DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA ENG1786 & MEC2403. Otimização: Algoritmos e Aplicações na Engenharia Mecânica

Ivan Menezes

Otimização: Algoritmos e Aplicações na Engenharia Mecânica

ENG1786 & MEC2403

Considere um problema de otimização com restrições em que, no ponto de mínimo, pelo menos uma restrição esteja ativa ^*

𝜵𝑓 𝒙^∗ ≠ 𝟎 x^*

(mínimo do problema OCR) (mínimo do problema OSR)

x₂

𝑐(𝒙)

Classificação:

• Necessárias (condições de 1ª ordem)

• Suficientes (condições de 2ª ordem)

Condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

𝜕𝐿 𝒙^∗, 𝝀^∗, 𝝁^∗

𝜕𝒙 = 𝟎 𝛁𝑓 𝒙^∗ = − ෍

𝑖=1 𝑚

𝜆^∗_𝑖 𝛁ℎ_𝑖 𝒙^∗ − ෍

𝑖=1 𝑝

𝜇_𝑖^∗𝛁𝑐_𝑖(𝒙^∗)

ℎ_𝑘 𝑥^∗ = 0 , 𝑐_𝑙 𝑥^∗ ≤ 0 , 𝜆_𝑘^∗ = 𝑞𝑞 , 𝜇_𝑙^∗ ≥ 0 ,

𝜆_𝑘^∗ℎ_𝑘 𝑥^∗ = 0 ,

𝑘 = 1, ⋯ , 𝑚 𝑙 = 1, ⋯ , 𝑝 𝑘 = 1, ⋯ , 𝑚 𝑙 = 1, ⋯ , 𝑝 𝑘 = 1, ⋯ , 𝑚

(condições de complementaridade)

(b) Condições Suficientes (2ª ordem)

(b.1) Considere o seguinte problema de otimização com restrições de igualdade:

𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝒙

ℎ_𝑘 𝒙 = 0, 𝑘 = 1, … , 𝑚 𝑠. 𝑡. ∶

, 𝒙 ∈ ℜ^𝑛

Seja 𝒙^∗ um ponto que satisfaz as condições de mínimo de 1ª ordem.

Ou seja: a Hessiana da função Lagrangiana deve ser positiva semi-definida em relação ao vetor 𝒔, das direções viáveis.

(b) Condições Suficientes (2ª ordem)

(b.2) Considere o seguinte problema de otimização com restrições de desigualdade:

𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝒙

𝑐_𝑙 𝒙 ≤ 0, 𝑙 = 1, … , 𝑝 𝑠. 𝑡. ∶

, 𝒙 ∈ ℜ^𝑛

Seja 𝒙^∗ um ponto que satisfaz as condições de mínimo de 1ª ordem.

Obter a solução do seguinte problema de otimização com restrições (OCR) usando as condições de Karush-Kuhn-Tucker:

Exemplo 1:

𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝒙 = 𝑥₁ + 𝑥₂ x₁² + 𝑥₂² − 2 ≤ 0 𝑠. 𝑡. ∶

No ponto crítico (𝒙^∗, 𝜇^∗), devemos ter:

Função Lagrangiana:

𝑀𝑖𝑛 𝑓 𝒙 = 𝑥₁ + 𝑥₂ x₁² + 𝑥₂² − 2 ≤ 0 𝑠. 𝑡. ∶

Verificação da Hessiana da Lagrangiana (𝑾)

Positiva Definida

−1

Obter a solução do seguinte problema de otimização com restrições (OCR) usando as condições de Karush-Kuhn-Tucker:

Exemplo 2:

No ponto crítico (𝒙^∗, 𝝁^∗), devemos ter:

Função Lagrangiana:

(i) – Supondo que (11.a) seja verdadeira:

Opção inválida: viola a segunda restrição!

Opção válida: satisfaz (11.a) e (12.b)

(ii) – Supondo que (11.b) seja verdadeira:

&

Opção inválida: viola a segunda restrição!

Opção inválida:

(i) – Supondo que (11.a) seja verdadeira:

Opção inválida: viola a segunda restrição!

Opção válida: satisfaz (11.a) e (12.b)

(ii) – Supondo que (11.b) seja verdadeira:

&

Opção inválida: viola a segunda restrição!

Opção inválida:

Portanto: 𝒙 = ₁

Restrição 1: < 0 (INATIVA) Restrição 2: = 0 (ATIVA)

Interpretação Gráfica:

Matriz Hessiana: 𝑊^∗ = 2 0

0 2 “positiva definida”