Aspectos dinâmicos de sistemas astrofísicos discoidais

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Aspectos dinˆ

amicos de sistemas astrof´ısicos discoidais

Campinas 2015

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Instituto de F´ısica Gleb Wataghin

Ronaldo Savioli Sum´e Vieira

Aspectos dinˆ

amicos de sistemas astrof´ısicos discoidais

Tese apresentada ao Instituto de F´ısica Gleb Wataghin da Universidade Es-tadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Ciˆencias.

Orientador: Alberto Vazquez Saa.

Coorientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar.

Este exemplar corresponde a`

vers˜ao final da tese defendida pelo aluno Ronaldo Savioli Sum´e Vieira e orientada pelo Prof. Dr. Alberto Vazquez Saa

Campinas 2015

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Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Valkíria Succi Vicente - CRB 8/5398

Vieira, Ronaldo Savioli Sumé,

V673a VieAspectos dinâmicos de sistemas astrofísicos discoidais / Ronaldo Savioli Sumé Vieira. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

VieOrientador: Alberto Vazquez Saa.

VieCoorientador: Marcus Aloizio Martinez de Aguiar.

VieTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Vie1. Astronomia dinâmica. 2. Galáxias espirais. 3. Relatividade geral (Física). 4. Discos de acreção de buracos negros. I. Saa, Alberto Vazquez,1966-. II. Aguiar, Marcus Aloizio Martinez de,1960-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Dynamical aspects of discoidal astrophysical systems Palavras-chave em inglês:

Dynamical astronomy Spiral galaxies

General relativity (Physics) Black-hole accretion disks

Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:

Alberto Vazquez Saa [Orientador] Júlio Cesar Fabris

Tatiana Alexandrovna Michtchenko Arlene Cristina Aguilar

Pedro Cunha de Holanda

Data de defesa: 22-05-2015

Programa de Pós-Graduação: Física

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Neste trabalho analisamos aspectos dinâmicos de sistemas astrof´ısicos que possuem uma componente discoidal proeminente. Estudamos o movimento de part´ıculas de teste (estrelas) que cruzam discos galácticos bidimensionais e axialmente simétricos, obtendo uma fórmula para o envelope das órbitas que depende somente da densidade superficial Σ do disco. Essa fórmula nos dá uma terceira integral de movimento aproximada para o sistema. Também analisamos a estabilidade das órbitas circulares equatoriais nesses discos, chegando à condi¸cão de estabilidade vertical Σ > 0. Esse formalismo é estendido para discos tridimensionais, assim como para a relatividade geral (em que obtivemos que a condi¸cão de energia forte é suficiente para a estabilidade vertical das ´

orbitas circulares em discos infinitesimais, no caso estático e axialmente simétrico). Trabalhamos também com a aproxima¸cão pós-newtoniana (1PN), obtendo o formalismo hamiltoniano para uma distribui¸cão arbitrária de matéria, assim como as corre¸cões 1PN nas frequências epic´ıclicas radial e vertical para configura¸cões estacionárias e axialmente simétricas e a terceira integral de movimento aproximada para discos infinitesimais (estacionários). Outro resultado obtido foi a dependência das frequências epic´ıclicas com a curvatura riemanniana do espa¸co-tempo para distribui¸cões suaves de matéria-energia, no caso estático e axialmente simétrico em relatividade geral.

A segunda parte desta tese corresponde aos resultados para discos de acre¸cão. Analisa-mos o movimento de part´ıculas de teste na métrica de Kehagias & Sfetsos (solu¸cão esfericamente simétrica da gravita¸cão de Hoˇrava no caso em que o espa¸co-tempo é assintoticamente plano), na região de parâmetros em que a singularidade central é nua. Por fim, estudamos a espessura dos discos de acre¸cão super-Eddington obtida por simula¸cões globais recentes de radiation magnetohy-drodynamics em relatividade geral. O resultado foi comparado com modelos de discos slim para taxas de acre¸cão similares, levando à conclusão de que o estado final (estacionário) dos fluxos de acre¸cão gerados por essas simula¸cões é um disco slim, e não um disco espesso, como seria esperado pelas caracter´ısticas das configura¸cões iniciais do tipo Polish Doughnuts usualmente adotadas.

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In this work, we analyze dynamical aspects of astrophysical systems containing a promi-nent discoidal compopromi-nent. We study the motion of test particles (stars) which cross bidimensional, axially symmetric galactic disks, obtaining a formula for the orbits’ envelope which depends solely on the disk’s surface density. This formula gives us an approximate third integral of motion for the system. We also analyze the stability of equatorial circular orbits in these disks, arriving at the vertical stability condition Σ > 0. This formalism is extended to three-dimensional disks, as well as to general relativity (in which we obtained that the strong energy condition is sufficient for vertical stability of circular orbits in infinitesimal disks, in the static and axially symmetric case). We also worked with the post-Newtonian approximation (1PN), obtaining the Hamiltonian formal-ism for an arbitrary matter distribution, as well as the 1PN corrections to the radial and vertical epicyclic frequencies for stationary and axially symmetric configurations, and the approximated third integral of motion for (stationary) infinitesimal disks. Another result obtained was the depen-dence of the epicyclic frequencies on the Riemannian spacetime curvature for smooth matter-energy distributions, in the static and axially symmetric case.

The second part of this thesis corresponds to the results concerning accretion disks. We analyzed the motion of test particles in the Kehagias & Sfetsos metric (spherically symmetric solution to Hoˇrava’s gravity in the case in which the spacetime is asymptotically flat), in the parameter region in which the singularity is naked. Finally, we studied the thickness of super-Eddington accretion disks, obtained via recent global radiation magnetohydrodynamics simulations in general relativity. The result was compared with slim-disk models for similar accretion rates, leading to the conclusion that the final (stationary) state of accretion flows generated by these simulations is a slim disk, and not a thick disk, as it would be expected by the characteristics of the usually adopted Polish Doughnuts initial configurations.

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Resumo vii

Abstract ix

Agradecimentos xvii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Gal´axias discoidais . . . 2

1.1.1 Caos e integrabilidade em modelos gal´acticos . . . 4

1.2 Discos de acre¸c˜ao ao redor de objetos compactos . . . 13

2 Discos finos newtonianos (bidimensionais) 17 2.1 Preˆambulo: discos tridimensionais . . . 18

2.1.1 Orbitas circulares e aproxima¸c˜ao epic´ıclica . . . .´ 20

2.1.2 Integrabilidade e terceira integral de movimento . . . 23

2.2 Discos infinitesimalmente finos (bidimensionais) . . . 28

2.2.1 Orbitas circulares e estabilidade vertical . . . .´ 31

2.2.2 Discos finos como casos limite de discos tridimensionais . . . 37

2.2.3 Per´ıodo e amplitude caracter´ısticos das oscila¸c˜oes . . . 38

2.2.4 Integrabilidade na região próxima a uma órbita circular estável . . . 38

2.2.5 Teorias modificadas da gravita¸c˜ao . . . 47 xi

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3.1 Densidade superficial do disco e terceira integral . . . 54

3.2 Testes com potenciais simples . . . 57

3.3 Teorias modificadas da gravita¸c˜ao . . . 63

3.4 Conectando as fórmulas: I3 e a aproxima¸cão adiabática . . . 64

3.4.1 Amplitudes intermedi´arias . . . 67

3.4.2 Terceira integral e modelos dinˆamicos . . . 71

4 Discos relativ´ısticos 73 4.1 Formalismo hamiltoniano para o fluxo geod´esico . . . 76

4.1.1 Redu¸c˜ao isoenerg´etica . . . 78

4.2 Discos finos est´aticos e axialmente sim´etricos . . . 82

4.2.1 Parˆametros f´ısicos do disco bidimensional . . . 86

4.2.2 Estabilidade vertical de ´orbitas circulares . . . 88

4.3 Outros sistemas com superf´ıcies de descontinuidade . . . 96

4.3.1 Cascas esf´ericas . . . 99

4.4 Camadas de mat´eria em gravita¸c˜ao newtoniana . . . 102

5 Aproxima¸cão pós-newtoniana (1PN) 105 5.1 Formalismo pós-newtoniano . . . 106

5.1.1 Dinˆamica hamiltoniana p´os-newtoniana . . . 108

5.1.2 Equa¸c˜ao de Liouville e mecˆanica estat´ıstica . . . 115

5.2 Discos est´aticos e axialmente sim´etricos . . . 116

5.2.1 Orbitas circulares . . . .´ 118

5.3 Discos estacion´arios e axialmente sim´etricos . . . 125 xii

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5.3.2 Discos finos estacion´arios . . . 130

6 Frequências epic´ıclicas e curvatura riemanniana 135 6.1 Frequências epic´ıclicas em espa¸cos-tempos estáticos . . . 137

6.1.1 Orbitas circulares e frequˆencias epic´ıclicas . . . .´ 139

6.2 Curvatura riemanniana . . . 143

6.3 Frequˆencias epic´ıclicas e curvatura . . . 147

6.3.1 Solu¸c˜oes de v´acuo (espa¸cos-tempos Ricci-flat) . . . 151

6.3.2 Mat´eria autogravitante e condi¸c˜oes de energia . . . 154

7 Geodésicas circulares na gravita¸cão de Hoˇrava 159 7.1 Métrica de KS . . . 162

7.2 Equa¸c˜oes de movimento e formula¸c˜ao potencial . . . 164

7.2.1 Movimento geod´esico em KS . . . 166

7.2.2 Comportamento qualitativo do potencial efetivo . . . 174

7.3 Discos de acre¸c˜ao e estimativas para ω . . . 177

7.4 Diagramas de mergulho (embedding diagrams) . . . 180

7.4.1 Geometria ´optica . . . 180

7.4.2 Diagramas de mergulho – caso geral . . . 181

7.4.3 Diagramas de mergulho em KS . . . 184

8 Sobre a espessura dos discos de acre¸c˜ao ao redor de buracos negros 191 8.1 Discos de acre¸c˜ao . . . 192

8.1.1 O limite de Eddington . . . 193 xiii

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8.1.3 Estimativas para grandezas: equa¸c˜oes alg´ebricas . . . 195

8.2 Discos slim num´ericos e compara¸c˜oes com o modelo anal´ıtico . . . 199

8.2.1 An´alise de estabilidade local: Curvas-S . . . 207

8.3 Compara¸c˜ao com simula¸c˜oes 2D globais . . . 213

9 Considera¸c˜oes finais 221

Referˆencias Bibliogr´aficas 229

APˆENDICES 247

A Hipersuperf´ıcies singulares tipo-tempo 249

B On The Stability Of Circular Orbits in Galactic Dynamics: Newtonian

Thin Disks 255

C A Simple Formula for the Third Integral of Motion of Disk-Crossing Stars

in the Galaxy 261

D Circular geodesics of naked singularities in the Kehagias-Sfetsos metric of

Hoˇrava’s gravity 271

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Agrade¸co primeiramente a meus pais, Rosa e Francisco, pelo apoio e suporte durante todos esses anos.

Agrade¸co ao Professor Alberto Saa pelo aceite de orienta¸c˜ao. Agrade¸co ao Javier Ramos-Caro pela amizade e parceria cient´ıfica.

Agrade¸co aos Professores Marek Abramowicz e W lodek Klu´zniak, do Nicolaus Copernicus Astronomical Center, pela orienta¸c˜ao durante meu per´ıodo sandu´ıche em Vars´ovia.

Agrade¸co à Joice, pelo companheirismo e compreensão neste último ano de douto-rado.

Agrade¸co a todos os meus amigos que, direta ou indiretamente, fizeram com que este per´ıodo de doutorado fosse menos sofrido.

Agrade¸co aos funcion´arios do IFGW e do IMECC, que permitiram um ambiente prop´ıcio para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

Por fim, agrade¸co `a FAPESP, projetos 2010/00487-9, 2013/01001-0 e 2013/09357-9, assim como ao CNPq, pelo apoio financeiro.

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Introdu¸c˜

ao

Sabemos que sistemas discoidais são muito presentes em astrof´ısica. Podemos citar aqui dois casos representativos: o primeiro deles mais próximo de nossa realidade, galáxias espirais (van der Kruit & Freeman 2011), e o segundo os discos de acre¸cão, por exemplo, ao redor de objetos compactos (estrelas de nêutrons e buracos negros, Frank, King, & Raine 2002, Abramowicz & Fragile 2013. Incluimos também nesta lista, por completeza, singulari-dades nuas). Enquanto galáxias são sistemas em que a gravita¸cão newtoniana funciona bem, o mesmo não pode ser dito de discos de acre¸cão orbitando objetos compactos. Esses sistemas precisam de uma descri¸cão relativ´ıstica (Abramowicz & Fragile 2013), ou pelo menos pseudo-newtoniana através do potencial de Paczyński-Wiita (Paczyńsky & Wiita 1980, Abramowicz 2009). A descri¸cão pseudo-newtoniana, contudo, não leva em conta os efeitos de spin do buraco negro, de modo que esse fenômeno só aparece no cenário relativ´ıstico.

Existe outra diferen¸ca importante entre esses sistemas: enquanto galáxias são sistemas autogravitantes, nos quais cada componente contribui para o campo gravitacional total, discos de acre¸cão são geralmente tidos como sistemas em que a componente discoidal não interfere no campo gravitacional gerado pelo objeto central, podendo assim ser consi-derados fluidos de teste (Frank et al. 2002, Abramowicz & Fragile 2013). No que segue, comentaremos com um pouco mais de detalhes cada um desses dois cenários. A apresenta¸cão não pretende ser uma revisão completa da literatura, mas sim uma introdu¸cão para os temas abordados nos cap´ıtulos seguintes.

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1.1 Gal´

axias discoidais

´

E sabido desde o século XVIII que nossa galáxia, a Via Láctea (ou a Galáxia), tem a forma de um disco (Carroll & Ostlie 2006, Lépine 2008). O Sol se encontra a cerca de 8 kpc do centro da Galáxia (McMillan 2011), cujo disco tem um raio aproximado de 15 kpc (Lépine 2008, Oliveira & Saraiva 2014). Uma introdu¸cão informal à estrutura da Galáxia pode ser encontrada em Lépine (2008), enquanto uma apresenta¸cão um pouco mais técnica (ainda introdutória) pode ser vista em Carroll & Ostlie (2006). Uma outra referência é Binney & Merrifield (1998). Modelos atuais da distribui¸cão de massa na Galáxia apresentam diferentes componentes, como a de um disco fino, um disco espesso, um bojo central (de formato esferoidal) e halos esparsos de estrelas e matéria escura (usualmente tomados como esféricos ou esferoidais; contudo, há debate na literatura hoje em dia sobre a esfericidade ou até mesmo a triaxialidade do halo de matéria escura – ver Helmi 2004, Law, Majewski, & Johnston 2009, Deg & Widrow 2013, Ibata, Lewis, Martin, Bellazzini, & Correnti 2013). Os modelos de massa descritos acima podem ser encontrados em Binney & Merrifield (1998), Binney & Tremaine (2008). Os parâmetros desses modelos estão em constante aprimoramento devido a estudos cada vez mais precisos, como resumido em McMillan (2011).

No entanto, não é apenas a nossa galáxia que apresenta uma componente discoidal proeminente. Uma vasta quantidade de galáxias discoidais já foi observada no céu, com suas propriedades catalogadas (Carroll & Ostlie 2006, van der Kruit & Freeman 2011). A extensão vertical dos discos estelares dessas galáxias varia muito; no entanto, esses discos são geralmente bastante achatados (ver por exemplo van der Kruit & Freeman 2011, se¸cões 3.5 e 3.6). A matéria está concentrada em uma região com espessura pequena se comparada à extensão radial do disco; em alguns casos essa razão é menor que 0.1 (van der Kruit & Freeman 2011). Sistemas desse tipo geralmente apresentam uma estrutura espiral com um padrão de rota¸cão em rela¸cão ao disco, composta de estrelas mais novas (Carroll & Ostlie 2006, se¸cão 25.3). Essa estrutura espiral, no entanto, tem densidade apenas ligeiramente maior que a densidade média do disco para o mesmo raio galactocêntrico, de modo que a modelagem desses bra¸cos é feita através de perturba¸cões lineares no perfil axialmente simétrico do disco. Modelos de massa axialmente simétricos têm sido amplamente utilizados durante as últimas

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décadas para a explica¸cão das curvas de rota¸cão de galáxias espirais, mesmo no caso em que o disco apresenta um padrão espiral conhecido. Trabalhos pioneiros apontaram, baseados nas curvas de rota¸cão de galáxias espirais, a necessidade de razões massa-luminosidade crescentes com o raio (Rubin & Ford 1970), que mais tarde foram substitu´ıdas pela hipótese de um halo de matéria escura (Athanassoula, Bosma, & Papaioannou 1987, Kent 1987). Modelos axialmente simétricos do tipo “disco estelar + disco gasoso + bojo + halo de matéria escura” (ou variantes dessa decomposi¸cão) foram utilizados para explicar as curvas de rota¸cão de uma enorme gama de galáxias espirais (Begeman 1987, de Blok & McGaugh 1997, de Blok, McGaugh, & Rubin 2001, de Blok, Walter, Brinks, Trachternach, Oh, & Kennicutt 2008, González, Plata-Plata, & Ramos-Caro 2010, Rodrigues, Letelier, & Shapiro 2010). Alguns resultados recentes que incluem os bra¸cos espirais foram obtidos para a Galáxia (Sofue, Honma, & Omodaka 2009). Para uma revisão dos métodos de observa¸cão das curvas de rota¸cão de galáxias espirais, ver Sofue & Rubin (2001).

O movimento de estrelas em galáxias discoidais é um exemplo do movimento de part´ıculas de teste, já que as intera¸cões gravitacionais entre estrelas individuais podem ser desprezadas para sistemas estacionários (ver por exemplo Binney & Tremaine 2008, assim como o cap´ıtulo 2 desta tese). Essa aproxima¸cão não colisional nos permite então considerar o campo gravitacional que age na estrela como sendo o gerado por uma distribui¸cão cont´ınua de matéria, em lugar da distribui¸cão discreta de N corpos autogravitantes. Tal situa¸cão pode ser descrita pela gravita¸cão newtoniana (Binney & Tremaine 2008), de forma que a distribui¸cão da densidade de matéria determina o potencial gravitacional através da equa¸cão de Poisson, permitindo assim a descri¸cão do movimento das estrelas pela hamiltoniana

H = 1 2p

2_{+ Φ} _(1.1)

em um referencial inercial, onde ~p é o momento linear da part´ıcula e Φ o potencial gravitacio-nal do sistema. O objetivo principal desta tese é estudar aspectos dinâmicos do movimento de part´ıculas de teste em sistemas contendo uma componente discoidal proeminente, o que inclui as galáxias discoidais aqui mencionadas.

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1.1.1 Caos e integrabilidade em modelos gal´

acticos

A maior parte desta tese é focada em configura¸cões axialmente simétricas. É sabido que a dinâmica no potencial da hamiltoniana (1.1) é não integrável no caso geral, sendo a integrabilidade uma situa¸cão especial (ver por exemplo Tabor 1989). No entanto, embora o sistema apresente regiões caóticas, existem ilhas de estabilidade nas quais as órbitas são regulares, em particular ao redor das ressonâncias principais correspondentes a pontos fixos estáveis da hamiltoniana. A descoberta de regiões caóticas coexistindo com regiões de órbitas regulares em hamiltonianas com dois graus de liberdade (Henon & Heiles 1964), que representam sistemas discoidais, ocorreu mais ou menos na mesma época em que o teo-rema KAM foi obtido (Kolmogorov-Arnold-Moser, que descreve o comportamento dos toros invariantes do sistema hamiltoniano ao ser adicionada uma pequena perturba¸cão não in-tegrável ao potencial; ver por exemplo Tabor 1989, de Aguiar 2011 ou Contopoulos 2002 e referências). Um pouco antes, estudos teóricos (Contopoulos 1960, 1963) e numéricos (Ol-longren 1962) em sistemas axialmente simétricos demonstraram a existência de uma terceira integral de movimento I3 (além da energia e do momento angular azimutal) para órbitas

fora do plano equatorial mas próximas à órbita circular equatorial correspondente (energia baixa comparada à da órbita circular), sob condi¸cões bem gerais. Ficou então comprovada a existência de uma terceira integral de movimento para órbitas quase circulares, sendo que as regiões caóticas somente apareceriam para energias altas. Para uma revisão do assunto, ver Contopoulos (2001, 2002). Como referências na área de dinâmica galáctica, tanto para um primeiro estudo quanto para estudos mais avan¸cados, podemos citar os livros de Contopoulos (2002), Binney & Tremaine (2008) e Bertin (2014). Artigos de revisão de alguns aspectos de dinâmica galáctica, focando em problemas de interesse atual, podem ser encontrados em Efthymiopoulos, Voglis, & Kalapotharakos (2007) e Efthymiopoulos (2010). Sobre caos em sistemas dinâmicos citamos Lichtenberg & Lieberman (1992) e Ott (2002), e sobre o for-malismo hamiltoniano nos referimos principalmente aos livros de Tabor (1989), Ott (2002) e de Aguiar (2011), assim como aos cap´ıtulos correspondentes dos livros de Contopoulos (2002) e Binney & Tremaine (2008).

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axialmente simétricos, em particular nas órbitas que cruzam o plano equatorial. Supondo que o disco seja axialmente simétrico, existem duas integrais de movimento: a energia E e o momento angular azimutal da part´ıcula Lz. Assim, a hamiltoniana (1.1) se reduz a uma

hamiltoniana com dois graus de liberdade nas coordenadas cil´ındricas (R, ϕ, z):

H = 1 2 p 2 R+ p2z + Φ(R, z) + L 2 z 2R2, (1.2)

onde pR e pz são os momentos canônicos associados às coordenadas R e z, respectivamente,

e Φ é o potencial gravitacional do sistema. Desse modo, temos que o movimento no plano equatorial da galáxia (z = 0, onde aqui consideramos potenciais pares com respeito a z) é integrável, pois possui apenas um grau de liberdade (Tabor 1989). No entanto, assim como a presen¸ca de barras ou bra¸cos espirais introduz mais um grau de liberdade no sistema (a coordenada ϕ deixa de ser c´ıclica), a hamiltoniana axialmente simétrica que descreve órbitas fora do plano equatorial também depende de mais uma coordenada (a coordenada vertical z). O nosso interesse então recai sobre as órbitas que não são equatoriais, mas que de certa maneira se mantêm próximas desse plano. O objetivo principal é estudar a forma dos envelopes das órbitas regulares que existem na região próxima a órbitas circulares, correspondente à ilha de estabilidade principal das se¸cões de Poincaré. Geralmente isso é poss´ıvel para energias pequenas quando comparadas ao m´ınimo do potencial, já que, conforme aumentamos a energia da órbita, o ponto fixo na se¸cão de Poincaré correspondente passa a representar não mais a órbita circular e sim uma das órbitas periódicas de per´ıodo 1 que cruzam o disco. Essas órbitas, por serem regulares, admitem então uma terceira integral de movimento aproximada, de modo que o movimento passa a ocorrer em um toro bidimensional (Tabor 1989, de Aguiar 2011).

Embora o problema da terceira integral de movimento venha sendo tratado na literatura desde 1960 (Contopoulos 1960, 1963) através de aproxima¸cões polinomiais para a terceira integral nas regiões regulares do espa¸co de fases, a maioria dos estudos nessa linha tratou de sistemas com potenciais suaves, tanto na obten¸cão dessas aproxima¸cões (Con-topoulos 1960, 1963, 2001, 2002, Bienaymé & Traven 2013) quanto de modelos galácticos integráveis (de Zeeuw 1985, 1988, Dejonghe & de Zeeuw 1988, de Zeeuw & Hunter 1990)

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e de potenciais com terceiras integrais expl´ıcitas (Hietarinta 1987). Recentemente, diferen-tes métodos numéricos têm sido desenvolvidos para a obten¸cão das variáveis de a¸cão-ângulo correspondentes a órbitas regulares em potenciais galácticos, bem como para a constru¸cão dos toros invariantes associados a essas variáveis de a¸cão (Kaasalainen & Binney 1994a,b, McMillan & Binney 2008, Binney 2012a, McMillan 2012, Sanders 2012, Sanders & Binney 2014, e referências), que são de grande importância para o estudo de modelos dinâmicos da Galáxia. Nesses modelos, usados na análise dos dados de surveys da Galáxia (Binney 2011, McMillan 2012, Binney & Sanders 2014), a fun¸cão distribui¸cão depende das três inte-grais de movimento (Binney 2010, Binney & McMillan 2011, Binney 2012b). Esses métodos são extremamente eficazes para o tratamento estat´ıstico dos dados obtidos (Binney 2011); contudo, a complexidade das manipula¸cões envolvidas não nos leva à resposta de questões mais fundamentais, como por exemplo a natureza f´ısica da terceira integral de movimento (quando existente) e o dom´ınio de validade dessa integral (no espa¸co de fases, por exemplo). Aproxima¸cões polinomiais respondem a questão do dom´ınio de validade mas não as questões sobre a natureza da terceira integral, fornecendo um formalismo matemático em que os coe-ficientes dos termos de uma certa ordem da expansão são obtidos impondo que a integral de movimento comute com a hamiltoniana até aquela ordem (Contopoulos 2002). Assim, é dif´ıcil obter uma interpreta¸cão f´ısica para essa terceira integral de movimento a partir dessas expansões.

Outro fator que não nos permite dar uma interpreta¸cão direta à terceira integral I3 é o fato de ela não ser uma integral de movimento “natural”, no sentido de que ela não

est´a associada a um grupo de simetrias do sistema. A integral _I3 vem, fundamentalmente,

do teorema KAM que garante regiões de integrabilidade ao redor de órbitas periódicas. O comportamento genérico do sistema é, no entanto, não integrável, com alguns exemplos de sistemas integráveis (que, no caso galáctico, foram citados no parágrafo anterior). Assim, para buscarmos uma interpreta¸cão f´ısica para essa integral devemos ter em conta que dife-rentes tipos de sistema devem ser analisados separadamente, e as conclusões obtidas para uma classe de configura¸cões podem não ser válidas para outra. Também não esperamos que essa “interpreta¸cão f´ısica” seja traduz´ıvel em uma palavra ou em um conjunto de palavras (como energia, momento angular, momento linear, etc.), mas sim que essa integral de movimento

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possa ser relacionada a quantidades f´ısicas relevantes para o sistema em questão. Nosso ponto de interesse aqui são sistemas discoidais. Claramente, ao buscarmos resultados para potenciais genéricos discoidais com enfoque em observáveis f´ısicos, precisamos abrir mão de algum recurso. O que decidimos abandonar foi a busca por expressões exatas, e focamos em integrais aproximadas. Há diferentes maneiras de obter essas integrais; trabalharemos princi-palmente com a aproxima¸cão adiabática (Binney & Tremaine 2008). Esta é uma abordagem que nos permite obter terceiras integrais de movimento aproximadas de maneira relativa-mente direta, principalrelativa-mente quando trabalhamos com amplitudes pequenas ao redor da órbita circular equatorial; no entanto, o dom´ınio de validade dessa aproxima¸cão é restrito, de modo que ela é válida somente para amplitudes muito pequenas (Binney 2010, Binney & McMillan 2011, Vieira & Ramos-Caro 2014). Algumas modifica¸cões nessa aproxima¸cão, baseadas em argumentos f´ısicos, foram propostas para estender o dom´ınio de validade da inte-gral, como por exemplo a corre¸cão no termo centr´ıfugo das órbitas não-equatoriais, somando ao momento angular azimutal um múltiplo da a¸cão vertical na hora de obter predi¸cões para os envelopes das órbitas (antes calculados somente a partir da invariância adiabática da a¸cão vertical, sem mexer no termo centr´ıfugo), como em Binney & McMillan (2011). No entanto, apesar do grande ganho no tamanho do dom´ınio de amplitudes verticais agora poss´ıveis de serem explicadas através de tal procedimento, essa abordagem continua com um parâmetro livre que precisa ser ajustado separadamente para cada órbita (e sem interpreta¸cão f´ısica, o que dificulta sua estimativa – ver Vieira & Ramos-Caro 2014). Procuramos então, através principalmente da aproxima¸cão adiabática aplicada a sistemas discoidais, obter expressões para os envelopes das órbitas estelares quase equatoriais que dependam somente das quan-tidades f´ısicas do sistema, sem recorrer à inser¸cão de parâmetros adicionais, que teriam um papel fenomenológico e não de primeiros princ´ıpios.

Discos bidimensionais

O modelo mais simples de disco que podemos imaginar é um disco bidimensional axialmente simétrico, isto é, um disco sem estrutura vertical. Sua espessura é considerada infinitesimal, e matematicamente o representamos por uma camada de matéria, de modo que

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a distribui¸cão de densidade é representada por uma distribui¸cão delta de Dirac na dire¸cão z com suporte no plano equatorial z = 0. Essa aproxima¸cão, embora simplificada demais para corresponder a modelos realistas de galáxias, tem sido usada por diversos autores na cons-tru¸cão de modelos de massa de galáxias espirais, baseados principalmente nas suas curvas de rota¸cão (Kent 1986, 1987, Sofue et al. 2009) e nos modelos para a dependência radial da densidade superficial do disco baseados em fotometria (Freeman 1970). Modelos anal´ıticos estão revisados em Binney & Tremaine (2008). A modelagem das curvas de rota¸cão em tais sistemas envolve o movimento no plano equatorial apenas, de modo que a estrutura vertical é irrelevante nesse caso. É interessante investigar então o movimento de part´ıculas de teste nesses sistemas, quando este ocorre fora do plano equatorial. Os estudos envolvendo o movi-mento cruzando discos bidimensionais são muito mais recentes, focando principalmente no estudo do caos em modelos axialmente simétricos de disco. Modelos simples como a “jun¸cão” de dois peda¸cos que são integráveis, acima e abaixo do plano equatorial, geralmente não pos-suem uma terceira integral de movimento e, portanto, já exibem caos (embora cada “metade” do espa¸co admita uma terceira integral, ao cruzar o disco esse comportamento regular não é preservado no caso geral – ver por exemplo Hunter 2005 para uma discussão desse fenômeno). Estudos de caos em modelos de disco ao redor de buracos negros foram primeiramente feitos considerando um disco bidimensional com densidade de matéria uniforme (Saa & Venegeroles 1999). Uma discussão extensa de caos em modelos de disco fino do tipo Kuzmin, nos quais o potencial depende de apenas uma coordenada “radial” ξ =pR2_{+ (}_{|z| + a)}2_{, onde R e z são}

as coordenadas cil´ındricas e a é uma constante positiva que dá a escala radial do disco, pode ser encontrada em Hunter (2003, 2005). Outros modelos de discos finos também apresentam comportamento caótico (veja Ramos-Caro, López-Suspes, & González 2008, Ramos-Caro, Pedraza, & Letelier 2011).

Paralelamente ao estudo de discos finos em gravita¸cão newtoniana houve uma crescente busca por solu¸cões exatas de disco fino em relatividade geral, como uma maneira de obter solu¸cões relativ´ısticas de interesse astrof´ısico. A obten¸cão de configura¸cões em rela-tividade geral correspondendo a uma dada distribui¸cão de matéria-energia é muito mais dif´ıcil do que a obten¸cão dos perfis análogos em gravita¸cão newtoniana, devido à não-linearidade das equa¸cões de Einstein. Não é poss´ıvel, no caso geral, obter uma expressão fechada para a

(27)

métrica em termos do tensor de energia-momento, como acontece em gravita¸cão newtoniana (já que a equa¸cão de Poisson é linear no potencial gravitacional e na densidadade). Revisões de solu¸cões de discos bidimensionais relativ´ısticos foram publicadas em Semerák (2002) e em Karas, Huré, & Semerák (2004), parte delas baseadas no formalismo de superposi¸cão entre um buraco negro e um disco fino (Lemos & Letelier 1994). Já a formula¸cão de discos bidimensionais em espa¸cos-tempos estacionários é apresentada em González & Gutiérrez-Piñeres (2012). Um estudo detalhado de caos em modelos de discos finos (bidimensionais) relativ´ısticos ao redor de buracos negros foi recentemente publicado em uma série de artigos, onde diferentes indicadores de caos foram analisados (Semerák & Suková 2010, 2012, Suková & Semerák 2013, Witzany, Semerák, & Suková 2015).

Os estudos numéricos do movimento em discos bidimensionais avan¸caram bas-tante nos últimos anos, como podemos ver acima, e indicam que regiões de integrabilidade como as previstas pelo teorema KAM são a regra (e não a exce¸cão) nesses casos (ver, como exemplo, a Figura 1.1). No entanto, os aspectos qualitativos do movimento não-equatorial nessa classe de sistemas foram pouco abordados na literatura. Citamos aqui apenas dois exemplos: a estabilidade vertical das órbitas circulares equatoriais e a integrabilidade do movimento que ocorre cruzando o plano do disco. Há aspectos do movimento, existentes no caso de sistemas hamiltonianos suaves, que não possuem atualmente uma formula¸cão equiva-lente para sistemas com descontinuidade nas derivadas da hamiltoniana, como por exemplo os discos bidimensionais citados acima (e também em “sistemas com impactos”, como por exemplo aqueles em que uma for¸ca externa é aplicada ao sistema, gerando o mesmo tipo de descontinuidade no vetor velocidade da part´ıcula). Não existe um análogo do teorema KAM para órbitas nesse tipo de sistema; os resultados sobre a integrabilidade do movimento (Kunze, Küpper, & You 1997, Zharnitsky 2000) e os correspondentes invariantes adiabáticos (ver por exemplo Gorelyshev & Neishtadt 2006, 2008) são recentes e ainda preliminares. Uma revisão dos avan¸cos recentes nesse tipo de sistemas pode ser encontrada em Makarenkov & Lamb (2012).

Em rela¸cão às aplica¸cões astrof´ısicas desse formalismo, notamos que o critério de estabilidade vertical de órbitas circulares equatoriais em discos bidimensionais tem sido

(28)

es-Figura 1.1: Se¸c˜ao de Poincar´e para o potencial logar´ıtmico tipo-Kuzmin, Φ = V2

0 ln ξ, com ξ =

p

R2_{+ (}_{|z| + a)}2_{, representando um disco bidimensional superposto a um halo (para mais detalhes, ver}

Hunter 2005). A se¸c˜ao ´e obtida para z = 0 e valores fixos de E e Lz, a energia e o momento angular azimutal

do sistema, respectivamente. Os parâmetros do sistema são Rc/a = 10, onde Rc é o raio da órbita circular

com energia igual à energia E da se¸cão de Poincaré, e Lz/Lc(R) = 0.15, onde Lc(R) é o momento angular

da órbita circular citada acima. Vemos uma situa¸cão bastante análoga à prevista pelo teorema KAM e veri-ficada numericamente para diversos potenciais suaves: há uma ilha de estabilidade principal (correspondente às órbitas em torno de R/a_{≈ 9, z = 0), ilhas secundárias (correspondentes a órbitas periódicas de per´ıodo} maior na se¸cão de Poincaré) e uma região caótica fora das ilhas de estabilidade. Figura retirada de Hunter (2005).

tudado na literatura, principalmente no contexto de geodésicas tipo-tempo em relatividade geral (Bardeen 1970, Voorhees 1972, Semerák & ˇZáˇcek 2000b, Karas et al. 2004). Os arti-gos pioneiros propuseram critérios de estabilidade razoáveis, porém sem uma demonstra¸cão rigorosa do caso geral (Bardeen 1970, Voorhees 1972). No entanto, o critério de estabilidade vertical para órbitas circulares proposto nesses artigos não foi mais utilizado desde então, o que fez com que outros pesquisadores propusessem diferentes critérios, como por exemplo em Semerák & ˇZáˇcek (2000b), onde a descontinuidade das derivadas verticais da métrica foi ex-plicitamente levada em conta (porém obtendo um resultado matematicamente inconsistente). Em gravita¸cão newtoniana, o critério para a estabilidade vertical de órbitas circulares

(29)

equa-toriais em discos bidimensionais utilizado em parte da literatura foi o da frequência epic´ıclica vertical ν2 _> _{0 (González & Reina 2006, González et al. 2010, Pedraza, Ramos-Caro, &}

González 2008, Ramos-Caro et al. 2008, 2011), critério este válido para distribui¸cões suaves de matéria (Binney & Tremaine 2008); contudo, a frequência epic´ıclica vertical não está bem definida no caso de discos bidimensionais. Em Vogt & Letelier (2009), em um estudo sobre anéis bidimensionais newtonianos, foi dito que o estudo das perturba¸cões verticais das órbitas circulares é não-trivial justamente por causa das descontinuidades que a camada infinitesimal de matéria introduz na descri¸cão do movimento. Isso nos faz concluir que esses critérios men-cionados acima não são consistentes do ponto de vista matemático, de forma que falta um formalismo que nos permita apresentar esse critério de estabilidade de uma maneira rigorosa e definitiva. Esse é um dos objetivos desta tese, considerando discos tanto na gravita¸cão new-toniana quanto na relatividade geral. A análise newnew-toniana é feita no cap´ıtulo 2, enquanto que a análise relativ´ıstica é apresentada no cap´ıtulo 4.

Uma outra propriedade qualitativa não tratada na literatura de discos bidimen-sionais é a integrabilidade do movimento ao redor de uma órbita circular, em particular as estimativas para a terceira integral de movimento na região composta por órbitas regula-res. Não existe um análogo das aproxima¸cões polinomiais para discos suaves (Contopoulos 1960, 1963, 2002, Bienaymé & Traven 2013). Também não existem outras estimativas para a terceira integral de movimento, por exemplo, o que seria obtido por invariantes adiabáticos (seguindo a apresenta¸cão de Binney & Tremaine 2008, se¸cão 3.6). Esta tese também tem o objetivo de preencher essa lacuna, ao menos parcialmente. Apresentamos os resultados da aproxima¸cão adiabática, correspondente a uma terceira integral de movimento para órbitas quase equatoriais, nos casos newtoniano (cap´ıtulo 2), que leva a uma predi¸cão para o envelope das órbitas que depende apenas da densidade superficial do disco, relativ´ıstico (cap´ıtulo 4) e pós-newtoniano (1PN, cap´ıtulo 5), neste último sendo tratado também o caso estacionário. No caso newtoniano, somos capazes de estender a predi¸cão da terceira integral, obtida para discos finos, para o caso de discos tridimensionais suficientemente achatados, de modo que haja uma certa correspondência entre o espa¸co com z > 0 (z < 0) do disco bidimensional e o espa¸co acima (abaixo) do disco tridimensional: a superf´ıcie z = 0 do disco bidimensional corresponde às superficies que definem os limites verticais do disco tridimensional. Essa

(30)

hipótese nos permitiu obter uma terceira integral de movimento em discos tridimensionais que explicasse o formato do envelope das órbitas através de uma fun¸cão que depende ape-nas da densidade superficial integrada verticalmente. A predi¸cão é válida para órbitas com amplitudes próximas à espessura do disco. O formalismo foi também estendido para órbitas dentro do disco, com amplitudes arbitrárias, mantendo a dependência apenas na densidade superficial. Os resultados para discos tridimensionais newtonianos estão apresentados no cap´ıtulo 3.

Na abordagem pós-newtoniana (cap´ıtulo 5) desenvolvemos, como ferramenta ne-cessária para a análise das órbitas que cruzam discos bidimensionais, um formalismo hamilto-niano para part´ıculas de teste massivas (compat´ıvel com o formalismo lagrangeano de Wein-berg 1972) válido para configura¸cões arbitrárias de matéria. Esse formalismo nos permite obter também as corre¸cões pós-newtonianas para as frequências epic´ıclicas radial e vertical, inclusive no caso estacionário. Recentes resultados sobre a equa¸cão de Liouville em sistemas pós-newtonianos, assim como sobre a constru¸cão de modelos autoconsistentes para a fun¸cão distribui¸cão (Agón, Pedraza, & Ramos-Caro 2011, Ramos-Caro, Agón, & Pedraza 2012), po-dem admitir uma reformula¸cão a partir do formalismo hamiltoniano do cap´ıtulo 5 que facilite a obten¸cão de modelos autoconsistentes pós-newtonianos.

No dom´ınio relativ´ıstico obtivemos, através da redu¸cão isoenergética da hamilto-niana para part´ıculas de teste (Bertschinger 1999, Chicone & Mashhoon 2002), uma condi¸cão de estabilidade vertical rigorosa para órbitas circulares em discos infinitesimais estáticos. Em particular, essa condi¸cão é garantida se o tensor de energia-momento do disco singular satis-fizer a condi¸cão de energia forte (Wald 1984), como apontado em Bardeen (1970) ao analisar o caso limite de discos tridimensionais com espessura desprez´ıvel. No entanto, a teoria de distribui¸cões em espa¸cos-tempos curvos (Taub 1980, Barrabes 1989, Poisson 2004) não es-tava tão difundida naquela época e, além disso, as equa¸cões de movimento não levaram em conta explicitamente a descontinuidade do campo de velocidades. Nossa opinião, por-tanto, é de que a formula¸cão rigorosa desse problema, apresentada no cap´ıtulo 4, venha a contribuir para o estabelecimento definitivo do critério de estabilidade vertical para órbitas circulares em discos infinitesimalmente finos. Como consequência dessa análise obtivemos,

(31)

assim como no caso newtoniano, a predi¸cão para os envelopes das órbitas baseada na apro-xima¸cão adiabática. O movimento em outras configura¸cões com hipersuperf´ıcies singulares tipo-tempo também foi tratado em uma abordagem preliminar, levando-nos à conjectura de que a condi¸cão de energia forte sobre o tensor de energia-momento dessa hipersuperf´ıcie é condi¸cão suficiente para a estabilidade transversal de suas órbitas periódicas, quando esta é invariante pelo fluxo geodésico. Comentários preliminares sobre configura¸cões genéricas de camadas finas em gravita¸cão newtoniana também foram analisados no cap´ıtulo 4, refor¸cando nossa hipótese (no caso newtoniano, a condi¸cão de energia forte se reduz à condi¸cão de que a densidade superficial seja positiva para a camada de matéria). Uma demonstra¸cão geral desse critério, contudo, ainda precisa ser trabalhada.

Na situa¸cão de espa¸cos-tempos com tensores de curvatura suaves obtivemos, para as frequências epic´ıclicas do movimento geodésico no caso estático e axialmente simétrico, uma rela¸cão análoga à existente para o caso newtoniano (Klu´zniak & Rosińska 2013),

κ2(R) + ν2(R) = 4πGρ(R, 0) + 2Ω2(R), (1.3)

onde κ é a frequência epic´ıclica radial e ν a frequência epic´ıclica vertical, com a generaliza¸cão apropriada das frequências epic´ıclicas para espa¸cos-tempos curvos apresentada em Abramo-wicz & Klu´zniak (2005). Essa rela¸cão envolve invariantes relacionados ao tensor de Ricci no plano equatorial, como uma generaliza¸cão da densidade ρ, e um termo que vai a zero em órbitas de fótons, correspondente ao termo envolvendo Ω2 _{da equa¸cão acima. Os resultados}

para as frequˆencias epic´ıclicas est˜ao apresentados no cap´ıtulo 6.

1.2 Discos de acre¸c˜

ao ao redor de objetos compactos

Os dois últimos cap´ıtulos desta tese estão relacionados, direta ou indiretamente, ao estudo de discos de acre¸cão ao redor de objetos compactos. Estes são usualmente tratados na aproxima¸cão em que sua autogravidade é desprezada, de modo que o potencial gravitacional do sistema é gerado pelo objeto central (que pode ser uma estrela de nêutrons ou um buraco negro). A teoria de discos de acre¸cão finos (com espessura H muito menor que o raio,

(32)

H/R _{1) e estacionários foi proposta em Shakura & Sunyaev (1973), no contexto da} gravita¸cão newtoniana. Suas propriedades estão revisadas em Pringle (1981). É suposto que a maioria das part´ıculas do disco se move em órbitas praticamente circulares, com uma pequena componente radial na dire¸cão do objeto central. Essa velocidade radial é gerada devido à viscosidade do disco, que faz com que a matéria vá lentamente perdendo energia e momento angular. As propriedades do disco (perfil de temperatura, espectro da radia¸cão emitida, espessura) são todas dependentes da velocidade angular do gás, que é bem aproximada pela velocidade angular gerada pelo potencial do objeto central (Frank et al. 2002).

Dessa forma, o estudo do movimento circular ao redor de objetos compactos vem a ser indiretamente um estudo das propriedades de discos finos. Vale a pena, portanto, verificar o comportamento das órbitas circulares de part´ıculas de teste ao redor desses objetos, em particular o perfil da velocidade angular e do momento angular (que, apesar de possu´ırem uma rela¸cão direta em gravita¸cão newtoniana, assumem comportamentos diferentes próximos à origem para geodésicas em teorias relativ´ısticas da gravita¸cão). Particularmente, discos finos ao redor de buracos negros têm sua borda interior coincidente com o raio da geodésica circular marginalmente estável (innermost stable circular orbit, ou ISCO). O comportamento dos discos finos em gravita¸cão newtoniana (Shakura & Sunyaev 1973, Frank et al. 2002) e em relatividade geral (Abramowicz & Fragile 2013) já foi bastante estudado. A análise do movimento de part´ıculas de teste ao redor de objetos compactos em teorias modificadas da gravita¸cão (ver por exemplo Kovács & Harko 2010), assim como em estruturas que não são esfericamente simétricas (como obtido recentemente para esferóides de Mclaurin em Klu´zniak & Rosińska 2013, Mishra & Vaidya 2015), podem, contudo, nos dar informa¸cões sobre as diferen¸cas esperadas para esses discos em outras teorias ou para diferentes configura¸cões do objeto central.

O cap´ıtulo 7 trata de geodésicas circulares na métrica de Kehagias & Sfetsos (Kehagias & Sfetsos 2009), uma solu¸cão esfericamente simétrica no vácuo de uma teoria modificada na gravita¸cão de Hoˇrava, que inicialmente foi proposta como uma teoria quântica da gravita¸cão (Hoˇrava 2009a,b). Veremos que, no caso em que o espa¸co-tempo representa uma singularidade nua, as propriedades do movimento são bem diferentes do caso usual da

(33)

gravita¸cão newtoniana/relatividade geral (Vieira, Schee, Klu´zniak, Stuchl´ık, & Abramowicz 2014). Também apresentamos nesse cap´ıtulo os diagramas de mergulho do plano equatorial da métrica de Kehagias & Sfetsos, tanto na geometria diretamente projetada quanto na geometria óptica, uma ferramenta útil para visualizar a curvatura do plano equatorial através de superf´ıcies de revolu¸cão em R3_.

As propriedades de discos de acre¸cão finos estão revisadas em Frank et al. (2002) Uma revisão recente de discos de acre¸cão ao redor de buracos negros, em relatividade geral, é apresentada em Abramowicz & Fragile (2013). Nesse artigo são mencionados diferentes tipos de solu¸cões que estendem o caso de discos finos ao redor de buracos negros. Para discos opticamente espessos na dire¸cão vertical, a altura do disco varia com a taxa de acre¸cão. Para discos com taxas de acre¸cão maiores que o limite de Eddington (ver por exemplo Frank et al. 2002), a solu¸cão de discos finos não é mais apropriada. Existem dois tipos de modelos na literatura para esses discos: os discos espessos, ou Polish doughnuts, com H/R > 1, revisados no cap´ıtulo 10 de Frank et al. (2002) e em Abramowicz & Fragile (2013), e os discos slim, com H/R . 1, desenvolvidos em Abramowicz, Czerny, Lasota, & Szuszkiewicz (1988b), S¸adowski (2009, 2011). Embora as suposi¸cões realizadas para a obten¸cão desses modelos sejam muito parecidas, suas propriedades são bastante diferentes, principalmente no que se refere à espessura. Dessa forma, um problema de interesse é saber qual o destino real de discos de acre¸cão opticamente espessos quando sua taxa de acre¸cão aumenta: eles se tornam discos espessos ou discos slim? Na falta de uma análise dinâmica do espa¸co de solu¸cões para os discos, a maneira mais direta de respondermos a essa pergunta é comparando a espessura dos discos slim (ou espessos) com as espessuras dos discos gerados a partir de simula¸cões numéricas 2D não estacionárias em GRRMHD (general relativistic radiation magnetohydrodynamics), obtidas recentemente. No cap´ıtulo 8, comparamos as propriedades dos discos gerados por essas simula¸cões (S¸adowski, Narayan, Tchekhovskoy, & Zhu 2013, S¸adowski, Narayan, McKinney, & Tchekhovskoy 2014, S¸adowski, Narayan, Tchekhovskoy, Abarca, Zhu, & McKinney 2015), após o sistema entrar em um estado de quase equil´ıbrio, com os resultados para discos slim, tanto na aproxima¸cão pseudo-newtoniana (Frank et al. 2002) quanto em modelos numéricos relativ´ısticos de discos slim estacionários (S¸adowski 2009, 2011). Verificamos que, apesar da grande maioria das simula¸cões numéricas de GRRMHD

(34)

utilizar como condi¸cão inicial um disco espesso do tipo Polish doughnut ou similar, o estado final dos discos das simula¸cões mais recentes (S¸adowski et al. 2015) é na verdade um disco slim, com uma surpreendente semelhan¸ca entre as espessuras e as propriedades locais de estabilidade entre as simula¸cões 2D (S¸adowski et al. 2015) e os discos slim numéricos, estes ´

ultimos supostos estacion´arios e com uma estrutura vertical pr´e definida (S¸adowski 2009, 2011).

Por fim, no cap´ıtulo 9, apresentamos as considera¸c˜oes finais desta tese, assim como comentamos sobre os problemas que ficaram em aberto e que merecem uma investiga¸c˜ao mais criteriosa.

(35)

Discos finos newtonianos (bidimensionais)

Galáxias discoidais, que apresentam uma evidente componente em forma de disco (van der Kruit & Freeman 2011), são sistemas que podem ser descritos pela gravita¸cão new-toniana, pois as velocidades t´ıpicas são muito menores que a velocidade da luz (da ordem de centenas de km/s) e o campo gravitacional só precisa de corre¸cões relativ´ısticas na vizi-nhan¸ca do buraco negro central (Binney & Tremaine 2008). Uma estimativa para a ordem de grandeza do potencial pode ser obtida através das curvas de rota¸cão: a velocidade de rota¸cão no regime newtoniano é dada por v2

c = R∂Φ/∂R ∼ Φ, onde Φ ´e o potencial

gra-vitacional e R é o raio galactocêntrico, e para a maioria das galáxias discoidais temos que vc está na faixa de 50–300 km/s (de Blok & McGaugh 1997, Sofue, Tutui, Honma, Tomita,

Takamiya, Koda, & Takeda 1999, de Blok et al. 2001, 2008, Sofue & Rubin 2001). Logo, temos Φ/c2 _{≈ 10}−6_{, de modo que os termos de ordem maior na m´etrica da relatividade geral}

podem ser desconsiderados.

Considerando o movimento das estrelas, a aproxima¸cão do conjunto das estrelas da galáxia por um fluido cont´ınuo é boa, pois a for¸ca gravitacional é de longo alcance. Para um sistema de N estrelas de mesma massa, o tempo de relaxa¸cão trelax (tempo após o qual

o movimento de uma estrela é drasticamente afetado pelas colisões com as estrelas vizinhas, em compara¸cão com a aproxima¸cão cont´ınua) pode ser estimado como (Binney & Tremaine 2008, se¸cão 1.2)

trelax ∼

0.1N

ln N tcross, (2.1)

onde tcross é o tempo que a estrela leva para cruzar uma vez a galáxia. Como galáxias têm

em m´edia N ∼ 1011_{, correspondendo a uma massa de M} _{∼ 10}11_M

, e sua idade ´e de apenas

algumas centenas de tcross (Binney & Tremaine 2008), segue que o tempo de relaxa¸c˜ao ´e

tipicamente muito maior que a idade da gal´axia, o que justifica considerar que o movimento

(36)

das estrelas satisfaz a aproxima¸cão não colisional : encontros individuais entre estrelas podem ser desprezados, de modo que o movimento destas pode ser modelado como o movimento de uma part´ıcula de teste sujeita ao potencial gravitacional gerado pela distribui¸cão total de matéria. O potencial é então calculado através da equa¸cão de Poisson, onde a densidade é uma aproxima¸cão cont´ınua para o sistema de N corpos que representam as estrelas (somada à densidade do disco gasoso e à do halo de matéria escura).

Nosso objetivo neste cap´ıtulo é estudar o movimento de estrelas em galáxias dis-coidais com uma componente de disco bidimensional, em particular daquelas que orbitam “próximas” a uma órbita circular. O estudo da estabilidade de órbitas circulares em poten-ciais suaves axialmente simétricos está desenvolvido em Binney & Tremaine (2008). Faremos na se¸cão seguinte um sumário dos resultados apresentados na referência acima, ressaltando os resultados válidos apenas para distribui¸cões suaves de matéria. Nas se¸cões posteriores deste cap´ıtulo desenvolveremos o formalismo necessário para a análise de perfis de densidade que apresentam descontinuidades do tipo “delta de Dirac” no plano z = 0, os quais represen-tam discos finos de matéria. A análise se mostrará qualitativamente diferente da feita para perfis de densidade suaves, tornando-se necessária uma reinterpreta¸cão de alguns resultados presentes na literatura.

2.1 Preˆ

ambulo: discos tridimensionais

Consideramos, seguindo o formalismo apresentado em Binney & Tremaine (2008), uma part´ıcula sujeita a um potencial gravitacional suave axialmente simétrico Φ(R, z), onde (R, ϕ, z) são as coordenadas cil´ındricas usuais. A fim de modelarmos sistemas de discos, supomos que o potencial gravitacional tenha simetria de reflexão com respeito ao plano equatorial z= 0, isto é:

Φ(R, z) = Φ(R,−z). (2.2)

A distribui¸cão de densidade será então uma fun¸cão ρ = ρ(R, z), também com simetria de reflexão com rela¸cão a esse plano. Ela é relacionada com o potencial gravitacional Φ pela

(37)

equa¸c˜ao de Poisson

∇2Φ = 4πGρ. (2.3)

A componente discoidal da galáxia corresponde a uma distribui¸cão de densidade concentrada na vizinhan¸ca do plano equatorial. O sistema pode conter também outras componentes, como um bojo central esferoidal e um halo mais disperso (de estrelas, gás ou de matéria escura; para todos os efeitos, essa distin¸cão é irrelevante no momento). No entanto, é importante ressaltar que, longe do bojo, a componente discoidal é predominante na região próxima ao plano equatorial.

Uma descri¸cão detalhada das órbitas em potenciais axialmente simétricos pode ser encontrada em Binney & Tremaine (2008), cap´ıtulo 3 (ver também Contopoulos 2002, se¸cão 3.1). Apresentamos aqui um resumo, partindo da formula¸cão hamiltoniana das equa¸cões de movimento, para dar base às discussões que seguem (uma introdu¸cão aos sistemas dinâmicos e à mecânica hamiltoniana, suficiente para o entendimento do texto aqui apresentado, pode ser encontrada em Tabor 1989, e uma abordagem com um enfoque mais baseado em problemas f´ısicos é apresentada em de Aguiar 2011).

A hamiltoniana do sistema ´e dada por

H = 1 2 (pR)2 + (pϕ)2 R2 + (pz) 2 + Φ(R, z). (2.4)

Pelas equa¸c˜oes de Hamilton (Tabor 1989) d~p dt =− ∂H ∂~q , d~q dt = ∂H ∂~p, (2.5) notamos que L_z _{≡ p}_ϕ = R2ϕ˙ (2.6)

´e uma integral de movimento do sistema. Essa grandeza, convenientemente denotada por Lz,

é a componente z do momento angular espec´ıfico da part´ıcula em rela¸cão ao centro galáctico, também chamada de momento angular azimutal. Desse modo, a hamiltoniana (2.4) pode ser reduzida a uma hamiltoniana com um grau de liberdade a menos, eliminando a coordenada

(38)

ϕ. O movimento descrito por essa nova hamiltoniana ocorre então no plano meridional Rz. O pre¸co a se pagar por essa simplifica¸cão é que para cada valor de Lz teremos uma

hamiltoniana diferente, de modo que uma descri¸cão completa do movimento deve abranger o comportamento das órbitas para diferentes valores desse parâmetro.

Definindo o potencial efetivo Φeff por

Φeff(R, z) = Φ(R, z) +

L2_z

2R2, (2.7)

podemos escrever a hamiltoniana reduzida como

H = 1 2 h (pR)2 + (pz)2 i + Φeff(R, z), (2.8)

e as equa¸c˜oes de movimento ficam

˙pR = − ∂Φeff ∂R , ˙pz = − ∂Φeff ∂z , (2.9) ˙ R = pR, ˙z = pz.

Ou seja, em termos de equa¸c˜oes diferenciais de segunda ordem para R e z,

¨ R = ₋∂Φeff ∂R = L2_z R3 − ∂Φ ∂R, (2.10) ¨ z = ₋∂Φeff ∂z =− ∂Φ ∂z.

2.1.1 Orbitas circulares e aproxima¸c˜

´

ao epic´ıclica

Em gal´axias discoidais achatadas, a maioria das estrelas se encontra em ´orbitas aproximadamente circulares (Binney & Tremaine 2008, cap´ıtulo 1), como esperado por

(39)

ar-gumentos dinâmicos (a ilha de estabilidade correspondente ao ponto fixo que representa o movimento circular é a principal) e por estudos das curvas de rota¸cão de galáxias espirais (So-fue & Rubin 2001). Assim, é importante sabermos descrever esse movimento quase circular. Nesta se¸cão fazemos um resumo dos ingredientes básicos para essa descri¸cão.

Consideremos o caso particular de órbitas circulares no plano equatorial. Tais órbitas são definidas como os pontos fixos do fluxo hamiltoniano dado por (2.8). A condi¸cão ˙pz = 0 é satisfeita ao longo de toda a trajetória por qualquer part´ıcula que inicie seu

movi-mento com o vetor velocidade no plano equatorial, por causa da simetria do potencial gravi-tacional [ver equa¸cão (2.2)]. Assim, o plano equatorial é invariante pelo fluxo hamiltoniano. Já a condi¸cão ˙pR= 0 define as órbitas circulares e é equivalente a

∂Φeff ∂R (Ro,0) = 0, (2.11)

onde Ro é o raio da órbita circular. Essa equa¸cão, juntamente com a defini¸cão (2.7) para o

potencial efetivo, permite escrever o momento angular espec´ıfico de uma ´orbita circular em fun¸c˜ao da coordenada radial R do disco:

L2_z(R) = R3∂Φ

∂R. (2.12)

Aproximando o potencial em segunda ordem pelo seu polinˆomio de Taylor ao redor do ponto (Ro,0), obtemos a aproxima¸c˜ao epic´ıclica (Binney & Tremaine 2008):

Φeff(R, z)≈ Φeff(Ro,0) + 1 2κ 2_(R o)(R− Ro)2+ 1 2ν 2_(R o)z2, (2.13) onde κ2(Ro) ≡ ∂2Φeff ∂R2 (Ro,0) , (2.14) ν2(Ro) ≡ ∂2Φeff ∂z2 (Ro,0) . (2.15)

(40)

apro-ximado (2.13) ficam ¨ x+ κ2x2 = 0, (2.16) ¨ z+ ν2z2 = 0. (2.17) onde κ2 _{= κ}2_(R

o) e ν2 = ν2(Ro). As equa¸c˜oes para as coordenadas radial e vertical ent˜ao se

desacoplam na aproxima¸c˜ao epic´ıclica (2.13). Se

κ2(Ro) > 0 (2.18)

dizemos que a órbita circular correspondente é estável radialmente, enquanto que se

ν2(Ro) > 0 (2.19)

dizemos que a órbita circular correspondente é estável verticalmente. A órbita circular será estável (no sentido de Lyapunov, ver Arnol’d 1989) se, e somente se, κ2_(R

o) > 0 e ν2(Ro) > 0.

Nesse caso, as equa¸cões (2.16–2.17) representam dois osciladores harmônicos com frequências κ(Ro) e ν(Ro), respectivamente, de modo que κ(Ro) é chamada de frequência epic´ıclica

radial e ν(Ro) ´e chamada de frequˆencia epic´ıclica vertical do movimento perturbado. Como

dito acima, se alguma dessas frequências for imaginária, a órbita circular correspondente é instável.

A condi¸cão de estabilidade radial (2.18) é equivalente ao critério de Rayleigh (Landau & Lifshitz 2007)

dL2_z dR R=Ro >0, (2.20)

onde Lz(R) ´e dado pela eq. (2.12). De fato, podemos escrever

∂2Φeff ∂R2 Ro,0 = ∂Φ ∂R 1 L2 z dL2_z dR R=Ro . (2.21)

(41)

2.1.2 Integrabilidade e terceira integral de movimento

A descri¸cão de órbitas que cruzam o plano equatorial de sistemas axialmente simétricos, embora seja algo poss´ıvel em princ´ıpio, é qualitativamente diferente da descri¸cão de órbitas equatoriais. A simetria do sistema com respeito a z = 0 faz com que órbitas que se iniciam no plano equatorial (posi¸cão inicial em z = 0, velocidade vertical nula) se mantenham no plano ao longo de toda sua evolu¸cão temporal, a menos que uma perturba¸cão externa aja sobre a part´ıcula. Desse modo, o conceito de órbita equatorial está bem definido, e portanto podemos estudar o comportamento dessas órbitas reduzindo o fluxo hamiltoniano ao plano equatorial.

Como Lz ´e uma integral de movimento, a hamiltoniana reduzida ao plano

equato-rial depende somente da coordenada radial (e do correspondente momento conjugado). Desse modo temos um sistema hamiltoniano com um grau de liberdade (R, com momento conju-gado pR), cuja energia é conservada. O sistema é então integrável (Tabor 1989, de Aguiar

2011), e portanto as caracter´ısticas qualitativas do movimento são bem estabelecidas. Em particular, todas as órbitas são regulares e o comportamento do movimento ao redor de pon-tos fixos e órbitas periódicas é conhecido (Hale 1969, Sotomayor 1979). Todas as integrais de movimento (H e Lz) são conhecidas e possuem expressões gerais e fechadas para qualquer

potencial axialmente simétrico, de modo que o formalismo que leva às variáveis de ângulo-a¸cão é (formalmente) o mesmo para qualquer potencial. Isso deixa de ser verdade quando consideramos o movimento fora do plano equatorial, pois no caso geral o sistema deixa de ser integrável e, na região em que as órbitas são regulares, não existe uma fórmula exata para a integral de movimento que complementa H e Lz.

´

E uma consequência do teorema KAM (Tabor 1989) que órbitas próximas de uma órbita circular estável são, em geral, regulares. Há uma gama de resultados numéricos, para diferentes potenciais axialmente simétricos, que comprovam esse caráter geral, endos-sando a validade desse resultado (Ollongren 1962, Henon & Heiles 1964, Contopoulos 2001). Além disso, geralmente é obtido numericamente que essas regiões de integrabilidade são bem maiores do que as estimativas conservadoras oferecidas pelo teorema KAM, o que sugere a busca por resultados quantitativos que possam descrever essas regiões que estão “distantes”

(42)

da ´orbita circular correspondente.

Isso se traduz na existˆencia de uma terceira integral de movimento_I3nessa regi˜ao,

independente das integrais de movimento clássicas: a energia E e o momento angular azimutal Lz. Por esse motivo, e por não existir uma fórmula fechada para essa terceira integral de

movimento,_I3 também é chamada de integral de movimento não-clássica. A obten¸cão de uma

expressão para a terceira integral de movimento tem sido um tema de pesquisa recorrente em astronomia dinâmica (Contopoulos 2002), área que estuda problemas astronômicos através de uma abordagem baseada em sistemas dinâmicos. Muitos estudos foram feitos desde os trabalhos pioneiros de Contopoulos (1960, 1963) que propuseram uma expansão em série para a terceira integral de movimento (para uma revisão, ver Contopoulos 2001) e de Ollongren (1962), que apresentou um estudo sistemático de órbitas calculadas numericamente em alguns potenciais axialmente simétricos, onde é mostrado claramente que as órbitas calculadas não preenchem toda a superf´ıcie de energia dispon´ıvel, mas sim ficam dentro de um “envelope” que toca a curva de velocidade zero em quatro pontos apenas. Vale ressaltar aqui também o trabalho numérico de Henon & Heiles (1964), onde os autores demonstraram através de se¸cões de Poincaré a transi¸cão do regime integrável para o regime caótico em alguns potenciais axialmente simétricos, fazendo considera¸cões sobre as ilhas de estabilidade que vieram a se mostrar verdadeiras no caso geral de sistemas hamiltonianos à luz do teorema KAM (ver por exemplo Arnol’d 1989, de Aguiar 2011). Os trabalhos posteriores focaram tanto na tentativa de encontrar expressões tratáveis para a terceira integral em potenciais arbitrários (Hietarinta 1987, Bienaymé & Traven 2013) quanto na constru¸cão de modelos galácticos integráveis e nas condi¸cões para que um dado potencial seja separável (e portanto integrável: de Zeeuw 1985, Dejonghe & de Zeeuw 1988, de Zeeuw 1988, de Zeeuw & Hunter 1990).

Há diferentes maneiras de se abordar o problema da terceira integral de movimento em potenciais axialmente simétricos. Nosso objetivo aqui não é estudar a integrabilidade do sistema como um todo, mas sim obter expressões aproximadas e simples que sejam válidas em alguma região que envolva a órbita circular. Prosseguimos então com um exemplo simples e conhecido de como obter uma terceira integral de movimento aproximada para órbitas cujo desvio do plano equatorial é pequeno. O formalismo utilizado é o da invariância adiabática

(43)

da a¸cão vertical, que está explicado em detalhes em Binney & Tremaine (2008) e é baseado na aproxima¸cão epic´ıclica descrita acima. A ilustra¸cão desse formalismo com um exemplo bem conhecido, cujos resultados já foram testados e comprovados (como é o caso da aproxima¸cão epic´ıclica), é útil para justificar as generaliza¸cões feitas adiante para o caso de discos infinite-simalmente finos (bidimensionais), tanto em gravita¸cão newtoniana quanto em relatividade geral.

Partimos da hamiltoniana aproximada, definida através do potencial efetivo (2.13). Existem duas hipóteses que precisam ser satisfeitas: a hamiltoniana deve ser separável nas coordenadas (R, z) e o per´ıodo do movimento vertical deve ser menor que o per´ıodo do movi-mento horizontal. A primeira hipótese é satisfeita se o potencial efetivo tiver, por exemplo, a forma (2.13). A segunda hipótese precisa ser testada para cada sistema e cada órbita, porém ela tem se mostrado geralmente válida para potenciais de disco (ver Binney & Tremaine 2008).

A aproxima¸cão adiabática está baseada em um resultado mais geral, a invariância adiabática das variáveis de a¸cão, que apresentamos brevemente a seguir no contexto de órbitas quase equatoriais, com foco na variável de a¸cão vertical Jz. Uma discussão mais

detalhada, assim como a demonstra¸cão do caso geral, podem ser encontradas em Binney & Tremaine (2008), se¸cão 3.6. Consideramos o movimento vertical, descrito pelo potencial aproximado (2.13). Primeiramente, notamos que a hamiltoniana correspondente é separável nas coordenadas (R, z), e portanto integrável (no sentido de Liouville, ver Tabor 1989, se¸cão 2.5):

H = HR+ Hz. (2.22)

As grandezas HR = HR(pR, R) e Hz = Hz(pz, z) s˜ao ambas integrais de movimento para

o sistema. Existe, assim, uma fun¸cão geratriz S da transforma¸cão canônica que leva das variáveis (pR, pz, R, z) para as variáveis de a¸cão-ângulo (JR, Jz, θR, θz), de modo que a

hamil-toniana nessas coordenadas seja uma fun¸c˜ao apenas de JR e Jz (Tabor 1989, de Aguiar

2011). A fun¸c˜ao geratriz S = S(R, z, JR, Jz) pode ser escrita, devido `a separabilidade da

hamiltoniana, como

(44)

As variáveis de a¸cão no potencial aproximado são dadas por Ji = ∆iS/2π (Binney & Tremaine

2008, se¸cão 3.5), onde a varia¸cão ∆ié tomada ao longo de um caminho fechado no qual apenas

a coordenada θi varia. No caso de (2.23), como as variáveis de a¸cão são constantes ao longo

da trajet´oria, temos para Jz que ∆zSR= 0 (tomada a R constante) e, portanto,

Jz =

∆Sz

2π . (2.24)

No exemplo escolhido (para mais detalhes, ver Tabor 1989, Binney & Tremaine 2008), Hz = 1 2p 2 z + 1 2ν 2_z2_. _(2.25)

Chamando de Ez o valor de Hz ao longo da órbita, temos que Sz é dada pela solu¸cão de

Ez = 1 2 ∂Sz ∂z 2 +1 2ν 2_z2_, _(2.26) o que resulta em Sz = √ 2Z pEz− ν2z2/2 dz. (2.27)

Sendo Z a amplitude vertical do movimento, a a¸cão vertical Jz (2.24) é então dada por

Jz = √ 2 2π I p Ez− ν2z2/2 dz = 4√2 2π Z Z 0 p Ez− ν2z2/2 dz, (2.28)

isto ´e, Jz = Ez/ν, resultando em Hz = νJz. Em termos da amplitude Z do movimento

vertical, temos que Ez = ν2Z2/2, e portanto

Jz =

1 2νZ

2_. _(2.29)

O resultado acima vale para a expansão do potencial efetivo ao redor do ponto de equil´ıbrio estável (Ro,0). No entanto, sabemos que a dependência radial do potencial efetivo

faz com que a órbita perturbada também tenha uma componente radial, de modo que além do movimento vertical há também um movimento horizontal no plano meridional. Um dos passos para se calcular a aproxima¸cão adiabática consiste em supor que esses movimentos são

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“desacoplados”: a coordenada radial da part´ıcula é obtida como se esta estivesse no plano equatorial, sujeita ao potencial Φeff(R, 0). Assim, obtém-se a fun¸cão R(t) que descreverá o

movimento radial. Quando inserida na descri¸cão do movimento vertical, essa dependência temporal da coordenada radial pode ser vista como uma dependência temporal no poten-cial da equa¸cão (2.25). A invariância adiabática das variáveis de a¸cão nos diz que, se a dependência temporal do potencial for “lenta” o suficiente e se a hamiltoniana de cada fatia temporal for integrável, então as variáveis de a¸cão do sistema serão conservadas ao longo de sua evolu¸cão temporal (ver Binney & Tremaine 2008, se¸cão 3.6). No caso das órbitas quase circulares, a hipótese de que as oscila¸cões verticais são mais “rápidas” que as oscila¸cões horizontais nos diz que, para a hamiltoniana (2.25), a a¸cão vertical Jz, dada por (2.29), é um

invariante adiabático, sendo portanto aproximadamente conservada ao longo do tempo. Isto é, ao introduzirmos R(t) como uma dependência temporal na frequência epic´ıclica vertical ν2_,

obtemos um potencial que varia “lentamente” no tempo, de acordo com as hipóteses acima. Desse modo, a expressão ν[R(t)]Z2_{[R(t)] será uma constante ao longo do tempo, e portanto}

Z(R) ∝ ν(R)−1/2. A expressão para ν é dada por (2.15), calculada para os diferentes va-lores de R. Escrevendo Φzz ≡ ∂2Φ/∂z2, temos então que a amplitude vertical do movimento

pode ser escrita como uma fun¸c˜ao do raio galactocˆentrico R:

Z(R)_∝Φzz(R, 0)

−1/4

, (2.30)

o que equivale a dizer que a órbita correspondente está sujeita à terceira integral de movimento

I3(AA) = Z(R)Φ1/4zz (R, 0). (2.31)

A fun¸cão Z(R) na equa¸cão acima é, na realidade, uma fun¸cão Z(R) = ˜Z(R, z, pR, pz), que

associa a cada ponto da trajetória a amplitude Z do envelope da órbita, para o mesmo raio R. Dessa maneira, a integral de movimento_I3, assim como a variável de a¸cão vertical, ficam

escritas em termos das coordenadas do espa¸co de fases. Substituindo a equa¸c˜ao (2.26) em J_z = Ez/ν, com pz = ∂Sz/∂z, chegamos a Jz = 1 2ν(R) h p2_z+ ν2(R)z2i (2.32)