Integrabilidade e terceira integral de movimento

A descri¸c˜ao de ´orbitas que cruzam o plano equatorial de sistemas axialmente sim´etricos, embora seja algo poss´ıvel em princ´ıpio, ´e qualitativamente diferente da descri¸c˜ao de ´orbitas equatoriais. A simetria do sistema com respeito a z = 0 faz com que ´orbitas que se iniciam no plano equatorial (posi¸c˜ao inicial em z = 0, velocidade vertical nula) se mantenham no plano ao longo de toda sua evolu¸c˜ao temporal, a menos que uma perturba¸c˜ao externa aja sobre a part´ıcula. Desse modo, o conceito de ´orbita equatorial est´a bem definido, e portanto podemos estudar o comportamento dessas ´orbitas reduzindo o fluxo hamiltoniano ao plano equatorial.

Como Lz ´e uma integral de movimento, a hamiltoniana reduzida ao plano equato-

rial depende somente da coordenada radial (e do correspondente momento conjugado). Desse modo temos um sistema hamiltoniano com um grau de liberdade (R, com momento conju- gado pR), cuja energia ´e conservada. O sistema ´e ent˜ao integr´avel (Tabor 1989, de Aguiar

2011), e portanto as caracter´ısticas qualitativas do movimento s˜ao bem estabelecidas. Em particular, todas as ´orbitas s˜ao regulares e o comportamento do movimento ao redor de pon- tos fixos e ´orbitas peri´odicas ´e conhecido (Hale 1969, Sotomayor 1979). Todas as integrais de movimento (H e Lz) s˜ao conhecidas e possuem express˜oes gerais e fechadas para qualquer

potencial axialmente sim´etrico, de modo que o formalismo que leva `as vari´aveis de ˆangulo- a¸c˜ao ´e (formalmente) o mesmo para qualquer potencial. Isso deixa de ser verdade quando consideramos o movimento fora do plano equatorial, pois no caso geral o sistema deixa de ser integr´avel e, na regi˜ao em que as ´orbitas s˜ao regulares, n˜ao existe uma f´ormula exata para a integral de movimento que complementa H e Lz.

´

E uma consequˆencia do teorema KAM (Tabor 1989) que ´orbitas pr´oximas de uma ´orbita circular est´avel s˜ao, em geral, regulares. H´a uma gama de resultados num´ericos, para diferentes potenciais axialmente sim´etricos, que comprovam esse car´ater geral, endos- sando a validade desse resultado (Ollongren 1962, Henon & Heiles 1964, Contopoulos 2001). Al´em disso, geralmente ´e obtido numericamente que essas regi˜oes de integrabilidade s˜ao bem maiores do que as estimativas conservadoras oferecidas pelo teorema KAM, o que sugere a busca por resultados quantitativos que possam descrever essas regi˜oes que est˜ao “distantes”

da ´orbita circular correspondente.

Isso se traduz na existˆencia de uma terceira integral de movimento_I3nessa regi˜ao,

independente das integrais de movimento cl´assicas: a energia E e o momento angular azimutal Lz. Por esse motivo, e por n˜ao existir uma f´ormula fechada para essa terceira integral de

movimento,_I3 tamb´em ´e chamada de integral de movimento n˜ao-cl´assica. A obten¸c˜ao de uma

express˜ao para a terceira integral de movimento tem sido um tema de pesquisa recorrente em astronomia dinˆamica (Contopoulos 2002), ´area que estuda problemas astronˆomicos atrav´es de uma abordagem baseada em sistemas dinˆamicos. Muitos estudos foram feitos desde os trabalhos pioneiros de Contopoulos (1960, 1963) que propuseram uma expans˜ao em s´erie para a terceira integral de movimento (para uma revis˜ao, ver Contopoulos 2001) e de Ollongren (1962), que apresentou um estudo sistem´atico de ´orbitas calculadas numericamente em alguns potenciais axialmente sim´etricos, onde ´e mostrado claramente que as ´orbitas calculadas n˜ao preenchem toda a superf´ıcie de energia dispon´ıvel, mas sim ficam dentro de um “envelope” que toca a curva de velocidade zero em quatro pontos apenas. Vale ressaltar aqui tamb´em o trabalho num´erico de Henon & Heiles (1964), onde os autores demonstraram atrav´es de se¸c˜oes de Poincar´e a transi¸c˜ao do regime integr´avel para o regime ca´otico em alguns potenciais axialmente sim´etricos, fazendo considera¸c˜oes sobre as ilhas de estabilidade que vieram a se mostrar verdadeiras no caso geral de sistemas hamiltonianos `a luz do teorema KAM (ver por exemplo Arnol’d 1989, de Aguiar 2011). Os trabalhos posteriores focaram tanto na tentativa de encontrar express˜oes trat´aveis para a terceira integral em potenciais arbitr´arios (Hietarinta 1987, Bienaym´e & Traven 2013) quanto na constru¸c˜ao de modelos gal´acticos integr´aveis e nas condi¸c˜oes para que um dado potencial seja separ´avel (e portanto integr´avel: de Zeeuw 1985, Dejonghe & de Zeeuw 1988, de Zeeuw 1988, de Zeeuw & Hunter 1990).

H´a diferentes maneiras de se abordar o problema da terceira integral de movimento em potenciais axialmente sim´etricos. Nosso objetivo aqui n˜ao ´e estudar a integrabilidade do sistema como um todo, mas sim obter express˜oes aproximadas e simples que sejam v´alidas em alguma regi˜ao que envolva a ´orbita circular. Prosseguimos ent˜ao com um exemplo simples e conhecido de como obter uma terceira integral de movimento aproximada para ´orbitas cujo desvio do plano equatorial ´e pequeno. O formalismo utilizado ´e o da invariˆancia adiab´atica

da a¸c˜ao vertical, que est´a explicado em detalhes em Binney & Tremaine (2008) e ´e baseado na aproxima¸c˜ao epic´ıclica descrita acima. A ilustra¸c˜ao desse formalismo com um exemplo bem conhecido, cujos resultados j´a foram testados e comprovados (como ´e o caso da aproxima¸c˜ao epic´ıclica), ´e ´util para justificar as generaliza¸c˜oes feitas adiante para o caso de discos infinite- simalmente finos (bidimensionais), tanto em gravita¸c˜ao newtoniana quanto em relatividade geral.

Partimos da hamiltoniana aproximada, definida atrav´es do potencial efetivo (2.13). Existem duas hip´oteses que precisam ser satisfeitas: a hamiltoniana deve ser separ´avel nas coordenadas (R, z) e o per´ıodo do movimento vertical deve ser menor que o per´ıodo do movi- mento horizontal. A primeira hip´otese ´e satisfeita se o potencial efetivo tiver, por exemplo, a forma (2.13). A segunda hip´otese precisa ser testada para cada sistema e cada ´orbita, por´em ela tem se mostrado geralmente v´alida para potenciais de disco (ver Binney & Tremaine 2008).

A aproxima¸c˜ao adiab´atica est´a baseada em um resultado mais geral, a invariˆancia adiab´atica das vari´aveis de a¸c˜ao, que apresentamos brevemente a seguir no contexto de ´orbitas quase equatoriais, com foco na vari´avel de a¸c˜ao vertical Jz. Uma discuss˜ao mais

detalhada, assim como a demonstra¸c˜ao do caso geral, podem ser encontradas em Binney & Tremaine (2008), se¸c˜ao 3.6. Consideramos o movimento vertical, descrito pelo potencial aproximado (2.13). Primeiramente, notamos que a hamiltoniana correspondente ´e separ´avel nas coordenadas (R, z), e portanto integr´avel (no sentido de Liouville, ver Tabor 1989, se¸c˜ao 2.5):

H = HR+ Hz. (2.22)

As grandezas HR = HR(pR, R) e Hz = Hz(pz, z) s˜ao ambas integrais de movimento para

o sistema. Existe, assim, uma fun¸c˜ao geratriz S da transforma¸c˜ao canˆonica que leva das vari´aveis (pR, pz, R, z) para as vari´aveis de a¸c˜ao-ˆangulo (JR, Jz, θR, θz), de modo que a hamil-

toniana nessas coordenadas seja uma fun¸c˜ao apenas de JR e Jz (Tabor 1989, de Aguiar

2011). A fun¸c˜ao geratriz S = S(R, z, JR, Jz) pode ser escrita, devido `a separabilidade da

hamiltoniana, como

As vari´aveis de a¸c˜ao no potencial aproximado s˜ao dadas por Ji = ∆iS/2π (Binney & Tremaine

2008, se¸c˜ao 3.5), onde a varia¸c˜ao ∆i´e tomada ao longo de um caminho fechado no qual apenas

a coordenada θi varia. No caso de (2.23), como as vari´aveis de a¸c˜ao s˜ao constantes ao longo

da trajet´oria, temos para Jz que ∆zSR= 0 (tomada a R constante) e, portanto,

Jz =

∆Sz

2π . (2.24)

No exemplo escolhido (para mais detalhes, ver Tabor 1989, Binney & Tremaine 2008), Hz = 1 2p 2 z + 1 2ν 2_z2_{. (2.25)}

Chamando de Ez o valor de Hz ao longo da ´orbita, temos que Sz ´e dada pela solu¸c˜ao de

Ez = 1 2 ∂Sz ∂z 2 +1 2ν 2_z2_{, (2.26)} o que resulta em Sz = √ 2Z pEz− ν2z2/2 dz. (2.27)

Sendo Z a amplitude vertical do movimento, a a¸c˜ao vertical Jz (2.24) ´e ent˜ao dada por

Jz = √ 2 2π I p Ez− ν2z2/2 dz = 4√2 2π Z Z 0 p Ez− ν2z2/2 dz, (2.28)

isto ´e, Jz = Ez/ν, resultando em Hz = νJz. Em termos da amplitude Z do movimento

vertical, temos que Ez = ν2Z2/2, e portanto

Jz =

1 2νZ

2_{. (2.29)}

O resultado acima vale para a expans˜ao do potencial efetivo ao redor do ponto de equil´ıbrio est´avel (Ro,0). No entanto, sabemos que a dependˆencia radial do potencial efetivo

faz com que a ´orbita perturbada tamb´em tenha uma componente radial, de modo que al´em do movimento vertical h´a tamb´em um movimento horizontal no plano meridional. Um dos passos para se calcular a aproxima¸c˜ao adiab´atica consiste em supor que esses movimentos s˜ao

“desacoplados”: a coordenada radial da part´ıcula ´e obtida como se esta estivesse no plano equatorial, sujeita ao potencial Φeff(R, 0). Assim, obt´em-se a fun¸c˜ao R(t) que descrever´a o

movimento radial. Quando inserida na descri¸c˜ao do movimento vertical, essa dependˆencia temporal da coordenada radial pode ser vista como uma dependˆencia temporal no poten- cial da equa¸c˜ao (2.25). A invariˆancia adiab´atica das vari´aveis de a¸c˜ao nos diz que, se a dependˆencia temporal do potencial for “lenta” o suficiente e se a hamiltoniana de cada fatia temporal for integr´avel, ent˜ao as vari´aveis de a¸c˜ao do sistema ser˜ao conservadas ao longo de sua evolu¸c˜ao temporal (ver Binney & Tremaine 2008, se¸c˜ao 3.6). No caso das ´orbitas quase circulares, a hip´otese de que as oscila¸c˜oes verticais s˜ao mais “r´apidas” que as oscila¸c˜oes horizontais nos diz que, para a hamiltoniana (2.25), a a¸c˜ao vertical Jz, dada por (2.29), ´e um

invariante adiab´atico, sendo portanto aproximadamente conservada ao longo do tempo. Isto ´e, ao introduzirmos R(t) como uma dependˆencia temporal na frequˆencia epic´ıclica vertical ν2_,

obtemos um potencial que varia “lentamente” no tempo, de acordo com as hip´oteses acima. Desse modo, a express˜ao ν[R(t)]Z2_{[R(t)] ser´a uma constante ao longo do tempo, e portanto}

Z(R) ∝ ν(R)−1/2. A express˜ao para ν ´e dada por (2.15), calculada para os diferentes va- lores de R. Escrevendo Φzz ≡ ∂2Φ/∂z2, temos ent˜ao que a amplitude vertical do movimento

pode ser escrita como uma fun¸c˜ao do raio galactocˆentrico R:

Z(R)_∝Φzz(R, 0)

−1/4

, (2.30)

o que equivale a dizer que a ´orbita correspondente est´a sujeita `a terceira integral de movimento

I3(AA) = Z(R)Φ1/4zz (R, 0). (2.31)

A fun¸c˜ao Z(R) na equa¸c˜ao acima ´e, na realidade, uma fun¸c˜ao Z(R) = ˜Z(R, z, pR, pz), que

associa a cada ponto da trajet´oria a amplitude Z do envelope da ´orbita, para o mesmo raio R. Dessa maneira, a integral de movimento_I3, assim como a vari´avel de a¸c˜ao vertical, ficam

escritas em termos das coordenadas do espa¸co de fases. Substituindo a equa¸c˜ao (2.26) em J_z = Ez/ν, com pz = ∂Sz/∂z, chegamos a Jz = 1 2ν(R) h p2_z+ ν2(R)z2i (2.32)

com ν2_{(R) = Φ}

zz(R, 0). Utilizando Z = 2Ez/ν a integral I3(AA) fica ent˜ao, em termos das

coordenadas do espa¸co de fases,

I3(AA)=  Φzz(R, 0) −1/4n p2_z+Φzz(R, 0)  z2o 1/2 . (2.33) ´

E sabido que o dom´ınio de validade da express˜ao acima ´e bastante limitado, funcionando apenas na vizinhan¸ca do plano equatorial (Binney & McMillan 2011), para amplitudes bem menores que a espessura do disco fino da Gal´axia (Vieira & Ramos-Caro 2014). Para amplitudes verticais maiores, outras express˜oes para _I3 foram propostas, seja

em termos de uma expans˜ao polinomial (Contopoulos 1960, 1963, 2001, Bienaym´e & Traven 2013) ou como corre¸c˜oes no termo centr´ıfugo do potencial efetivo para ´orbitas n˜ao-equatoriais (Binney & McMillan 2011).

Na pr´oxima se¸c˜ao discutiremos o limite em que o disco tem espessura desprez´ıvel, sendo descrito por uma camada fina de mat´eria no plano equatorial. Nessa situa¸c˜ao ´e criada uma descontinuidade no campo gravitacional devida `a distribui¸c˜ao superficial de mat´eria. O movimento de part´ıculas que cruzam esse disco infinitesimalmente fino (“razor-thin”) ´e descrito da mesma maneira que o movimento em discos com distribui¸c˜oes suaves de mat´eria, por´em a presen¸ca da descontinuidade introduz termos adicionais que precisam ser tratados de maneira consistente.