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CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO

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Academic year: 2021

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CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS

EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO

Teorema (Critérios da derivada primeira para determinação dos extremos) Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (𝑎, 𝑏), exceto possivelmente num ponto 𝑐.

(i) Se 𝑓' 𝑥 > 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓' 𝑥 < 0 para todo 𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um máximo relativo em 𝑐.

(ii) Se 𝑓' 𝑥 < 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓' 𝑥 > 0 para todo 𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um mínimo relativo em 𝑐.

Exemplos:

(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e

mínimos relativos da função 𝑓 𝑥 = 𝑥!− 7𝑥 + 6.

Esboço do gráfico desta função:

slide 24 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(2)

(ii) Seja 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 2) !− 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 5 (!!!) ! , 𝑠𝑒 𝑥 > 5 slide 25 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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slide 26 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(3)

Teorema (Critério da derivada 2a para determinação de extremos de uma função)

Sejam 𝑓 uma função derivável num intervalo (𝑎, 𝑏) e 𝑐 um ponto crítico de 𝑓 neste intervalo, isto é, 𝑓’(𝑐) = 0, com 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. Se f admite a derivada 𝑓’’ em (𝑎, 𝑏), temos:

(i) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 < 0, 𝑓 tem um valor máximo relativo em 𝑐.

(ii) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 > 0, 𝑓 tem um valor mínimo relativo em 𝑐.

Exemplos:

Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada segunda. (i) 𝑓 𝑥 = 18𝑥 + 3𝑥!− 4𝑥!. (ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)!. (iii) 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 3𝑥!+! !𝑥 !.

slide 27 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(4)

CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO

O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva. Na figura acima observamos que dado um ponto qualquer 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏, em pontos próximos de 𝑐 o gráfico de 𝑓 está acima da tangente à curva no ponto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)). Dizemos que a cura tem concavidade voltada para cima no intervalo (𝑎, 𝑏).

Como 𝑓’(𝑥) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se que podemos

descrever essa mesma situação afirmando que no intervalo (𝑎, 𝑏) a derivada 𝑓’(𝑥) é crescente. Geometricamente isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita.

slide 28 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(5)

Já na figura acima vemos que a tangente gira no sentido horário quando nos

deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada 𝑓’(𝑥) é decrescente em (𝑎, 𝑏).

DEFINIÇÃO:

(i) Uma função 𝑓 é dita côncava para cima no intervalo (𝑎, 𝑏), se 𝑓’(𝑥) é crescente

neste intervalo.

(ii) Uma função 𝑓 é côncava para baixo no intervalo (𝑎, 𝑏), se 𝑓’(𝑥) for decrescente

neste intervalo.

PROPOSIÇÃO:

(i) Se 𝑓’’(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é côncava para cima em (𝑎, 𝑏).

(ii) Se 𝑓’’ 𝑥 < 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é côncava para baixo em (𝑎, 𝑏).

DEFINIÇÃO:

Um ponto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐) do gráfico de uma função contínua 𝑓 é chamado um ponto de inflexão, se existe um intervalo (𝑎, 𝑏) contendo 𝑐, tal que uma das seguintes situações ocorra:

(i) 𝑓 é côncava para cima em (𝑎, 𝑐) e côncava para baixo em (𝑐, 𝑏)

(ii) 𝑓 é côncava para baixo em (𝑎, 𝑐) e côncava para cima em (𝑐, 𝑏).

slide 29 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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No gráfico temos:

- os pontos de abcissas 𝑐!, 𝑐!, 𝑐!, 𝑐! à são pontos de inflexão.

- Vale observar que 𝑐!, 𝑐! são pontos de extremos de f e que f não é derivável nestes

pontos. Nos pontos 𝑐!, 𝑐! existem derivadas 𝑓’(𝑐!) 𝑒 𝑓’(𝑐!). Nos correspondentes

pontos (𝑐!, 𝑓 𝑐! ), (𝑐!, 𝑓 𝑐!) , a reta tangente corta o gráfico de f. slide 30 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(7)

EXEMPLOS:

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo. (i) 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)! slide 31 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(8)

(ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥!− 𝑥! slide 32 Capítulo 5 – Título do Capítulo

(9)

(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑥!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 1 1 − (𝑥 − 1)!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 1 ATIVIDADES: 1) Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem: a) 𝑦 = 3𝑥 + 4 b) 𝑦 = 𝑥!− 3𝑥 + 8 c) 𝑦 = 𝑥!+ 4𝑥! d) 𝑦 = cos 𝑥 e) 𝑦 = 𝑒!− 𝑥

2) Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico. a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) 𝑦 = 3𝑥!+ 6𝑥 + 7 c) 𝑦 = 𝑥!+ 2𝑥!− 4𝑥 + 2 d) 𝑦 = !!!!! e) 𝑦 = 2! slide 33 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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3) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções: a) 𝑦 = 4𝑥!− 8𝑥! b) 𝑦 = 3𝑥!+ 6𝑥 + 1 c) 𝑦 = !!!!!! d) 𝑦 = !!𝑥!+! !𝑥 !− 6𝑥 + 5 e) 𝑦 = 𝑥𝑒!

4) Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo. a) 𝑦 = −𝑥! + 5𝑥! − 6𝑥 b) 𝑦 = 3𝑥!− 10𝑥!− 12𝑥!+ 10𝑥 + 9 c) 𝑦 = !!!! d) 𝑦 = 𝑥!𝑒! e) 𝑦 = (!!!)!!!!!

Referências

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