 0.99995;σ= √¹ n.

(8)

O ponto inicial adotado foi:

• f⁰=s⁰_f = ^p^max₂ ; p⁰=s_p⁰= ^p^max₂ ;y⁰= 0;

• z_f⁰=w⁰_f = (R+I)e;z_p⁰=w⁰_p=e.

O critério de convergência é dado por:

max











kli+p−Afk 1+klik klv−Xfk

1+klvk kf^max−f−sfk

1+kf^maxk kp^max−p−spk

1+kp^maxk

k^c^f−C^ty−zf+wf+Rfk

1+kcfk kcp+y(p)−zp+wp+Hpk

1+kcpk

f^tzf+p^tzp+s_f^twf+s_p^twp

1+k^c^tff+f^tRf+p^tHp+c^t_pp+l^ty−f^{max t}wf−p^{max t}wpk











≤ε,

ondeε´e a tolerˆancia estabelecida.

4. M´ etodo Preditor-Corretor Aplicado ` a Formula¸ c˜ ao Usando o Princ´ıpio do M´ınimo Esfor¸ co

De forma similar ao modelo anterior, calculamos a dire¸c˜ao afim, resolvendo o sistema linear abaixo











Bdθ˜−d˜p = r1

dp˜+ds˜p = r2

B^td˜y−Bd˜ θ˜ = r3

−dy(p) +˜ dz˜_p−dw˜_p−Hd˜p = r4

Zpd˜p+P dz˜p = ˜r5

Wpds˜p+Spdw˜p = ˜r6

. (4.1)

Onde os res´ıduos s˜ao dados por:











r1 = l−Bθ+p r2 = p^max−p−sp

r3 = −B^ty+ ˜Bθ

r4 = cp+y(p)−zp+wp+Hp

˜

r5 = −P Zpe

˜

r6 = −SpWpe

.

Em seguida, a dire¸cão desejada é obtida substituindo as duas últimas equa¸cões de (4.1) por

Zpdp+P dzp = r5

W_pds_p+S_pdw_p = r₆ (4.2)

(9)

e resolvendo-se o sistema linear resultante, onde r₅ = µe−P Z_pe−∆ ˜P∆ ˜Z_p

r6 = µe−SpWpe−∆ ˜Sp∆ ˜Wp

.

Podemos reduzir os sistemas acima, através da elimina¸cão de variáveis, a

B( ˜B⁻¹(B^tdy−r₃)) +Ddy=r_a =⇒ (BB˜⁻¹B^t+D)dy=r, (4.3) onder=r_a+BB˜⁻¹r3.

Utilizaremos novamente a f´ormula de Sherman-Morrison-Woodbury [2] para obter dy

W = B⁻¹E, Z = W^tBW,˜

v = (BB˜⁻¹B^t)⁻¹r= (B⁻^tBB˜ ⁻¹)r, dy = v−(BB˜⁻¹B^t)⁻¹E(D⁻¹+Z)⁻¹E^tv,

onde E é formada por vetores canônicos correspondentes aos elementos diagonais não nulos deD. W eZsão fixas para uma determinada rede e podem ser calculadas antes da aplica¸cão do método iterativo.

Assim, obtemos o m´etodo de pontos interiores preditor-corretor abaixo Dados (p⁰, s⁰_p, z_p⁰, w⁰_p)≥0 ,θ⁰ey⁰ livres eτ∈(0,1).

Sejam x= (p, sp),t= (zp, w_p) e n_p a dimens˜ao do vetorx.

Calcule W =B⁻¹E eZ =W^tBW˜ . Parak= 0,1,2, . . ., fa¸ca:

Calcule os res´ıduosr₁^k ar₄^k, ˜r₅^k e ˜r₆^k.

r_p^k = r₄^k−(P^k)⁻¹r˜5k+ (S_p^k)⁻¹r˜6k−(S_p^k)⁻¹W_p^kr^k₂ D_p^k = (P^k)⁻¹Z_p^k+H+ (S_p^k)⁻¹W_p^k

r_a^k = r₁^k+D^kr_p^k r^k = r_a^k+BB˜⁻¹r₃^k v^k = (B^−tBB˜ ⁻¹)r^k

d˜y^k = v^k−(B⁻^tBB˜ ⁻¹)E(D⁻¹+Z)⁻¹E^tv^k dθ˜^k = B˜⁻¹(B^td˜y^k−r^k₃)

d˜p^k = −(D^k_p)⁻¹(r^k_p+dy(p)˜ ^k) ds˜_p^k = r₂^k−dp˜^k

dz˜pk = (P^k)⁻¹( ˜r5k−Z_p^kd˜p^k) dw˜_p^k = (S_p^k)⁻¹( ˜r6k−W_p^kds˜_p^k)

d˜x^k = (d˜p^k, ds˜_p^k) dt˜^k = (dz˜pk, dw˜pk)

˜

ρ_p^k = min

d˜xik<0

−x_i^k d˜x_i^k

; ρ˜_d^k = min

d˜tik

<0

(

− t_i^k d˜ti

k

)

(10)

˜

α_p^k = min(1, τρ˜_p^k); α˜_d^k =min(1, τρ˜_d^k); α^k=min(αp, α_d)

˜

γ^k = (x^k+ ˜αpkd˜x^k)^t(t^k+ ˜αdkd˜t^k) Calcule σ^k eµ^k.

Calcule os res´ıduosr₅^k er₆^k.

r^k_sp = r^k₄−(P^k)⁻¹r5k+ (S_p^k)⁻¹r6k−(S^k_p)⁻¹W_p^kr^k₂ r^k_a = r^k₁+D^kr^k_sp

r^k = r^k_a+BB˜⁻¹r^k₃ v^k = (B⁻^tBB˜ ⁻¹)r^k

dy^k = v^k−(B^−tBB˜ ⁻¹)E(D⁻¹+Z)⁻¹E^tv^k dθ^k = B˜⁻¹(B^tdy^k−r₃^k)

dp^k = −(D^k_p)⁻¹(r^k_p+dy(p)^k) ds^k_p = r^k₂−dp^k

dz_p^k = (P^k)⁻¹(r₅^k−Z_p^kdp^k) dw^k_p = (S_p^k)⁻¹(r^k₆−W_p^kds^k_p)

dx^k = (dp^k, ds^k_p) dt^k = (dz^k_p, dw^k_p) ρpk = min

dxik<0

− xik

dx_i^k

; ρdk= min

dtik<0

−tik

dt_i^k

α^k_p = min(1, τ ρ^k_p); α^k_d =min(1, τ ρ^k_d); α^k =min(αp, αd) θ^k+1 = θ^k+α^kdθ^k

x^k+1 = x^k+α^kdx^k y^k+1 = y^k+α^kdy^k t^k+1 = t^k+α^kdt^k At´e convergir.

Podemos destacar que a resolu¸cão dos sistemas lineares envolve a maior parte do esfor¸co computacional do método. Então, utilizamos a fórmula de Sherman- Morrison-Woodbury para resolver os sistemas lineares resultantes da elimina¸cão de variáveis e, com isso, conseguimos reduzir o esfor¸co computacional do método. Visto que as matrizesBe ˜Bnão variam a cada itera¸cão, apenas uma decomposi¸cão destas matrizes é necessária, e pode ser calculada antes do processo iterativo. Podemos verificar também que (D⁻¹+Z)⁻¹pode ser calculada com pouco esfor¸co computacional, uma vez que sua dimensão é dada pelo número de geradores, que geralmente

´e bem menor que o n´umero de barras.

(11)

4.1. Inicializa¸ c˜ ao, Parˆ ametros e Crit´ erio de Convergˆ encia

Para a implementa¸c˜ao do m´etodo de pontos interiores utilizaremos:

• τ= 0.99995;σ= √¹ n. O ponto inicial adotado foi:

• θ⁰= 0;p⁰=sp0= ^p^max₂ ;y⁰= 0;

• z_p⁰=w⁰_p=e.

O critério de convergência é dado por:

max











kl−Bθ+pk 1+klk kp^max−p−spk

1+kp^maxk kcp+y(p)−zp+wp+Hpk

1+kcpk p^tzp+sptwp

1+k^θ^t^Bθ+p^˜ ^t^Hp+c^tpp+l^ty−p^{max t}wpk











≤ε.

5. Resultados Num´ ericos

A implementa¸cão dos métodos de pontos interiores foi feita em MATLAB 5.3, e utilizamos os sistemas teste IEEE 30 e IEEE 118, os sistemas SSC 810, SSC 1654 e SSC 1732, que são três representa¸cões do sistema Sul - Sudeste - Centro-Oeste, e o sistema interconectado brasileiro, que possui 1993 barras.

Nestes experimentos, foi adotado o valor p^min = 0 para os geradores. Para simplificar a interpreta¸cão dos resultados, somente fun¸cões quadráticas puras foram utilizadas, ou seja,cp= 0, e escolhemos o valor de tolerânciaε= 10⁻⁵.

O tempo computacional em segundos, o número de itera¸cões e de flops (número de opera¸cões de ponto flutuante) para cada um dos sistemas encontram-se nas Tabelas 1 e 2 para o método preditor-corretor para a modelagem por fluxos em rede (MFR) e para a modelagem baseada no princ´ıpio do m´ınimo esfor¸co (PME) do problema de fluxo de potência ótimo, respectivamente.

Tabela 1: Modelo de Fluxos em Rede.

Sistema itera¸c˜oes tempo flops

IEEE 30 6 0,02 69704

IEEE 118 7 0,15 470685

SSC 810 4 2,85 3773277

SSC 1654 5 10,80 9531362

SSC 1732 5 11,67 9844461

BRASIL 4 10,29 5782112

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Tabela 2: Princ´ıpio do M´ınimo Esfor¸co.

Sistema itera¸c˜oes tempo flops

IEEE 30 6 0,01 68468

IEEE 118 4 0,09 541101

SSC 810 3 2,63 3301261

SSC 1654 2 41,35 16303972

SSC 1732 2 48,71 18304309

BRASIL 2 28,74 10686731

6. Conclus˜ oes

Observando os resultados das tabelas, podemos concluir que:

- Os sistemas de menor dimensão são resolvidos em um número maior de i- tera¸cões que os sistemas maiores. Uma poss´ıvel explica¸cão para isso é que sistemas menores estão mais carregados.

- Os métodos de pontos interiores se mostraram robustos, convergindo rapidamente mesmo para problemas bastante sobrecarregados, sem apresentar instabili- dade numérica. Podemos verificar que todas as abordagens são rápidas mesmo para sistemas muito carregados.

- Concluimos tamb´em que a modelagem baseada no princ´ıpio do m´ınimo esfor¸co

é superior à por fluxo em redes em número de itera¸cões. Mas, para problemas de maior dimensão, a modelagem por fluxo em redes se mostra mais rápida, mesmo realizando mais itera¸cões.

Abstract. In this work, the network flow formulation for the optimal DC power flow problem and the least effort principle formulation are presented. A specific predictor-corrector interior point method is developed for both power flow models.

Numerical results in MATLAB confronting both approaches for large scale real systems are presented and the interior point method shows to be robust, achieving fast convergence in all instances tested.

Agradecimentos

Este trabalho contou com o apoio financeiro da Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnológico (CNPq).

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