C´ alculo Diferencial e Integral I

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C´ alculo Diferencial e Integral I

Prof. Paolo Piccione

Prova 3

7 de julho de 2014

Nome:

N´umero USP:

Assinatura:

Instru¸c˜oes

• A dura¸c˜ao da prova ´e de duas horas.

• Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está no final da prova. é permitido deixar questões em branco.

• Cada quest˜ao tem apenasuma resposta correta.

• O valor total da prova é de5pontos; cada questão correta vale ¹₂ ponto (0.5) ecada questão errada implica num desconto de ₁₀¹ de ponto(0.10).

• No final da prova, deve ser entregue apenas a folha de respostas (na

´

ultima p´agina).

• Esta prova tem peso ¹₂ no c´alculo da m´edia final.

• Boa Prova!

Terminologia e Nota¸c˜oes Utilizadas na Prova

• Rdenota o conjunto dos n´umeros reais.

• sinx é a fun¸cão seno de x, lnx é o logaritmo natural de x; log_ax é o logaritmo em base ade x,a∈]0,1[S

]1,+∞[.

• Para intervalos abertos useremos a nota¸c˜ao: ]a, b[.

• AS

B denota auni˜ao dos conjuntos Ae B.

N ˜AO ESQUEC¸ A DE POR SEU NOME NA FOLHA DE RESPOSTAS!!!

B

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MAT 111 — Prova 3 B — 07.07.2014 2

Questão 1. Calcule a área da região R=

(x, y)∈R²:−1≤x≤1, 0≤y≤x⁴ . (a) 0;

(b) 5;

(c) ¹₅; (d) 4;

(e) ²₅.

Questão 2. Determine P2(f;x0), o polinômio de Taylor de ordem 2 da fun¸cãof centrado no ponto x₀, para a fun¸cãof(x) = lnx e o ponto x₀ = 2.

(a) P₂(f;x₀) = ln 2 +¹₂(x−2)−¹₈(x−2)²; (b) P2(f;x0) = 1 +¹₂(x−2)−¹₄(x−2)²;

(c) P2(f;x0) = ln 2 +¹₂x−¹₈x²;

(d) P₂(f;x₀) = ln 2 +¹₂(x−2)−¹₄(x−2)²; (e) P₂(f;x₀) = ¹₂(x−2)−¹₈(x−2)².

Questão 3. Calcule a área da região R dada por:

R= n

(x, y)∈R²: 0≤x≤ π

2, −sinx≤y≤0 o

.

(a) 2;

(b) −cos 1;

(c) 1;

(d) −2;

(e) cos 1.

Quest˜ao 4. Calcule uma primitivaF(x) da fun¸c˜ao f(x) =xsinx.

(a) F(x) =xsinx+xcosx;

(b) F(x) =−sinx−xcosx;

(c) F(x) =xsinx−cosx;

(d) F(x) = sinx+xcosx;

(e) F(x) = sinx−xcosx.

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Questão 5. Determine P2(f;x0), o polinômio de Taylor de ordem 2 da fun¸cãof centrado no ponto x₀, para a fun¸cão f(x) =e^x e o ponto x₀ = 1.

(a) P₂(f;x₀) = 1 + (x−1) +1

2(x−1)²; (b) P2(f;x0) = 1 +x+¹₂x²;

(c) P2(f;x0) =e+e(x−1) +e(x−1)²; (d) P₂(f;x₀) =e+e(x−1) +e

2(x−1)²; (e) P₂(f;x₀) =e+ex+e

2x².

Quest˜ao 6. Determine uma primitiva F(x) da fun¸c˜aof(x) =x²−x+ 1.

(a) F(x) = ¹₃x³−¹₂x²+x−2;

(b) F(x) = ¹₃x³−x²+x;

(c) F(x) = ²₃x³−¹₂x²+x−1;

(d) F(x) =x³−¹₂x²+x+ 2;

(e) F(x) = 2x−1.

Questão 7. Qual dos seguintes é o enunciado correto do Teorema Funda- mental do Cálculo Integral?

(a) Sef : [a, b]→Ré derivável, então Rb

af(t) dté a área da região abaixo do gráfico da f;

(b) Se f : [a, b] → R é cont´ınua, então f é uma primtiva da fun¸cão F definida porF(x) =Rx

a f(t) dt;

(c) Se f : [a, b]→ R ´e cont´ınua, ent˜ao F(x) = Rx

a f(t) dt ´e uma primitiva de f em [a, b] que satisfazF(a) = 0;

(d) Se f : [a, b]→ R ´e cont´ınua, ent˜ao F(x) = Rx

a f(t) dt ´e uma primitiva de f em [a, b] que satisfazF(b) = 0;

(e) Sef : [a, b]→R´e cont´ınua, ent˜ao f⁰(x) =Rx

a f(t) dt.

Quest˜ao 8. Calcule a integral R1

0 xe^xdx.

(a) 2e²; (b) 0;

(c) 1−e²; (d) 1;

(e) e²+ 1.

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MAT 111 — Prova 3 B — 07.07.2014 4

Quest˜ao 9. Determine a derivada da fun¸c˜ao F(x) = Z x

0

sin⁵tdt.

(a) F⁰(x) = 5 sin⁴xsinx;

(b) F⁰(x) = cos⁵x;

(c) F⁰(x) = 5Rx

0 sin⁴tdt;

(d) F⁰(x) = 5 sin⁴x;

(e) F⁰(x) = sin⁵x.

Quest˜ao 10. Calcule a integral Z π

π 2

cosxdx.

(a) 1;

(b) −1;

(c) 2;

(d) 0;

(e) −2.

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