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Universidade Federal da Bahia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Projeto de Pesquisa
Título do Projeto Implementação em elementos finitos de um modelo constitutivo para compressibilidade de resíduos sólidos urbanos.
Nome do Orientador Sandro Lemos Machado
Grande Área/área de concentração
Engenharias I/ Engenharia Civil
Palavras Chave Resíduos sólidos urbanos. Resistência mecânica. Modelo Constitutivo. Modelagem Numérica.
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Sumário
Lista de Figuras ... 4 Lista de Tabelas ... 8 1. Resumo ... 9 2. Introdução ... 9 3. Justificativa e relevância ... 13 4. Problema de Pesquisa ... 145. Hipóteses do trabalho (geral e específicas) ... 15
5.1 Hipótese geral ... 15
5.2 Hipóteses específicas ... 15
6. Objetivo (Geral e Específicos) ... 16
6.1 Objetivo Geral ... 16
6.2 Objetivos Específicos ... 16
7. Delimitação do tema ... 17
8. Revisão Bibliográfica ... 18
8.1 Comportamento mecânico dos materiais ... 18
8.1.1 Comportamento elástico ... 18
8.1.2 Elasticidade nos solos ... 21
8.1.3 Introdução à Elastoplasticidade ... 26
8.1.4 Introdução à Mecânica dos Estados Críticos ... 36
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8.2 Comportamento mecânico dos RSU e modelos constitutivos ... 64
8.2.1 Aterros Sanitários para RSU ... 64
8.2.2 Compressibilidade do RSU ... 65
8.2.3 Resistência ao Cisalhamento do RSU e sua particularidade ... 67
8.2.4 Modelos constitutivos do RSU ... 73
8.2.5 Modelo constitutivo proposto por Machado et al. (2002) ... 74
8.3 Implementação Numérica (Métodos computacionais) ... 84
8.3.1 Método dos Elementos Finitos (MEF) ... 86
8.3.2 CRISP (Critical State Program) ... 87
9. Metodologia ... 89
10. Viabilidade e financiamento ... 91
11. Resultados e Impactos esperados ... 92
12. Cronograma ... 95
13. Equipe técnica ... 95
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Lista de Figuras
Figura 1 Delimitação do tema (Cone Invertido). Fonte: Autor. ... 17 Figura 2 Relação Tensão-Deformação: (a) linear, (b) não-linear. Fonte: LODI (2002)... 19 Figura 3 Elemento infinitesimal submetido a tensões normais e cisalhantes. Fonte: Machado (2016) ... 21 Figura 4 Esquema de ensaio de compressão triaxial. Fonte: MACHADO & CARVALHO (2013). ... 22 Figura 5 Resultados típicos de ensaios triaxiais drenados. (a) 𝑞𝑥𝜀𝑠, (b) 𝑞𝑥𝜀𝑎 e (c) 𝜀𝑣𝑥𝜀𝑎. Fonte: WOOD (1992). ... 23 Figura 6 Comportamento elastoplástico de um metal. Fonte: Atkinson & Bransby (1978)... 26 Figura 7 Comportamento elastoplástico de uma argila num ensaio de compressão isotrópica. Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 28 Figura 8 Direção das deformações plásticas observadas em confronto com a superfície de escoamento obtida. Fonte: Machado & Vilar (1996)... 29 Figura 9 Critério de escoamento de Tresca. Fonte: Machado (2016) ... 31 Figura 10 Critérios de escoamento de Tresca (a) e von Mises (b) no espaço efetivo de tensões principais. Fonte: Wood, 1992. ... 32 Figura 11 Critério de escoamento de Mohr-Coulomb. Fonte: Machado (2016) 33 Figura 12 Critério de escoamento de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager. Fonte: Machado (2016) ... 35 Figura 13 Superfície de plastificação sugerida por Drucker et al. (1955) (Apud Nader,1993) ... 36 Figura 14 Resultados típicos de ensaios triaxiais não drenados. Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 39 Figura 15 Resultados típicos de ensaios triaxiais normalizados pela tensão de confinamento Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 39
5 Figura 16 Trajetórias de tensões típicas obtidas em ensaios triaxiais convencionais não drenados. Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 40 Figura 17 Comparação entre resultados obtidos para compressões isotrópica e confinada. Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 41 Figura 18 Plano p’ x v em escala semi-log. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).42 Figura 19 Linha de estados críticos no espaço (p’, q, v). Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 43 Figura 20 A superfície de Roscoe e as trajetória de tensões normalmente seguidas em ensaios triaxiais drenados e não drenados. Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 45 Figura 21 Resultados de amostras levemente pré-adensadas em eixos normalizados (q’/p’e x p’/p’e). Fonte: Atkinson & Bransby (1978). ... 45 Figura 22 Resultados típicos de ensaios triaxiais convencionais drenados realizados em amostras pré-adensadas. Fonte: Machado & Vilar (1996). ... 46 Figura 23 Resultados, em termos de trajetórias de tensões de um ensaio triaxial convencional drenado. Fonte: Machado & Vilar (1996). ... 47 Figura 24 Valores de q e p’ na ruptura, plotados em eixos normalizados ... 48 Figura 25 Superfície de Hvorslev (reta AB) e de Roscoe (Linha BC) em conjunto com a linha de estados críticos (ponto B) e a linha de compressão isotrópica (ponto C). Fonte: Machado & Vilar (1996). ... 49 Figura 26 Superfície limitante completa de estados do solo, composta da junção das superfícies de Roscoe e Hvorslev. Atkinson & Bransby (1978) ... 50 Figura 27 Trajetórias de tensões esperadas para ensaios não-drenados em amostras pré-adensadas. Fonte: Atkinson & Bransby (1978) ... 51 Figura 28 A superfície limite do estado estável (SSBS). (Britto & Gunn, 1987).54 Figura 29 Superfícies de escoamento para o Cam - clay original e modificado. Fonte: (Wood, 1992). ... 55 Figura 30 Lei de Fluxo associada. Fonte: (Pedroso, 2002). ... 56
6 Figura 31 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras normalmente adensadas. Fonte: Machado (2016) ... 59 Figura 32 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras pré-adensadas. Fonte: Machado (2016) ... 60 Figura 33 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras normalmente adensadas. Fonte: Machado (2016) ... 61 Figura 34 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras pré-adensadas. Fonte: Machado (2016) ... 62 Figura 35 Resultados experimentais e simulados (programa CRIS) para o ensaio triaxial com tensão confinante de 150 kPa. (q x 𝜀𝑎). Fonte: Lodi, 2002. ... 62 Figura 36 Resultados experimentais e simulados (programa CRIS) para o ensaio triaxial com tensão confinante de 150 kPa. (p’ x 𝜀𝑣). Fonte: Lodi, 2002. ... 63 Figura 36 Resultados experimentais e simulados (programa CRIS) para o ensaio triaxial com tensão confinante de 150 kPa. (𝜀𝑣 x ε𝑎). Fonte: Lodi, 2002. ... 63 Figura 38 Mecanismo de adensamento do Resíduo Sólido Urbano - Grisolia & Napoleoni (1996). ... 66 Figura 39 Resumo de parâmetros de resistência ao cisalhamento encontrados na literatura. Fonte Zhan et al. (2008). ... 68 Figura 40 RSU: Resultados típicos de ensaio triaxial CD (a). RSU: Resultados típicos de ensaio triaxial CU (b). Fonte: Machado & Karimpour-FARD (2011). 70 Figura 41 Resultados de ensaios CD para RSU. Fonte: Carvalho (1999). ... 71 Figura 42 Relações de tensão-deformação obtidas de quatro amostras com idades diferentes entre 6.3 e 9 anos. Fonte Zhan et al. (2008). ... 72 Figura 43 Comparação entre modelos constitutivos (Vantagens e Desvantagens) - AUTOR ... 74 Figura 44 Relação da função de mobilização e deformação axial – Machado et al. (2002). ... 77
7 Figura 45 Resultados experimentais e preditos para curva de ensaios de compressão triaxial para tensão confinante de 100kPa. Fonte: Machado et al. (2002)... 81 Figura 46 Resultados experimentais e preditos para curva de ensaios de compressão triaxial para tensão confinante de 200kPa. Fonte: Machado et al. (2002)... 82 Figura 47 Resultados experimentais e preditos para curva de ensaios de compressão triaxial para tensão confinante de 400kPa. Fonte: Machado et al. (2002)... 83
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Lista de Tabelas
Tabela 1 Evolução dos parâmetros de resistência ao cisalhamento nas deformações axiais para diferentes quantidades de fibras. Teste CD. Fonte: Machado & FARD (2011). ... 69
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1. Resumo
A Modelagem numérica de aterros sanitários, especificamente para resíduos sólidos urbanos, classificados como não-inertes, classe II-A, ver NBR 10.004/2004, é de suma importância para o desenvolvimento do projeto e operação destes sistemas, bem como sua avaliação e potencial de risco. Estes sistemas são considerados corpos heterogêneos, que possuem transporte e fluxo de líquidos e gases, associados a fenômenos hidromecânicos e creep, assim como processos químicos e biológicos que alteram seu comportamento. O presente trabalho propõe a utilização de um modelo constitutivo proposto por Machado et al. (2002), o qual reproduz o comportamento mecânico dos resíduos sólidos urbanos (RSUs), para simulação do comportamento da tensão-deformação. O método numérico dos elementos finitos (MEF) será utilizada na modelagem numérica e o algoritmo base de processamento a ser adotado é o CRISP (Critical State Program), uma vez que este apresenta resultados satisfatórios na reprodução do comportamento mecânico no estado crítico, teoria a qual se fundamenta o modelo constitutivo em questão.
2. Introdução
Toda atividade humana, seja industrial, domiciliar, comercial e lazer, gera sempre resíduos, que se não forem dispostos adequadamente podem contaminar o solo, as águas e o ar gerando riscos à saúde pública e ao meio ambiente. Nos dias de hoje, face ao desenvolvimento tecnológico e sociocultural decorrente da revolução industrial, a quantidade de resíduo gerado vem aumentando exponencialmente com o tempo, o que acaba resultando em impactos ambientais. (CARVALHO, 1999).
10 Apesar desta descrição ter sido relatada a quase duas décadas atrás, atualmente o cenário mundial, no que diz respeito a produção de resíduo sólido urbano, têm sido similares ou piores. Segundo MACHADO et al. (2014), o impacto ambiental da eliminação de todos os tipos de resíduos sólidos tem sido reconhecido. Apesar do fato de que muitas estratégias, tais como "3Rs" (reduzir a produção, reciclar e reutilização de resíduos), foram introduzidas nos últimos anos, grandes quantidades de resíduos ainda devem ser eliminadas, a deposição em aterro é o método mais comum de destinação final de resíduos sólidos urbanos. Tal prática é bastante utilizada em países em desenvolvimento como no caso de Brasil e Índia, ainda sendo bastante empregada em países desenvolvidos como os Estados Unidos.
Segundo a Pesquisa Nacional de Saneamento Básico (PNSB), publicada pelo IBGE (2010) com dados de 2008, 81,3% de todo lixo coletado no Brasil é depositado em aterros sanitários (64,6%) ou controlados (15,7%), e o restante (18,7%) vai para os lixões. Isto demonstra uma melhora expressiva da situação da destinação final do lixo coletado no país nos últimos anos. Dezoito anos antes, a PNSB mostrava que o percentual de municípios que depositavam seus resíduos de forma adequada era de apenas 23% (IBGE, 1990). Dez anos mais tarde, o percentual passou para 73% (IBGE, 2000).
Segundo outros autores como ZEIDABADI et al. (2016) com o aumento da população e do estilo de vida, as táticas de gestão de resíduos também variam, assim políticas públicas são criadas pelos governos para incentivo da diminuição da produção e conscientização da população. Por outro lado, a geração de resíduos pode ser reduzida através das políticas de reciclagem, conforme dito anteriormente, ainda assim, sempre será necessário um local para realização da disposição final.
Por ser o principal material de construção dos aterros, os resíduos sólidos urbanos vêm sendo estudados e analisados desde a década de 70. Um dos
11 trabalhos pioneiros que classificam os RSUs e suas propriedades de engenharia é de SOWERS (1973), já na década de 90 vários pesquisadores ampliaram a literatura destas propriedades e comportamento deste material, como será abordado nos capítulos posteriores do presente trabalho.
Apesar de uma vasta literatura existente atualmente, os aterros sanitários ainda possuem uma certa dificuldade em seu gerenciamento. Além disto, CALDAS (2011), BOSCOV (2008), dentre outros autores, descrevem que as propriedades de engenharia do RSU mudam completamente de acordo com a região, cultura e economia no qual este é gerado.
Problemas envolvendo operação, funcionamento, estabilidade e deformabilidade de aterros sanitários são constantes.
O fato, no entanto, é que rupturas de aterros sanitários têm ocorrido ao longo dos anos. Exemplo recente foi a ruptura, em 2005, do aterro Leuwigajah, na Indonésia, envolvendo 2.700.000 m³ de RSU, que causou 147 mortes. Outro caso, este em 2007, envolveu o aterro Sítio São João, na cidade de São Paulo, mobilizando uma massa de 220.000 m³ de RSU, sem causar vítimas. Além destes, em 2011 houve a ruptura do aterro de Itaquaquecetuba causou consequências como o deslocamento de massa de resíduos, lançamento de resíduos e chorume no Córrego Taboãozinho e deixou incertezas sobre eventuais perdas de vidas (BOSCOV & FUTAI, 2011).
Por outro lado, é importante frisar, que os projetos e construção de aterros sanitários no Brasil têm sido caracterizados pela adoção de critérios e de parâmetros de projetos baseados na experiência de países de primeiro mundo sem que haja uma confirmação ou validação para as condições de nosso país. Os nossos resíduos têm composição, em termos de matéria orgânica e umidade, bastante diferente dos daqueles países e a simples adoção de parâmetros “geotécnicos” importados para nossos aterros sanitários pode gerar situações
12 críticas de estabilidade, a médio e longo prazo, que poderão criar problemas e zonas de riscos para populações e benfeitorias próximas. (CARVALHO, 1999). ZEIDABADI et al. (2016) afirma que fracassos desastrosos de aterros têm sido relatados resultando em morte de pessoas e impactos ambientais horríveis (BLIGHT, 2008; KOERNER & SOONG, 2000). Tais relatos mostram conhecimento inadequado de análise de estabilidade do aterro. Assim, para a simulação e análise de qualquer estrutura, independentemente do tamanho que seja ela, é necessário a compreensão do comportamento mecânico de seu material de construção e, em seguida, com base na modelagem do seu comportamento físico, propor um modelo constitutivo adequado.
Atualmente existem alguns modelos constitutivos propostos os quais serão discutidos nos capítulos posteriores, sendo que podemos destacar os trabalhos de EBERS-ERNST (2001), MCDOUGALL & PYRAH (2001), MACHADO et al. (2002), LUKE (2002), FINNO et al. (2007), MACHADO et al. (2008), BABU et al. (2010), KRASE et al. (2011) e ZEIDABADI et al. (2016). Todos a partir de resultados de ensaios triaxiais ou compressão edométrica estimam as curvas de tensão-deformação do material. Entretanto a necessidade da implementação numérica destes modelos é fundamental uma vez que a simulação ou reprodução do maciço como um todo só é possível a partir de técnicas de integração numérica.
Logo, o presente trabalho se propõe a partir do modelo proposto por Machado
et al. (2002), e com base numa técnica de integração numérica, neste caso, o
método dos elementos finitos, reproduzir o comportamento mecânico de um aterro sanitário. Ambos, modelo constitutivo e método adotado serão discutidos e justificados nos capítulos posteriores.
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3. Justificativa e relevância
O estudo dos resíduos sólidos urbanos vem sendo foco de atenção crescente no cenário mundial contemporâneo, tanto pelo número crescente que estes resíduos são gerados, devido à expansão urbana, quanto pela necessidade de otimizar a disposição destes resíduos. Além disto, um dos indicadores do aumento de consumo e da produção econômica de uma região qualquer está associado também a sua produção de resíduo, portanto, cada vez mais se fará necessário a utilização de aterros sanitários, a não ser que com o uso de tecnologia mais limpas, redução de insumos, reuso e reciclagem, além da adoção de técnicas outras de destinação de resíduos, como a compostagem, o uso dos aterros seja dispensado.
A problemática dos RSU levou o Brasil a aprovar no ano de 2010 a lei nº 12.305 para estabelecer a política nacional de resíduos sólidos com vista a solucionar os agravos ambientais ligados à geração incontrolada, disposição final e tratamento inadequado etc desses materiais. (CALDAS, 2011).
Segundo Carvalho (1999) a industrialização e o crescimento demográfico das cidades têm aumentado a produção de resíduos sólidos urbanos (RSU) e agravando o desafio de dispor de maneira segura e adequada a crescente produção destes resíduos.
Segundo a ABRELPE, 2011, O aterro sanitário é a forma de destinação final mais utilizada no Brasil, atingindo em 2011 o índice de 58,1%. Portanto, estudar o comportamento frente a deformabilidade e resistência desses materiais, tornou-se cada vez mais imprescindível, conforme elementos citados anteriormente neste trabalho.
Segundo Machado et al. (2002), as dificuldades no estudo e modelagem de resíduos sólidos urbanos (RSU) estão associadas à heterogeneidade do material,
14 o qual apresenta diferentes tipos e dimensões dos seus constituintes e tem componentes que se degradam com o tempo. Além disto, processos biológicos e químicos contribuem significativamente para modificar o comportamento dos resíduos ao longo do tempo.
Devido a esta dificuldade, técnicas de implementação numérica para o estudo deste comportamento vêm sendo bastante utilizadas. Dentre elas, o método dos elementos finitos tem apresentado resultados satisfatórios no âmbito da geotecnia.
Assim, além da contextualização abordada no capítulo anterior acerca da problemática de gerenciamento dos resíduos sólidos urbanos, e consequentemente seus locais de destinação, os aterros sanitários, o presente trabalho se justifica pela necessidade de estudar o comportamento mecânico dos resíduos sólidos urbanos através de implementação numérica, tomando como base o modelo apresentado por Machado et al. (2002).
4. Problema de Pesquisa
Com base no discutido nos capítulos anteriores, a necessidade do estudo e da previsão do comportamento mecânico dos aterros sanitários para resíduos sólidos urbanos é evidente. Assim, este projeto tem como problema de pesquisa: Os modelos existentes reproduzem o comportamento mecânico dos RSUs no contexto dos ensaios triaxiais, isto é, em apenas um ponto do maciço do aterro. Logo, para reprodução do conjunto é necessária uma técnica que resolva os sistemas de equações diferenciais de seu modelo constitutivo.
15 Tal problema está fundamentado na teoria da mecânica do contínuo, na qual, a influência dos pontos ou dos elementos da vizinhança alteram ou perturbam o estado de tensões do nó ou elemento em questão.
5. Hipóteses do trabalho (geral e específicas)
Para possível solução do problema proposto temos como hipóteses geral e específicas:
5.1 Hipótese geral
Para solução dos sistemas de equações diferenciais e predição do comportamento mecânico do maciço é necessário a utilização de uma técnica de modelagem numérica que seja capaz de discretizar o corpo em vários elementos, para a partir de conhecido cada elemento ou nó, possa reproduzir o comportamento do todo.
5.2 Hipóteses específicas
• O modelo constitutivo para RSUs de Machado et al. (2002) apresenta uma boa previsão do comportamento mecânico dos RSUs nos ensaios triaxiais e deve reproduzir de forma equivalente o comportamento do maciço. • Um método numérico que pode resolver a integração do conjunto de
equações é o método dos elementos finitos pela forma com que seu processo de soluçao dos problemas é estabelecido.
16 • Pelo fato do modelo constitutivo estar fundamentado na teoria da mecânica dos solos dos estados críticos e o método numérico suposto para resolução ser elementos finitos, um dos algoritmos que podem solucionar tal integração é o CRISP (Critical State Program).
• A simulação de uma seção de aterro com suas dimensões reais poderá ser feita e comparada com um aterro existente.
6. Objetivo (Geral e Específicos)
6.1 Objetivo Geral
Implementar no código CRISP um modelo constitutivo para reprodução ou simulação do comportamento mecânico de Resíduos Sólidos Urbanos.
6.2 Objetivos Específicos
• Utilizar o modelo constitutivo de Machado et al.(2002) para ser a equação a ser implementada no programa.
• Adotar o método dos elementos finitos para solucionar o sistema de integração de equações diferenciais que regem o problema.
• Adaptar o CRISP (Critical State Program) para o âmbito de resíduos sólidos urbanos.
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7. Delimitação do tema
O tema ou problema aqui proposto está situado na grande área Engenharias I. Por ser um problema multidisciplinar engloba dois setores, Engenharia Civil, por realizar uma abordagem geotécnica, e Engenharia Sanitária e Ambiental, por possuir como objeto de estudo os resíduos sólidos urbanos. Dentro desta área, está delimitado à Geotecnia, dentro do âmbito da Geotecnia, está na Geotecnia Ambiental, particularizando a esta área de estudo aos Aterros Sanitários de Resíduos Sólidos Urbanos, ou seja, Aterros Classe II-A Não-Inertes, conforme definição da norma NBR 10.004/2004. Dentro dos aterros sanitários, o tema encontra-se no estudo do comportamento mecânico, mais precisamente dos fenômenos de compressibilidade e cisalhamento do maciço e por fim, dentro deste contexto, na modelagem deste fenômeno para predizer suas deformações e deslocamentos.
A figura 1 descreve de forma sucinta a delimitação do tema proposto.
Figura 1 Delimitação do tema (Cone Invertido). Fonte: Autor. COMPRESSIBILIDADE E
CISALHAMENTO MODELAGEM ENGENHARIAS I
ENGENHARIA CIVIL ENGENHARIA AMBIENTAL
GEOTECNIA GEOTECNIA AMBIENTAL ATERROS SANITÁRIOS - RSU
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8. Revisão Bibliográfica
Aqui neste capítulo serão discutidos aspectos relacionados a fundamentação teórica do problema proposto, discussão do modelo constitutivo a ser implementado e conceitos básicos do comportamento mecânico dos materiais. Para isto este capítulo será dividido em três blocos, num primeiro momento serão discutidos todos os conceitos do comportamento mecânico dos materiais, elasticidade e plasticidade, estados críticos e suas aplicações aos solos, no segundo bloco uma abordagem do comportamento do RSU e sua modelagem constitutiva, e, por fim, uma breve discussão acerca da implementação numérica, o algoritmo a ser utilizado e método numérico adotado.
8.1 Comportamento mecânico dos materiais
É sabido que o comportamento mecânico dos materiais pode ser descrito ou predito através dos conceitos da teoria da elasticidade, elastoplasticidade e plasticidade, desde que se se conheça seus parâmetros, é possível descrevê-los por meio de relações de tensão-deformação, sendo que cada uma destas teorias descrevem uma fase dos materiais quando solicitados a esforços mecânicos.
8.1.1 Comportamento elástico
Um material é dito como comportamento elástico, quando o mesmo possui a capacidade de recuperar toda sua energia empregada na deformação do sólido durante o descarregamento.
A lei constitutiva mais básica do comportamento de um material linear elástico é a Lei de Hooke, onde as tensões são determinadas pelas deformações, isto é, existe uma relação única entre tensões e deformações, sendo que através de uma equação linear, conhecendo as deformações, pode-se determinar as tensões.
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Figura 2 Relação Tensão-Deformação: (a) linear, (b) não-linear. Fonte: LODI (2002).
Em ambos os gráficos da figura acima o material apresenta um comportamento elástico, isto é, havendo descarregamento do material, os valores de deformação retornam ao seu estágio inicial, logo não há histerese ou qualquer plastificação no corpo. Sendo que o coeficiente angular destas curvas apresentadas, com base na Lei de Hooke, é definido como E (módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de “Young”).
Algebricamente, um material elástico-linear, segundo a Teoria da Elasticidade, é descrito através das seguintes relações constitutivas de tensão-deformação:
𝜀𝑥= 𝜎𝑥 𝐸 − 𝑣 𝜎𝑦 𝐸 − 𝑣 𝜎𝑧 𝐸 (1) 𝜀𝑦 = 𝑣 𝜎𝑥 𝐸 − 𝜎𝑦 𝐸 − 𝑣 𝜎𝑧 𝐸 (2) 𝜀𝑧= 𝑣𝜎𝑥 𝐸 − 𝑣 𝜎𝑦 𝐸 − 𝜎𝑧 𝐸 (3) 𝛾𝑥𝑧 =𝜏𝑥𝑧 𝐺 (4) 𝛾𝑥𝑦= 𝜏𝑥𝑦 𝐺 (5) 𝛾𝑦𝑧= 𝜏𝑦𝑧 𝐺 (6) Onde,
20 𝜀𝑥 é a deformação específica longitudinal na direção x;
𝜀𝑦 é a deformação específica longitudinal na direção y; 𝜀𝑧 é a deformação específica longitudinal na direção z; 𝜎𝑥 é a tensão normal na direção x;
𝜎𝑦 é a tensão normal na direção y;
𝜎𝑧 é a tensão normal na direção y;
𝛾𝑥𝑧 é a deformação distorcional no plano xz;
𝛾𝑥𝑦 é a deformação distorcional no plano xy; 𝛾𝑦𝑧 é a deformação distorcional no plano yz; 𝜏𝑥𝑧 é a tensão cisalhante no plano xz;
𝜏𝑥𝑦 é a tensão cisalhante no plano xy; 𝜏𝑦𝑧 é a tensão cisalhante no plano yz; E é o módulo de elasticidade longitudinal; G é o módulo de elasticidade transversal.
A figura 3 a seguir mostra um elemento infinitesimal de dimensões dx, dy, dz, submetidos ao estado de tensões que obedecem a condições de equilíbrio e as relações descritas nas equações (1) à (6).
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Figura 3 Elemento infinitesimal submetido a tensões normais e cisalhantes. Fonte: Machado (2016)
8.1.2 Elasticidade nos solos
Com base no discutido nos capítulos anteriores, o presente trabalho fará uma abordagem geotécnica do comportamento mecânico do RSU, logo tal fundamentação se dará no estudo das teorias elásticas e plásticas do âmbito da mecânica dos solos. A resposta elástica dos solos ao acréscimo de tensões pode ser interpretada através de gráficos de (𝑞𝑥𝜀𝑠), (𝑞𝑥𝜀𝑎) e (𝜀𝑣𝑥𝜀𝑎), podendo-se obter valores das constantes elásticas destes materiais. Tais gráficos são resultados típicos de ensaios triaxiais convencionais, que resumidamente podem ser descritos como ensaios em que um corpo de prova cilíndrico é colocado numa câmara hidrostática e submetido a pressões confinantes equivalentes em toda sua superfície, através do líquido contido na câmara, e outra pressão no topo, através de um pistão. Conforme a figura 4:
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Figura 4 Esquema de ensaio de compressão triaxial. Fonte: MACHADO & CARVALHO (2013).
A figura 5, a seguir, apresenta alguns resultados típicos de ensaio triaxial drenado em solos.
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Figura 5 Resultados típicos de ensaios triaxiais drenados. (a) 𝑞𝑥𝜀𝑠, (b) 𝑞𝑥𝜀𝑎 e (c)
𝜀𝑣𝑥𝜀𝑎. Fonte: WOOD (1992).
Segundo Wood (1992), as equações que descrevem a resposta elástica do solo aplicados a uma tensão efetiva são:
𝛿𝜀𝑎 = (1 𝐸′)[𝛿𝜎′𝑎− 2𝑣′𝛿𝜎′𝑟] (7) 𝛿𝜀𝑟 = (1 𝐸′)[𝛿𝜎 ′ 𝑟(1 − 𝑣′) − 𝑣′𝛿𝜎′𝑎] (8) Onde,
E’ é o módulo de Young; v’ é o Coeficiente de Poisson;
24 𝛿𝜀𝑎 é o incremento de deformações axiais;
𝛿𝜀𝑟 é o incremento de deformações radiais; 𝛿𝜎′𝑎 é o incremento de tensões normais axiais;
𝛿𝜎′𝑟 é o incremento de tensões normais radiais;
Fazendo alusão ao do ensaio de compressão triaxial, pode-se determinar a tensão octaédrica efetiva média (p’) e a tensão desviadora (q) pelas seguintes equações:
𝑝′ = (1
3)[𝜎′𝑎+ 2𝜎′𝑟] (9)
𝑞 = [𝜎′𝑎− 𝜎′𝑟] (10)
Os incrementos de deformação volumétrica (𝛿𝜀𝑣) e cisalhante (𝛿𝜀𝑠) são:
𝛿𝜀𝑣 = (𝛿𝜀𝑎+ 2𝛿𝜀𝑟) (11)
𝛿𝜀𝑠 = 2/3(𝛿𝜀𝑎−𝛿𝜀𝑟) (12)
Baseando-se nos conceitos da teoria da elasticidade, os incrementos de deformação volumétrica e cisalhantes, para o ensaio triaxial, segundo Atkinson & Bransby (1978) são:
𝛿𝜀𝑣 = [(1 − 2𝑣′)/𝐸′]. (𝛿𝜎′
𝑎+ 2𝛿𝜎′𝑟) (13)
25 𝛿𝜀𝑣 = [3. (1 − 2𝑣′)/𝐸′]. 𝛿𝑝′ (14)
Analogamente,
𝛿𝜀𝑠 = [2. (1 − 2𝑣′)/3𝐸′]. 𝛿𝑞 (15)
Atkinson & Bransby (1978) resume as equações (14) e (15) para:
𝛿𝜀𝑣 = 𝛿𝑝′/𝐾′ (16)
𝛿𝜀𝑠 = 𝛿𝑞/3𝐺′ (17)
Onde,
𝐾′= E′/3. (1 − 2v′) é o módulo de deformação volumétrica; 𝐺′= E′/2. (1 + 2v′) é o módulo de deformação cisalhante.
O gradiente inicial da curva tensão-deformação da figura 4.a é 3G’ e o gradiente inicial da curva de variação volumétrica da figura 4.b é dado por:
(𝛿𝜀𝑣/𝛿𝜀𝑠) = (3𝐺′𝛿𝑝′)/(𝐾′𝛿𝑞) (18)
Tais relações serão também utilizadas posteriormente nos modelos elastoplásticos abordados no presente trabalho.
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8.1.3 Introdução à Elastoplasticidade
Denomina-se Elastoplasticidade à Teoria da Plasticidade que considera tanto deformações recuperáveis quanto permanentes. Todo modelo elastoplástico baseia-se em três conceitos básicos: um critério de escoamento ou de plastificação, uma lei de fluxo e uma lei de endurecimento ou de encruamento, que serão discutidos de forma sucinta no presente capítulo.
De forma geral a característica da Elastoplasticidade é a presença de deformações plásticas, ou seja, irreversíveis. É importante neste momento fazer uma distinção entre deformações elásticas (reversíveis) e deformações plásticas (irreversíveis). Tomando como exemplo um metal com trecho de escoamento definido, conforme a figura 6 abaixo.
Figura 6 Comportamento elastoplástico de um metal. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
Observando a figura acima, é possível verificar que caso o material seja submetido a uma tensão axial até o ponto Y e sofra o descarregamento, todo valor de deformação axial é anulado, isto é, a curva retorna à origem, a medida que o valor de tensão supera o ponto Y e chega até o ponto G, já ocorre a plastificação, ou seja, caso haja descarregamento, parte da energia de
27 deformação não é recuperada, logo, havendo um descarregamento no ponto G, a curva retornará para o ponto B, ou seja, dar-se-á o surgimento de deformações irreversíveis. Assim, para este trecho entre Y e G, denomina-se escoamento, e um efeito do escoamento é o encruamento ou “strain hardening”, ou seja, antes da plastificação a tensão de escoamento do material era no ponto Y, após o escoamento, passou a ser em G, valor superior ao anterior.
As tentativas de aplicação de conceitos de elastoplasticidade a solos vieram a se intensificar após 1950, quando os conceitos de normalidade e estabilidade de um sistema começaram a aparecer na literatura. Pode-se dizer que, até então, os esforços direcionados à modelagem do comportamento tensão/deformação dos solos ainda não haviam sido iniciados (Jain, 1980). Talvez a maior contribuição no sentido de um desenvolvimento racional da teoria da plasticidade para uso em mecânica dos solos tenha sido dada por Drucker et al. (1957). O artigo publicado por estes autores introduziu a idéia de que a curva obtida em um ensaio de compressão confinada denota uma relação tensão/deformação do tipo “work-hardening” e que em conseqüência disto os sucessivos pontos de escoamento desta curva deveriam estar associados à superfícies de plastificação do solo. (MACHADO, 1999)
Ainda segundo Machado (1999) apesar dos conceitos de elastoplasticidade serem perfeitamente aplicados ao comportamento dos solos, tais materiais possuem características específicas como sua natureza dilatante, apresentam deformações volumétricas quando submetidas a tensões cisalhantes, sua natureza friccional, refletindo a influência da tensão octaédrica média (p’) nos valores de ruptura e/ou escoamento e a ausência de um limite bem definido separando a zona de deformações elásticas das plásticas. Sendo que estas particularidades serão discutidas ao longo deste capítulo.
Esta distinção de deformações recuperáveis e irrecuperáveis é melhor ilustrada pelo comportamento observado durante uma compressão isotrópica. Conforme figura abaixo.
28
Figura 7 Comportamento elastoplástico de uma argila num ensaio de compressão isotrópica. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
Na figura 7 acima, a linha ABC corresponde à linha normal de consolidação (LNC), conceito que abordaremos a seguir. Se o material é descarregado em no ponto B, pode retornar ao estágio no ponto D, através da linha de descarregamento BD. Após novo carregamento partindo de D, atingirá o ponto B, caminhando novamente sobre LNC até chegar ao ponto C. Similarmente, caso seja novamente descarregado, este atingirá o ponto E, através da nova linha de descarregamento CE. Assim pode-se notar que o material apresenta um volume específico cada vez menor a medida que é carregado e descarregado, apresentado na figura pela diferença da posição dos pontos D e E, isto se dá pelo fato de que nesta trajetória DBCE já ocorreram deformações irreversíveis no material, ou seja, regime plástico.
A abordagem desta figura faz alusão a um dos princípios básicos da Elastoplasticidade que é a Lei de encruamento ou endurecimento, na qual, segundo Atkinson & Bransby (1978) relaciona o surgimento deformações plásticas com o movimento da superfície de plastificação, ou seja, se a superfície de plastificação não se mover, todas as deformações presentes são elásticas, caso haja movimento, parte são elásticas e parte são plásticas.
E já que foi abordado a superfície de plastificação, pode-se definir, também pelo mesmo autor, que a superfície de escoamento ou plastificação, outro princípio básico da Elastoplasticidade, é a superfície que separa a zona elástica (dentro
29 dela) da zona plástica (sob ela), caso surja um novo estado de tensão fora da superfície, ela se move até que este estado esteja sob ela. Caso não seja possível, tal estado de tensão é tido como impossível de ser obtido.
E por fim, segundo Machado & Vilar (1996), a lei de encruamento correlaciona o montante de deformações plásticas necessário para deslocar a superfície de plastificação de um determinado valor (e lei de encruamento especifica o tamanho do vetor da figura 8). A lei de fluxo é encarregada de distribuir o montante de deformações plásticas dado pela lei de encruamento em suas respectivas parcelas de deformações. Em outras palavras, a lei de fluxo fornece a inclinação dos vetores da figura 8. Quando a lei de fluxo do material é tal que estes vetores de plastificação são ortogonais à superfície de plastificação, dizemos que se trata de uma lei de fluxo normal ou associada, caso contrário, que se trata de uma lei de fluxo não associada.
Figura 8 Direção das deformações plásticas observadas em confronto com a superfície de escoamento obtida. Fonte: Machado & Vilar (1996).
30 Para dar continuidade aos fundamentos da Elastoplasticidade, serão abordados alguns dos principais critérios de plastificação utilizados para descrever o comportamento dos materiais, que estão diretamente associados aos três elementos básicos discutidos nesta seção.
7.1.3.1 Critério de Tresca (1869)
Tal critério é adotado para máxima tensão de cisalhamento e aplica-se bem à materiais dúcteis, segundo Tresca (1869), o escoamento ocorre quando o máximo valor de tensão cisalhante no material atinge um valor crítico. Em termos de tensões principais, tem-se:
𝑚á𝑥(𝜎𝑖− 𝜎𝑗) = 2𝑐 (𝑖, 𝑗 = 1,2 3) (19)
Onde,
2c é a tensão de escoamento na tensão uniaxial;
𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 são as tensões principais maior, intermediária e menor respectivamente.
O espaço de tensões principais é obtido fazendo-se com que cada eixo esteja alinhado com uma direção principal. A equação (19) define um prisma hexagonal neste espaço. Tal prisma está centrado na diagonal espacial do plano das tensões principais, onde 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 e corresponde à superfície de escoamento
31
Figura 9 Critério de escoamento de Tresca. Fonte: Machado (2016)
7.1.3.2 Critério de von Mises (1913)
Este critério considera que o escoamento ocorrerá quando o segundo invariante de tensões atingir um valor crítico, ou, quando o estado de tensões principais atingir uma distância crítica da diagonal espacial:
(𝜎2− 𝜎3)2+ (𝜎3− 𝜎1)2+ (𝜎1− 𝜎2)2 = 8𝑐² (20)
Tal critério é conhecido como “Teoria da Energia de Distorção” por assumir que o escoamento tem início quando a energia de distorção atinge um valor igual à energia de distorção no escoamento, ou seja, quando esta atinge um valor crítico. (Desai & Siriwardane, 1984).
32 A figura 9 a seguir ilustra as superfícies de escoamento para os critérios de Tresca (1869) e von Mises (1913). Observa-se que as superfícies de escoamento diferem somente na sua forma no plano desviatório.
Figura 10 Critérios de escoamento de Tresca (a) e von Mises (b) no espaço efetivo de tensões principais. Fonte: Wood, 1992.
7.1.3.3 Critério de escoamento aplicado aos solos
No caso dos solos, a maioria das leis de encruamento adotadas estão associadas à mudanças na deformação plástica volumétrica (“volumetric plastic models”). Deste modo, os parâmetros utilizados em boa parte das leis de endurecimento adotadas para solos são obtidos a partir da realização de ensaios de compressão confinada ou isotrópica (vide Atkinson & Bransby (1978), por exemplo). Além disto, na maioria dos modelos elastoplásticos para solos, a superfície de escoamento é suposta variar em tamanho mas não em forma ou
33 seja, o modo de escoamento adotado é geralmente isotrópico. (MACHADO, 1999).
Dentro destes critérios pode-se destacar Mohr-Coulomb (1900), o qual a partir dos parâmetros do solo como coesão efetiva (c’), ângulo de atrito interno (𝜑′) e associado aos invariantes de tensão define um possível escoamento do material. Tal critério se dá pela equação (21) descrita abaixo:
[ 1 √3 cos 𝜑sin (𝜃 + 𝜋 3) − 1 3tan 𝜑 cos (𝜃 + 𝜋 3)] 𝑞 − 𝑝 tan 𝜑 = 𝑐 (21) cos(3𝜃) = 3√3 2 .𝐽3 𝐽23/2 (22) Onde,
𝐽2 e 𝐽3 são invariantes de tensão que fazem parte da desviadora.
A figura 11 a seguir mostra a forma da superfície de escoamento segundo este critério.
34 É geralmente aceito que o comportamento dos solos é por demais complexo para ser modelado utilizando-se elasticidade linear. Sua inerente não linearidade e seu comportamento de caráter plástico fazem necessário o uso de teorias mais complexas de modelagem. Muitos modelos têm sido propostos nas últimas três décadas, os quais avançam além da lei de Hooke. É vantajoso para uma discussão posterior a classificação destes de acordo com a natureza de suas hipóteses intrínsecas. (MACHADO, 1999).
Segundo Jain (1980), as tentativas de aplicação de conceitos de elastoplasticidade a solos vieram a se intensificar após 1950, quando os conceitos de normalidade e estabilidade de um sistema começaram a aparecer na literatura. Pode-se dizer que, até então, os esforços direcionados à modelagem do comportamento tensão/deformação dos solos ainda não haviam sido iniciados.
A partir de trabalhos pioneiros como o de Drucker - Prager (1952), os conceitos da teoria da plasticidade passaram a ser desenvolvidos e adaptados para uso em mecânica dos solos, com o intuito de se fazer previsões mais realistas das deformações decorrentes das cargas impostas às obras geotécnicas. (LODI, 2002).
Drucker - Prager (1952) foram os primeiros a propor uma função de plastificação para os solos (idealizados como material elastoplástico perfeito). Sendo derivado do critério de Mohr-Coulomb, expressada por:
𝑓(𝜎1, 𝜎2, 𝜎3) = 𝛼. 𝐼1+ √𝐽2− 𝑘 = 0 (23)
Onde 𝛼 e 𝑘são constantes características do solo e guardam semelhança com o ângulo de atrito do solo e com a coesão, respectivamente.
Tal modelo, é do tipo elastoplástico perfeito, não levando em conta o encruamento sofrido pelo solo, fenômeno este responsável por deslocar eventuais superfícies de escoamento elevando-as até a ruptura. Portanto, pode-se dizer, pode-segundo Lodi (2002), que esta constitui apenas uma superfície de escoamento obtida para uma condição última.
35 Ainda assim a ocorrência de cantos na representação do critério de Mohr-Coulomb dificulta a sua aplicação em elastoplasticidade, pois não há como se definir, de forma precisa, a direção do vetor de deformações plásticas. Nestes casos o critério de Drucker-Prager (1952) leva vantagens, já que a sua superfície apresenta uma transição suave, conforme pode-se observar a figura 12.
Figura 12 Critério de escoamento de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager. Fonte: Machado (2016)
Um trabalho de grande importância, relacionado com a plasticidade e dirigido à Mecânica dos Solos, foi o de Drucker et al. (1955). Esses autores relatam, principalmente a diferença existente entre plastificação e ruptura, o comportamento similar do solo com materiais elastoplásticos, com endurecimento ou amolecimento; e, o fato da superfície de plastificação dos solos obrigatoriamente interceptar a diagonal do espaço das tensões (plastificação por compressão isotrópica). (LODI, 2002)
36
Figura 13 Superfície de plastificação sugerida por Drucker et al. (1955) (Apud Nader,1993)
Modelo nomeado como “Cap Models”, que possui a vantagem em relação aos demais de que a plastificação do material devido somente o aumento da tensão octaédrica em um estado hidrostático de tensão não era possível, entretanto, sabe-se que tal fenômeno pode ocorrer, o que resulta que tais superfícies de plastificação sejam fechadas, daí o nome “Cap Models”.
Ao fim da década de 60, Roscoe e sua equipe da Universidade de Cambridge, incorporam este conceito de estado crítico de um solo desenvolvido por Drucker
et al. (1955) e desenvolvem o modelo “Cam-Clay”, que é a base para o modelo
constitutivo do problema de pesquisa do presente trabalho.
8.1.4 Introdução à Mecânica dos Estados Críticos
Diz-se que um solo está em uma condição de estados críticos quando o mesmo passa a sofrer deformações cisalhantes de grande monta sem variações na sua
37 tensão desviadora (q) ou na sua deformação volumétrica. Segundo Roscoe et al. (1958), os estados de tensão assim definidos tendem a se situar sobre uma mesma reta no espaço (q;p’;e). (Britto & Gunn, 1987).
Ainda, segundo Britto & Gunn, 1987, quando um solo tende a uma condição na qual o cisalhamento pode continuar ocorrendo sem que apresente variações de volume ou de seu estado efetivo de tensões, diz-se que este atingiu sua condição de estado crítico.
Pode-se dizer também que o estado crítico ocorre quando numa amostra, é possível continuar o esforço cisalhante com nenhuma variação de seu estado de tensões ou volume.
Algebricamente, a condição de estado crítico é dada por:
𝛿𝜈 𝛿𝜀𝑠= 𝛿𝑞 𝛿𝜀𝑠= 𝛿𝑝′ 𝛿𝜀𝑠= 0 (24) Onde,
𝛿𝜀𝑠 é a variação de deformação cisalhante; 𝛿𝜈 é variação volumétrica;
𝛿𝑞 é a variação da tensão desviadora;
𝛿𝑝′ é a variação da tensão octaédrica efetiva média.
Sendo que, devido aos conceitos já abordados e a utilização dos parâmetros p’ e q nos modelo constitutivo do presente trabalho, podemos descrevê-los como sendo: 𝑝′= 1 3(𝜎1+ 𝜎2 + 𝜎3) (25) 𝑞 = 1 √2[(𝜎1− 𝜎2) 2+ (𝜎 1− 𝜎3)2+ (𝜎2− 𝜎3)²]1/2 (26)
38 𝑝′= 1 3(𝜎𝑎+ 2𝜎𝑟) (27) 𝑞 = (𝜎𝑎− 𝜎𝑟) (28) 𝜀𝑣 = 1 3(𝜀𝑎+ 2𝜀𝑟) (29) 𝜀𝑠 = 2 3(𝜀𝑎− 𝜀𝑟) (29) Onde,
𝜀𝑎 é a deformação axial do corpo de prova;
𝜀𝑟 é a deformação radial do corpo de prova.
A abordagem acerca deste assunto, no presente trabalho, seguirá a forma apresentada por Atkinson & Bransby (1978).
A figura 14 mostra resultados de uma família de testes triaxiais consolidados não drenados realizados em uma argila normalmente adensada.
Na figura 15, estes mesmos resultados estão apresentados normalizados pela tensão de confinamento da amostra (𝑝0), que neste caso é igual à tensão
equivalente (𝑝𝑒). A tensão equivalente, 𝑝𝑒, corresponde ao valor de p’ na reta
virgem de compressão isotrópica do solo, para o qual o solo apresenta um volume específico 𝑣, independente da história de tensões a que foi submetido. Para amostras normalmente adensadas, 𝑝0 = 𝑝𝑒 , enquanto que para amostras pré-adensadas 𝑝0 < 𝑝𝑒. Na figura 16 estão apresentadas trajetórias de tensões
típicas obtidas a partir da realização de ensaios consolidados não drenados em solos normalmente adensados. Vemos que este solo alcança esta condição para valores de deformação axial de aproximadamente 10 %.
39
Figura 14 Resultados típicos de ensaios triaxiais não drenados. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
Figura 15 Resultados típicos de ensaios triaxiais normalizados pela tensão de confinamento Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
40
Figura 16 Trajetórias de tensões típicas obtidas em ensaios triaxiais convencionais não drenados. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
O valor da relação (q/p’) para o qual o solo atinge o estado crítico é denominado de “M”, que representa a inclinação da projeção da linha de estados críticos no espaço p’ x q.
A expressão que correlaciona “M” com o ângulo de atrito interno do solo ( ) pode ser expressa, para ensaios triaxiais de compressão pela equação (30) dada por:
𝑀 = 6.sin(𝜙)
(3−sin(𝜙)) (30)
Conforme ilustra a figura 17, seguinte, os resultados de ensaios de compressão confinada, no espaço (p’ x v), resultam em retas aproximadamente paralelas, deslocadas para a esquerda daquelas obtidas a partir de ensaios de compressão isotrópica. Isso pode ser justificado pelo fato de existirem tensões desviadoras não nulas durante a realização dos ensaios de compressão confinada.
41
Figura 17 Comparação entre resultados obtidos para compressões isotrópica e confinada. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
A equação da reta virgem de compressão é dada pela seguinte expressão:
𝑣 = 𝑁 − 𝜆. ln(𝑝′) (31)
Onde,
N é o volume específico do solo para um valor de p’ unitário (no sistema de
medidas utilizado)
é o coeficiente de compressão do solo, o qual, por ser adimensional, é o mesmo qualquer que seja o sistema dimensional utilizado.
O valor de é calculado pela seguinte expressão:
𝜆 = 𝑑𝑣/ ln(𝑝′) (32)
A reta de descompressão-recompressão do solo pode ser fixada no espaço (v x lnp’) pela expressão abaixo:
42
𝑣 = 𝑣𝑘+ 𝜅. ln (𝑝′) (33)
Onde,
𝑣𝑘 é o valor do volume específico do solo para p’ unitário; 𝜅 é o coeficiente de recompressão do solo.
Nota-se que enquanto N, 𝜆 e 𝜅 são valores característicos, 𝑣𝑘 está associado à condição de pré-adensamento.
Na figura a seguir, é apresentado os resultados no plano p’ x v para a condição de estado crítico (em escala semi-logarítimica). Nota-se que, para o caso das amostras normalmente adensadas, a linha para a condição de estado crítico é paralela à reta de compressão virgem do solo, independente do ensaio ser drenado ou não-drenado.
Figura 18 Plano p’ x v em escala semi-log. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
Pode-se dizer que a linha de compressão isotrópica ou “Normal Consolidation Line” (NCL) é a linha limite entre os estados de tensões possíveis e impossíveis
43 para o solo, isto é, qualquer estado de tensão que o solo esteja submetido, no plano (p’ x v) deve está situado à esquerda da linha de compressão isotrópica. Portanto, trazendo para o espaço (p’, q , v), conforme figura 19, conclui-se que existe uma única relação entre essas variáveis, para o qual o solo encontra-se numa condição crítica. Tal linha é denominada linha dos estados críticos (LEC) ou da forma original proposta: “Critical State Line” (CSL).
Figura 19 Linha de estados críticos no espaço (p’, q, v). Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
Logo, a projeção da linha da CSL no plano p’ x q é dada por:
𝑞 = 𝑀𝑝′ (34)
Como também, a projeção da CSL no plano p’ x v é dada por:
44
8.1.4.1 Superfície de Roscoe
Conforme discorrido até aqui, existe, no espaço (p’, q ,v) uma linha denominada CSL, a qual estabelece uma relação única entre estas variáveis para o caso de argilas normalmente adensadas. Segundo Machado & Vilar, 1996, observando a figura 18, surge o seguinte questionamento, seja a CSL e a NCL os dois limites, é possível uma situação intermediária? Henkel (1960), realizou uma série de ensaios triaxiais drenados e não drenados, com medida de pressão neutra, após os resultados, traçou num plano (𝜎𝑎, 𝜎𝑟√2), contornos de igual umidade e os comparou com a trajetória de tensões seguidas durante a realização de ensaios triaxiais não-drenados. Observou então que há uma concordância bastante acentuada entre as isolinhas de umidade e as trajetórias de tensões obtidas de ensaios triaxiais não- drenados. Segundo Lodi (2002) diversos outros dados de ensaios publicados, confirmam as conclusões de Henkel (1960).
Dessa forma, pode-se supor que existe, para o caso de solos normalmente adensados, uma superfície que une a linha de compressão isotrópica à linha de estados críticos, a qual contém, com unicidade, as ordenadas p’, q e v, de modo independente da trajetória de tensões adotada. Esta superfície é denominada de Superfície de Roscoe e é ilustrada pela figura (20) seguinte.
45
Figura 20 A superfície de Roscoe e as trajetória de tensões normalmente seguidas em ensaios triaxiais drenados e não drenados. Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
Já a figura 21, mostra resultados de ensaios em termos de (q’/p’e x p’/p’e) para
amostras normalmente adensadas e levemente pré-adensadas.
Figura 21 Resultados de amostras levemente pré-adensadas em eixos normalizados (q’/p’e x p’/p’e). Fonte: Atkinson & Bransby (1978).
46 Logo, nota-se que a Superfície de Roscoe e a NCL podem ser vistas como limitantes dos estados possíveis de serem alcançados pelo solo, sendo a NCL, apenas um ponto da projeção da Superfície de Roscoe, obtida em q/p’e = 0 e
p’/p’e =1.
8.1.4.2 A superfície de Hvorslev
A superfície de Roscoe, descrita anteriormente, é abordada para o comportamento de solos saturados normalmente adensados, que é representada por uma linha no plano p’ x q que está entre os estados de tensão compreendidos na NCL e CSL. Para o caso de solos pré-adensados, conforme o comportamento pode ser visto na figura (22) a seguir:
Figura 22 Resultados típicos de ensaios triaxiais convencionais drenados realizados em amostras pré-adensadas. Fonte: Machado & Vilar (1996).
47 Na figura 23 está plotada a trajetória de tensões do solo em confronto com a projeção da linha de estados críticos do mesmo no espaço (p’, q). Nota-se que o corpo de prova ao ser cisalhado alcança pontos no espaço (p’, q), cujas projeções no espaço (p’, q), se situam acima da linha de estados críticos. Estes resultados apresentam discrepâncias daqueles apresentados na figura 21. Naquela figura, todas as trajetórias de tensões dos ensaios realizados tocam a superfície de Roscoe em um ponto cuja projeção se situa abaixo da linha de estados críticos, caminhando então em direção à esta.
Figura 23 Resultados, em termos de trajetórias de tensões de um ensaio triaxial convencional drenado. Fonte: Machado & Vilar (1996).
Pode-se considerar uma família de testes triaxiais drenados para obter maiores informações acerca da forma da superfície de estado limitante para solos fortemente pré-adensados, contudo, a dificuldade com tal família de testes é que o volume específico das amostras está mudando durante a realização dos mesmos. A projeção das trajetórias de tensões no espaço q, p, v deste modo se referem a diferentes seções de volume específico constante. Como uma analogia com a superfície de Roscoe, espera-se que somente o tamanho de tal superfície limite mude com mudanças em v, não sua forma.
48 Deste modo, novamente aqui se adota o conceito de tensão equivalente para escalar tensões de modo a permitir mudanças em v. Segundo Machado & Vilar (1996), este método de escalar tensões foi adotado pela primeira vez por Hvorslev. Pode-se agora considerar estados de ruptura de espécimes em ensaios triaxiais e plotar estes dados em eixos normalizados, conforme mostrado na figura 24.
Figura 24 Valores de q e p’ na ruptura, plotados em eixos normalizados (q/pe p’/pe) obtidos para amostras pré-adensadas. Fonte: Machado & Vilar (1996).
Ainda, segundo Machado & Vilar (1996), Estes dados foram obtidos de uma série de ensaios triaxiais realizados por Parry (1960) em argilas pré-adensadas. Está claro que os dados de testes drenados e não drenados se situam em uma única linha no espaço q/pe, p’/pe. Esta linha é limitada em seu lado direito pela interseção pelo ponto representando a linha de estados críticos, situado no topo da superfície de Roscoe. Se o solo não pode suportar estados de tração, o maior valor de q/p’ que poderá ser observado deverá corresponder a 𝜎3 = 0. Então, para um teste triaxial convencional (em que q/p’ = 3) a localização dos pontos de ruptura pode ser idealizada como aquela correspondente à linha AB da figura 25.
49
Figura 25 Superfície de Hvorslev (reta AB) e de Roscoe (Linha BC) em conjunto com a linha de estados críticos (ponto B) e a linha de compressão isotrópica (ponto C).
Fonte: Machado & Vilar (1996).
Adotando a idéia de que a superfície de Hvorslev é uma superfície limitante de estados de solos altamente pré-adensados, do mesmo modo que a superfície de Roscoe é para os solos normalmente adensados, e tomando como base um ensaio triaxial drenado para uma amostra pré-adensada, sabemos que a tensão desviadora crescerá até atingir um estado de pico, após este estado, o valor sofrerá decréscimo, e durante este decréscimo a amostra passa a dilatar até o final do teste. Pode-se dizer, contudo, que as taxas de variação da tensão desviadora e do volume diminuem com o progresso do ensaio.
Através da junção das superfícies de Roscoe e Hvorslev, obtêm-se uma completa superfície limitante de estados possíveis para solos normalmente adensados e pré-adensados. A figura (26) ilustra tal superfície onde pode-se perceber que as superfícies de Roscoe e Hvorslev unidas pela linha de estados críticos, formam uma espécie de invólucro, dentro do qual situam-se todos os estados possíveis de serem atingidos pelo solo no espaço (p’, q’, v).
50
Figura 26 Superfície limitante completa de estados do solo, composta da junção das superfícies de Roscoe e Hvorslev. Atkinson & Bransby (1978)
Diante de tal superfície, é sabido que para um estado qualquer de tensão do solo que esteja abaixo ou dentro da superfície, as deformações serão apenas elásticas. Deformações do tipo elastoplásticas ocorrerão para situações em que o solo venha a se deslocar sobre a superfície limitante.
As trajetórias de tensões esperadas para ensaios realizados em amostras pré-adensadas sem drenagem, são mostradas na figura (27). Com o aumento da razão de pré-adensamento, estas trajetórias passam a tocar a superfície de Hvorslev, dirigindo-se à linha de estados críticos.
51
Figura 27 Trajetórias de tensões esperadas para ensaios não-drenados em amostras pré-adensadas. Fonte: Atkinson & Bransby (1978)
Segundo Machado & Vilar (1996), a respeito destas susperfícies pode-se concluir que:
• As trajetórias de tensões obtidas para solos pré-adensados, se situam abaixo da superfície de Roscoe ou de Hvorslev, a depender da sua razão de pré-adensamento. Estas trajetórias se encontram contidas em um muro elástico associado àquela curva de descompressão do solo, correspondente ao valor da tensão de pré-adensamento do mesmo. Com o continuado cisalhamento da amostra estas trajetórias podem tocar a superfície de Roscoe ou de Hvorslev, deslocando a partir deste ponto, contidas sobre uma destas superfícies, em direção à linha de estados críticos.
• As superfícies de Hvorslev e Roscoe podem ser entendidas como superfícies de plastificação do solo, dentro das quais as deformações ocorrentes do solo são de natureza recuperável (elásticas).
• Estas superfícies retratam a história de tensões do solo, notadamente estas servem como indício dos máximos estados de tensões já vivenciados pela amostra. Caso um novo estado de tensões se situe além
52 de uma determinada superfície de plastificação, esta deve, portanto, movimentar-se de modo a envolver este estado de tensões.
8.1.5 Cam Clay e Cam Clay modificado.
Os modelos elastoplásticos baseam-se na teoria da plasticidade com endurecimento (e que abrangem naturalmente o amolecimento). O uso desta teoria nos solos desponta nos anos 50, quando foi sugerida a existência de uma superfície de escoamento fechada controlada pelas variações volumétricas plásticas (Drucker et al.,1957), postulando um comportamento baseado nos conceitos de estado crítico e de superfície limite dos estados (Roscoe et al., 1958), e se apontou a teoria da plasticidade com endurecimento como o fundamento para uma formulação consistente de modelos constitutivos dos solos. (Calladine, 1963).
CAM-CLAY é o nome dado para um modelo elastoplástico do comportamento do solo, e suas equações podem ser utilizadas para descrever muitos tipos de solos. (Britto & Gunn, 1987)
Segundo Lodi (2002), tal modelo, é resultado de investigações laboratoriais minuciosas feitas pelo grupo de Mecânica dos Solos da Universidade de Cambridge (Roscoe et al. (1958), Roscoe & Burland (1968) e Scofield & Wroth (1968)) utilizando também resultados de outros pesquisadores, tais como Hvorslev (1937), Rendulic (1937), Parry (1956) e Henkel (1956).
O primeiro modelo (Roscoe & Schofield, 1963), pormenorizadamente justificado e descrito por Schofield & Wroth (1968), foi então chamado de Cam Clay. Posteriormente foi apresentada uma modificação deste modelo (Roscoe & Burland, 1968). Este foi apelidado de Cam Clay modificado. Acontece que este último acabou por ter uma utilização muito mais generalizada, sobretudo devido à sua utilização em previsões numéricas, pelo que se prefere designá-lo por Cam-Clay, reservando a denominação Cam Clay original para o modelo concebido por Roscoe & Schofield. (Neves, 2016)
Este modelo é descrito e analisado apenas em termos de q e p’, as quais possuem grande relevância para a discussão do comportamento dos solos
53 quando submetidos a ensaios triaxiais. Sendo que as características mais comuns deste modelo, segundo Neves (2016) são:
• A superfície limite dos estados é considerada não só uma superfície de escoamento, mas também uma superfície de potencial plástico (comportamento associado);
• O endurecimento resulta das deformações volumétricas plásticas;
• Admite-se que o solo é um material de natureza friccional com comportamento elástico não linear interiormente à superfície de escoamento.
Segundo Roscoe et al. (1958), suas relações de tensão-deformação envolvem quatro parâmetros característicos do material: 𝜆, 𝜅, M e G. Os dois primeiros, definidos anteriormente, correspondem respectivamente às inclinações do trecho virgem de compressão e da curva de recuperação elástica de descarregamento / re-carregamento. A constante de fricção (M) define a inclinação da linha de estado crítico no plano (p’ x q).
8.1.5.1 A superfície limite dos estados no Cam Clay
Segundo Britto & Gunn (1987), existe uma diferença significativa entre solos e metais. Para os solos pode-se observar o comportamento elastoplástico associado a deformações volumétricas. Nesta descrição do escoamento dos solos é considerado o efeito de cisalhamento numa amostra de solo. Considerando uma amostra pré-adensada, submetida a um ensaio de compressão triaxial não-drenado, isto é, a v constante, e mantendo o valor de p’ também constante, o valor para a tensão desviadora é assumido pela seguinte expressão:
𝑞 = 𝑀𝑝′
(𝜆−𝜅)[Γ + 𝜆 − 𝜅 − 𝑉 − 𝜆 ln(𝑝
′)] (36)
54
Figura 28 A superfície limite do estado estável (SSBS). (Britto & Gunn, 1987).
Segundo Britto & Gunn (1987), quando o estado de uma amostra de solo pode ser representado por um ponto abaixo desta superfície, então diz-se que o comportamento deste solo está compreendido no regime elástico. E, portanto, tal superfície é conhecida como superfície limite do estado estável ou Stable State Boundary Surface (SSBS). Ainda observando a figura 27, nota-se que a linha de estado crítico está contida na SSBS, que segundo Britto & Gunn (1987) é perfeitamente aceitável pois reescrevendo (31), podemos obter:
𝑉𝜆= Γ + (𝜆 − 𝜅)(1 −𝜂⁄ ) 𝑀 (37)
Assim, se (34) for substituído em (36) é obtido (35), e se (35) for substituído em (36) é obtido (34), logo prova-se algebricamente que a CSL está contida na SSBS. Logo, equação da superfície limite dos estados ou superfície de plastificação, no modelo do Cam Clay original (Schofield & Wroth, 1968) é dada por: 𝑞 = 𝑀𝑝′ ln(𝑝 ′ 𝑐 𝑝′ ⁄ ) (38)
55 Onde,
𝑝′
𝑐 = 𝑝0/2,71. (39)
Já para o Cam-Clay modificado tal equação é representada pela seguinte expressão:
𝑞 = 𝑀. [𝑝′. (𝑝
0 − 𝑝′)]1/2 (40)
É possível observar a diferença das duas superfícies na figura (29) a seguir:
Figura 29 Superfícies de escoamento para o Cam - clay original e modificado. Fonte: (Wood, 1992).
Sendo que a principal diferença entre os modelos é que a superfície de plastificação atinge o valor de 𝑝0, ou seja toca no eixo p’, perpendicularmente,
56 de forma que, se uma lei de fluxo associada é adotada, apenas deformações volumétricas são previstas, e consequentemente, este comportamento está mais próximo dos resultados experimentais obtidos nos ensaios triaxiais, como veremos ainda neste capítulo.
8.1.5.2 Vetores de deformação no Cam Clay
Considerando uma lei de fluxo associada, conforme a figura (30) a seguir:
Figura 30 Lei de Fluxo associada. Fonte: (Pedroso, 2002).
E, considerando a lei do endurecimento dada pela equação (41), podemos escrever as relações dos incrementos de deformações volumétricas e cisalhantes, obtendo a expressão para cada fase: elásticas e plásticas.
𝛿𝜀𝑣𝑒 = − 𝛿𝑣
v =
(𝜆−𝜅)𝑑𝑝0
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𝛿𝜀𝑠𝑒 = 𝛿𝑞/3𝐺′ (42)
𝛿𝜀𝑣𝑒 = κ𝛿𝑝′
v.p′ (43)
Onde,
𝛿𝜀𝑣𝑒 é o incremento de deformação volumétrica elástica;
𝛿𝜀𝑠𝑒 é o incremento de deformação cisalhante elástica;
Sendo a variação de 𝑝0 em função de dp’ e dq, temos:
𝑑𝑝0
𝑝0 = 1
𝑝′[2𝜂𝑑𝑞 + (𝑀
2− 𝜂2)𝑑𝑝′] (44)
E, aplicando esta expressão na lei de endurecimento descrita em (41), obtemos:
𝑑𝜀𝑣𝑝 =(𝜆−𝜅).[2𝜂𝑑𝑞+(𝑀2−𝜂2)𝑑𝑝′]
𝑝′.𝑣.(𝑀2+𝜂2) (45)
Por outro lado, temos que:
𝑑𝑞 𝑑𝑝′=
(𝜂2−𝑀2)
2.𝜂 (46)
Aplicando-se a lei de fluxo associada, ver figura 30, onde nota-se que o vetor de incrementos de deformação é perpendicular à superfície de plastificação, temos que: 𝑑𝜀𝑣𝑝 𝑑𝜀𝑠𝑝 = −𝑑𝑞 𝑑𝑝′ = 2.𝜂 (𝑀2−𝜂2) (47)
