1 SUBCONSTRUTO QUOCIENTE: UMA REFLEXÃO À LUZ DA TEORIA DE
VYGOTSKY
Ana Paula Gonçalves Pita Mestranda em Educação Matemática UNIAN – Universidade Anhanguera de São Paulo
anapaulagpita@gmail.com
Michel da Costa
Professor na Universidade de Ribeirão Preto – Campus Guarujá Doutorando em Educação Matemática
UNIAN – Universidade Anhanguera de São Paulo professormichelcosta@hotmail.com
Sidney Silva Santos
Professor na UNIBR – Campus São Vicente Mestrando em Educação Matemática UNIAN – Universidade Anhanguera de São Paulo
sidney.santosnm@gmail.com
Resumo: Este artigo aborda uma reflexão a partir de uma atividade envolvendo números racionais na representação fracionária. Atividade essa retirada de um artigo publicado no XI Encontro Nacional de Educação Matemática – ENEM – para nos auxiliar nas reflexões e análise utilizamos o quadro teórico da zona de desenvolvimento proximal proposta por Vygotsky, verificando possibilidades de exploração e mobilização de atividade contextualizada que pertencem ao meio no qual o sujeito está inserido.
Palavras-chave: Números racionais na representação fracionária. Subconstruto.
Zona de desenvolvimento proximal.
1. Introdução:
Analisando resultados de dissertações, teses e com nossa prática em sala de aula, percebemos que o ensino da matemática, em especial números racionais na representação fracionária1, costuma provocar duas ações contraditórias, tanto por parte de quem ensina tanto por parte de quem aprende. De um lado, a constatação de que se trata de um conteúdo importante para melhor compreender
1Entendemos por número racional na representação fracionária todo e qualquer número que pode ser apresentado na forma
b
a com a ∈Ζ+e b ∈Ζ*+.
2 o mundo, de outro, a insatisfação diante dos resultados negativos obtidos com muita frequência em relação sua aprendizagem. Por exemplo, os resultados obtidos nas avaliações oficiais como, Sistema de Avaliação e Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp, 1998) e o Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica (Saeb, 2001), apresentam baixos rendimentos dos alunos na resolução de problemas envolvendo esses números.
Acreditamos como Pavanello (1994, apud Silva, 1997, p. 2), que os alunos não atuam nas aulas de matemática, pois não trabalham com questões que admitam diferentes respostas, nem levantam contradições para serem analisadas e discutidas que os desafiem a obter diferentes soluções para um mesmo problema.
Isso acontece quando esses alunos são mal orientados e os resultados dessa orientação resultam em equívocos que serão repetidos sucessivamente nas séries sequentes. Portanto, quando o sujeito chegar aos anos posteriores reproduzirá os mesmos enganos dos anos anteriores, e assim até chegar à Universidade, conclui Rodrigues (2005) em sua pesquisa sobre números racionais na representação fracionária com alunos nos três níveis de ensino.
Aflitos com esses resultados obtidos nas avaliações do Saresp (1998), Saeb (2001) e em pesquisas de Educação Matemática buscamos uma forma que facilite o ensino e a aprendizagem dos números racionais na representação fracionária por meio do subconstruto quociente, tema esse importante para o desenvolvimento do educando dentro e fora da escola, faremos uma reflexão sobre as contribuições de Vygostsky para o ensino e a aprendizagem do nosso objeto de estudo – números racionais.
Neste sentido, concordamos com Moysés(2001) quando afirma a possibilidade de associação entre as ideias sociointeracionistas de Vygotsky à educação matemática, onde reconhece a influência deste teórico para quem a aprendizagem dos conceitos deveria possuir origens nas múltiplas práticas sociais.
Analisaremos uma questão envolvendo esses números e levantaremos possíveis estratégias de resolução à luz da teoria da Zona de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky atrelada aos subconstrutos do número racional.
2. Fundamentação teórica:
Desde o século XX, pensadores tentam decifrar como é que aprendemos e como se relacionamos com um objeto em jogo, ou seja, como um sujeito aprende um conhecimento.
Nesta perspectiva, Moyses (2001) mostra que a teoria denominada sociointeracionista ou sócio-histórica tem sido cada vez difundida no contexto mundial. Essa pesquisadora afirma que apesar de os pesquisadores ocidentais recentemente tem utilizado as contribuições de Vygostky para a matemática, no entanto, para os soviéticos, há muitas décadas a união dos saberes ligados ao ensino da matemática já tem sido um espaço fértil para pesquisas sobre o desenvolvimento das funções mentais superiores.
3 Vygotsky (1988) foi um pesquisador pioneiro na tentativa de descrever uma teoria que articulasse essas ideias, professor e pesquisador, foi contemporâneo de Piaget, e nasceu em Orsha, pequena cidade da Bielorrusia em 17 de novembro de 1896, viveu na Rússia, quando morreu, de tuberculose, tinha 37 anos. Sua teoria constitui no desenvolvimento do sujeito como resultado de um processo sócio-histórico, com enfoque no papel da linguagem e da aprendizagem nesse desenvolvimento. Segundo Palangana (2001):
(...) seus estudos orientam-se no sentido de explicar a relação desenvolvimento e aprendizagem, ressaltando o importante papel da competência linguística na interação entre esses dois processos, já que é por meio da apreensão e internalização da linguagem que a criança se desenvolve.
(PALANGANA, 2001, p. 128).
A autora salienta que para Vygotsky, a aprendizagem está presente desde o inicio da vida da criança.
Corroboramos com Nogueira (2007) baseada nas afirmações de Vygotsky
“só nos apropriamos de algum conceito quando aprendemos a fazer uso social dele”. Por exemplo, uma criança só vai “conhecer” um cubo, quando for capaz de utilizá-lo com o seu uso social. Para isso, ela precisa interagir com alguém que sabe usá-lo.
Escolhemos a teoria de Vygotsky por acreditarmos que leva em consideração o meio em que o sujeito está inserido e as questões cognitivas do indivíduo. Este artigo focalizará na Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) e no Ensino de números Racionais na representação fracionária por meio do subconstruto quociente propostos por Kieren (1976), para futuras reflexões a respeito de seu ensino e sua aprendizagem à luz da teoria apresentada, no qual o professor sai do papel de “transmissor de conteúdo” para um patamar de
“mediador” proporcionando ao sujeito ferramentas e instrumentos para a busca do conhecimento.
2. 1. Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP):
De acordo com Palangana (2001, p. 128), na concepção vygotskyana, o conceito de desenvolvimento se amplia na medida em que inclui um segundo nível de desenvolvimento denominado “zona de desenvolvimento proximal” no qual é possível explicar as dimensões do aprendizado escolar.
Vygotsky (1991) descreve dois tipos de desenvolvimento: o primeiro denominado “nível de desenvolvimento real” e o segundo “nível de desenvolvimento potencial”. O primeiro nível compreende os esquemas de conhecimentos, significados e sentidos que o sujeito dispõe sobre determinado objeto, agindo sobre ele sem a ajuda de pessoas experientes, no segundo nível, compreende a consolidação de novos esquemas de conhecimento em que o sujeito consegue atribuir significados e sentidos no novo objeto de estudo, agindo sobre ele com a ajuda de pessoas experientes sobre o assunto (não necessariamente o professor).
4 Em relação ao primeiro nível, Palangana (2001) salienta que é o conjunto de informações que a criança tem ao poder e exemplifica que ao utilizar teste de inteligência a fim de avaliar a idade mental da criança, opera-se, quase sempre, com o nível de desenvolvimento já alcançado pelo educando. O segundo nível destaca-se pelos problemas que a criança consegue resolver com o auxilio de pessoas mais experientes.
De acordo com Vygotsky, entre o conjunto de informações que a criança tem ao seu poder e os problemas que a criança consegue resolver com o auxilio de pessoas mais experientes, existe o que denomina Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP). Vygotsky (1982, apud Cunha, 2011, p. 3) exemplifica e define a seguir, a saber:
A criança é capaz de imitar uma série de ações que ultrapassam suas próprias competências, mas somente dentro de limites. Por meio da imitação, a criança é capaz de desempenhar muito melhor quando acompanhada e guiada por adultos do que quando deixada sozinha, e pode fazer isso com entendimento e independência. A diferença entre o nível de tarefas resolvidas que podem ser desempenhadas com orientação e auxílio de adultos e o nível de tarefas resolvidas de modo independente é a ZDP.
(CUNHA, 1982, p. 117).
O autor salienta que, o processo de aprendizagem e de desenvolvimento expresso na ZDP não é exclusivo da fase infantil. A ZDP ocorre em todas as fases do desenvolvimento humano, ou seja, “ela ativa processos de desenvolvimento que se tornam funcionais na medida em que a criança interage com pessoas em seu ambiente, internalizando valores, significados, regras, enfim, o conhecimento disponível em seu contexto social”. Palangana (2001, p. 126 e 130).
2. 2. A ideia dos subconstrutos:
O estudo dos números racionais na representação fracionária é complexo e sua aprendizagem envolve diferentes interpretações/subconstrutos desse mesmo conceito. Temos na literatura Thomas Kieren (1976 apud Rodrigues, 2005, p. 32), no qual foi um dos primeiros pesquisadores a dedicar-se ao estudo desses números, e percebeu que, para o conceito desse objeto ser construído efetivamente por um sujeito, o aluno deve ser exposto a uma diversidade de interpretações desse conjunto numérico, ou seja, pequenos conceitos que formam o conceito maior.
A essas interpretações o autor renomeou de subconstrutos e os classificou a princípio em sete tipos que não são independentes, mas complementares: fração, fração decimal, classes de equivalência de frações, operador multiplicativo, quociente e como medidas ou pontos na reta numérica.
Em artigo posterior resume estes sete subconstrutos em quatro, como sendo fundamentais, agora com os seguintes nomes: quocientes, operadores, medidas e razões, não levando em conta o subconstruto parte-todo por considerar que as ideias que o contém estão implícitas nos subconstrutos quociente, operador e medida.
5 O subconstruto quociente está associado à interpretação que mobiliza ideias de distribuição de grandezas, ou seja, fração é o resultado de uma divisão, na qual o numerador define a quantidade a ser partilhada e o denominador define as partições da quantidade. Por exemplo, quantas bolinhas de gude uma criança receberá se distribuirmos 12 bolinhas igualmente entre 3 meninos?
Figura 1: representação do subconstruto quociente
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1988, p. 71) dá ênfase ao estudo de números racionais na representação fracionária, explora sua necessidade, sobre como avaliar, sua praticidade e destaca que o
“reconhecimento de números racionais em diferentes contextos e a exploração de situações-problema em que os subconstrutos parte-todo, quociente, razão ou funcionam como operador” são de extrema importância para que o sujeito construa a ideia desse conjunto numérico.
3. Método e cenário da pesquisa:
Apresentamos uma atividade envolvendo números racionais na representação fracionária por meio do subconstruto quociente e as influências da teoria de Vygotsky, no que tange ao conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal – ZDP.
3.1. Sugestão de atividade à luz do quadro teórico:
Pavanello (1994, apud Silva, 1997, p. 2), relata que os alunos não atuam nas aulas de matemática, pois não trabalham com questões que admitam diferentes
6 respostas, nem levantam contradições para serem analisadas e discutidas que os desafiem a obter diferentes soluções para um mesmo problema. Escolhemos essa atividade por acreditarmos, como Vygotsky, que se trata de uma situação pertinente ao cotidiano do indivíduo e o sujeito apropria-se das informações que tem ao seu poder (divisão com números naturais) e providencia estratégias de resolução independente da ajuda alheia (nível de desenvolvimento real).
A atividade a seguir, foi extraída de um trabalho de Garcia Silva (2013) publicado nos anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), intitulado por Situação quociente: limites e possibilidades. Analise a atividade:
Figura 2: Abordagem de números racionais por meio do subconstruto quociente.
Em busca de resposta para essa situação procuraremos diversas formas de explicar, por exemplo: oralmente, lendo o enunciado escrito ou interpretando com nossas palavras; dando exemplos; escrevendo esquemas etc. Levando o aluno por si só responder não, para o item “1” e sim para o item “2”. É importante destacarmos, elaborar uma linguagem que tenda a um nível maior de abstração e generalização é indispensável, pois os sujeitos comprimem em signos os significados, ou seja, associando a números racionais na representação fracionária, por exemplo: no item “3” da questão, o indivíduo comprimia em
4 3 a quantidade de chocolates que cada pessoa receberia. É nesse processo que devemos intervir na zona de desenvolvimento proximal (ZDP), no qual o indivíduo atribui ao número seu numeral, chegando ao nível de desenvolvimento potencial, para no futuro fazer uso desses conceitos.
Segundo Garcia Silva (2013) os alunos ao resolverem esta atividade utilizaram duas estratégias, a saber:
• dividiram duas barras de chocolate ao meio e uma em quartos, e fizeram a distribuição entre as quatro pessoas;
7
• dividiram cada uma das três barras de chocolate em quatro partes iguais e distribuíram uma parte de cada uma das barras para cada pessoa. (Garcia Silva, 2013, p. 6).
A interação na situação proposta está fundamentada no que Palangana (2001), discorre ao explicita o pensamento de Vygotsky:
(...) a aprendizagem cria a zona de desenvolvimento proximal, ou seja, ela ativa processos de desenvolvimento que se tornam funcionais na medida em que a criança interage com pessoas em seu ambiente, internalizando valores, significados, regras, enfim, o conhecimento disponível em seu contexto social. (PALANGANA, 2001, p. 130).
Dessa forma verificamos que durante o processo de ensino é fundamental que o professor se preocupe em desenvolver atividades em grupos que permitam o intercâmbio social e o pensamento generalizante, tal como evidencia Vygostky como as funções indispensáveis da linguagem, potencializadas por agrupamentos produtivos compostos por alunos em diferentes níveis cognitivos.
Neste sentido, além do professor, também há possibilidade de outros alunos realizarem intervenções entre os pares para que aumentem o seu nível de desenvolvimento real por meio de situações que os desafiem a ampliar seu repertório de conhecimentos.
4. Considerações finais:
Acreditamos como Vygotsky que para ocorrer à aprendizagem é necessário proporcionar ao aluno (em nosso caso) situações do seu cotidiano que o envolve, de forma que procure estratégia para resolvê-las recorrendo a pessoas mais experientes no assunto.
A interação com o outro permite a troca de experiência, ocorrendo o desenvolvimento, progredindo de forma lenta, indo atrás do processo de aprendizagem. Na situação proposta aos alunos, é importante planejá-la e colocar um sujeito mais experiente (o professor em nosso caso) para orientar e mediar o objeto em jogo. Portanto o processo de assimilação do conhecimento se constrói a partir das relações reais e efetivas que o indivíduo tem com o mundo.
5. Referências:
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. 5ª a 8ª série, 1998.
CUNHA, J. A. As Contribuições de Vygotsky: No processo de ensino e aprendizagem da matemática financeira. IV EDIPE – Encontro Estadual de Didática e Prática de Ensino. 2011
8 GARCIA SILVA, A. F. SITUAÇÃO QUOCIENTE: limites e possibilidades. XI Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), 2013.
MOYSES, Lúcia. Aplicações de Vygostky à educação matemática – Campinas, SP: Papirus, 1997.
NOGUEIRA, C. M. Ignatius. As teorias de aprendizagem e suas implicações no ensino de Matemática. Departamento de matemática da Universidade Estadual de Maringá. 2007.
PALANGANA, I. C. Desenvolvimento e aprendizagem em Piaget e Vygotsky a relevância do social. Grupo Editorial Summus, 4ª Ed. 2001.
RODRIGUES, W. R. Números Racionais: Um Estudo das Concepções de Alunos após o Estudo Formal. Mestrado em Educação Matemática. PUC/SP. 2005.
VYGOSTKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores – 4ª ed. São Paulo: Editora Martins Fontes, 1991.
