INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA: POSSIBILIDADE DE DESENVOLVER CONCEITOS PRÉ-ALGÉBRICOS NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Ieda Maria Giongo – Universidade do Vale do Taquari – igiongo@univates.br Marli Teresinha Quartieri - Universidade do Vale do Taquari -– mtquartieri@univates.br Márcia Jussara Hepp Rehfeldt - Universidade do Vale do Taquari - mrehfeldt@univates.br Resumo: Este relato de experiência pretende socializar resultados decorrentes de uma das ações que está sendo desenvolvida com alunos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental em uma escola de rede pública. A referida ação tem como objetivo investigar conjecturas elaboradas e/ou estratégias utilizadas por alunos desse nível de escolaridade ao se depararem com atividades envolvendo sequências matemáticas e a metodologia da Investigação Matemática. Destaca-se que os estudos em relação à Investigação Matemática estão apoiados em Ponte, Brocardo, Oliveira (2003) e seus seguidores. Os dados foram coletados por meio de observação, gravações em áudio e fotografias, folhas de respostas dos pequenos grupos. Os resultados demonstram que, inicialmente, os discentes tinham dificuldades de trabalhar em grupo, bem como pensar em mais de uma conjectura para a mesma situação. Porém, com o decorrer dos encontros envolvendo atividades de investigação matemática, tais dificuldades foram supridas. Enfatiza-se que utilizaram diversas estratégias para resolver as atividades, como o desenho e o uso do material concreto. Além disso, elaboraram diferentes conjecturas, demonstrando a eficácia do uso dessas atividades no nível de ensino em questão.
Palavras-chave: Anos Iniciais. Investigação Matemática. Sequências matemáticas.
INTRODUÇÃO
O trabalho socializado neste relato de experiência tem origem em uma pesquisa que está sendo desenvolvida, em uma Instituição de Ensino, no interior do Rio Grande do Sul. Tal pesquisa, intitulada “Ensino-aprendizagem-avaliação em Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental: atividades exploratório-investigativas e formação docente”, foi aprovada e conta com apoio financeiro do edital Chamada MCTI/CNPq Nº 01/2016 UNIVERSAL. Um dos objetivos específicos do projeto, do qual emergiu este trabalho, é “planejar, desenvolver e avaliar com os docentes, atividades exploratório investigativas, com ênfase na Geometria e Álgebra, para posterior exploração com os estudantes”.
Assim, uma das ações para alcançar o referido objetivo específico foi criar um grupo de estudos envolvendo professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública e pesquisadores/colaboradores desta pesquisa, cujo foco é problematizar atividades usando a Investigação Matemática e conceitos relacionados à pré-álgebra. A Investigação Matemática segue ideias de Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), em que são usadas situações abertas, e os alunos, em grupos, são convidados a elaborar conjecturas e usar estratégias
2019. In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:
diferentes para a solução de questões abertas, bem como a socializar tais resoluções. Quanto aos conceitos de pré-algebra, estes foram escolhidos pelos professores da Escola por terem dificuldades em como ensinar tais conteúdos. Cumpre lembrar que a Base Nacional Curricular Comum (BNCC) brasileira expressa que, desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, deve-se proporcionar atividades para “generalização de padrões e propriedades da igualdade. No entanto, nessa fase, não se propõe o uso de letras para expressar regularidades, por mais simples que sejam” (BRASIL, 2017, p. 266).
O grupo, formado por quatro professores da Escola Básica, quatro pesquisadoras, bolsistas de Iniciação Científica, mestrandos e doutorandos da Instituição proponente, tem se reunido para estudos teóricos metodológicos e elaboração de atividades a serem exploradas nas turmas dos professores participantes do grupo. Em 2018, elaboraram-se diversas atividades envolvendo pré-algebra para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, as quais foram exploradas nas turmas pelos pesquisadores em conjunto com a professora titular de cada delas. Finda a exploração, nas reuniões do grupo, discutiram-se os resultados emergentes. Este trabalho pretende socializar resultados decorrentes de duas atividades (trata-se de um recorte), as quais foram exploradas com 1º, 2º e 3º Anos do Ensino Fundamental. REFERENCIAL TEÓRICO
Pesquisas como as de Trindade (2008), Bandeira e Nehring (2011), entre outras, têm problematizado o uso da metodologia da Investigação Matemática no Ensino Fundamental com o intuito de desenvolver a criatividade, argumentação, escrita e autonomia dos alunos. De acordo com Ponte, Brocardo, Oliveira (2009, p. 23), em atividades investigativas, “o aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização das provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com seus colegas e professor”. Como complemento, Hermann et al (2009, p. 608) mencionam que
um trabalho investigativo não precisa, necessariamente, partir de uma questão nova, nunca explorada antes, trata-se de um processo de descoberta para o aluno. Descobrir conceitos e reinventar a matemática dentro da sala de aula. Nesse processo os alunos podem constituir as suas próprias estratégias, a sua matemática, sentindo-se construtor de seu próprio conhecimento.
Aliados à ideia dos autores anteriores, Ponte, Brocardo, Oliveira (2009) comentam que, por se tratar de situações abertas, estas podem permitir a elaboração de estratégias, generalização de resultados, estabelecimento de relações entre conceitos matemáticos, que proporcionam “múltiplas oportunidades de trabalho criativo, significativo para quem o empreende”. De acordo com Trindade (2008, p. 154), “uma investigação é como uma viagem
ao desconhecido, a estrada é o objetivo e não a chegada”. Ademais, cabe ao professor, mediar as discussões para que o grupo de alunos valide suas conjecturas matematicamente.
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), uma atividade de investigação se desenvolve, geralmente, em três fases: introdução da tarefa (docente a propõe oralmente ou por escrito); realização da investigação (realizada em pequenos grupos); discussão dos resultados (socialização com a turma das resoluções). No decorrer da primeira e da segunda fase, o professor deve ser um instigador, questionador. Na terceira, mediar a socialização.
O docente, ao questionar o aluno, permite a elaboração de conjecturas e generalizações, que pode favorecer, em particular, a formação do pensamento algébrico. Para Borralho e Barbosa (2005, p. 1),
o pensamento algébrico diz respeito à simbolização (representar e analisar situações matemáticas, usando símbolos algébricos), ao estudo de estruturas (compreender relações e funções) e à modelação. Implica conhecer, compreender e usar os instrumentos simbólicos para representar o problema matematicamente, aplicar procedimentos formais.
Nessa perspectiva, a integração de tarefas com investigação de padrões assume um papel importante na abordagem da álgebra que pode/deve ser desenvolvida desde os primeiros anos de escolaridade. Em efeito,
O pensamento algébrico é favorecido quando, desde as séries iniciais do ensino fundamental, se valoriza as diferentes formas de representação de ideias e relações matemáticas, através de recursos diversos como símbolos, desenhos, material manipulativo e atividades de agrupar, classificar, ordenar que facilitem os trabalhos com os padrões (OLIVEIRA, LAUDARES, 2015, p. 5)
Estas ideias também estão expressas na Base Nacional Comum Curricular (BNCC), ou seja, “é imprescindível que algumas dimensões do trabalho com a álgebra estejam presentes nos processos de ensino e aprendizagem” (BRASIL, 2017, p. 268) desde os Anos Iniciais. Luna e Souza (2013) relatam que já existem muitas pesquisas defendendo que álgebra deveria ser ensinada na Educação Básica. Entretanto, para os referidos autores, “ainda são poucos os estudos com foco no ensino de álgebra, enfatizando a importância da introdução desse estudo desde os primeiros anos de escolaridade” (LUNA, SOUZA, 2013, p. 828). Os autores comentam a importância de se oportunizarem situações utilizando conhecimentos algébricos desde os Anos Iniciais, “até então denominados de pré-álgebra, ampliando-os paulatinamente no decorrer da escolaridade, para uma compreensão algébrica mais estrutural” (LUNA, SOUZA, 2013, p. 832).
A elaboração das atividades a seguir descritas ocorreram nas reuniões do grupo de pesquisadores. Inicialmente, foram estudadas e discutidas características de uma proposta mediante o uso da Investigação Matemática e também o que a Base Nacional Curricular Comum comenta sobre o que se deve desenvolver nos Anos Iniciais sobre álgebra. A partir desses estudos, elaboraram-se atividades para o 1º, 2º e 3º Anos e exploradas nas referidas turmas por duas pesquisadoras e duas bolsistas, além de contar com a presença da professora titular.
Nos meses de setembro e outubro de 2018, realizaram-se três momentos de intervenção, com a duração de duas horas cada, e exploração de até três atividades. Destaca-se que, no 1º Ano havia 18 alunos; no 2º Ano, 21; no terceiro, 22. Todas as atividades foram realizadas em pequenos grupos (formados de três a quatro discentes) e recolhidas para análise das estratégias e conjecturas. Em cada grupo, colocou-se um gravador para verificar as discussões. A socialização dos resultados também foi gravada por meio de áudio. Neste trabalho, por ser recorte de uma pesquisa maior, serão apresentadas apenas duas atividades e respectivos resultados.
Na Figura 1, encontra-se a atividade desenvolvida nos três níveis de ensino mediante o uso de tampinhas. Quando as pesquisadoras chegaram à escola, a professora titular já havia organizado os alunos em pequenos grupos. Então, cada um recebeu uma folha contendo a atividade, algumas tampinhas e um gravador. Nesse seguimento, solicitou-se a leitura e a resolução da atividade, que, no 1º Ano, foi lida pelas pesquisadoras; as respostas, dadas oralmente, pois nem todos sabiam escrever. Os discentes do 1º Ano, em pequenos grupos, resolveram a questão, sendo que uma pesquisadora questionava como estavam pensando para resolver a situação.
Fonte: Pesquisadoras
É importante destacar que, no momento da socialização em grande grupo, os alunos, ao serem questionados sobre o que acontecia com o número de tampinhas na sequência das figuras, eles responderam que “em cada figura aumenta uma tampinha!”. Concluíram que o número de tampinhas era igual ao da figura. Assim, quando perguntados quantas tampinhas teria na Figura 20, em conjunto, rapidamente responderam “vinte tampinhas”. Indagados sobre a Figura 100, responderam “cem tampinhas”. Nessa atividade, percebeu-se que chegaram a generalizar a resposta embora tenha sido feita oralmente.
No 2º Ano, a resposta predominante foi igual. No final da atividade, a pesquisadora perguntou à turma até que figura poderia ser construída a sequência. Alguns alunos responderam até o infinito. Questionados sobre o que era o infinito, um deles assim se pronunciou: “é algo muito grande e, se continuássemos, poderíamos fazer a construção por
Sequência de tampinhas da mesma cor Observar a sequência abaixo:
Figura 1. Figura 2. Figura 3. Utilizar o material disponibilizado para representar essas figuras.
Representar a terceira figura, observando um padrão de sequência. Quantas tampinhas você utilizou nessa terceira figura? Como você pensou? Representar a quarta figura, observando um padrão de sequência.
Quantas tampinhas você utilizou nesta quarta figura? Como você pensou? Completar o quadro a seguir:
Figura Número de tampinhas utilizadas
Figura 1 1 Figura 2 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 .. Figura qualquer
muito tempo!”. Outro complementou: “podemos fazer até a semana que vem e muito mais, pois o infinito é algo muiiiiiittoooooo grande!” Um terceiro comentou: “podíamos fazer até ter a tua idade [referindo-se à pesquisadora] e ainda assim não iríamos chegar no fim!”. As respostas comprovam que eles possuíam ideia do infinito, palavra que já fazia parte do seu vocabulário. Assim, pode-se inferir que é necessário questionar os discentes desse nível de ensino para identificar o que sabem sobre determinado tema de estudo.
No 3º. Ano, um dos grupos comentou que o número sempre dobrava em relação ao anterior. Dessa forma, a sequência ficaria 1, 2, 4, 8, 16, 32 e assim sucessivamente. Com isso, evidencia-se que a atividade não proporcionou muitas respostas diferentes, mas a discussão e a reflexão ocorridas no final foram produtivas. Para Ponte, Brocardo, Oliveira (2009), a reflexão, em conjunto com os alunos, permite valorizar os processos de resolução em relação às conjecturas estabelecidas, levando-os a participarem ativamente das atividades investigativas.
Para o segundo momento de intervenção nas turmas, decidiu-se, por sugestão das professoras, que os alunos dariam mais de uma resposta em cada atividade. A Figura 2 expõe uma das que foram realizadas nesse encontro. Destaca-se que, no 2º e 3º Anos, solicitaram-se três respostas; no 1º Ano, apenas duas.
Figura 2: Segunda atividade a ser desenvolvida
Fonte: As pesquisadoras
Consequentemente, surgiram respostas. Na Figura 3, verifica-se o quadro da sala com as respostas da turma do 2º Ano. Salienta-se que cada grupo socializou apenas uma das três opções que encontrou, momento em que todos fizeram questão de apresentar suas respostas. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 30), “o trabalho em grupo potencializa o surgimento de várias alternativas para a exploração da tarefa”. Além disso, em um trabalho de equipe, o educando se sente mais à vontade para expor suas dúvidas aos colegas, e os que conseguem avançar mais nas discussões podem auxiliar os demais.
Na socialização dessa atividade, a pesquisadora solicitou que um grupo comentasse como seriam as figuras da sequência, e, o aos demais, que descobrissem o que o grupo em questão havia pensado (o padrão utilizado para compor a sequência da figura). Na sequência, este deveria informar se a resposta dos colegas estava correta. Essa forma de socialização despertou o interesse dos alunos, que, atentos, tentavam descobrir o “segredo” dos outros grupos.
Figura 3 – Respostas dos alunos do 2º. ano
Fonte: As pesquisadoras
Na figura, percebe-se que, na primeira resposta, os alunos seguiram a sequência dos números naturais para o de flechas, respeitando, alternadamente, a posição vertical e a horizontal. A resposta surpreendeu pelo fato de eles afirmarem que o número de flechas que ficava na vertical (usavam o termo “em pé”) era ímpar; e o das horizontais (“deitados”), par. Nesse momento, a professora declarou que a turma ainda não havia trabalhado a denominação par e ímpar. Na segunda resposta, a justificativa para a resposta é que a flecha “deitada” estava separando as “em pé”, motivo pelo qual apenas as que se encontravam na vertical aumentavam de um em um. Na terceira resposta, o padrão utilizado foi o uso de uma flecha “em pé”; uma “deitada para a porta” [a porta da sala ficava naquela direção]; uma “para baixo” e uma “deitada e virada para a janela”. Na sequência, isso se repetia.
Na quarta resposta, os alunos destacaram que o padrão se repetia de dois em dois, ou seja, uma flecha para cima e uma deitada; uma para cima e uma deitada e assim sucessivamente. Quando perguntados que posição estaria a flecha da Figura 10, prontamente responderam “deitada”. Solicitados a se justificarem, responderam: “porque quando é par, a flecha está deitada!”. A quinta resposta se assemelhou à terceira.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os resultados das intervenções efetivadas nas turmas de 1º, 2º e 3º Anos envolvendo padrões/sequências demonstram a capacidade dos alunos em elaborar padrões, bem como o
interesse e a motivação em resolver esse tipo de atividades. Em relação à primeira, as justificativas apresentadas pelas turmas demonstraram que estas possuíam conhecimentos que as professoras titulares desconheciam até o momento da intervenção.
Quanto à segunda atividade, ela propiciou várias respostas. Os alunos foram criativos e argumentaram sobre elas. O fato demonstra que, nesse nível de ensino, é importante trabalhar com padrões e sequências para instigar os estudantes a generalizações. Este tipo de situação pode contribuir para o desenvolvimento de conhecimentos algébricos nos Anos Finais.
Assim sendo, pode-se inferir que o uso de atividades investigativas com alunos dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental desenvolve a curiosidade, o interesse e a motivação para produzir diversas respostas. Entretanto, salienta-se que essa metodologia requer planejamento, organização, e que o professor seja mediador no decorrer das atividades, questionando os alunos para que pensem em outras possibilidades de resoluções.
REFERÊNCIAS
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