8. Revisão Bibliográfica
8.1 Comportamento mecânico dos materiais
8.1.5 Cam Clay e Cam Clay modificado
Os modelos elastoplásticos baseam-se na teoria da plasticidade com endurecimento (e que abrangem naturalmente o amolecimento). O uso desta teoria nos solos desponta nos anos 50, quando foi sugerida a existência de uma superfície de escoamento fechada controlada pelas variações volumétricas plásticas (Drucker et al.,1957), postulando um comportamento baseado nos conceitos de estado crítico e de superfície limite dos estados (Roscoe et al., 1958), e se apontou a teoria da plasticidade com endurecimento como o fundamento para uma formulação consistente de modelos constitutivos dos solos. (Calladine, 1963).
CAM-CLAY é o nome dado para um modelo elastoplástico do comportamento do solo, e suas equações podem ser utilizadas para descrever muitos tipos de solos. (Britto & Gunn, 1987)
Segundo Lodi (2002), tal modelo, é resultado de investigações laboratoriais minuciosas feitas pelo grupo de Mecânica dos Solos da Universidade de Cambridge (Roscoe et al. (1958), Roscoe & Burland (1968) e Scofield & Wroth (1968)) utilizando também resultados de outros pesquisadores, tais como Hvorslev (1937), Rendulic (1937), Parry (1956) e Henkel (1956).
O primeiro modelo (Roscoe & Schofield, 1963), pormenorizadamente justificado e descrito por Schofield & Wroth (1968), foi então chamado de Cam Clay. Posteriormente foi apresentada uma modificação deste modelo (Roscoe & Burland, 1968). Este foi apelidado de Cam Clay modificado. Acontece que este último acabou por ter uma utilização muito mais generalizada, sobretudo devido à sua utilização em previsões numéricas, pelo que se prefere designá-lo por Cam-Clay, reservando a denominação Cam Clay original para o modelo concebido por Roscoe & Schofield. (Neves, 2016)
Este modelo é descrito e analisado apenas em termos de q e p’, as quais possuem grande relevância para a discussão do comportamento dos solos
53 quando submetidos a ensaios triaxiais. Sendo que as características mais comuns deste modelo, segundo Neves (2016) são:
• A superfície limite dos estados é considerada não só uma superfície de escoamento, mas também uma superfície de potencial plástico (comportamento associado);
• O endurecimento resulta das deformações volumétricas plásticas;
• Admite-se que o solo é um material de natureza friccional com comportamento elástico não linear interiormente à superfície de escoamento.
Segundo Roscoe et al. (1958), suas relações de tensão-deformação envolvem quatro parâmetros característicos do material: 𝜆, 𝜅, M e G. Os dois primeiros, definidos anteriormente, correspondem respectivamente às inclinações do trecho virgem de compressão e da curva de recuperação elástica de descarregamento / re-carregamento. A constante de fricção (M) define a inclinação da linha de estado crítico no plano (p’ x q).
8.1.5.1 A superfície limite dos estados no Cam Clay
Segundo Britto & Gunn (1987), existe uma diferença significativa entre solos e metais. Para os solos pode-se observar o comportamento elastoplástico associado a deformações volumétricas. Nesta descrição do escoamento dos solos é considerado o efeito de cisalhamento numa amostra de solo. Considerando uma amostra pré-adensada, submetida a um ensaio de compressão triaxial não-drenado, isto é, a v constante, e mantendo o valor de p’ também constante, o valor para a tensão desviadora é assumido pela seguinte expressão:
𝑞 = 𝑀𝑝′
(𝜆−𝜅)[Γ + 𝜆 − 𝜅 − 𝑉 − 𝜆 ln(𝑝
′)] (36)
54
Figura 28 A superfície limite do estado estável (SSBS). (Britto & Gunn, 1987).
Segundo Britto & Gunn (1987), quando o estado de uma amostra de solo pode ser representado por um ponto abaixo desta superfície, então diz-se que o comportamento deste solo está compreendido no regime elástico. E, portanto, tal superfície é conhecida como superfície limite do estado estável ou Stable State Boundary Surface (SSBS). Ainda observando a figura 27, nota-se que a linha de estado crítico está contida na SSBS, que segundo Britto & Gunn (1987) é perfeitamente aceitável pois reescrevendo (31), podemos obter:
𝑉𝜆= Γ + (𝜆 − 𝜅)(1 −𝜂⁄ ) 𝑀 (37)
Assim, se (34) for substituído em (36) é obtido (35), e se (35) for substituído em (36) é obtido (34), logo prova-se algebricamente que a CSL está contida na SSBS. Logo, equação da superfície limite dos estados ou superfície de plastificação, no modelo do Cam Clay original (Schofield & Wroth, 1968) é dada por: 𝑞 = 𝑀𝑝′ ln(𝑝 ′ 𝑐 𝑝′ ⁄ ) (38)
55 Onde,
𝑝′
𝑐 = 𝑝0/2,71. (39)
Já para o Cam-Clay modificado tal equação é representada pela seguinte expressão:
𝑞 = 𝑀. [𝑝′. (𝑝
0 − 𝑝′)]1/2 (40)
É possível observar a diferença das duas superfícies na figura (29) a seguir:
Figura 29 Superfícies de escoamento para o Cam - clay original e modificado. Fonte: (Wood, 1992).
Sendo que a principal diferença entre os modelos é que a superfície de plastificação atinge o valor de 𝑝0, ou seja toca no eixo p’, perpendicularmente,
56 de forma que, se uma lei de fluxo associada é adotada, apenas deformações volumétricas são previstas, e consequentemente, este comportamento está mais próximo dos resultados experimentais obtidos nos ensaios triaxiais, como veremos ainda neste capítulo.
8.1.5.2 Vetores de deformação no Cam Clay
Considerando uma lei de fluxo associada, conforme a figura (30) a seguir:
Figura 30 Lei de Fluxo associada. Fonte: (Pedroso, 2002).
E, considerando a lei do endurecimento dada pela equação (41), podemos escrever as relações dos incrementos de deformações volumétricas e cisalhantes, obtendo a expressão para cada fase: elásticas e plásticas.
𝛿𝜀𝑣𝑒 = − 𝛿𝑣
v =
(𝜆−𝜅)𝑑𝑝0
57
𝛿𝜀𝑠𝑒 = 𝛿𝑞/3𝐺′ (42)
𝛿𝜀𝑣𝑒 = κ𝛿𝑝′
v.p′ (43)
Onde,
𝛿𝜀𝑣𝑒 é o incremento de deformação volumétrica elástica;
𝛿𝜀𝑠𝑒 é o incremento de deformação cisalhante elástica;
Sendo a variação de 𝑝0 em função de dp’ e dq, temos:
𝑑𝑝0
𝑝0 = 1
𝑝′[2𝜂𝑑𝑞 + (𝑀
2− 𝜂2)𝑑𝑝′] (44)
E, aplicando esta expressão na lei de endurecimento descrita em (41), obtemos:
𝑑𝜀𝑣𝑝 =(𝜆−𝜅).[2𝜂𝑑𝑞+(𝑀2−𝜂2)𝑑𝑝′]
𝑝′.𝑣.(𝑀2+𝜂2) (45)
Por outro lado, temos que:
𝑑𝑞 𝑑𝑝′=
(𝜂2−𝑀2)
2.𝜂 (46)
Aplicando-se a lei de fluxo associada, ver figura 30, onde nota-se que o vetor de incrementos de deformação é perpendicular à superfície de plastificação, temos que: 𝑑𝜀𝑣𝑝 𝑑𝜀𝑠𝑝 = −𝑑𝑞 𝑑𝑝′ = 2.𝜂 (𝑀2−𝜂2) (47)
58 Portanto utilizando a expressão (47) podemos escrever de forma matricial as deformações elásticas e plásticas.
[𝛿𝜀𝑣 𝑒 𝛿𝜀𝑠𝑒 ] = [𝜅/𝑣𝑝′ 0 0 1/3𝐺] [ 𝛿𝑝′ 𝛿𝑞] (48) [𝛿𝜀𝑝 𝑝 𝛿𝜀𝑠𝑝] = (𝜆−𝜅) 𝑣.𝑝′(𝑀2+𝜂2)[ (𝑀2− 𝜂2) 2𝜂 2𝜂 4𝜂2/(𝑀2 − 𝜂2)] [ 𝛿𝑝′ 𝛿𝑞] (49) Onde,
𝛿𝜀𝑠𝑝 é o incremento de deformação cisalhante plástica; 𝛿𝜀𝑣𝑝 é o incremento de deformação volumétrica plástica;
Uma análise das equações mostra que a magnitude das deformações é controlada fundamentalmente pelo termo (𝜆 − 𝜅). Como também pode-se notar que quando 𝜂 se aproxima de M, o solo se aproxima do estado crítico e quando se igualam o solo atinge a condição de estado crítico.
As deformações volumétricas plásticas, quando 𝜂 tende para M, praticamente se anulam, tendendo o material para apenas rigidez elástica. Já as deformações cisalhantes plásticas, quando 𝜂 = 𝑀, ou seja, atingido o estado crítico, tendem para o infinito. Logo a rigidez distorcional tende para zero. Segundo Neves (2016) tal condição é dita como plasticidade perfeita em que, continuando a processar deformações distorcionais ou cisalhante, não há qualquer alteração na dimensão da curva de plastificação, nas tensões e nas deformações volumétricas, logo, é o estado crítico.
59
8.1.5.3 Perfomance do Cam Clay em ensaios triaxiais
A seguir, serão apresentadas algumas imagens da performance da simulação do modelo Cam-Clay frente a ensaios triaxiais consolidados, drenados (CD) e não-drenados (CU), para amostras normalmente adensadas e pré-adensadas.
Figura 31 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras normalmente adensadas. Fonte: Machado (2016)
60
Figura 32 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras pré-adensadas. Fonte: Machado (2016)
61
Figura 33 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras normalmente adensadas. Fonte: Machado (2016)
62
Figura 34 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras pré-adensadas. Fonte: Machado (2016)
Figura 35 Resultados experimentais e simulados (programa CRIS) para o ensaio triaxial com tensão confinante de 150 kPa. (q x 𝜀𝑎). Fonte: Lodi, 2002.
63
Figura 36 Resultados experimentais e simulados (programa CRIS) para o ensaio triaxial com tensão confinante de 150 kPa. (p’ x 𝜀𝑣). Fonte: Lodi, 2002.
Figura 37 Resultados experimentais e simulados (programa CRIS) para o ensaio triaxial com tensão confinante de 150 kPa. (𝜀𝑣 x 𝜀𝑎). Fonte: Lodi, 2002.
64