MicroFinanceira NA7 VFeHME

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Nota de Aula 7 – APT, Modelos de Fatores e HME

Microeconomia Financeira

Mestrado Profissional em Economia – Universidade de Bras´ılia

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Arbitrage Price Theory (APT)

A leitura recomendada para as duas primeiras se¸c˜oes desta nota de aula ´e Elton, Gruber, Brown, and Goetzmann (2003), cap. 16; e Bodie, Kane, and Marcus (2013), cap. 10 (Arbitrage Pricing Theory and Multifactor Models of Risk and Return). A leitura recomendada para a ´

ultima se¸cão, sobre mercados eficientes, é Elton et al. (2003), cap. 17 (Mercados Eficientes), Bodie et al. (2013), cap. 11 ( The Efficient Market Hypothesis). Além disso, são recomendados artigos ao longo desta nota de aula, para quem tiver interesse em se aprofundar no assunto.

1.1 Arbitragem

A Teoria de Precifica¸cão por Arbitragem (no inglês, “Arbitrage Price Theory” – APT), proposta por Ross (1976, 1980), baseia-se na lei do pre¸co único, que afirma que dois bens idênticos não podem ser vendidos a pre¸cos diferentes.

Se a lei do pre¸co único não for válida, o mercado apresentará uma oportunidade de arbitragem: uma estratégia de investimento que resulta em lucro positivo sem nenhum custo.

Normalmente, uma oportunidade de arbitragem consiste em comprar o bem (ou ativo) com pre¸co mais baixo e vender o bem equivalente com pre¸co mais alto. Uma oportunidade de arbitragem aparece, por exemplo, quando existe uma carteira com “zero de investimento”, que rende um lucro seguro.

Quando um ativo é negociado por pre¸cos diferentes em dois mercados (e a diferen¸ca de pre¸cos excede o custo da transa¸cão), uma negocia¸cão simultânea nos dois mercados apresentará um lucro seguro (dada pela diferen¸ca dos pre¸cos) sem nenhum investimento l´ıquido.

As opera¸cões de arbitragem levam os pre¸cos para uma situa¸cão de equil´ıbrio, em que a opor-tunidade de arbitragem é dissipada. Esse processo resulta em restri¸cões sobre os pre¸cos dos t´ıtulos. O modelo APT diz que duas carteiras diversificadas com o mesmo risco sistemático devem ter o mesmo retorno esperado, caso contrário ter´ıamos uma oportunidade de arbitragem.

1.2 Derivando o Modelo APT

O APT assume três hipóteses básicas:

1. Retornos podem ser descritos por um modelo de fatores,

2. O número de ativos é grande o suficiente, de modo que permita diversifica¸cão, 3. Oportunidades de arbitragem são rapidamente exauridas no mercado.

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Segundo o APT, os retornos de qualquer a¸c˜ao est˜ao linearmente relacionados com um conjunto de k ´ındices:

ri = ai+ bi1I1+ bi2I2+ · · · + bikIk+ ei,

onde:

• ai = n´ıvel esperado de retorno da a¸c˜ao i se todos os ´ındices tiverem valor igual a zero;

• Ij = valor do j-´esimo ´ındice que tem impacto sobre o retorno da a¸c˜ao i;

• bij = sensibilidade do retorno da a¸c˜ao i ao ´ındice j;

• ei = termo aleatório de erro com média zero e variância σe2i.

Vamos derivar o modelo APT supondo apenas um fator, para simplificar a nota¸cão. O caso geral é similar. O modelo supõe que E(ei) = 0 e E(ei(Ij− EIj)) = 0, para todo j, i. Porém,

a hip´otese mais importante ´e:

E(eiej) = 0,

ou seja, os erros dos retornos possuem covariˆancia igual a zero. Considere uma carteira diversificada. O retorno rp dessa carteira ´e:

rp = E(rp) + βpI + ep,

onde βp = P xiβi e ep =P xiei, em que xi denota o peso do ativo i na carteira. A variˆancia

da carteira ´e:

σ2_p = β_p2σ_I2+ σ_e2_p A hip´otese E(eiej) = 0 implica:

σ_e2_p = Var n X i=1 xiei ! = 1 n n X i=1 σ2 ei n ,

em que assumimos xi = 1/n para todo i. Logo, a variˆancia da carteira bem diversificada

depende apenas da parte sistem´atica, dada pelo fator considerado. Se a carteira de investimento ´

e bastante diversificada, todo o risco idiossincrático tende a zero e o pre¸co da carteira será determinado pela quantidade de risco que o ativo carrega de cada fator. O modelo APT é, portanto, um modelo de fatores, onde o retorno de um ativo depende de maneira linear desses fatores.

A contribui¸cão do APT é similar à do modelo CAPM: o APT fornece uma “ponte” na qual um modelo linear de risco transforma-se em um modelo de equil´ıbrio de mercado. Essa ponte ´

e feita usando a lei do pre¸co único e argumentos de ausência de arbitragem no mercado de capitais. A ausência de oportunidades de arbitragem restringe os pre¸cos de equil´ıbrio dos ativos financeiros.

Como todo risco idiossincrático pode ser diversificado, o investidor não recebe um prêmio por esse tipo de risco. Pode-se mostrar que o modelo do APT resulta em:

Eri = λ0+ λ1bi1+ λ2bi2+ · · · + λkbik,

onde λ0 = rf e λj = ErIj − rf, e o ativo com retorno rIj ´e um ativo cujo risco ´e igual a zero

para todos os fatores diferentes de Ij e risco igual a um para o fator Ij.

Observe que λj mede o aumento no retorno esperado de um ativo dado um aumento em bij.

Logo, λj mede o excesso de retorno correspondente ao risco associado ao fator Ij. No caso de

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Primeiro vamos analisar como determinar λ0. Considere uma carteira com zero de

sensibili-dade a qualquer fator, ou seja, sem nenhum risco sistemático (e todo risco não-sistemático foi eliminado via diversifica¸cão). Por arbitragem, o seu retorno deve ser igual à taxa livre de risco, logo λ0 = rf.

Para determinarmos λj, j = 1, . . . , k, devemos encontrar uma carteira pi com sensibilidade 1 ao

fator j (bpij = 1) e nenhuma sensibilidade aos outros fatores (bpik = 0, para todo fator k 6= j).

O retorno esperado dessa carteira ´e E(rpi) = rf + λi de modo que λi = E(rpi) − rf. Dizemos

que a carteira pi “imita” o fator 1 (pi ´e um factor i mimicking portfolio). Procedendo dessa

forma para todo fator, obtemos:

Eri− rf = [Erp1 − rf] b1i+ [Erp2 − rf] b2i+ · · · + [Erpk− rf] bki (1)

Logo:

• Carteiras bem diversificadas com os mesmos valores de betas (factor loadings) devem ter o mesmo retorno esperado.

• Para uma carteira p bem diversificada sens´ıvel apenas ao fator i temos que: E (rp) = a + λibip,

ou seja, o retorno esperado dessas carteiras deve aumentar linearmente em rela¸cão à sensibilidade do ativo ao fator i, medido pelo seu beta. Dizemos que λi é o pre¸co de

mercado (ou prˆemio ao risco) associado ao fator i.

´

E poss´ıvel mostrar que a rela¸cão (1) obtida acima para carteiras bem diversificadas também deve ser satisfeita para quase todos os ativos individuais. A prova desse fato é complicada e não iremos desenvolvê-la. Mas a ideia é que se a rela¸cão não for satisfeita para a grande maioria dos ativos, então seria poss´ıvel encontrar uma carteira diversificada tal que a rela¸cão também não seria válida, violando a lei do pre¸co único.

Uma questão crucial é a escolha dos fatores. O modelo APT é silencioso a esse respeito. Intui-tivamente, não é dif´ıcil pensar em fatores que possam afetar os retornos de a¸cões: flutua¸cões das taxas de juros, ciclos de negócios, infla¸cão, etc. Por exemplo, Chen, Roll, and Ross (1986) usam os seguintes fatores, para o mercado americano:

1. IP : Mudan¸ca percentual na produ¸cão industrial, 2. EI: mudan¸ca percentual na infla¸cão esperada, 3. U I: mudan¸ca percentual na infla¸cão não-antecipada,

4. CG: excesso de retorno de bˆonus de empresas de longo prazo sobre bˆonus do governo de longo prazo,

5. GB: excesso de retorno de bˆonus do governo de longo prazo sobre T-bills.

Entretanto, é dif´ıcil determinar os fatores que realmente devem ser utilizados, além de que, para estimarmos os coeficientes do modelo estat´ıstico do APT, é comum usar proxies desses fatores, já que eles podem não ser observáveis ou serem observáveis em baixa frequência.

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Ou seja, a estima¸cão e os testes do APT esbarram na questão da escolha dos fatores a serem usados. Metodologias estat´ısticas, como análise fatorial, levantam uma série de questões e dependem da amostra usada para calcular a matriz de variância e covariância dos ativos, além de não terem conteúdo econômico.

Isso implica que todo teste do APT é um teste conjunto da teoria do APT e da metodologia empregada para aplicar a teoria. Alguns artigos já determinam, a priori, os fatores a serem usados. Isso elimina vários problemas, mas permanece a questão da escolha desses fatores (“fishing for results”).

1.3 APT e o CAPM

O modelo APT com apenas um fator resulta em um relacionamento entre retorno esperado e risco similar ao obtido com o CAPM, sem exigir muitas das hipóteses restritivas necessárias para a deriva¸cão do CAPM. Porém, o modelo APT não assegura esse relacionamento para todos os t´ıtulos, todo o tempo. Esse é o pre¸co dessa generaliza¸cão.

Por exemplo, o modelo APT adequado para um determinado conjunto de t´ıtulos pode ser diferente do modelo APT adequado para um outro conjunto de t´ıtulos. A tabela abaixo resume as diferen¸cas e similaridades dos dois modelos.

CAPM APT

Um fator (retorno de mercado) V´arios fatores (n˜ao identificados)

Equil´ıbrio de mercado Arbitragem

Todos os ativos individuais e carteiras Carteiras bem diversificadas e maioria dos ativos Todos investem na carteira de mercado Componente de risco n˜ao ´e (apenas) o mercado

Apenas risco sistemático é precificado Apenas risco sistemático é precificado Se modelo correto: α = 0 Se modelo correto: α = 0

2 CAPM de Multifatores

2.1 Modelo de Multifatores

Merton (1973) propôs um modelo de CAPM intertemporal com várias fontes de incerteza. Cada fonte de incerteza gera um fator e recebe um prêmio de risco. Exemplos: risco de mercado, risco de inadimplência, risco de distress, risco de infla¸cão.

Nesse caso, obtemos um modelo com formato similar ao APT de diversos fatores, mas cuja deriva¸c˜ao ´e fundamentalmente diferente.

Como esses modelos são apenas estimados, usando vários fatores, as vezes não é claro se o modelo é um CAPM multifatorial ou um APT.

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2.2 Modelo Fama-French de Trˆ

es Fatores

Vimos que o CAPM não consegue explicar diversas anomalias do mercado acionário americano. Por exemplo, carteiras baseadas em tamanho da firma e em razão book-to-market possuem retornos esperados diferentes do que o CAPM prevê.

Fama and French (1996, 1993) propuseram o seguinte modelo de multifatores: Eri− rf = bi[Erm− rf] + siE(SMB) + hiE(HML) ,

onde:

• Erm− rf ´e o excesso de retorno do mercado;

• E(SMB) ´e a diferen¸ca entre retornos de uma carteira composta por firmas pequenas e retornos de uma carteira composta por firmas grandes (small-minus-big);

• E(HML) é a diferen¸ca entre retornos de uma carteira composta por firmas com razão valor contábil sobre valor de mercado alta e retornos de uma carteira composta por firmas com razão valor contábil sobre valor de mercado baixa (high-minus-low book to market ratio); • bi, si e hi são a quantidade de cada um dos três riscos que o ativo i possui.

Fama e French argumentam que o modelo acima pode ser visto tanto como um CAPM in-tertemporal ou como um APT. Eles mostram que várias das anomalias presentes no CAPM desaparecem quando o modelo de três fatores acima é utilizado.

Os valores de bi, si e his˜ao estimados, para cada carteira i, i = 1, . . . , 25, por meio da regress˜ao

temporal (t = 1, 2, . . . , T ): ri_t− rf_t = αi+ βti[r m t − r f t] + s i tSMBt+ hitHMLt+ it

Se o modelo de FF for adequado, ent˜ao αi = 0. Os autores confirmam isso para a maioria das

carteiras. Além disso, o R2 das 25 carteiras é usualmente acima de 90% e testes mostram que várias das anomalias do CAPM desaparecem nesse modelo.

A questão que os autores discutem, mas deixam em aberto, é sobre o uso dos fatores SMB e HML. Esses fatores devem ser vistos como proxies de riscos relevantes, diferentes do risco de mercado. Ou seja, por que os investidores se preocupam em ter carteiras que têm mau desempenho quando SMB e HMB não vão bem, mesmo que o mercado não tenha se modificado? Fama e French argumentam que HMB serve como proxy para financial distress. Ou seja, se um aperto de liquidez ocorrer (ou outra situa¸cão similar, como aperto de crédito ou fuga para qualidade), firmas em situa¸cão de financial distress terão desempenho particularmente ruim. E exatamente em um momento como numa crise de liquidez, os investidores não querem a¸cões com desempenho ruim nessa situa¸cão de mercado. Logo, os investidores exigem um prêmio para esse tipo de risco. Já a interpreta¸cão do fator SMB é menos clara.

Fama e French concluem que se o risco é propriamente mensurado, a maioria das anomalias do CAPM desaparece. Logo, se o CAPM apresenta alguma anomalia, o mais provável é que ele não precificou corretamente o risco do ativo e não por que o mercado está precificando erradamente o ativo, o que significaria uma oportunidade de lucro certo.

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3 Mercados Eficientes

3.1 Hip´

otese de Mercados Eficientes

A hipótese de mercados eficientes (efficient market hypothesis, EMH – Samuelson (1965), Fama (1970)) postula que os pre¸cos dos ativos financeiros refletem integralmente todas as informa¸cões dispon´ıveis sobre esses ativos. Mais precisamente, existem três formas da hipótese de mercados eficientes (Roberts (n.d.)):

• Forma Fraca: toda informa¸cão contida nos pre¸cos passados está refletida nos pre¸cos correntes, ou seja, ε é imprevis´ıvel, dada toda infoma¸cão passada de pre¸cos e volume de transa¸cões. Isso implica que análises técnicas, padrões sazonais, estratégias de momento, etc, não devem levar a um retorno anormal.

• Forma Semiforte: toda informa¸cão pública está refletida nos pre¸cos correntes, ou seja, ε ´

e imprevis´ıvel, dada toda informa¸cão passada publicamente dispon´ıvel. Isso implica que além das análises acima, análises de fundamentos (verificar dados contábeis, qualidade do gerenciamento, linha de produtos, projetos futuros, etc) não levam a retornos anormais. Logo, um gerente de um fundo de investimento não irá ter desempenho acima do mercado, a não ser que assuma mais risco do que o mercado apresenta.

• Forma Forte: toda informa¸cão, pública ou não, está refletida nos pre¸cos correntes. Isso implica que mesmo com informa¸cão privilegiada (insider trading, etc), não seria poss´ıvel obter retornos anormais. Esta versão da hipótese de EMH é dif´ıcil de testar, mas é consenso que os mercados não são eficientes nesse sentido (nos EUA, a Security Exchange Committee (SEC) e no Brasil, a Comissão de Valores Mobiliários (CVM), têm como uma de suas fun¸cões impedir e punir casos de insider trading, que supostamente geram preju´ızos para a sociedade – Bhattacharya and Daouk (2002) investigam o custo de insider trading no mundo).

Consequência da hipótese de eficiência: não é poss´ıvel sistematicamente “bater” o mercado, ou seja, obter retornos acima do retorno do mercado de modo regular. Alguns mercados podem ser eficientes e outros não. A hipótese de mercados eficientes pode, a princ´ıpio, ser testada. Usualmente, o teste é feito para a forma fraca ou para a forma semiforte da hipótese.

Os testes da hipótese de mercados eficientes assumem que os retornos dos ativos são deter-minados por algum modelo, tal como o CAPM. Logo, esses testes são testes conjuntos, tanto da hipótese de eficiência de mercado quanto do modelo usado para determinar os retornos esperados de equil´ıbrio.

Existem diversos testes poss´ıveis, e a rejei¸cão do teste deve ser vista com cautela, pois diversos problemas podem ocorrer. Os testes dependem da forma que queremos testar. Um mercado é eficiente se os pre¸cos dos ativos refletem todas as informa¸cões dispon´ıveis. Um dos problemas de testes da EMH é que todo teste deve assumir um modelo de equil´ıbrio que define qual seria o pre¸co ou retorno “normal ” do ativo. Logo, a rejei¸cão da hipótese pode tanto significar que o mercado é ineficiente ou que o modelo usado é incorreto.

Se o objetivo é testar a forma fraca, então o conjunto de informa¸cão relevante são os pre¸cos passados. Basicamente, isso significa que a melhor previsão do pre¸co futuro é o pre¸co atual (o caso de um martingale). Em um dos primeiros estudos a examinar se pre¸cos continham algum padrão de previsibilidade, Kendall (1953) analisou séries de pre¸cos semanais e encontrou que esses pre¸cos evoluiam de maneira aleatória, mas que a variância emp´ırica dependia do tempo. Este resultado foi com o tempo interpretado como caracter´ıstica de um mercado eficiente, em

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Como os pre¸cos já incorporam toda informa¸cão passada, apenas informa¸cão nova pode alter´ a-los. Como informa¸cão nova é imprevis´ıvel, então pre¸cos são imprevis´ıveis.

Existem diversas formas de testar a forma fraca, que tentam verificar se a variância do erro é uma fun¸cão linear do tempo, o que ocorrerá se a série de pre¸cos for um passeio aleatório. Esses testes são chamados testes de razão de variância (Lo and MacKinlay (1988) e Cochrane (1988) foram os primeiros autores a usarem essa metodologia).

Uma adapta¸cão da EMH foi proposta por Grossman and Stiglitz (1980): os pre¸cos dos ativos refletem toda informa¸cão até que os custos marginais de obten¸cão de informa¸cão e negocia¸cão não superem o seu benef´ıcio marginal. Mais ainda, Grossman and Stiglitz (1980) argumentam que um mercado inteiramente eficiente é imposs´ıvel de existir, pois isto implicaria a inexistência de ganhos em obter informa¸cão. Além disso, mercados distintos podem ter diferentes graus de eficiência, refletindo o quão grande e organizado o mercado é.

3.2 Consequˆ

encias

Se os mercados financeiros forem eficientes, então as consequências para administra¸cão ativa de carteiras são:

• Uma estratégia de administra¸cão ativa de carteira baseada em informa¸cão pública não geraria retorno esperado maior do que uma estratégia passiva, na média.

• Uma estratégia de administra¸cão ativa de carteira baseada em informa¸cão pública, mas com custo de obten¸cão, geraria um retorno esperado maior do que uma estratégia passiva, maior apenas por um montante suficiente para compensar o administrador pelos custos de obten¸cão e processamento da informa¸cão.

• Oportunidades de arbitragem são exploradas rapidamente, pois não permanecerão por muito tempo no mercado.

Então, análises técnicas de mercado, que consistem em usar dados passados sobre os ativos financeiros para encontrar padrões ou anomalias que possam gerar estratégias de investimento lucrativas, não deve gerar retornos anormais.

Os dados de retorno costumam mostrar tendência de “momento” para prazos curtos e tendência de “reversão” para prazos longos. Mas se a forma fraca da hipótese de eficiência de mercado for válida, então a análise técnica será irrelevante.

A hipótese de eficiência de mercado não diz que: • os pre¸cos não são causados por coisa alguma;

• os investidores são tolos ou não sabem operar no mercado; • todos os ativos financeiros têm o mesmo retorno esperado;

• os investidores devem “jogar dardos ao acaso” para escolher sua carteira; • não há tendência de crescimento dos pre¸cos das a¸cões.

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A hip´otese de eficiˆencia de mercado diz que: • os pre¸cos refletem valores intr´ınsecos;

• os administradores financeiros não são capazes de se antecipar ao mercado na venda de a¸cões e obriga¸cões;

• as vendas de a¸cões e obriga¸cões não resultam em queda de pre¸cos; • não é poss´ıvel manipular dados contábeis.

3.3 Evidˆ

encia Emp´ırica

Atualmente, é consenso de retornos que a¸cões e bônus americanos possuem um componente previs´ıvel, mas não o suficiente para levar a estratégias lucrativas de arbitragem.

A evidˆencia emp´ırica para cada uma das formas, no mercado americano, ´e:

• forma fraca: aceita, com algumas ressalvas. Existem tendências nos retornos espera-dos que parecem contradizer a forma fraca. Porém essas tendências não parecem ser lucrativas.

• semi-forte: aceita, também com ressalvas. Mercado parece reagir rapidamente a novas informa¸cões, incorporando essas informa¸cões rapidamente nos pre¸cos.

• forte: dif´ıcil de testar. Não é aceita em geral: informa¸cão privilegiada resulta em possi-bilidade real de ganhos.

Porque tanta resistência em aceitar que mercados são eficientes? • concep¸cão leiga do que significa mercado eficiente.

• “moda” de dizer que mercados s˜ao irracionais. • atual crise financeira.

• ilus˜oes de ´otica no comportamento de retornos.

• existem evidências em contrário (sazonalidade, anomalias, previsão de retornos). • os testes da hipótese são imperfeitos.

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Referˆ

encias

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