1 Cálculo Diferencial em IR n

1 Cálculo

Diferencial em IR

n

1.1 Noções Topológicas em IR

n

Equation Section 1

(1.1) Definição

Seja n um número natural. O Espaço Euclediano n-dimensional é o produto cartesiano de n factores iguais a

n _{= × ×⋅ ⋅ ⋅ ×}

• Considere-se, assim o conjunto n _{constituído por todas as sucessões ordenadas de n}

números reais. Os seus elementos

1 2 ( , , , n) x = x x ⋅ ⋅ ⋅x

com x x₁, ,₂⋅ ⋅ ⋅,x_n ∈ , são denominados pontos de n _{e os números reais}

1, ,2 , n x x ⋅ ⋅ ⋅x dizem-se coordenadas de x. • Dois elementos de n_, 1 2 ( , , , _n) x = x x ⋅ ⋅ ⋅x e y =( , ,y y_{1 2} ⋅ ⋅ ⋅,y_n) dizem-se iguais se e só se as coordenadas correspondentes forem iguais, isto é,

( 1,2,..., ) i i x =y i= n • Operações Algébricas Adição 1 2 1 2 1 1 2 2 : ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n n n n n n x x x y y y x y x y x y + × → + = + + +

Multiplicação por um escalar

1 2 1 2 : ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n n n x x x x x x λ λ λ λ ⋅ × → ⋅ =

(1.2) Definição

O conjunto n _{com as duas operações anteriores, é um Espaço Vectorial Real. Por isso,}

os elementos de n _{dizem-se vectores e os números reais escalares.}

• Os vectores de n 1 2 (1, 0, 0,..., 0) (0,1, 0,..., 0) ... (0, 0, 0,...,1) n e e e = = =

são linearmente independentes e qualquer vector x =( , ,x x_{1 2} ⋅ ⋅ ⋅,xn) de n exprime-se, de forma única, como combinação linear de e e₁, ,...,₂ e_n

1 1 2 2 n n

x =x e +x e + ⋅ ⋅ ⋅ +x e

Consequentemente, os vectores e e₁, ,...,₂ e_n constituem uma base do espaço vectorial n_,

também denominada base canónica, e n _{é um espaço vectorial de dimensão n.}

(1.3) Definição

Sejam ( , ,_{1 2} , ) e ( , ,_{1 2} , ) n

n n

P x x ⋅ ⋅ ⋅x Q y y ⋅ ⋅ ⋅y ∈ . Define-se distância de P a Q e representa-se por d P Q( , ) ou P Q- por: 2 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( _{n n}) d P Q = x −y + x −y + ⋅ ⋅ ⋅ + x −y (1.1) (1.4) Exemplo

Sejam _{P(1,1,1) e (2,2,2)Q ∈} 3_{. A distância de P a Q é igual a}

2 2 2 ( , ) (2 1) (2 1) (2 1) 3 d P Q = − + − + − = x y z P Q 1 1 1 2 2 2

(1.5) Definição

Fixando um ponto _{x ∈0} n_{, ao conjunto de pontos que distam de}

0

x menos de ε, chama-se bola (aberta) de raio ε e centro x₀ e representa-se por

{

}

0 0

( ; ) n : ( , )

B x ε = x ∈ d x x <ε .

O conceito de vizinhança ε de x₀ está ligado ao conceito de bola aberta, isto é,

0 0 ( ) ( ; ) V xε ≡B x ε . Seja S um subconjunto de n _e 0 n x ∈ (1.6) Definição

Um ponto x₀ diz-se interior de S sse existir uma bola de centro em x₀, contida em S, isto é: ∃ >ε 0 : ( ; )B x₀ ε ⊂S.

(1.7) Definição

Um ponto x₀ diz-se exterior de S sse existir uma bola de centro em x₀, contida no complementar de S, isto é: _{∃ >ε} 0 : ( ; )_{B x0 ε ⊂}( n \ )_{S .}

(1.8) Definição

Um ponto x diz-se fronteiro a S sse qualquer bola de centro em ₀ x , contiver pelo menos ₀ um ponto de S e do complementar de S.

(1.9) Definição

O conjunto dos pontos interiores, exteriores e fronteiros designa-se respectivamente por interior - int(S), exterior - ext(S) e fronteira - fr(S)

int( )_{S ∪ext S}( )_{∪fr S}( )₌ n_.

(1.10) Definição

O conjunto S diz-se aberto sse for igual ao seu interior, S =int( )S .

(1.11)Definição

Chama-se fecho ou aderência de S à união do interior de S com a sua fronteira e representa-se porS , isto é, S =int( )S ∪fr S( ).

Prova-se que um ponto x₀ é aderente a S sse ∀ >ε 0 : ( ; )B x₀ ε ∩S ≠ ∅.

(1.12) Definição

O conjunto S diz-se fechado sse for igual ao seu fecho, S =S ⇔ fr S( )⊂S .

(1.13) Definição

Um ponto x₀ diz-se ponto de acumulação de S sse ∀ >ε 0 : ( ; ) \B x0 ε

{ }

x0 ∩S ≠ ∅. O conjunto dos pontos de acumulação representa-se por S′ ≡Derivado.

(1.14) Definição

Exercícios

1. Determine para cada um dos seguintes subconjuntos de 2 _{o interior e a fronteira:}

a) ((1,1), )1 ((3,1), )1

2 2

B ∪B ; b)

{

_{( , )x y ∈} 2 _{:y =π}

}

_;

2. Para cada um dos seguintes subconjuntos de 2_{, determine o interior, o exterior, a fronteira,} o derivado e diga se é aberto ou fechado:

a){( , ) :x y x =1}; b){( , ) :x y y ≤3};

c){( , ) : 0x y ≤x ≤1, − <1 y <1};

d){( , ) : 0x y ≤x ≤1, − <1 y <1}; e){( , ) : 3x y < ( , )x y <5}; f)

{

_{( , ) :x y x =y}2 ₊₁

}

_.

1.2 Funções reais

de n Variáveis Reais

1.2.1 Definições, Propriedades e Aplicações

Uma função f é uma correspondência que, a cada elemento de um conjunto X, associa um único elemento de um conjunto Y.

(1.15) Definição

Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função f que a cada par

(x y, ) de D associa um único número real, denotado por f x y( , ), é uma função real de duas variáveis. D é o domínio. O contradomínio de f consiste em todos os números reais

( , ) z =f x y , imagens de( , )x y ∈D. 2 : ( , ) ( , ) f D x y z f x y ⊂ → =

(1.16) Definição

Seja _{f D ⊂:} 2 _{→ e k ∈ , chamamos curva de nível respeitante à cota k ao} conjunto C_k ={( , )x y ∈D f x y: ( , )=k}.

Algoritmo - esboço do gráfico de uma função: 1º passo: Determinação do domínio;

2º passo: Dedução de algumas curvas de nível; 3º passo: Intersecções com os planos coordenados;

4º passo: Montagem dos resultados anteriores num sistema de eixos cartesianos 3D:

wireframe -» modelo em arame -» revestimento -» superfície.

Exercícios

3. Considere as funções reais _{f D ⊂:} 2 _{→ .}

Determine o domínio D e represente-o graficamente. Diga, justificando, se D é aberto, fechado ou nem aberto nem fechado

a)f x y( , )=ln(x −y); b)_{f x y( , )= −1 2x}2 _+y; c)_{f x y( , )= 4−x}2 _−y2 _{; d)f x y( , )} ln(x2 y2 2 )x x y + − = + ; e)f x y( , ) ₂ x x x y = + − ; f) ( , ) 3 ln( ) x y f x y y + = + .

4. Considere as funções reais f e g definidas por:

( , ) ln 4( ) f x y = −y ( ) ( , ) 2 2 2 , 0 4 , 4 , 4 0 f x y e y x g x y x y y  ≤ ≤ − +  = _ + ≤ ∧ < 

a) Determine o domínio das duas funções e represente-os geometricamente.

b) As figuras seguintes são estruturas metálicas utilizadas na Capital Nacional da Cultura –

Coimbra 2003. Qual delas coincide com o gráfico da superfície z =g x y( , )? Justifique a sua escolha.

5. Seja_{f x y( , )= 34−x}2 _−y2 _,

e as funções g e h, reais de duas variáveis, dadas sob a forma dos algoritmos seguintes:

g (x ,y ) := Se _x2 _+y2 _{≤ 9} Então z ←5 Senão Se _9<x2 _+y2 _≤34 Então z ← f x y( , ) h (x ,y ) := Se _x2 _+y2 _{≤ 9} Então z ←5 Senão z ← f x y( , )

a) Determine o domínio de f e represente-o geometricamente. O domínio é aberto ou fechado?

Justifique.

b) Estabeleça a expressão analítica da função ( , )g x y .

c) Trace um esboço do gráfico z =g x y( , ).

d) Qual o valor lógico da seguinte afirmação?. Justifique a sua resposta.

Atendendo a que os domínios das funções h e g são iguais, então os seus gráficos também são iguais.

6. Considere as funnções reais f , g e h definidas por:

( _, ) ₃₄ 2 2 f x y = −x −y ( ) ( ) 2 2 se 9 , := entao 5 senao , x y g x y z z f x y + ≤ = = ( ) 2 2 2 2 5 , 9 , ( , ) , 9 34 x y h x y f x y x y  + ≤  = _ < + ≤ 

a) Determine o domínio de f e represente-o geometricamente. O domínio é fechado?

Justifique.

b) Qual o valor lógico da seguinte afirmação? Justifique a sua resposta

Atendendo a que os domínios das funções g e h são iguais, então os seus gráficos também são iguais.

b) Qual das figuras seguintes coincide com o gráfico da superfície z =h x y( , )? Justifique a sua escolha.

7. Considere a função real _{f x y( , )=arccos(x}2 _−y)

a) Determine o domínio de f e represente-o geometricamente.

b) Qual das figuras/esboços representa o gráfico da superfície z = f x y( , )? Justifique.

1.2.2 Limites

A definição e propriedades dos limites tratados no cálculo diferencial em , são herdadas e ajustadas no cálculo diferencial em n_.

(1.17) Definição Seja _{f D ⊂:} 2 _{→ e} 0 0 ( , )x y ∈D′um ponto de acumulação. Diz-se que 0 0 ( , ) ( , )x ylim→x y f x y( , )=L se ∀ >δ 0 0 : ( , )∃ >ε x y ∈D∧ ( , )x y −( , )x y_{0 0} <ε⇒ f x y( , )−L <δ

Visto que, nem sempre será fácil provar a existência do limite pela definição, deverá ter-se em atenção os seguintes conceitos:

Limites iterados

0 0

( , ) ( , )x ylim→x y f x y( , )= ?

se

0 0 0 0

lim lim ( , ) lim lim ( , )

x→x y→y f x y ≠y→y x→x f x y ⇒então ( , ) ( , )x ylim→x y_{0 0} f x y( , ) não existe

Limites Direccionais 0 0 ( , ) ( , )x ylim→x y f x y( , )=? se 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim ( , ) ( , ) ( , )lim ( , ) x y A x y B x y x y f x y x y x y f x y ∈ ∈

Exercícios

8. Prove, usando a definição, que

( , ) (0,0)x ylim→ f x y( , )=0 sendo: a) f x y( , )=3x; b) f x y( , )=xy; c) f x y( , ) ₂x y3 2₂ x y = + ; d) 4 4 4 ( , ) 1 x y f x y x = + .

9. Mostre que o limite ₄ 2 ₂

( , ) (0,0)x ylim x y

x y

→ ₊

existe segundo todas as rectas que passam pela origem, mas que aquele limite não existe.

10. Seja _{f x y}( _, )_=x2 _+y2 _{e g x y( , )= − f x y( , )+1 se x}2 _+y2 _≤9. Mostre, que

(x y,lim)→(0,0)f x y( , )≠(x y,lim)→(0,0)g x y( , ).

1.2.3 Continuidade

(1.18) Definição

Seja f é uma função de duas variáveis, _{f D: ⊂} 2 _{→ , e} 0 0

( , )x y um ponto de 2_{. A} função f é contínua em ( , )x y_{0 0} sse as três condições seguintes forem satisfeitas:

i. f x y( , )_{0 0} existir; ii.

0 0

( , ) ( , )x ylim→x y f x y( , ) existir; iii. ( , ) ( , )0 0 0 0

lim ( , ) ( , )

x y→x y f x y = f x y .

⌦

O subconjunto de D formado pelos pontos onde f é contínua, designa-se por domínio de

continuidade de f. Diremos que f é contínua em D, se f é contínua em todos os pontos ( , )x y_{0 0} de D.

(1.19) Proposição

Sejam f e g funções reais de variável real contínuas em x e ₀ y , respectivamente. Então, a ₀ função de duas variáveis definida por ( , )h x y = f x g y( ) ( ) é contínua em( , )x y_{0 0} .

⌦ Da proposição anterior decorre que uma função polinomial de duas variáveis – soma finita de parcelas do tipo _{kx y}n m _{– é uma função contínua. Uma função racional, quociente de funções}

polinomiais, é uma função contínua no seu domínio.

(1.20) Proposição

Se f é contínua em ( , )x y_{0 0} e g é uma função de uma só variável, contínua em f x y( , )_{0 0} , então a função composta h =gof , definida por ( , )h x y =g f x y( ( , )) é contínua em( , )x y . _{0 0} (1.21) Exemplo

A função _{h x y( , )=ln(x}2 _+y2 _{+1) é uma função contínua.}

Uma vez que para _{f x y( , )=x}2 _+y2 _{+ e ( )1 g t =ln( )t , tem-se h =gof . Como f e g são} funções contínuas, pela proposição (1.20) podemos concluir que h é uma função contínua.

⌦ Todos os resultados apresentados podem estender-se, a funções com mais de duas variáveis(n ≥3) _{f D}: _⊂ n _→ m

Chamam-se campos escalares às funções reais (m =1) de variável vectorial, ou seja_f : n _{→ ,}

que representam uma função de várias variáveis num espaço real de duas ou três dimensões, de algumas quantidades físicas tais como áreas, volumes, temperatura, potencial eléctrico, etc. Chamam-se campos vectoriais às funções vectoriais de variável vectorial, ou seja_f : n _→ m_,

que representam funções cujos valores são vectores e não escalares, como é o caso da velocidade dum ponto num fluido em movimento, as forças gravíticas ou magnéticas.

Na figura ao lado é representada uma função vectorial r ou r , onde r( )t = f t g t h t( ), ( ), ( ) = f t( )i+g t( )j+h t( )k. Se OP →é o vector posição correspondente a r( )t , então, ao variar t, o ponto terminal P descreve a curva de equações paramétricas x = f t( ),

( )

y =g t e z =h t( ).

Exercícios

11. Considere as funções reais _{f D: ⊂} 2 _{→ , definidas por:}

a) 4 4 4 4 -, ( -, ) (0, 0) 2 ( , ) 0 , ( , ) (0, 0) x y x y x y f x y x y  _≠  ₊ =   ₌  b) 2 2 2 2 2 2 9 , 3 ( , ) 1 , 3 x y x y f x y x y  − − + ≤  =  − + >  c) 2 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) 0 1 - x - y , x + y f x y , x + y  ≤  = _ >  d) 2 _- 2 , -( , ) 0 , x y x y x y f x y x y  ≠  =   ₌ 

Estude f x y( , ) quanto à sua continuidade.

12. Considere as funções reais f x y( , ) e g x y( , ) definidas em_{D ⊂} 2_{, dadas pelas expressões} seguintes: 2 2 ( , ) ln(4 ) f x y = −x −y ( , ) 2 2 2 2 se 4 ( , ) 0 se 4 9 f x y e x y g x y x y  + <  = _ ≤ + ≤ 

a) Determine, o domínio D de f x y( , ) e, represente-o geometricamente.

b) Qual o valor lógico das seguintes afirmações? Justifique a sua resposta. i) O domínio da função f é aberto.

ii) A curva de nível _{C =}

{

_{( , )x y ∈R}2 _:x2 _+y2 ₌₁

}

_{é o resultado da intersecção de}

( , )

z =g x y comz =4.

iii) Como o

( , ) (2,0)x ylim→ g x y( , ) existe, então g x y( , )é contínua em (2, 0).

13. Considere as funções reais de duas variáveis reais f, g, e h dadas por:

2 2

( , )

f x y =x +y g x y =( , ): h x y =( , ):

Se _x2 _+y2 _{≤16 Se x}2 _+y2 _≤16

a) Determine o domínio das funções, represente-os geometricamente e verifique se são abertos

ou fechados.

b) Estabeleça a expressão analítica das funções g x y( , ) e h x y( , ). Mostre, que

( )

{

_, 2 _: 2 2 ₁₆

}

C = x y ∈ x +y = é uma curva de nível comum às duas funções.

c) Identifique as superfícies associadas às três funções e trace um esboço das mesmas. d) Resolva apenas uma das alíneas seguintes

Qual o valor lógico das seguintes afirmações? Justifique a sua resposta.

i) O (x y,lim)→(0,0)g x y( , )=(x y,lim)→(0,0)h x y( , ) ii) A função ( ) ( ) 2 2 4 , , 0 16 g x y j x y se x y −  = _ + > 

é contínua em todos os pontos do cordão de soldadura

{

(_{x y,} )_∈ 2 _:x2 _+y2 ₌₁₆

}

_.

1.2.4 Derivadas Parciais

(1.22) Definição

Se f é uma função de duas variáveis x e y, então as derivadas parciais de f em relação a x e a y são funções fx e fy definidas por:

0 ( , ) ( , ) ( , ) lim x x f x x y f x y f x y x ∆ → + ∆ − = ∆ e 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim y y f x y y f x y f x y y ∆ → + ∆ − = ∆ (1.2)

desde que os limites existam.

Interpretação geométrica

O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície de equação z =f x y( , ). Se considerarmos y constante (y =y₀), então z = f x y( , )₀ é a equação da curva C que se obtém da intersecção da equação da superfície com o plano de equação y =y0.

A derivada parcial em ordem a x, f x y_x( , )_{0 0} , fornece o declive da recta tangente à curva C no ponto P x y z (₀( , , )_{0 0 0} z₀ = f x y( , )_{0 0} ), no plano y =y₀.

De modo análogo, f x y_y( , )_{0 0} fornece o declive da recta tangente à curva, tendo equações 0 e ( , )

As equações das rectas tangentes à curva em (a) e em (b) são dadas respectivamente por: 0 x( , )(0 0 0) 0 z−z =f x y x−x ∧ y =y z −z₀ = f x y_y( , )(_{0 0} y −y₀) ∧ x =x₀ Interpretação Física A razão f x( x y, ) f x y( , ) x + ∆ − ∆

representa a variação média de uma entidade física representada por f x y( , ).

As derivadas parciais f x y_x( , ) e f x y_y( , ) medem a taxa de variação de f em relação à variação de x e y numa direcção horizontal e vertical respectivamente.

(1.23) Exemplo

Uma placa de metal aquecida, está situada no plano XY de tal modo que a temperatura T no ponto (x, y) é dada por_{T x y( , )=10(x}2 _+y2 2_{) .}

Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto P(1,2) na direcção:

a) do eixo dos XX;

b) do eixo dos YY.

Resolução

A figura ao lado, representa uma hipotética placa de metal.

a) A taxa de variação na direcção do eixo dos XX, é dada por: Como 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) (10( ) ) 10 (( ) ) 10 * 2( ) ( ) 20( )( ( ) ( )) 20( )(2 0) 40 ( ) x T T x y x y x y x y x x x x y x y x y x y x y x x x x x x y ∂ ∂ ∂ = = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = + + = + + ∂ ∂ ∂ = + logo _{(1,2) 40 * 1(1}2 _{2 )}2 ₂₀₀ x T = + =

b) De modo análogo ao resultado anterior, a taxa de variação na direcção do eixo dos YY é dada por: _{(1,2) 40 * 2(1}2 _{2 )}2 ₄₀₀

y

T = + = .

Notações

Existem várias notações alternativas para as derivadas parciais. Algumas delas são as seguintes, onde z = f x y( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x x f z f x y f x y x y D f x y x x ∂ ∂ ′ ≡ ≡ ≡ ≡ ∂ ∂ ( , )y y( , ) ( , ) y ( , ) f z f x y f x y x y D f x y y y ∂ ∂ ′ ≡ ≡ ≡ ≡ ∂ ∂

Quando derivamos parcialmente f em ordem a x, o y “funciona” como constante e vice-versa, tal é justificado pela definição (1.22). Sempre que possível, devem usar-se por “herança” e ajuste as regras de derivação deduzidas no cálculo diferencial em – conforme a Tabela 2.

P

x y

Exercícios

14. A figura, ao lado, representa o molde de um copo

usado na Queima das Fitas, cuja matriz de pontos 3D é formatada pelas funções f e g , dadas pelas

expressões seguinte:

( , ) 2 2

f x y =x +y

( , ) ( , ) 1 se 2 2 9

g x y = − f x y + x +y ≤

a) Determine, o domínio das funções e represente-o

geometricamente.

b) Qual o valor lógico das seguintes afirmações?

Justifique a sua resposta.

i) O domínio de restrição da função g é fechado.

ii) A curva de nível _{C =}

{

(_{x y,} )_∈ 2 _:x2 _+y2 ₌₁

}

_{é comum às duas funções.}

iii) A derivada parcial de g em ordem a y no ponto(1,1), por definição, é igual a

( ) ( ) ( ) 0 1 ,1 1,1 2 1,1 lim 2 y g g y g y ∆ → y ∂ + ∆ − = = − ∂ ∆ .

c) Recorrendo à figura, assinale a superfície correspondente ao gráfico de cada função.

Justifique a sua escolha.

d) Mostre, que

(x y,lim)→(0,0)f x y( , )≠(x y,lim)→(0,0)g x y( , ).

e) Mostre, que a equação da recta tangente á curva de intersecção da superfície

( , ) 1

z =f x y + com o planoy = , no ponto 1 P =(1,1, 3), é dada por

2 1 1 z = x + ∧ y = . 15. Seja 2 2 2 2 2 2 , 1 ( , ) 0 , 1 x y x y f x y x y  + + ≥  = _ + < 

a) Estude f quanto à continuidade. b) Mostre que não existe (1 0)f_x′ , .

c) Calcule (1 1)f_x′ , .

16. Considere as funções reais f(x,y) e g(x,y) definidas em_{D ⊂} 2_{, dadas pelas expressões} seguintes: 2 2 ( , ) sen 4 f x y = −x −y 2 2 2 2 arcsen( ( , )) se 4 ( , ) 0 se 4 9 f x y x y g x y x y  + ≤  = _ < + ≤ 

a) Determine o domínio D de ( , )f x y e represente-o geometricamente.

b) Trace um esboço do gráfico de z =g x y( , ).

c) Comente, justificando, a seguinte afirmação:

Como o

( , ) (2,0)x ylim→ g x y( , ) existe, então ( , )g x y é contínua em (2, 0).

d) Determine, a equação da recta tangente, á curva de intersecção da superfície z =g x y( , ) com o planox =1, no pontoP =(1,1, 2).

17. Considere as funções reais ( , )f x y , ( , )g x y e ( , )

h x y definidas em_{D ⊂} 2_{, dadas pelas} expressões seguinte: 2 2 ( , ) f x y = x +y 2 ( , ) ( , ) g x y = f x y 2 2 2 2 2 ( , ) 4 ( , ) 2 4 g x y se x y h x y se x y  − + ≤  =  − + > 

a) Determine o domínio das funções e

represente-o geometricamente.

b) Qual o valor lógico das seguintes

afirmações? Justifique a sua resposta.

i) O domínio das funções dadas é aberto,

fechado e ilimitado.

ii) A curva de nível

{

_{( , )} 2 _: 2 2 ₁

}

C = x y ∈R x +y = é comum às três funções.

iii) Os gráficos/superfícies das três funções não se intersectam.

iv) As funções ( , )f x y e ( , )g x y têm (0,0,0) como mínimo absoluto, enquanto que ( , )h x y tem um máximo absoluto em (0,0,2).

c) Recorrendo à figura, assinale a superfície correspondente ao gráfico de cada função.

Justifique a sua escolha.

d) Resolva apenas uma das alíneas seguintes i) Mostre que

( , ) (0,2)x ylim→ h x y( , )≠( , ) (0,2)x ylim→ g x y( , )≠( , ) (0,2)x ylim→ f x y( , ).

ii) Estude as funções quanto à continuidade.

18. Considere as funções reais ( , )f x y , ( , )g x y e ( , )h x y definidas em_{D ⊂} 2_{, dadas pelas} expressões seguinte: ( , ) 2 2 f x y =x +y g x y( , )= f x y( , ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 , , 4 , 0 , 4 9 f x y x y h x y x y  − + ≤  = _ < + ≤ 

a) Determine o domínio das funções.

b) Qual o valor lógico das seguintes afirmações? Justifique a sua resposta. i) A curva de nível _{C =}

{

_{( , )x y ∈R}2 _:x2 _+y2 ₌₁

}

_{é comum a duas funções.}

ii) A derivada parcial de h em ordem a y no ponto(1,1), por definição, é igual a :

( ) ( ) ( ) 0 1 ,1 1,1 2 1,1 lim 2 y h h y h y ∆ → y ∂ + ∆ − = = − ∂ ∆

c) Represente gráficamente as três funções e identifique-as. d) Mostre, que

(x y,lim)→(2,0)f x y( , )≠(x y,lim)→(2,0)g x y( , )≠(x y,lim)→(2,0)h x y( , ).

e) Determine, a equação da recta tangente á curva de intersecção da superfície z =h x y( , )

19. Calcular as primeiras derivadas parciais das funções seguintes, nos pontos onde existem: a) _{z = x + xy + y ;} 2 2 _{b) z =} x _- y y x ; c) y x z = ye ; d) z = ln(sin (x_y)); e) _{r = e}-θcos(_{θ +φ ;} ) _{f) z = x + y}2 2 _; g) _{z = e}xysin (_{xy + y .} 4 )

20. Mostre que se _{z = ln x + y} 2 2 _{, então verifica-se a seguinte igualdade:} 1 z z x y x y ∂ ∂ ∂ + ∂ = se( , )x y ≠(0, 0).

21. Mostre que se (_{z x,y = xy + xe}) yx_{, então verifica-se a seguinte igualdade:}

( ) z z x y xy + z x,y x y ∂ ∂ ∂ + ∂ = 22. Seja w = log(x - y2 ₂ 2) z em que x = ch(t), y = sh(t) e z = t. Calcular dw dt . 23. Seja _{z =x}2_{lny com x =} u v e y =3u−2v . Calcular 2 , , z z z u v u v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . 24. Calcule u e du x dx ∂ ∂ sendo: a) _{u x y}( , )₌ln(_ex _+ey) _{com y =x}3 _.

b)_{u x,y =( ) arcsin( ) com} x _{y = x +}2 ₁

y .

25. Seja _{w = − +y F x}

(

2 _{+y ze}2_, −x

)

_{em que F é uma função diferenciável.}

Prove que se verifica a seguinte identidade:y w - x w+ yz w = x

x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . 26. seja 2 (1 ln( )) 2 y z f y x

= + + em que f é uma função duas vezes diferenciável no seu domínio. Prove que: 1 ₂2z 1₂ 2z 2 z 0

y x x x y xy x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ + + = .

27. Calcular as derivadas das funções implícitas dadas pelas equações: a)x₂2 y₂2 1 a +b = ; b) 2 2 2 2 1 x y a −b = ; c) x y y =x ; d)x₂2 y₂2 z2₂ 1 a +b +c = ; e) u-v ( w)=0tg α ; f) 2 2 2 2 z y - z x + = .

NOTA:

Outros exercícios são apresentados em ANEXO, de acordo com o programa da disciplina.

1.2.4.1 Derivadas parciais de ordem superior à primeira 1.2.4.2 Teorema de Schwartz

1.2.4.3 Equação de Laplace

1.2.5 Acréscimos e Diferenciais

1.2.7 Derivada Direccional

Motivação:

a) Determine a taxa de variação da temperatura em (3, 4) na direcção que faz um de 60o _{em ox}

b) Determine a direcção para a qual a variação da temperatura é máxima no ponto (-3, 1).

A generalização da definição de derivada parcial para obter a Taxa de Variação de uma função em relação á distância em qualquer direcção ⇒ Derivada Direccional

(1.24) Definição

Seja z = f x y( , ) e u um vector unitário, u =1, dado por u =cos( )θi+sin( )θ j, a

derivada direccional de f na direcção de u é dada por:

( ) ( ) ( ) 0 cos , sin , , lim h f x h y h f x y f x y h θ θ → + + − = u (1.3) se o limite existir. Interpretação Geométrica ( cos , sin ) ( , ) s f x h y h f x y m h θ θ + + − = ( , ) u t m = f x y P(x,y) u t s x x+hcosθ y y+hsinθ u θ h

Observações:

i. A derivada direccional fornece a taxa de variação do valor da função z = f x y( , ) em relação á distância h ao plano XY na direcção e sentido do vectoru.

ii. A derivada f x yu( , ) calculada em P, dá o declive da recta tangente á

curva C no plano_{PP Q}' _.

iii. Seu = ⇒i cosθ= ∧1 sinθ =0, donde

( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , lim x , h f x h y f x y f x y f x y h → + − = = u

iv. Seu = ⇒j cosθ = ∧0 sinθ =1, donde

( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , _hlim y , f x h h f x y f x y f x y h → + − = = u

v. As primeiras derivadas parciais f x yx( , ) e f x yy( , ) são casos

particulares def x y_u( , ).

(1.25) Teorema

Se z =f x y( , ) é diferenciável (f x y_x( , )e f x yy( , ) são continuas) e

(

_{1 2}

)

cos( ) sin( ) cos , sin ou ,

u = θ i+ θ j u = θ θ u = u u , então a derivada direccional é

dada por:

( , ) x( , )cos y( , )sin

f x yu = f x y θ+f x y θ (1.4)

Observação: Podemos rescrever (1.4) como produto interno (escalar) de dois vectores:

( , ) ( x( , ) y( , ) ) (cos sin )

f x y_u = f x y i+f x y j ⋅ θi+ θj (1.5)

(1.26) Definição

Seja f uma função de duas variáveis. O gradiente de f é uma função vectorial dada por:

( , )∇f x y = f x y_x( , )i+f x y_y( , )j (1.6)

Do que foi exposto, podendo concluir então que, para calcular a derivada direccional de f na direcção do vector unitário u, formamos o produto escalar do gradiente de f poru, ou seja:

( , ) ( , )

u

(1.27) Exemplo

Dada a função ( , ) 2 2

9 4

x y

f x y = + , determine:

a) Gradiente da função no ponto de coordenadas (3, 2) b) A taxa de variação da função na direcção

4

π

θ = no ponto de coordenadas (3, 2)

Resolução a) ∇f(3,2)=?

1º Passo: Calcular as derivadas parciais

i) ( , ) ( 2 2) 2 9 4 9 x x y f x y x x ∂ = + = ∂ ii) ( , ) ( 2 2) 1 9 4 2 y x y f x y y y ∂ = + = ∂

2º Passo: Estabelecer grad f x y ( , )≡ ∇f x y( , )

( ) ( )

2 1 ( , ) 9 2 f x y x y ∇ = i+ j 3º Passo: Calcular ∇f(3,2) 2 1 2 2 (3,2) 3 2 (3,2) (3,2) ,1 9 2 3 3 f f f ∇ = i+ j⇔ ∇ = i+ ⇔ ∇j =< >

b) Taxa de Variação≡ f_u(3,2)=? ≡ Derivada Direccional 1º Passo: (3,2) (3,2) u f = ∇f ⋅u 2º Passo: 2 (3,2) 3 f ∇ = i+ j 3º Passo: cos sin u = θi+ θj para 4 π θ = vem 2 2 cos sin 4 4 2 2 u = πi+ πj⇔u = i+ j 4º Passo: (3,2) (2 ) ( 2 2 ) 2 2 1 2 2 2 5 2 3 2 2 3 2 2 3 2 6 f_u = i+ j ⋅ i+ j = + = + = Vf(x,y)

⌦ Num determinado ponto P x y( , ) fixo, dado um vector unitáriou, a derivada direccional pode ser positiva e, então f x y( , ) aumenta quando nos deslocamos nesta direcção, ou então pode ser negativa e, então f x y( , ) diminuiu quando nos deslocamos nessa direcção. Em muitas situações, é importante achar a direcção em que f x y( , ) aumenta mais rapidamente, bem como o máximo da taxa de variação → Teorema do Gradiente

• Se α é o ângulo entre os vectores u e∇f, então:

cos

u⋅ ∇ =f u ∇f α (definição de produto escalar)

como f x yu( , )=u⋅ ∇f vem:

( , ) cos

u

f x y = u ∇f α (1.8)

Questão: Quando é que f x yu( , ) é máxima?

☺ Resposta:

De (1.8) como u =1, e 1− ≤cosα≤ , então valor máximo ocorre para1 α =0i_{, donde o} vector u tem que estar na mesma direcção e sentido do vector gradiente.

(1.28) Teorema: Teorema do Gradiente

Seja f x y uma função de duas variáveis, diferenciável no ponto ( , ) P x y( , )

i) O valor máximo de f x yu( , ) em P x y( , ) é ∇f x y( , )

ii) O máximo da taxa de crescimento de f x yu( , ) em P x y( , ), ocorre na direcção

de∇f x y( , ).

(1.29) Corolário:

Seja f uma função de duas variáveis, diferenciável no pontoP x y( , ). i) O mínimo de f x yu( , ) em P x y( , ) é − ∇f x y( , )

ii) O mínimo da taxa de crescimento de f x y( , ) emP x y( , ), ocorre na direcção de−∇f x y( , ). Vf

u

Vf

u α

(1.30) Exemplo

Seja _{( , ) 2} 2 1 2

4

f x y = +x + y

a) Determine a direcção segundo a qual f x y( , ) cresce mais rapidamente no ponto (1, 2) e determine a taxa máxima de crescimento de f em P.

b) Interprete a alínea anterior usando para tal o gráfico de f.

Resolução

A direcção segundo a qual f cresce mais rapidamente é a direcção do gradiente de f. Temos então: 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 u y f x y f x y f x y f x y x y ∇ = i+ j⇔ ∇ = i+ j emP(1,2)→ ∇f(1,2)=2i+1j.

Logo, a direcção segundo a qual f cresce mais rapidamente é a do vector 2 +i j . A taxa máxima

de crescimento de f em f(1,2) é dada por

2 2 (1,2) 2 1 5 2.2 f ∇ = + = ≅ ? =

Atendendo a que∇f(1,2)=2i+j , tem-se:

normalizando o vector gradiente

(1,2) 2 1 (1,2) 5 5 f v v f ∇ = ⇔ = + ∇ i j cossenos directores 2 1 , 5 5 v =< > 1 sin ₅ 1 1

tan tan arctan( ) 26, 5

2 cos 2 2 5 θ θ θ θ θ θ ° = = ⇔ = ⇔ = ⇔ ≅ Graficamente Parabolóide elíptico.

O ponto da superfície S corresponde a P(1,2) é Q(1,2,4). Quando um ponto no plano XY se move passando por P na direcção de∇f(1,2), o ponto correspondente do gráfico descreve uma curva C de máximo declive no paraboloide.

Exercícios

28. A densidade em qualquer ponto (x y de uma chapa rectangular no plano , ) XY é dada por_{ρ =1/ x}2 _+y2 ₊₃'_.

a) Determine a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direcção do vector unitáriocos2 sin2

3πi+ 3πj .

b) Encontre a direcção e magnitude da taxa de variação máxima de ρ em (3,2).

29. A temperatura em qualquer ponto (x y, ) é dada por_{T =e}−2xy_{cos 2y.}

a) Calcule a taxa de variação do potencial no ponto de coordenada (0, ) 4

π

e a direcção do vectoru = 3i+j .

b) Determine a direcção em que a taxa de variação é máxima no ponto (0, ) 4

P π . Calcule o valor máximo dessa taxa de variação.

Resolução: 29. a) Taxa variação (0, ) ? 4 u T π → = 1º Passo: ué unitário? 2 2 ( 3) 1 2 1 u = + = ≠ ⇒normalização do vector 3 1 3 1, 2 2 2 2 u v u = = i+ j=< > 2º Passo: i. T x y_v( , )= ∇T x y v( , )⋅ ii. 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , )

( 2 cos 2 ) ( 2 cos 2 2 sin 2 )

x y xy xy xy T x y T x y T x y ye− y xe− y e− y ∇ = + = − + − − i j i j T(0, )4 0 2 π ∇ = i− j iii. (0, ) (0 2 ) ( 3 1 ) 1 4 2 2 V T π = i− j ⋅ i+ j = −

b) Atendendo ao teorema do gradiente (T x y_v( , )é máxima na direcção do vector gradiente (0, ) 4 T π → ∇ ) Como: (0, ) 0 2 4 T π i j ∇ = − sin sin 1 ₃

tan arctan arctan( ) ₂

cos cos 0 α α α α α α π α α − = ⇔ = ⇔ = ⇒ = Valor máximo _{(0, ) 0}2 _{( 2)}2 ₂ 4 T π = ∇ = + − =

⌦ Sendo f uma função de duas variáveis x e y, a derivada direccional

(

D f_u

)

≡ f x y_u( , ) de f segundo a direcção do vector u é também uma função de x e y. Podemos então calcular a sua derivada direccionalD D f , segundo a direcção de_u( _u ) u. A D D f x y chamamos _u( _u ( , )) segunda derivada direccional de f segundo a direcção de u e escrevemos:

2 _{( , ) ( ( , ))}

u u u

D f x y =D D f x y (1.9)

Atendendo aD f x y_u ( , )= ∇f x y u( , )⋅ , e supondo que f admite derivadas parciais mistas continuas, tem-se 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) u f f f D f x y x y u x y u u x y u x y x y ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ (1.10) Exemplo Determine 2 u D f , sendo ˆ ( 2, 2) 2 2 u = ef x y( , )=xy, Atendendo a que: 2f₂ 0, 2f₂ 0 e 2f 2f 1 x y y x x y ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ vem 2 _{( , ) 2} 2 2 ₁ 2 2 u D f x y = = Generalizando 1 ( , ) ( ( , )) m m u u u D f x y =D D − f x y 1 2 0 ( , ) ( , ) m m m m k k m k k u k m _f D f x y u u x y k − _x − _y =  _{ ∂}   = _{  }   ∂ ∂  

∑

(1.11) ( ) 1 ( , ) 2 ( , ) m f f u x y u x y x y ∂ ∂  _  + _    ∂ ∂  (1.31) Teorema

Seja f uma função diferenciável de três variáveis e u =u i₁ˆ+u j₂ˆ+u k₃ˆ um vector unitário. Então: f x y z_u( , , )= ∇f x y z( , , )⋅u =f x y z u_x( , , ) ₁ +f x y z u_y( , , ) ₂ +f x y z u_z( , , ) ₃

De todas as derivadas direccionais possíveis f x y z_u( , , ) no pontoP x y z( , , ), a derivada na direcção do gradiente é a que tem maior valor, esse valor máximo é ∇f x y z( , , )

Exercícios

30. Seja h um campo escalar definido por:

( , ) sin( )

h x y = x−y .

O potencial eléctrico em qualquer ponto (x y, )

no plano XY, é dada por V =h x y( , ).

a) Determine, a taxa de variação do potencial no

ponto

(

_{2 4}π π,

)

_{, na direcção do vector que faz}

um ângulo de 90º com a direcção positiva do eixo dos XX.

Interprete o resultado obtido.

b) Resolva apenas uma das alíneas seguintes

i) Determine, a direcção e magnitude da taxa de variação máxima do potencial em

(

2 4π π,

)

.

ii) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximação da diferença de potencial entre os

pontos

(

_{2 4}π π,

)

_e

₍

₎

2 4, 180

π π ₊ π _.

c) Resolva apenas uma das alíneas seguintes

i) Mostre, se z =arcsin

[

h x

(

( −1 ,)2 (y−1)2

)

]

∧ x = +1 cosθ∧y= +1 sinθ, então verifica-se a seguinte identidade: 1 sin(2 )

2

dz

dθ = − θ .

ii) Mostre, que o gráfico/superfície de z = +1 h x y( , ) é limitado pelos planos z = 0 ez = 2.

31. Seja f um campo escalar definido

por g x y( , )=cos

(

x2 +y2

)

O potencial eléctrico em qualquer ponto (x, y) é dada por

( , )

V =g x y

a) A taxa de variação máxima do

potencial no ponto P

(

0, π 2

)

ocorre na direcção do vector 2 2π = − u j? Justifique.

b) Utilizando diferenciais, obtenha

uma aproximação da diferença de potencial entre os pontos

(

0, π 2

)

e (0, π . )

c) Resolva apenas duas das alíneas seguintes

i) Mostre, sez =arcos[g x(( −1 ,)(y +1))],x = +1 cosθ ey = − +1 sinθ, então verifica-se a verifica-seguinte identidade: zsin 2z dz sin 2

x θ x y dθ θ

∂ ₊ ∂ _{+ =}

∂ ∂ ∂ .

ii) Mostre, que o gráfico/superfície de z = +1 g x y( , ) é limitado pelos planos z =0 e

2

z = .

iii) Determine o plano tangente à superfície z =g x y( , )no pontoP(0, 0,1)., sabendo que uma equação do plano tangente à superfície no ponto P x y z

(

0, ,0 0

)

é dada por

(

)(

)

(

)(

)

0 x 0, 0 0 y 0, 0 0

1.2.8 Extremos de

Funções de Várias Variáveis

(1.31) Definição

Seja f uma função real de duas variáveis x e y

(

_{f D ⊂:} 2 _→

)

_{. Dizemos que f tem em} 0 0

( , )x y um mínimo local (máximo local) se existe uma bola aberta B centrada em( , )x y : _{0 0}

0 0 ( , )x y B D f x y, ( , ) f x y( , ) m ∀ ∈ ∩ ≥ ← (1.12) 0 0 ( , )x y B D f x y, ( , ) f x y( , ) M ∀ ∈ ∩ ≤ ← (1.13) Considerações

• Se a desigualdade (1.12), (respectivamente (1.13)) se verifica para todo o par ( , )x y ∈D

então f tem em ( , )x y_{0 0} um mínimo absoluto (respectivamente máximo absoluto).

• Ao máximo e ao mínimo dá-se o nome genérico de extremos de f x y( , ) e aos pontos P x y( , )_{0 0} onde eles são atingidos chama-se extremantes.

• Geometricamente, se uma superfície S é o gráfico de f, então os máximos locais correspondem aos pontos mais altos de S, e os mínimos locais aos mais baixos.

(1.32) Teorema

Se f x y( , ) admite derivadas parciais de 1ª ordem em ( , )x y e tem extremo nesse ponto, _{0 0} então 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 x y f x y = f x y = (1.14) Demonstração

A equação (1.14) designa-se condição de estacionaridade. É um condição necessária mas não suficiente.

Seja ( , )x y_{0 0} ∈int( )D um ponto onde f tem um extremo local. Consideremos as funções g e h, reais de uma variável real, definidas por:

0 0

( ) ( , ) e ( ) ( , ) g x = f x y h y =f x y

As funções g e h têm, respectivamente emx₀ e y₀, um extremo local, consequentemente,

0 0

( ) ( ) 0

g x′ =h y′ = (*)

Atendendo a queg x′( )= f x y_x( , ) e ₀ h y′( )= f x y_y( , )₀ , (*) _{é equivalente a}

0 0 0 0

( , ) ( , ) 0

x y

f x y =f x y =

(1.33) Definição

Exemplo

Dada a função_{f x y( , )= −9 x}2_−y2_{, verifique se f tem algum extremo relativo.}

1º Passo: Determinação de pontos críticos

i. f x y_x( , )= −2 ( , )x f x y_y = −2y ii. ( , ) 0 2 0 0 0 2 0 ( , ) 0 x y f x y x x y y f x y  = − =  =     _⇔ _⇔   _{ =}  = − =     

iii. Ponto crítico ( , )x y_{0 0} =(0, 0)

2º Passo:

i. Pela figura∀( , )x y ∈D f x y: ( , )<f(0, 0).

ii. f(0, 0)=9é um máximo absoluto.

(1.34) Definição

Seja f uma função de classe_CP,_{p ≤}2_{. Á matriz}

2 2 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f f x y x y x y x H x y f f x y x y y x y  ∂ ∂     ∂ ∂ ∂    =  _{∂ ∂}    ∂ ∂ ∂    (1.15)

chamamos Matriz Hessiana da função f em ( , )x y_{0 0}

e ao seu determinante, ∆( , )x y_{0 0} = H x y( , )_{0 0} , damos o nome de Hessiano de f em( , )x y_{0 0} .

O Teorema seguinte mostra a relação existente entre o Hessiano de f num ponto crítico e a natureza desse ponto crítico.

(1.34) Teorema Teste de Extremos

Seja f uma função real de duas variáveis, com derivadas parciais de 2ª ordem contínuas numa bola aberta B x y(( , ), )_{0 0} δ centrada em ( , )x y_{0 0} ∈D- ponto crítico de f

Seja 0 0 0 0 ₂ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , )) ( , ) ( , ) xx xy xx yy xy xy yy f x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y ∆ = ∆ = = −

i. Se ∆ > e 0 f_xx( , )x y_{0 0} > então 0 f x y é um mínimo local; ( , )_{0 0} ii. Se ∆ >0 e f_xx( , )x y_{0 0} <0 então f x y( , )_{0 0} é um máximo local; iii. Se 0∆ < então f x y é um ponto sela; ( , )_{0 0}

Demonstração

Uma vez em que estamos nas condições do teorema de Schwarz, tem-sef_xy = f_yx, pelo que,

2 2 2

1 2 1 2 2

xx xy yy

u

D f =f u + f u u +f u

Sendo u um vector unitário de componentesu₁ e u₂, podemos rescrever a equação anterior na forma:

(

)

2 2 2 2 2 1 2 ( xy ) xx xx yy xy u xx xx f u D f f u u f f f f f = + + − (*)

Suponhamos que f_xx( , )x y_{0 0} >0 e ∆( , )x y_{0 0} >0. A continuidade das funções 2 e xx xx yy xy f ∆ = f f −f garante a existência de

(

( , ),0 0

)

: xx( , ) 0 e ( , ) 0 ( , ) B x y δ f y y > ∆x y > ∀x y ∈B Atendendo a (*)_{, ( , ) :} 2 _{( , ) 0} u x y B D f x y ∀ ∈ > (**) Interpretação geométrica de (**)

Designemos por C a curva obtida pela intersecção do grafo de f com o plano (vertical) de vectores directoresu e u_{1 2}, que passa porP₀ ≡( , , ( , ))x y f x y_{0 0 0 0} . A desigualdade (**) _permite-nos

concluir que a curva C tem concavidade voltada para cima (∪) numa vizinhança deP₀. Este resultado é válido qualquer que seja o vector u que se considere.

Podemos pois concluir que o grafo de f numa vizinhança de P₀ se situa acima do plano horizontal, tangente ao grafo de f emP₀. Isto é, f x y é um mínimo local. ( , )_{0 0}

A “prova” feita para i) pode ser adaptada para os outros casos.

Exemplos

a) Determine os extremos da função_{f x y( , )=x}3 _+3xy2 _{−15x −12y}

1º Passo: Determinação dos pontos críticos

2 2 2 2 2 2 4 5 0 3 3 15 0 _{5 0} 2 6 12 0 f _{x y} x y _y x _y f _x xy _y y ∂  _{ + − = }  = + − = _  _{∂ }  + − =    _⇔  _⇔ _∂     ₌   = − =  − − − − − − − −  _   ∂  4 ₅ 2 _{4 0 ( )}2 2 ₅ 2 _{4 0} y y y y  − + =  − + =     ⇔_{− − − − − − − − −}⇔_{− − − − − − − − − −}     fazendo _{u =y}2 2 _{5 4 0} 5 25 16 4 1 2 u u u u u  − + =  ± −  ⇔_{− − − − − − − −}⇔ = ⇔ = ∧ =  donde _y2 _{=4 ⇔y = ±2 ∧ y}2 _{= ⇔1 y = ±1}

2º Passo: Determinação do valor das derivadas de 2ª ordem nos pontos anteriores 0(1,2) P P − −₁( 1, 2) P₂(2,1) P − −₃( 2, 1) 2 2 6 f _x x ∂ = ∂ 6 -6 12 -12 2 6 f y x y ∂ = ∂ ∂ 12 -12 6 -6 2 2 6 f x y ∂ ₌ ∂ 6 -6 12 -12

3º Passo: Determinação Hessiano + Teste extremos

i. 2 0 0 6 12 ( ) 36 12 0 12 6 P P ∆ = = − < → não é extremo ii. 2 1 1 6 12 ( ) 36 ( 12) 0 12 6 P − − P ∆ = = − − < → − − não é extremo iii. 2 2 2 2 12 6 ( ) 12 36 0 ( ) 0 6 12 xx P f P P ∆ = = − > ∧ > → é um mínimo iv. 2 3 3 3 12 6 ( ) ( 12) 36 0 ( ) 0 6 12 xx P − − f P P ∆ = = − − > ∧ < → − − é um máximo

b) Determine 3 números reais positivos cuja soma seja 10 e cujo produto seja máximo. 1º Passo:

Sejam x, y e z os três números reais positivos a determinar e,P =xyz

comx + + =y z 10 ⇔z =10− −x y.

Assim, pretendemos determinar Q =( , )x y tal que P x y( , )=xy(10− −x y) tenha em Q o seu valor máximo.

2º Passo: Determinação dos pontos críticos

2 2 10 2 0 10 10 ( , ) ( , ) positivos 3 3 10 2 0 P y xy y x x y P x xy x y ∂  = − − =  ∂  _{⇔ =}  ∂  = − − =  ∂ 

3º Passo: Hessiano + Teste de Extremos

20 10 10 10 3 3 100 10 10 10 10 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 10 20 3 3 3 3 3 3 3 3 3 xx P P − − ∆ = = > ∧ < → − − é um máximo, donde ( , , ) ( ,10 10 10, ) 3 3 3 x y z =

c) Determinar as dimensões relativas de uma caixa rectangular, sem tampa, tendo um volume

especifico, usando a menor quantidade de material na sua confecção.

1º Passo:

Seja :

x ≡ n.º de unidades no comprimento da base da caixa y ≡n.º de unidades na largura da base da caixa z ≡ n.º de unidades na altura da caixa

(1)S =xy+2xy +2yz _{área da superfície}

(2)V =xyz _{n.º de unidades cúbicas do}

volume da caixa (V é constante) De (2) _vem:z V xy = (3) Substituindo (3) em (1), vem:S xy 2v 2v y x = + + (4) _{função a minimizar.}

2º Passo: Determinação de pontos críticos

3 2 2 2 3 2 2 0 _{2 0 2} 2 _{2 0 2} 0 s V y _{x y V x V} x x s V _{xy V y V} x y y ∂  = − = _{ − =  =}  ∂    _⇔ _⇔ _∂     _{− =}  ₌  _{= − =} _ _ ∂ 

3º Passo: Determinação do sinal do Hessiano + Teste de Extremos

3 3 3 3 4 1 ( 2 ) 3 0 2 0 4 1 ( 2 ) xx v v S S v v

∆ = = > ∧ = > → tem um mínimo absoluto

3

3 3 2

( , , ) ( 2 , 2 , V₂)

m = x y z = V V .

Conclusão: A caixa tem uma base quadrada e a altura á metade do comprimento de um lado da

1.2.8.1 Extremos Ligados ou Condicionados

Por vezes, surge ainda outro problema relativo á determinação dos extremos de uma função em que as variáveis independentes estão sujeitas a certas condições dadas. É o denominado problema da determinação de extremos condicionados ou extremos ligados.

Por exemplo, para determinar os pontos do plano: 4

x + + = , mais próximos do ponto (1,1,1)y z P , ter-se-á de obter os mínimos da função

(1)f x y z( , , )=(x −1)2 +(y−1)2 +(z −1)2 _{w = (x−1)}2 _{+(y −1)}2 _+(z−1)2 (w será mínimo quando _{w for um mínimo)} 2

sujeito à condição:

(2)x+ + − =y z 4 0⇔g x y z( , , )=0 com ( , , )g x y z =x + + − também dita equação de y z 4

ligação.

Um processo consistirá em resolver esta última equação (2) _{relativamente a z e então determinar}

os mínimos de função_{h x y( , )=(x −1)}2 _+(y−1)2 _{+(4− − −x y 1)}2_.

Contudo, por vezes, não é fácil ou não é possível resolver as equações que condicionam o problema.

☺ Um método usado que evita tal resolução, é o denominado Método dos multiplicadores de

Lagrange

Qualquer ponto onde f (funções de n variáveis, ex: n = 3) tem extremo sujeito á restrição ( , , )g x y z = , é um ponto crítico da função auxiliar 0

( , , , ) ( , , ) ( , , ) F x y z λ = f x y z +λg x y z

para algum valor de λ (multiplicador de Lagrange)

Os valores de x, y e z que serão os extremos de f, estão entre os pontos críticos de F:

( , , , ) 0 ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 x y z F x y z F x y z F x y z F x y z_λ λ λ λ λ  =   ₌   =   = 

(1.35) TEOREMA: Teorema de Lagrange

Sejam,_{f e g ∈C}1_{. Se f x y( , ) tem um extremo no ponto} 0 0 ( , )x y sujeito á restrição ( , ) g x y =k e ∇g x y( , )_{0 0} ≠ , então 0 ∃ ∈λ :∇f x y( , )_{0 0} = ∇λ g x y( , )_{0 0} ESTRATÉGIA: 1º Passo: ( , ) ( , ) x x y y f g f g f g g x y k g x y k λ λ λ  =  ∇ = ∇     _⇔ ₌    =     _{ =} 

2º Passo: Calcular o valor de f nos pontos obtidos no 1º Passo.

O maior valor será o máximo e, o menor será um mínimo.

Exemplo

Determinar os pontos da circunferência_x2 _+y2 _=81, que estão mais próximos e mais afastados do ponto de coordenadas ( 1,2)−

Resolução 1º Passo

Atendendo a que a distância de P −( 1,2) a um ponto ( , )x y da circunferência é

2 2

( 1) ( 2)

d = x + + y− .

Como a distância d será mínima ou máxima quando _d2 _{for um mínimo ou um máximo, geramos} a função f para a qual

2 2

( , ) ( 1) ( 2)

f x y = x + + y− (1)

pretendemos encontrar um valor mínimo e máximo de f sujeitos á restrição

2 2 ₈₁ 2 2 _{81 0 ( , ) 0}

x +y = ⇔x +y − = ⇔ g x y = com _{g x y( , )=x}2 _+y2 ₌₈₁ (2)

2º Passo

Na hipótese de existir um valor mínimo e máximo, ele ocorrerá num ponto crítico de F:

2 2 2 2 ( , , ) ( 1) ( 2) ( 81) F = f +λg ⇔ F x yλ = x + + y− +λx +y − (3)

P

P

P

1