Implementação Numérica (Métodos computacionais)

Aqui nesta seção será discutido os métodos de implementação numérica mais difundidos atualmente no âmbito da modelagem e resolução dos problemas auxiliados por computadores.

A solução de problemas em ciência em engenharia passa por diversas etapas de simplificação. Entre elas está a proposição do modelo matemático aproximado, utilizando-se equações diferenciais, a escolha do método de solução destas equações diferenciais e a simplificação numérica através da discretização do problema. (ALVES, 2006).

Os métodos numéricos surgem da necessidade de solução de equações diferenciais que possuem um grande número de variáveis, possuindo assim, uma certa complexidade para solução analítica, isto é, o método numérico realiza aproximações simplificadas para os problemas representados por este tipo de equações.

O método numérico mais antigo desenvolvido foi o das diferenças finitas (MDF) que é um método utilizado para calcular as derivadas parciais presentes em equações diferenciais. Basicamente seu mecanismo de resolução do problema consiste em discretizar o problema em faixas menores e reproduzir a equação que rege o modelo nestas faixas, assim, o método admite que dentro desta faixa tudo que ocorre é igual, ou seja, o problema assume valores constantes dentro de cada elemento, e consequentemente o problema no todo é simulado por elementos menores, sendo que, para que os resultados sejam homogeinezados, é necessário um número de elementos elevadíssimo, a fim de que as perturbações e discrepâncias na simulação global não sejam majoradas.

Outro bastante utilizado é o método de elementos de contorno (MEC), que, segundo BIEZUNER (2006), possui uma vasta aplicação na análise dinâmica dos sólidos e, no qual, a matriz de massa é obtida em função dos nós do contorno. Além disto, ALVES (2006) afirma também que o MEC possui intima aplicação a problemas da mecânica da fratura, mecânica do contato, barreira acústica,

85 proteção catódica (em casco de navios e torres de distribuição elétrica), e problemas de elasticidade. Entretanto o mesmo autor aborda as difiuculdades de utilização de tal método apontando que existem poucos programas comerciais abrangentes, possui uma implementação computacional relativamente mais difícil que os demais, e necessita de cálculo de soluções fundamentais para cada problema a ser estudado.

Ainda discutindo a questão do MEC, segundo CHAVES (2003), como não há necessidade de discretização do domínio, os sistemas de equações obtidos são menores que os sistemas gerados pelo MEF (Método dos Elementos Finitos) por exemplo, na análise de um mesmo problema com níveis de discretização similares. As aproximações são feitas somente na superfície, sendo que, no domínio do sólido a solução é contínua, obtida a partir dos valores calculados para as incógnitas do contorno.

Já o método de volumes finitos (MVT), segundo SILVA JUNIOR (2012), é baseado na realização de balanços de massa, de quantidade de movimento e/ou energia sobre um volume de controle determinado, onde os fluxos das variáveis em questão atravessam a face do volume. Basicamente, aborda problemas envolvidos dentro do escopo da Mecânica dos Fluídos e em outras áreas da Engenharia onde a teoria que rege o problema é governada por sistemas conservativos escritos na forma integral sobre um volume de controle.

O método das equações integrais de contorno (MEIC) para problemas de elasticidade e elastoplasticidade, contexto do presente trabalho foram apresentados por CRUSE (1972). Neste método é utilizados elementos triangulares planos com aproximação linear para solução de cada elemento. A partir de aplicações do MEF, LACHAT & WATSON (1976) apud CHAVES (2003), obtiveram resultados melhores uma vez que introduziram funções de interpolação de ordem superior para resolução de cada elemento. Segundo CHAVES (2003), o MEIC possui dificuldades na avaliação das integrais necessárias de obtenção dos coeficientes do sistema de equações, apesar do método apresentar uma solução analítica, após seu processo, que elimina qualquer erro numérico de integração.

Já o método dos elementos finitos (MEF), conforme observado e discutido no presente projeto, boa parte dos autores comparam os métodos com o MEF, isto se dá pelo fato de tal método ser o mais difundido no âmbito acadêmico. O MEF possui uma facilidade de relativamente maior de implementação, quando

86 comparada com os demais métodos aqui discutidos, possui uma vasta aplicação a problemas não lineares, estáticos ou dinâmicos, no contexto da mecânica dos sólidos e fluídos, eletromagnetismo, transmissão de calor, fluxo em meios porosos, campo elétrico, acústica e etc. Além do mais, o número de Softwares comerciais disponíveis que utilizam tal método é muito maior que os demais, tornando a acessibilidade dos pesquisadores e usuários mais viável.

Na seção a seguir, serão discutidos alguns conceitos introdutórios importantes do MEF.

8.3.1 Método dos Elementos Finitos (MEF)

Conforme abordado na seção anterior, todos os métodos computacionais partem do princípio de discretização do problema para que sejam solucionadas partes menores do todo e a partir daí se construa a solução numérica de todo o domínio. Segundo, BIEZUNER (2006), A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos acima descritos, ou seja, particiona-se o domínio - o sistema - em componentes cujas soluções são mais simples e, depois, unem-se as soluções parciais para obter a solução do problema. Em alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só pode ser definido fazendo-se uso da definição matemática de infinitésimo. Isto conduz a equações diferenciais, ou expressões equivalentes, com um número infinito de elementos. Algumas contribuições de vários pesquisadores foram importantes para fundamentação do método. Seu nome de batismo MEF foi adotado em 1960 por Clough e, no ano de 1963 o método já possuia uma vasta aplicação em todos os setores da Engenharia, que segundo BIEZUNER (2006) totalizavam um pouco mais de sete mil trabalhos. Deste período para cá o método ainda consiste com a mesma formulação, baseando-se na montagem de matrizes de rigidez para cada elemento e solução dos deslocamentos e posteriormente, tensões- deformações ou outros fenômenos correlacionados. O método monta todas as matrizes de rigidez dos elementos para construir o todo, assim, existe a iteração entre os fenômenos ocorridos em cada elemento.

O presente trabalho irá utilizar o método de elementos isoparamétrico, uma vez que tal mecanismo possibilita que as tensões-deformações sejam suavidas em

87 cada elemento, dando uma melhor aproximação e homogeinização do problema. Tal fato se dá pela ordem dos polinômios de deslocamento, que é a forma como a solução do problema é obtida, serem superiores a das equações lineares. Baseando-se no método de escolha, o MEF, o algoritmo que será utilizado na modelagem é o CRISP (Critical State Program), desenvolvido na Universidade de Cambridge por A. M. Britto e M. J. Gunn, com sua primeira versão publicada em 1975. Segundo, BRUGGER (1990), este algoritmo possui formulação para resolução de problemas governados pelas seguintes teorias:

• Comportamento Elástico Linear;

• Comportamento Elástico Linear com variação linear do módulo de elasticidade com a profundidade;

• Cam-Clay;

• Cam-Clay modificado.

8.3.2 CRISP (Critical State Program)

Segundo POTTS & ZDRAVKOVIC (1999) quando se analisa um problema de valor de contorno quatro requisitos de solução básicos são necessários para serem satisfeitos: equilíbrio, compatibilidade, comportamento constitutivo e condições de contorno. A não linearidade introduzida pelo comportamento constitutivo implica que as equações governantes em elementos finitos sejam reduzidas para a seguinte forma incremental:

[KG]i·{Δd}i ={ΔR}i (71)

Onde [KG]i é a matriz de rigidez incremental global do sistema, {Δd}i é o vetor de deslocamentos nodais incremental, {ΔR}i é o vetor de forças nodais incremental, e i é o número do incremento. Para obter a solução para o problema

88 de valor de contorno, a mudança na condição de contorno é aplicada em uma série de incrementos e para cada incremento a equação (71) deve ser resolvida. A solução final é obtida pelo somatório de cada incremento. Devido ao comportamento constitutivo não linear, a matriz de rigidez incremental global do sistema [KG]i é dependente do estado de tensão e deformação corrente e, portanto não é constante, mas varia de um incremento para outro. A menos que um grande número de pequenos incrementos seja usado esta variação deve ser contabilizada. Consequentemente, a solução da equação (71) não é direta e diferentes estratégias de solução existem. O objetivo de todas as estratégias é a solução da equação que rege o problema, garantindo a satisfação dos quatro requisitos listados anteriormente.

O método da rigidez tangente, por vezes chamado de método da rigidez variável é a estratégia de solução mais simples. Este método é implementado no programa CRISP de BRITTO & GUNN (1987), que é largamente utilizada na prática da engenharia (POTTS & ZDRAVKOVIC, 1999).

Nesta abordagem, a matriz de rigidez incremental na equação (71) é assumida constante dentro de cada incremento e é calculada utilizando o estado de tensão corrente no início de cada incremento. Isto é equivalente a fazer uma aproximação linear por partes para o comportamento constitutivo não linear (POTTS & ZDRAVKOVIC, 1999).

O programa CRISP descrito em BRITTO & GUNN (1987) permite análises não drenadas, drenadas ou análises de consolidação acopladas. As análises podem ser em estado plano de deformação, axissimétricas ou tridimensionais. Os modelos constitutivos podem ser elásticos anisotrópicos, elásticos não homogêneos ou de estados críticos (Cam-clay, Cam-clay modificado). Os elementos finitos implementados na versão padrão são o triângulo de deformação linear e o triângulo de deformação cúbica. O programa possui

89 facilidade de representação de seqüencias de construção geotécnica de aterro ou escavação.