Análise de Sistemas no Espaço de Estados

MEEC

Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

MCSDI

Modelação e Controlo de Sistemas Dinâmicos

Exercícios de

Análise de Sistemas no Espaço de Estados

Conjunto de exercícios elaborados pelos docentes José Tenreiro Machado (JTM), Manuel Santos Silva (MSS), Vítor Rodrigues da Cunha (VRC) e Jorge Estrela da Silva (JES).

1. Considere a matriz _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 2 4 6 A .

a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios de A. b) Considere os vectores _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 2 1 x x , _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 x x e _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 2 2 1 x x

. Calcule e represente graficamente _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 x x A y y . Comente os resultados.

2. Considere o sistema &y&&+9y&&+26y&+24y=u&+4u. A sua representação no espaço dos estados, com

[

_{x x x}

]

T

[

_{x x x}

]

T 3 2 1 3 2

1 ,& = & & &

= x

x , vem:

a) Na forma canónica controlável:

A)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 0 1 4 1 0 0 9 26 24 1 0 0 0 1 0 y u & B)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 0 0 1 4 1 0 0 0 24 1 0 26 0 1 9 y u & C)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 0 0 1 1 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 y u & D) Outro resultado

b) Na forma canónica observável:

A)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 0 1 4 1 0 0 9 26 24 1 0 0 0 1 0 y u & B)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 0 0 1 4 1 0 0 0 24 1 0 26 0 1 9 y u & C)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 0 0 1 1 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 y u & D) Outro resultado

3. Considere um sistema representado no espaço dos estados, tal que

⎩ ⎨ ⎧ + = + = u y u D Cx B Ax x& . Então, a correspondente função de transferência Y(s)/U(s) vem:

A)

( )

( )

=

[

C

(

I−A

)

]

−1B+D U Y s s s B)

( )

( )

=C

(

I−A

)

−1B+D U Y s s s C)

( )

( )

s =C

(

sI−A

)

B+D s U Y D)

( )

( )

=C

(

I−A−1

)

B+D U Y _s s s

4. Considere a representação de um sistema no espaço dos estados da figura. Então, vem: A) ⎩ ⎨ ⎧ − = + = u x y u x x 3 4 2 5 & B) ⎩ ⎨ ⎧ + = − = u x y u x x 4 5 2 3 & C) ⎩ ⎨ ⎧ + − = + − = u x y u x x 5 4 3 2 & D) Outro resultado

5. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura.

Então, a sua representação no espaço dos estados, com x=

[

x1 x2

]

T

[

_{x x}

]

T 2 1 & & & = x , vem: A)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = x x x 6 2 5 3 0 4 1 2 y u & B)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = x x x 2 6 5 3 2 1 4 0 y u & C)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = x x x 5 3 6 2 0 1 4 2 y u & D) Outro resultado u

∫

3 + x1 2 2 + y + +

∫

5 + x2 6 4 −1 + + u

∫

3 + x 4 −2 + + _y − 5

6. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura.

A sua representação no espaço dos estados, com x=

[

x1 x2

]

T vem:

A)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = x x x 9 4 5 3 8 5 7 2 y u & B)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = u y u 10 9 4 5 3 5 8 7 2 x x x& C)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = u y u 10 9 4 5 3 5 8 7 2 x x x& D) Outro resultado

7. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura.

Então, a função de transferência Y(s)/U(s), vem: A) Y(s)/U(s) = 1 / (s + 1)2 B) Y(s)/U(s) = 2 / [(s + 1) (s + 2)] C) Y(s)/U(s) = 3 / [(s + 1) (s + 3)] D) Outro resultado u

∫

0 + x1 −1 −3 + y + +

∫

2 + x2 0 2 −1 + + y u

∫

−3 + + x1 4 5 + +

∫

5 + x2 −9 8 −7 + + −2 10 + + +

8. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura com x=

[

x1 x2

]

T

[

]

T x x&1 &2 & = x .

a) A representação no espaço dos estados, vem:

A)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = x x x 5 7 3 2 9 1 1 3 y u & B)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x 5 7 3 2 9 1 1 3 y u & C)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x x x 7 5 3 2 9 1 1 3 y u & D) Outro resultado

b) A função de transferência do sistema Y(s)/U(s) vem:

A)

( )

_{( )}

8 2 s 15 s U Y 2_{+ +} + = s s s B)

( )

_{( )}

8 12 s 12 3s U Y 2_{+ +} + = s s s C)

( )

_{( )}

28 12 s 152 31s U Y 2_{+ +} + = s s s D) Outro resultado

9. Considere o sistema com a representação:

[ ]

⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 1 ; 0 1 1 0 0 2 4 6 x x y u x x x x&

a) Calcule a matriz exponencial pelo método de Cayley-Hamilton e através da Transformada de Laplace. b) Calcule a função de transferência Y(s)/UI(s).

c) Faça a representação do sistema através de um diagrama de blocos e obtenha a função de transferência a partir

deste. u

∫

2 + x1 5 −3 + y + +

∫

3 + x2 7 1 −1 + + −9 +

10. Considere o circuito da figura.

Uma representação no espaço dos estados, adoptando variáveis com “sentido físico”, onde x corresponde à corrente na indutância, vem:

A) u LR x LR R x 2 2 1 ₊ 1 − = & B)

₍

₎

₍

₎

u R R L x R R L R x 2 1 2 1 1 1 + + + − = & C) u R R L x R R L R x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = 1 1 1 2 1 2 1 1

& D) Outro resultado

11. Considere o circuito da figura.

R C L + y(t) − i(t) x2 x1

a) Uma representação no espaço dos estados, adoptando variáveis com “sentido físico” x=

[

x1 x2

]

T e

[

_{x x}

]

T 2 1 & & & = x , vem: A)

( )

( )

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x R t y t i L R L C L 0 0 1 1 1 0 & B)

( )

( )

[ ]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x 0 1 10 10 1 t y t i R R C R & C)

( )

( )

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x R t y t i C L R L C 0 0 1 1 1 0 & D) Outro resultado

b) A função de transferência Y(s)/I(s) vem:

A)

_{( )}

( )

1 I Y 2 _{+ +} = sRC LC s R s s B)

_{( )}

( )

RC sLC s s s + + = 2 1 I Y C)

_{( )}

( )

R sC L s sL s s + + = 2 I Y D) Outro resultado R1 + − u R2 L x

12. Considere o circuito da figura seguinte. R2 R1 L C + u − + y1=x1 − + y2 − R3 x2

a) Uma representação no espaço dos estados, adoptando variáveis com “sentido físico” x

( )

t =

[

x1

( )

t x2

( )

t

]

T e

[

_{x x}

]

T 2 1 & & & = x , y

( )

t =

[

y1

( )

t y2

( )

t

]

T, vem: A)

(

)

(

)

( )

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − = t u R R R R R R R t u R R R C R R R R C R C L 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 x y x x& B)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − − = t u R R R R R R R R R t u R R R L R R R R R L R R R L C 3 2 1 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 0 0 0 1 0 1 1 0 x y x x& C)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − − = t u R R R t u R R R L R R R R R L R R R L C 2 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 x y x x& D) Outro resultado b) Se _Δ=s2_LC

(

_R1+R2+R3

)

_+sR1

(

_R2+R3

)

_{C+R1+R2 +R3}

então a matriz de transferência

( )

( )

( )

( ) ( )

s U s s s s ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 G G Y Y vem: A)

( )

_{( )}

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − Δ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ C R R R R R R R s s 3 2 1 2 1 3 2 2 1 1 G G B)

( )

_{( )}

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − Δ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ C R R R R R R R s s 3 2 1 2 1 3 2 2 1 1 G G C)

( )

_{( )}

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − Δ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ C R R R R R R R R R s s 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 G G D) Outro resultado

13. Considere o circuito representado na figura. Calcule a sua representação por variáveis de estado com sentido físico. u(t) _C R1 y(t) + -L1 L2 R2

14. Considere o circuito representado na figura. Calcule a sua representação por variáveis de estado com sentido

físico. Considere que para t=0, i1= i2= i3=0.

L3 i3 i y C2 L2 i2 v2 C1 v1 L1 i1

15. Considere o sistema com uma representação no espaço dos estados _⎥u

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 1 2 1 0 3 x x& onde

[

_{x x}

]

T 2 1 =

x . Então, a matriz exponencial eAt vem: A) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = _{− t} − t_{− t −}−_tt t e e e e e eA ₂3 3 ₃ 2 ₂2 B) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − t _{− t} t e e e 2 ₃ 0 0 A C) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + = ₋− t_{t −}− t_{t − t} t e e e e e e 3 3 2 3 2 ₁ A _D) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = _{− t}− t _{− t − t} t e e e e e 2 3 2 3 ₀ A

16. Considere um sistema linear e a sua representação no espaço dos estados, com x=

[

x1 x2

]

T

[

]

T x x&1 &2 &= x e x x ,

[

6 5

]

x 3 1 2 3 3 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = u y & . Então:

a) A matriz do sistema tem um par de valores próprios complexos conjugados λ12 dados por:

A) λ12 = 2 ± j 3 B) λ12 = −2 ± j 3 C) λ12 = −3 ± j 2 D) λ12 = 3 ± j 2 b) Pode afirmar-se que o sistema é:

17. Considere um sistema representado no espaço dos estados na forma u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 5 11 15 1 0 0 0 1 0 x x& ,

[

1 0 0

]

x =

y , com x=

[

x1 x2 x3

]

T,x&=

[

x&1 x&2 x&3

]

T.

a) A sua representação no espaço dos estados, na forma diagonal, vem:

A)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = x d d 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 y u & B)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = x d d 0 1 1 8 1 8 1 8 1 3 0 0 0 1 2 0 2 1 y u & C)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x d d 0 1 0 8 1 8 1 8 1 3 0 0 0 1 2 0 2 1 y u & D)

[

]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = x d d 8 1 8 1 8 1 1 1 1 3 0 0 0 1 2 0 2 1 y u &

b) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem:

A)

( )

( ) ( )

3

(

2 5

)

U Y 2 2 + + + = s s s s s s B)

( )

( ) ( )

3

(

2 5

)

U Y 2_{+ +} + = s s s s s s C)

( )

( ) ( )

3

(

2 5

)

1 U Y 2_{+ +} + = s s s s s D) Outro resultado

18. Considere um sistema representado no espaço dos estados de acordo com o diagrama de blocos da figura.

a) A) O sistema é controlável e é observável B) O sistema não é controlável e é observável C) O sistema é controlável e não é observável D) O sistema não é controlável e não é observável

b) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem:

A)

( )

_{( )}

2 7 U Y − = s s s B)

( )

_{( )}

4 2 U Y + = s s s C)

( )

_{( )}

3 12 U Y + = s s s D) Outro resultado

19. Considere um sistema descrito pela função de transferência:

( )

_{( )}

2 3 3 2_{+ +} + = s s s s U s Y . Faça a sua representação por variáveis de estado na:

a) Forma canónica controlável. b) Forma canónica observável.

u y

−2

∫

3 + x1 4

20. Considere os sistemas com os diagramas de blocos da figura. Seja x=

[

x1 x2

]

T

[

]

T x x&1 &2 &= x . Sistema 1 Sistema 2

a) A representação do sistema 1 no espaço dos estados, vem:

A)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ − λ − = x x x 1 1 1 1 1 1 y u & B)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ − λ − = x x x 0 1 1 0 0 1 y u & C)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ − λ − = x x x 1 0 0 1 0 1 y u & D) Outro resultado

b) A representação do sistema 2 no espaço dos estados, vem:

A)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ − λ − = x x x 1 1 1 1 1 1 y u & B)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ − λ − = x x x 0 1 1 0 0 1 y u & C)

[ ]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ − λ − = x x x 1 0 0 1 0 1 y u & D) Outro resultado

c) Estudando a controlabilidade e a observabilidade do sistema 1 verifica-se que:

A) O sistema 1 é controlável e é observável B) O sistema 1 não é controlável e é observável C) O sistema 1 é controlável e não é observável D) O sistema 1 não é controlável e não é observável

d) Estudando a controlabilidade e a observabilidade do sistema 2 verifica-se que:

A) O sistema 2 é controlável e é observável B) O sistema 2 não é controlável e é observável C) O sistema 2 é controlável e não é observável D) O sistema 2 não é controlável e não é observável

21. Considere um sistema linear e a sua representação no espaço dos estados, com x=

[

x1 x2

]

T e

u ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 3 1 3 2 2 3 x x& . Então,

a) A matriz do sistema tem um par de valores próprios complexos conjugados λ12 dados por:

A) λ12 = 2 ± j 3 B) λ12 = −2 ± j 3 C) λ12 = −3 ± j 2 D) λ12 = 3 ± j 2 b) A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável

22. Considere um sistema linear e a sua representação no espaço dos estados, com x=

[

x1 x2

]

T

[

]

T x x&1 &2 &= x e x x ,

[

6 5

]

x 3 1 4 0 0 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = u y & . Então:

a) A matriz do sistema tem valores próprios λ1 e λ2 dados por:

A) λ1 = 1, λ2 = −3 B) λ1 = 6, λ2 = 5 C) λ1 = −2, λ2 = −4 D) Outro resultado b) Pode afirmar-se que o sistema é:

A) Não-controlável B) Não-observável C) Controlável D) Instável

u + − y −

∫

x2 λ +

∫

x1 λ − y −

∫

x2 λ +

∫

x1 λ +

23. Considere um sistema e uma representação no espaço dos estados x x ,

[

2 1

]

x 3 1 4 6 1 1 − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = u y & ,

[

_{x x}

]

T 2 1 = x . Então, vem:

a) A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável

b) A) O sistema é observável B) O sistema não é observável

c) Analise a FT deste sistema.

24. Considere um sistema representado no espaço dos estados _⎥u

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 3 5 0 0 4 x x& , y=

[

2 0

]

x com

[

_{x x}

]

T 2 1 = x .

Estudando a estabilidade, a controlabilidade e a observabilidade do sistema verifica-se que:

a) A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável

b) A) O sistema é observável B) O sistema não é observável

c) A) O sistema é estável B) O sistema não é estável

d) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem:

A)

( )

_{( )}

4 6 U Y + = s s s B)

( )

_{( ) (}

₎₍

₎

5 4 5 U Y + + = s s s s C)

( )

_{( )}

5 6 U Y + = s s s D) Outro resultado

25. Considere um sistema representado no espaço dos estados na forma x&=Ax+Bu, y=Cx, com

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 1 5 2 1 0 3 1 0 0 2 B A , , C=

[

1 0 0

]

e x=

[

x₁ x₂ x₃

]

T.

a) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem:

A)

( )

_{( )}

2 1 U Y − = s s s B)

( )

_{( ) (}

₎₍

₎

5 3 1 U Y + − = s s s s C)

( )

_{( ) (}

₎₍

₎

5 2 1 U Y + − = s s s s D)

( )

_{( ) (}

₎₍

₎₍

₎

5 3 2 1 U Y + − − = s s s s s

b) Pode dizer-se que o sistema:

A) É observável e é controlável B) Não é observável e é controlável C) Não é observável e não é controlável D) É observável e não é controlável

26. Considere o sistema: u ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 5 1 6 0 x x& a) CalculeΦ )(t =eAt.

27. Considere um sistema representado no espaço dos estados e o correspondente diagrama de blocos da figura.

Então:

a) Pela análise da estabilidade:

A) Pode concluir-se que o sistema é estável

B) Pode concluir-se que o sistema é instável

C) Nada se pode concluir sobre a estabilidade do sistema

b) Pela análise da controlabilidade:

A) Pode concluir-se que o sistema é controlável

B) Pode concluir-se que o sistema não é controlável

C) Nada se pode concluir sobre a controlabilidade do sistema

28. Considere um sistema representado no espaço dos estados de acordo com o diagrama de blocos da figura

onde bi, ci, λi ∈ℜ, i=1,2,3.

Seja b1 = −b2 , λ1 = λ2, c1 = c2, então: a)

A) O sistema é controlável B) O sistema não é controlável

b) Nas condições referidas antes a

função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem: A)

( )

_{( )}

3 3 3 U Y λ − = s c b s s B)

( )

_{( )}

3 3 U Y λ − = s c s s C)

( )

_{( )}

3 1 U Y λ + = s s s D) Outro resultado u _y λ2

∫

b2 c2 + x2 + + λ1

∫

b1 c1 + x1 + + λ3

∫

b3 c3 + x3 + + u −2 +1 −1 y + + +

∫

1 2 + + x1

∫

3 + x2

∫

2 4 + + x3

29. Considere o sistema com o diagrama de blocos da figura.

a) A sua representação no espaço dos estados, com x=

[

x1 x2

]

T

[

]

T x x&1 &2 & = x , vem: A)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x 2 3 1 1 2 1 0 3 y u & B)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x 1 1 3 2 0 1 2 3 y u & C)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = x x x 3 2 1 1 0 2 1 3 y u & D) Outro resultado

b) A sua representação matricial no espaço dos estados, na forma diagonal, vem:

A)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = x x x 3 2 1 1 2 0 0 1 y u & B)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x x x 1 4 1 0 2 0 0 1 y u & C)

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = x x x 2 1 2 1 2 0 0 1 y u & D) Outro resultado c) A matriz exponencial Φ(t) = eAt vem: A)

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = −_−tt ₋−_tt ₋−_t t ₋−_tt e e e e e e e e t _{2 2} 2 2 2 2 2 2 Φ B)

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + = ₋−_tt −₋t_{t −}−_t t ₋−t_t e e e e e e e e t _{2 2} 2 2 2 2 Φ C)

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ₋−_t t ₋−t_t −_−tt ₋−t_t e e e e e e e e t _{2 2} 2 2 2 2 2 2 Φ D) Outro resultado

d) A função de transferência Y(s)/U(s) do sistema vem:

A)

( )

_{( )}

2 1 U Y + = s s s B)

( )

_{( ) (}

₎₍

₎

2 1 1 U Y + + = s s s s C)

( )

_{( )}

1 1 U Y + = s s s D) Outro resultado

e) Estudando a controlabilidade e a observabilidade do sistema verifica-se que:

A) O sistema é controlável e é observável B) O sistema não é controlável e é observável C) O sistema é controlável e não é observável D) O sistema não é controlável e não é observável

u

∫

−1 + x1 2 −3 + y + +

∫

1 + x2 3 2 −1 + +

30. Considere o sistema ⎩ ⎨ ⎧ = + = x y u x x C B A & onde ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 5 11 15 1 0 0 0 1 0 A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 B ,C=

[

1 0 0

]

a) Calcule os valores próprios e os vectores próprios.

b) Represente o sistema na forma diagonal e esboce o correspondente diagrama de blocos. c) Considere a condição inicial:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 7 1 5 9 3 1 2 4 2 0 4 3 1 1 3 ) 0 ( x .

Calcule a resposta

x

(t

)

(para u(t)=0).

31. Considere os sistemas: 2 , 1 = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = i x y u x x i i C B A & ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 0 24 1 0 26 0 1 9 A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 5 2 1 B , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 4 2 2 B

[

1 2 1

]

1= − C , C₂ =

[

4 2 −2

]

a) Calcule os valores próprios e vectores próprios e faça a representação diagonal. Esboce o diagrama de blocos. b) Calcule a função de transferência (para

i

=

1

,

2

).

c) Estude a controlabilidade e a observabilidade.

d) Determine a resposta do sistema (

i

=

1

) para a condição inicial:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 94 62 10 6 5 1 3 8 6 1 2 12 7 1 5 ) 0 ( x .

32. Considere um sistema representado no espaço dos estados e o correspondente diagrama de blocos da figura. a) Determine o modelo na forma

Bu Ax

x&= + , y = Cx, com x=

[

x₁ x₂ x₃

]

T.

b) Determine a sua função de transferência

Y(s)/U(s).

c) Analise a estabilidade e a controlabilidade deste

sistema. u −2 +1 −1 y + + +

∫

1 2 + + x1

∫

3 + x2

∫

2 4 + + x3

33. Considere um sistema representado no espaço dos estados e o correspondente diagrama de blocos da figura.

a) Determine o modelo na forma x&

( )

t =Ax

( )

t +Bu

( )

t , y(t) = Cx(t), com x(t) = [x1 x2 x3]T. b) Analise a estabilidade, a controlabilidade e a observabilidade deste sistema.

c) Determine a sua função de transferência Y(s)/U(s).

d) Determine a resposta y(t) para uma entrada em degrau unitário u(t), t ≥ 0. Considere as condições iniciais nulas.

34. Considere o sistema descrito pory&&+6.y&+5.y=2.u

a) Para este sistema estabeleça uma representação no espaço de estados na forma canónica controlável. b) Obtenha Φ(t) = eA.t

, a matriz de transição de estados nos tempos.

c) Determine a sua função de transferência

( )

_{( )}

s U s Y . ´

35. Considere o sistema descrito por

( )

_{( )}

₍

(

₎₍

)

₎

3 1 2 2 + + + = s s s . s U s Y

a) Estabeleça uma representação no espaço de estados na forma canónica observável, para este sistema. b) Recorrendo às matrizes Q e R indique se a representação do sistema é controlável e se é observável. c) Represente o sistema na forma diagonal.

36. Considere o circuito representado na figura seguinte:

C R v_i i L R C + -v₁ v₂

a) Obtenha a sua representação no espaço de estados, considerando: 2 3 2 2 1 1 v ,x v ,x i,y v x = = = = e u=vi. u −2 −3 −1 y + +

∫

1 1 + + x1

∫

2 + x2

∫

2 + + x3

b) Obtenha a Função de Transferência V2(s)/ Vi(s) a partir da representação no espaço de estados, tomando 1/RC

= 3, 1/C = 1 e 1/L = 2 (Ver Nota).

c) Represente o sistema na forma diagonal e esboce o correspondente diagrama de blocos (Ver Nota). Nota: Caso não tenha resolvido a alínea 2.a) considere:

⎩ ⎨ ⎧ = + = x C B x A x y u & onde ,

[

0 2 0

]

0 0 6 , 0 1 1 2 6 0 2 0 6 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = B C A .

37. Considere o circuito representado na figura.

a) Determine uma representação no espaço de estados com sentido físico com R=10, L1 = 1 e L2 = 2. b) Calcule

e

At.

c) Determine a função de transferência do sistema. d) Analise a Controlabilidade e Observabilidade.

38. Considere um sistema representado na figura.

Determine o modelo na forma x&=Ax+Bu, y = Cx.

39. Considere um sistema representado na figura.

Determine o modelo na forma x&=Ax+Bu, y = Cx.

L3 v2 + − y R2 C2 R3 L1 R1 u + − i1 i3 L2 v2 + − y R2 C2 C1 L1 R1 u + − i1 i2 v1

40. Considere o sistema de controlo de velocidade de motor DC através da armadura representado na figura

(eb = kb dθ/dt e T = ki i) com função de transferência

( )

_{( ) (}

₎₍

₎

i b i k sk B sJ R sL s k s V s Θ + + + = . Sabendo que R = 8 Ω, L = 0.8 H, J = 1 kgm2

, B = 1 Nmrad−1s, ki = 0.5 NmA−1 e kb = 0.5 Vrad−1s determine:

a) A representação do sistema no espaço dos estados, na forma canónica observável b) O diagrama de blocos da representação da alínea anterior

c) A controlabilidade e a observabilidade recorrendo às matrizes Q e R.

41. Considere o circuito representado na figura seguinte:

q_i h_{1 q} 1 A1 R1 h₂ q_o A₂ R₂

a) Considerando que um circuito hidráulico, pode ser descrito pelas seguintes equações de estado (supondo o

fluxo laminar): ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⋅ = saída entrada saída q q dt dh A R h q

obtenha a sua representação no espaço de estados, considerando: i o u q q y h x h x₁ = ₁, ₂ = ₂ , = e = .

b) Obtenha a Função de Transferência Qo(s)/Qi(s) a partir da representação no espaço de estados, tomando R1 =

1/2, R2 = 1, A1 = 1, A2 = 2 (Ver Nota).

c) Recorrendo às matrizes Q e R indique se a representação do sistema é controlável e se é observável (ver

Nota).

d) Represente o sistema na forma diagonal (ver Nota). Nota: Caso não tenha resolvido a alínea a) considere:

⎩ ⎨ ⎧ = + = x C B x A x y u & onde ,

[

0 2

]

0 2 , 1 2 0 4 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = B C A + eb − T, θ J B L R + v − i

42. Considere o circuito da figura, com entrada u(t) e saída y(t).

Apresente uma representação em espaço de estados deste sistema, adoptando as variáveis com “sentido físico”

[

]

T

L

C i

v

=

x e x& =

[

v&_C i&_L

]

T. Identifique claramente as matrizes da representação usando a convenção adoptada nesta disciplina.

L vC + − y(t) R2 C R3 R1 u(t) + − iL

Soluções

1. 1. a) ) 4 )( 2 ( 8 6 2 4 6 0 ) ( 2_{+ + = + +} = − + = − = − ⇔ = λ λ λ λ λ λ λ λ λ A I A I Av v v Valores próprios ⎩ ⎨ ⎧ − = − = 4 2 2 1 λ λ Vectores próprios: • Para λ₁=−2 vem: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⇒ = ⇔ = − 1 1 0 4 4x₁ x₂ x₁ x₂ v₁ • Para λ₂=−4 vem: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⇒ = ⇔ = − 1 2 2 0 4 2x1 x2 x1 x2 v2 1. b) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 2 4 6 v λ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − (1,1) (-2,-2) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 2 2 1 0 2 4 6 (1,2) (2,-2) 2 2 1 2 4 4 8 1 2 0 2 4 6 v λ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − (2,1) (-8,-4) 2. a) A 2. b) B 3. B 4. C

5. A 6. B 7. B

[

]

[ ]

0 0 1 2 0 0 2 1 3 = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − = D C B A Solução 1

[

]

[

]

) 2 )( 1 ( 2 2 3 2 0 1 2 3 2 0 3 2 1 0 1 ) ( ) ( 3 2 1 2 3 1 2 1 3 ) ( 1 det 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 + + = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − − − − s s s s s s s s s s U s Y s s s s s s s a a b b b a b a a a b b b a b a b a b a s s U s Y A I D B A I C

Solução 2 (sem cálculo da inversa)

[

]

) 2 )( 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( 0 ) 2 ( 1 0 ) 3 ( ) ( ) ( 2 3 0 1 2 det 0 0 1 2 2 det 1 0 0 2 det ) 3 ( 2 1 3 det 0 0 1 2 2 0 1 3 det det det ) ( ) ( 2 + + = + + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = s s s s s s s U s Y s s s s s s s s s s s s U s Y A I D C B A I 8. a) C 8. b) C

[

]

28 12 152 31 28 12 ) 52 5 ( 2 15 1 21 ) 3 ( ) ( ) ( 28 12 7 5 9 1 det 2 0 5 3 1 det 1 0 7 3 9 det ) 3 ( 9 1 1 3 det 0 7 5 3 9 1 2 1 3 det det det ) ( ) ( 2 2 2 + + + = + + − − ⋅ − ⋅ − ⋅ + = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = s s s s s s s s U s Y s s s s s s s s s s s s U s Y A I D C B A I

4

2

+

6

-+ 1 x 1 x& -2 x& x₂ y u 9. 9. a)

Resolução através do Teorema de Cayley-Hamilton:

Valores próprios ⎩ ⎨ ⎧ − = − = 4 2 2 1 λ λ

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − + = − − − − − − t t t t t t e e e e e e 4 2 1 4 2 0 1 0 4 1 0 2 2 1 2 ) 4 ( ) 2 ( α α α α α α logo

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = + = − t − t − t − t −₋t_{t −}−_tt −₋t_{t −}−_tt t e e e e e e e e e e e e e _{2 4 2 4} 4 2 4 2 4 2 4 2 1 0 2 2 2 2 0 2 4 6 2 1 1 0 0 1 2 A I A _{α α}

Resolução através da Transformada de Laplace:

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + + − + − + + + + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − − − 4 1 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 4 2 2 1 6 2 4 ) 4 )( 2 ( 1 2 4 6 1 1 s s s s s s s s s s s s s s sI A

(

)

{

}

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − + − = − = − − −_{− −}− −_{− −}− t t t t t t t t t e e e e e e e e s L e _{2 4 2 4} 4 2 4 2 1 1 2 2 2 2 A I A 9. b)

(

)

[ ]

) 4 )( 2 ( 4 4 2 2 2 1 0 4 1 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 4 2 2 1 0 1 ) ( ) ( 1 + + = + − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + + − + − + + + + − = − = − s s s s s s s s s s s s s s U s Y _{C I A B} 9. c) 2 1 1 6X 4X sX =− + 1 2 U 2 X sX = −

[

]

) 4 )( 2 ( 4 4 8 ) 6 ( ) 2 ( 4 ) 6 ( 2 4 ) 6 ( 1 1 1 1 1 2 1 2 1 + + = = ⇔ = + + ⇔ − = + ↓ = ⎩ ⎨ ⎧ = − = + s s U Y U X U X s s X U s X s Y X sX X U X X s

10. C variáveis auxiliares: x R L x R v x i x L v & & 2 2 1 1 1 + = + = =

Um elemento armazenador de energia (L).

u x R x L R R x L x L R R x R u v i R u _⎟⎟ =− + ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ + + = ⇔ + = ₁ 2 1 2 1 1 1 1

1 & & 1 &

11.a) C

Dois elementos armazenadores de energia (L e C).

2 2 2 1 2 1 Rx y Rx x L x x x C i = + = + = & & 11.b) A

[

]

1 1

₍

₁

₎

0 1 det 1 1 1 det 0 0 0 1 1 1 det det det ) ( ) ( 2 2 _{+ +} = + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡_{− +} − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = RCs LCs LC LC R LC s L R s RL R s L C L R s L C s RL R s L C C s s s s U s Y A I D C B A I 12.a) B 3 2 2 1 3 2 1 2 2 1 1 R R x L x R R v i x L x v + + = + = + = & &

Dois elementos armazenadores de energia (L e C).

u x R R R x L R R R x L x x R x L R R R x R R R u v x i R u x C x + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⇔ + + + + + + = ⇔ + + = = 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 ) ( & & & &

12.b) D

(

)

(

)

₍

(

)

₎

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

₍

(

)

₎

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

_D D D D A I D B A I C + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − Δ + = + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + + Δ + + = = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + + + + + + Δ + + = = + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − Δ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + + + + + + + = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − C R R R R R R R L R R R R R R R LC R R R R R LC R R R R R R L R R s R R R R R L R R R R R C R R R L R R R s LC R R R R R R L R R s L C R R R L R R R s R R R R R LC R R R s G s G s L C R R R L R R R s R R R Cs R R R LCs LC R R R s L C R R R L R R R s LC s R R R L R R R s R R R L R R R s L C s s a a b b b a b a a a b b b a b a b a b a s s G s G 3 2 1 2 1 3 2 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ) ( 0 1 0 1 1 0 0 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 det 1 ) ( ) ( ) (

Obrigatoriamente outra solução. A primeira linha indica que só poderia ser A ou D. Para o caso da solução A, a segunda linha não se verifica, uma vez que D é diferente de zero nessa linha.

(

)

(

)

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + + + + + Δ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + Δ + = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + Δ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = 3 2 1 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 2 3 2 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 2 1 2 1 ) ( ) ( 0 0 1 0 R R R C R R R R R R Cs R s R R LC R R R s G s G R R R R R R R R Cs R s R R LC R R R R R R R R R Cs R R R LCs R R R R R D

13. 2 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x x x C x x R x L x x x L x R u = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = + − = + − − = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + + = & & & & & &

[

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 2 1 3 2 1 2 2 2 1 1 1 3 2 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x & & & 14. 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 ) 5 . 14 ( ) 4 . 14 ( ) 3 . 14 ( ) 2 . 14 ( ) 1 . 14 ( v dt di L y i dt dv C i i i dt dv C i dt di L v v dt di L v dt di L v = = + + = + = = + = =

Das equações 14.1, 14.2 e 14.3 resulta:

k i L i L i L dt di L dt di L dt di L = + ⇔ 3 3 = 2 2+ 11+ 1 1 2 2 3

3 , onde k depende das condições iniciais.

Se i₁(0)=i₂(0)=i₃(0)=0, i.e. K=0, vem: → + = ₁ 3 1 2 3 2 3 ) 6 . 14 ( i L L i L L i i3 é linearmente dependente de i1 e i2. Logo: 3 1 1 4 1 4 2 2 3 1 1 ) 4 . 14 ( ) 2 . 14 ( ) 1 . 14 ( x x C x x x L x x L x + = + = = & & & u(t) _C R1 y(t) + -L1 L2 R2 x1 x3 x2 L3 i3 i C2 L2 v2=x2 C1 L1 v1=x1 i2=x4 _i1=x3

Das equações 14.5 e 14.6 vem: u C x L L L x C L L x i i i L L i L L x C 2 4 3 3 2 3 2 3 1 2 2 2 3 2 1 3 1 2 2 1 ) 7 . 14 ( =− − + + + − − − = & &

Resultando a representação por variáveis de estado:

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 4 3 2 1 2 4 3 2 1 2 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 1 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 ) 2 . 14 ( ) 1 . 14 ( ) 7 . 14 ( ) 4 . 14 ( x x x x y u C x x x x L L L C L L L C L L C C x x x x & & & & 15. D

(

)

{

}

(

)

{ }

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = − − = − − − − − − − − − − − − t t t t t t e e e e s L s s L L s L e s s s s s s s s s s s s L e 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 2 1 3 1 0 3 1 2 1 2 1 3 1 0 3 1 3 1 0 2 ) 2 )( 3 ( 1 2 1 0 3 A A A I A I 16. a) B 16. b) B 17. B

Pela análise das equações do sistema (forma canónica controlável) conclui-se que o seu polinómio característico é s3+5s2+11s+15, com raízes (valores próprios de A) λ = −1 + j2, λ = −1 − j2 e λ = −3. Uma representação diagonal deste sistema terá que ter uma matriz de sistema com uma diagonal consistindo do valor -3 e do

bloco _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 2 2 1

Para uma resolução por extenso seria necessário calcular os vectores próprios para definir a matriz de mudança de base. Um possível conjunto de vectores próprios seria v1=

[

1 −1+2j −3−4j

]

T,

[

_{j j}

]

T 4 3 2 1 1 2 = − − − + v e v3 =

[

1 −3 9

]

T.

18. a) A 18. b) D 2 12 4 2 1 3 ) ( ) ( + = + = s s s U s Y 19. u u u y y y s s U s s s Y 3 1 0 2 3 ) 3 )( ( ) 2 3 )( ( 2 + + = + + + = + + & && & && a1 a2 b0 b1 b2 19. a) F.C.C. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ u b x x b a b b a b y u x x a a x x T 0 2 1 0 1 1 0 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 0 & &

[ ]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 0 3 2 1 0 . 0 0 . 3 1 0 . 2 3 1 0 3 2 1 0 x x y u x x x x u x x y u x x x x T & & & & 19. b) F.C.O.

[ ]

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ u b x x y u b a b b a b x x a a x x 0 2 1 0 2 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 & &

[ ]

_⎪⎪

[ ]

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 3 1 0 2 1 3 . 0 0 1 0 . 2 3 0 . 3 1 0 2 1 3 x x y u x x x x u x x y u x x x x & & & & b0=0 -+ x&2 x2 x&1 x1 y u b1=1 b2=3 + + + + a1=3 a2=2 + +

20. 20. a) B 20. b) C 20. c) A 20. d) D

A entrada não afecta x2 (controlabilidade). A saída não é afectada por x1 (observabilidade). 21.

21. a) A (representação diagonal)

21. b) A

Representação diagonal, sem elementos da diagonal ou blocos de Jordan repetidos. Como u afecta todas as últimas linhas de cada bloco, o sistema é controlável. Pelo método geral:

[

]

0 ) 3 )( 9 ( 7 ) det( 7 9 3 1 7 9 3 1 3 2 2 3 ≠ − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = = Q Q AB AB B Q 22. 22. a) C 22. b) C (ver justificação da 16.b)

[

]

0 ) 3 )( 2 ( 12 ) det( 12 2 3 1 12 2 3 1 4 0 0 2 ≠ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = Q Q AB AB B Q -1 x 1 x& 2 x& x2 y u b2=3 b1=1 b0=0 + a2=2 a1=3 -+ + + +

23. 23. a) A

[

]

0 ) 3 )( 4 ( 18 ) det( 18 4 3 1 18 4 3 1 4 6 1 1 ≠ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = Q Q AB AB B Q 23. b) B

[

]

[

]

0 ) det( 2 1 4 2 2 4 4 6 1 1 1 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = R R CA CA C R 23. c)

[

]

1 1 ) 2 )( 1 ( 1 ) 2 )( 1 ( 6 3 ) 1 ( 2 ) 4 ( 6 ) ( ) ( 2 3 3 6 1 1 det 1 3 4 1 1 det 2 4 6 1 1 det 0 1 2 3 4 6 1 1 1 det det det ) ( ) ( 2 + = + + + = + + + ⋅ − + ⋅ + − = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − − − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = s s s s s s s s s U s Y s s s s s s s s s s s U s Y A I D C B A I Cancelamento de pólos! 24. 24. a) B

Representação diagonal, de um sistema com n pólos diferentes, onde a entrada u não afecta directamente todas as variáveis de estado.

24. b) B

Representação diagonal, de um sistema com n pólos diferentes, onde a saída y não é influenciada por todas as variáveis de estado.

24. c) A

Uma vez que estamos perante uma representação diagonal, vê-se imediatamente pela matriz do sistema que todos os pólos são negativos. 24. d) A U s Y U s X U X sX X Y 4 6 4 3 3 4 2 1 1 1 1 + = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = ⇔ + − = =

25. 25. a) A U s Y U s X U X sX X Y 2 1 2 1 2 1 1 1 1 − = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇔ + = = Cancelamento de pólos! 25. b) B

Pode concluir-se, mesmo sem a análise da matriz de observabilidade, que o sistema não é observável pois a saída só depende directamente da variável x1, que por sua vez não é afectada por nenhuma das outras variáveis. Logo

não seria possível estimar o valor das outras variáveis a partir da saída. Controlabilidade:

[

]

(

1 5 5 ( 1)

)

0 . 1 ) det( 5 1 0 5 1 0 4 2 1 5 5 4 1 1 2 5 2 1 0 3 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 5 2 1 0 3 1 0 0 2 2 2 ≠ − ⋅ − ⋅ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = Q Q AAB B A AB B A AB B Q 26. 26. a)

(

)

{

}

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − − − = Φ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + + − + − + + − + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + = − = Φ + + = + + = − → ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − − = = Φ − − − − − − − − − − − t t t t t t t t t e e e e e e e e t s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s L e t 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 1 3 2 6 6 2 3 ) ( 3 3 2 2 3 1 2 1 3 6 2 6 3 2 2 3 1 6 5 ) 3 )( 2 ( 1 ) ( ) 3 )( 2 ( 6 5 5 1 6 ) ( A I A I A I A I A 26. b)

s

s

U

s

U

s

x

s

s

X

1

)

(

)

(

)

(

)

0

(

)

(

)

(

1 1

=

−

+

−

=

_I

_A

−

_I

_A

−

_B

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

+

+

+

+

−

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

+

+

=

−

−

3

1

2

1

3

2

2

3

1

)

3

)(

2

(

1

)

3

)(

2

(

6

1

.

1

0

1

6

5

)

3

)(

2

(

1

)

(

)

(

1

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

I

A

B

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

−

−

−

=

−₋t_{t −}−_tt −₋t_t −₋t_{t −} −_t t _{− t}−t

e

e

e

e

x

x

e

e

e

e

e

e

e

e

t

x

_{2 3} 3 2 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2

2

3

1

)

0

(

)

0

(

3

2

6

6

2

3

)

(

27. 27. a) B 27. b) B 28. 28. a) B

Temos um pólo (λ1) com multiplicidade algébrica superior a 1 (2) que não está representado por um bloco de

Jordan, logo é conveniente fazer a análise da matriz Q.

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ − λ − − λ λ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ − λ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ − λ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ − λ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ = = 2 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 3 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1 1 3 1 1 2 3 3 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Q AAB B A AB B A AB B Q

As duas primeiras linhas da matriz Q são linearmente dependentes logo R(Q)<3. O sistema não é controlável.

28. b) A 29. 29. a) C 29. b) B

(

)

( 1)( 2) 2 1 3 det det _⎥= + + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − s s s s sI A

Hipóteses A e C excluídas. Calcular base de vectores próprios T tal que:

[

]

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − = ⇔ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − ⇔ = − ⋅ − − = ⇔ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − ⇔ = − ⋅ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = − 1 2 1 1 2 2 1 3 2 ) 2 ( 2 1 2 1 3 1 ) 1 ( 2 0 0 1 ˆ 21 22 22 21 1 11 12 12 11 1 2 1 1 T 0 v A I 0 v A I v v T A AT T v v v v v v v v