Engenharia Econômica

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Engenharia Econômica

1. Capitalização

1.1 Juros Simples

𝐽 =

𝐶 . 𝑖 . 𝑛

100

Em que: J = Juros; C = capital; i = taxa; n = tempo

1.2 Juros Compostos

= 𝐶 . 1 𝑖

Em que: M = montante; C = capital; i = taxa; n = tempo

=

. 1 𝑖

Em que: Vf = valor final; V0 = valor inicial; i = taxa; n = tempo

1.3 Fluxo de Caixa

Diagrama de Fluxo de Caixa

Vp

Vf

1.3.1 Valor Presente

Cálculo do valor presente, ou inicial:

=

1 𝑖

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Exemplo: Quanto deve ser aplicado hoje em uma conta de poupança, com taxa de juros de 0,5% a. m., para se obter R$ 1.000,00 daqui a um ano?

Resolução: i = 0,5% a. m. Vf = R$ 1.000,00 n = 12 meses

=

1.000 1 0,005

Vp = 941,90

Resposta: Devem ser aplicados R$ 941,90.

1.3.2 Capitalização Composta

Neste caso, é feito um investimento por meio de parcelas constantes, sobre as quais incide a mesma taxa. Suponha que uma pessoa coloque em um banco, de forma programada, seis prestações mensais de R$ 100,00, sobre as quais incidirá juro constante de 1% ao mês. O cálculo do montante final, ou Valor Futuro, é dado por:

?

n = 0 1 2 3 4 5 6

100 100 100 100 100 100

n Primeira parcela Segunda parcela Terceira parcela Quarta parcela Quinta Parcela Sexta Parcela 1 100 2 100.(1+0,01) 100 3 100.(1+0,01)2 100.(1+0,01) 100 4 100.(1+0,01)3 100.(1+0,01)2 100.(1+0,01) 100 5 100.(1+0,01)4 100.(1+0,01)3 100.(1+0,01)2 100.(1+0,01) 100 6 100.(1+0,01)5 100.(1+0,01)4 100.(1+0,01)3 100.(1+0,01)2 100.(1+0,01) 100

Logo, o valor futuro (montante) será:

M= 100.(1+0,01)5 + 100.(1+0,01)4 + 100.(1+0,01)3 + 100.(1+0,01)2 + 100.(1+0,01)1 + 100 M= 615,20

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Ou, pela equação:

= 𝐶.

1 𝑖

Então: = 100. 1 0,01 1 0,01 M = 615, 20 Assim, o montante é de R$ 615,20.

Exemplo: Uma empresa transportadora pretende investir, mensalmente, R$10.000,00, a partir do próximo mês, e durante 5 anos, para a compra de novos caminhões para sua frota nos próximos anos. Sabendo-se que os juros mensais são de 1%, quanto a empresa resgatará para a compra dos veículos, após o último depósito?

C = 10.000 i = 1% (0,01) n = 60 = 10.000. 1 0,01 ₁ 0,01 M = 816.697

Resposta: A empresa terá R$ 816.697,00, aproximadamente, daqui a 5 anos.

Exercício: Uma empresa de logística pretende adquirir, daqui a um ano, novos equipamentos para a operação de carga e descarga de produtos no depósito. Sabendo-se que o valor a ser investido será de R$100.000,00, e que a taxa de juros máxima do mercado é de 2% a. m., quanto a empresa deverá poupar mensalmente? 𝐶 = _{1 𝑖} ₁ 𝑖 M = 100.000 I = 2% (0,02) n = 12 𝐶 = _{1 0,0}100.000₁ 0,0 C = 7.456

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2. Amortização

Considere aqui o caso de empréstimos financiados em prestações mensais, com vencimentos a partir do primeiro mês. Como exemplo, tem-se o valor de R$ 100,00, a ser pago em cinco parcelas iguais, sobre as quais haverá juro de 1% ao mês. O valor de cada prestação é encontrado da seguinte forma: C C C C C n = 0 1 2 3 4 5

100 n Primeira parcela Segunda parcela Terceira parcela Quarta parcela Quinta Parcela 1 C 2 C.(1+0,01) C 3 C.(1+0,01)2 C.(1+0,01) C 4 C.(1+0,01)3 C.(1+0,01)2 C.(1+0,01) C 5 C.(1+0,01)4 C.(1+0,01)3 C.(1+0,01)2 C.(1+0,01) C C.(1+0,01)4 + C.(1+0,01)3 + C.(1+0,01)2 + C.(1+0,01)1 + C = 100.(1+0,01)5 C = 20,60

Ou, pela equação:

= 𝐶 .

1 𝑖

1 𝑖. 1 𝑖

100 = 𝐶 . 1 0,01 1

0,01. 1 0,01 C = 20,60

Assim, cada parcela será de R$ 20,60, aproximadamente.

Exemplo: Uma empresa de transporte rodoviária adquiriu, por R$500.000,00, um novo modelo para sua frota. Sabendo-se que ela pagará com amortizações mensais, durante 6 anos, com uma taxa de juros de 2,5% a. m., qual será o preço da prestação mensal?

M = 500.000; n = 72 meses; i = 2,5% (0,025).

500.000 = 𝐶 . 1 0,0 5

₁

0,0 5. 1 0,0 5

C = 15.042,08

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Exercício: Uma empresa de infraestrutura de transportes adquiriu, por R$1.000.000, maquinários para sua modernização, visando uma maior competitividade no mercado. Tal valor será pago durante 10 anos, em prestações iguais e mensais, aproveitando-se dos baixos juros ao mês de 1%, oferecido por uma instituição bancária em estímulo ao desenvolvimento do país. Calcule o valor mensal a ser pago pela empresa.

M = 1.000.000 n = 120 meses i = 1,0% (0,01) 1.000.000 = 𝐶 . 1 0,01 1 0,01. 1 0,01 C = 14.347,10

Resposta: A empresa deverá pagar, mensalmente, R$ 14.347,10.

3. Valor Presente a partir de uma série uniforme

Para se obter o valor presente a partir de prestações anuais iguais, com juros constante, usamos a equação:

= .

_.

,

Na qual,

Vp = valor presente;

A = valor das parcelas anuais; i = taxa;

n = período.

Exemplo: Um fornecedor de mercadorias deseja fazer uma aplicação, a juros de 12% a.a., para obter receitas anuais de R$ 25.000,00 nos próximos 5 anos. Qual o valor a ser aplicado?

25.000 25.000 25.000 25.000 25.000 n = 0 1 2 3 4 5 Vp A = 25.000; I = 12% a. a. (0,12); n = 5.

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= 5.000. 1 0,1 1 0,1 . 1 0,1 Vp = 90.119,41

Resposta: Deve ser aplicado R$ 90.119,41.

5.1 Análise da viabilidade econômica

5.1.1 Taxa interna de retorno

A taxa interna de retorno mede a rentabilidade econômica do capital aplicado no projeto, e corresponde à taxa de juros que torna o valor presente dos benefícios igual ao valor presente dos custos.

Se a taxa interna de retorno for maior com a taxa de oportunidade de capital, o projeto é viável, se menor o projeto é inviável.

Em termos matemáticos, a taxa interna de retorno, i, é tal que: VPB = VPC

5.1.2 Método do Valor presente Líquido

O valor presente líquido corresponde à diferença entre o valor presente dos benefícios e o valor presente dos custos. O projeto é viável se o resultado for positivo, e economicamente inviável se negativo.

Assim,

Se VPL > 0, o projeto é viável; Se VPL ≤ 0, o projeto é inviável.

As transações de caixa, neste método, são transformadas em valores presentes, no tempo zero, e o valor presente líquido é calculado para cada opção i, como mostra a equação:

VPLi = P(Ri) – [P(Ci) + Ki] Em que:

P(Ri) = valor presente correspondente à receita anual R do projeto i;

P(Ci) = valor presente correspondente aos custos anuais C do projeto i; e

Ki = investimento de capital do projeto i.

Exemplo: Supondo-se que o investimento em tacógrafos para ônibus urbanos custe R$100.000, que

proporciona uma economia anual de R$ 60.000 em combustível. A manutenção dos equipamentos custa R$25.000 anuais. Se a vida útil dos tacógrafos for de 5 anos e a taxa de juros de 12% a.a., qual o VPL do projeto?

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25.000 25.000 25.000 25.000 25.000 n = 0 1 2 3 4 5 100.000 P(R) = 60.000; C(R) = 25.000; n = 5; i = 12% (0,12). = 0.000 5.000 . 1 0,1 1 0,1 . 1 0,1 100.000 VPL = 26.167,17 Resposta: O valor presente líquido do projeto é R$ 26.167,17.

5.1.3 Valor Anual Líquido

O valor anual líquido (VAL) é igual à parcela anual correspondente à distribuição do valor presente líquido ao longo da vida útil do projeto. Matematicamente, tem-se:

= .

𝑖. 1 𝑖

1 𝑖

1

Na qual,

VAL = valor anual líquido; VPL= valor presente líquido; i = taxa de oportunidade de capital; n = período.

Se positivo, o projeto é viável; se negativo ou nulo, o projeto é inviável. Assim,

se VAL > 0, o projeto é viável; se VAL ≤ 0, o projeto é inviável.

As transações de caixa, neste método, são transformadas em séries anuais uniformes equivalentes no decorrer da vida do projeto. O valor anual líquido também pode ser calculado pela equação:

VAL = Ri – [Ci + A(Ki)] Em que:

Ri = valor correspondente à receita anual R do projeto i;

Ci = valor correspondente aos custos anuais C do projeto i;

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Exemplo: Supondo-se que o investimento em tacógrafos para ônibus urbanos custe R$100.000, que

proporciona uma economia anual de R$ 60.000 em combustível. A manutenção dos equipamentos custa R$25.000 anuais. Se a vida útil dos tacógrafos for de 5 anos e a taxa de juros de 12% a.a., qual o VAL do projeto?

R = 60.000; C = 25.000; n = 5 anos; i = 12% (0,12).

= 0.000 5.000 (100.000.0,1 . 1 0,1

1 0,1 1)

VAL = 7.259,03 Resposta: O valor anual líquido do projeto é R$ 7.259,03.