CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO

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CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS

EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO

Teorema (Critérios da derivada primeira para determinação dos extremos) Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo fechado [𝑎, 𝑏] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (𝑎, 𝑏), exceto possivelmente num ponto 𝑐.

(i) Se 𝑓' 𝑥 > 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓' 𝑥 < 0 para todo 𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um máximo relativo em 𝑐.

(ii) Se 𝑓' 𝑥 < 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓' 𝑥 > 0 para todo 𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um mínimo relativo em 𝑐.

Exemplos:

(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e

mínimos relativos da função 𝑓 𝑥 = 𝑥!_{− 7𝑥 + 6.}

Esboço do gráfico desta função:

slide 24 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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(ii) Seja 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 2) !_{− 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 5} (!!!) ! , 𝑠𝑒 𝑥 > 5 slide 25 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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Teorema (Critério da derivada 2a_{para determinação de extremos de uma função)}

Sejam 𝑓 uma função derivável num intervalo (𝑎, 𝑏) e 𝑐 um ponto crítico de 𝑓 neste intervalo, isto é, 𝑓’(𝑐) = 0, com 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. Se f admite a derivada 𝑓’’ em (𝑎, 𝑏), temos:

(i) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 < 0, 𝑓 tem um valor máximo relativo em 𝑐.

(ii) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 > 0, 𝑓 tem um valor mínimo relativo em 𝑐.

Exemplos:

Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada segunda. (i) 𝑓 𝑥 = 18𝑥 + 3𝑥!_{− 4𝑥}!_. (ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)!_. (iii) 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 3𝑥!₊! !𝑥 !_.

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CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO

O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva. Na figura acima observamos que dado um ponto qualquer 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏, em pontos próximos de 𝑐 o gráfico de 𝑓 está acima da tangente à curva no ponto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)). Dizemos que a cura tem concavidade voltada para cima no intervalo (𝑎, 𝑏).

Como 𝑓’(𝑥) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se que podemos

descrever essa mesma situação afirmando que no intervalo (𝑎, 𝑏) a derivada 𝑓’(𝑥) é crescente. Geometricamente isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita.

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Já na figura acima vemos que a tangente gira no sentido horário quando nos

deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada 𝑓’(𝑥) é decrescente em (𝑎, 𝑏).

DEFINIÇÃO:

(i) Uma função 𝑓 é dita côncava para cima no intervalo (𝑎, 𝑏), se 𝑓’(𝑥) é crescente

neste intervalo.

(ii) Uma função 𝑓 é côncava para baixo no intervalo (𝑎, 𝑏), se 𝑓’(𝑥) for decrescente

neste intervalo.

PROPOSIÇÃO:

(i) Se 𝑓’’(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é côncava para cima em (𝑎, 𝑏).

(ii) Se 𝑓’’ 𝑥 < 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), então 𝑓 é côncava para baixo em (𝑎, 𝑏).

DEFINIÇÃO:

Um ponto 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐) do gráfico de uma função contínua 𝑓 é chamado um ponto de inflexão, se existe um intervalo (𝑎, 𝑏) contendo 𝑐, tal que uma das seguintes situações ocorra:

(i) 𝑓 é côncava para cima em (𝑎, 𝑐) e côncava para baixo em (𝑐, 𝑏)

(ii) 𝑓 é côncava para baixo em (𝑎, 𝑐) e côncava para cima em (𝑐, 𝑏).

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No gráfico temos:

- os pontos de abcissas 𝑐_!, 𝑐_!, 𝑐_!, 𝑐_! à são pontos de inflexão.

- Vale observar que 𝑐_!, 𝑐_! são pontos de extremos de f e que f não é derivável nestes

pontos. Nos pontos 𝑐!, 𝑐! existem derivadas 𝑓’(𝑐!) 𝑒 𝑓’(𝑐!). Nos correspondentes

pontos (𝑐_!, 𝑓 𝑐_! ), (𝑐_!, 𝑓 𝑐_!) , a reta tangente corta o gráfico de f. slide 30 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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EXEMPLOS:

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo. (i) 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)! slide 31 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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(ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥!_{− 𝑥}! slide 32 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑥!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 1 1 − (𝑥 − 1)!_{, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 1} ATIVIDADES: 1) Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem: a) 𝑦 = 3𝑥 + 4 b) 𝑦 = 𝑥!_{− 3𝑥 + 8} c) 𝑦 = 𝑥!_{+ 4𝑥}! d) 𝑦 = cos 𝑥 e) 𝑦 = 𝑒!_{− 𝑥}

2) Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico. a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) 𝑦 = 3𝑥!_{+ 6𝑥 + 7} c) 𝑦 = 𝑥!_{+ 2𝑥}!_{− 4𝑥 + 2} d) 𝑦 = _!!!!! e) 𝑦 = 2! slide 33 Capítulo 5 – Título do Capítulo

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3) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções: a) 𝑦 = 4𝑥!_{− 8𝑥}! b) 𝑦 = 3𝑥!_{+ 6𝑥 + 1} c) 𝑦 = !!!_!!! d) 𝑦 = !_!𝑥!₊! !𝑥 !_{− 6𝑥 + 5} e) 𝑦 = 𝑥𝑒!

4) Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo. a) 𝑦 = −𝑥! _{+ 5𝑥}! _{− 6𝑥} b) 𝑦 = 3𝑥!_{− 10𝑥}!_{− 12𝑥}!_{+ 10𝑥 + 9} c) 𝑦 = _!!!! d) 𝑦 = 𝑥!_𝑒! e) 𝑦 = _(!!!)!!!!_!