Solu¸c˜oes de v´acuo (espa¸cos-tempos Ricci-flat)

No caso em que temos v´acuo na relatividade geral, segue que Rµν = 0 e, portanto,

a equa¸c˜ao (6.64) se reduz a ω_r2+ ω2 θ = 1 2 gϕϕ,r grr Ω2_(r)1 ˜ r2 d˜r2 dr , (6.65)

que vai a zero em ´orbitas fotˆonicas circulares [pois nesses casos d˜r2/dr = 0, ver equa¸c˜ao (6.48)]. Esse pequeno coment´ario tem consequˆencias profundas na an´alise de geod´esicas circulares pr´oximo `as ´orbitas fotˆonicas circulares. Primeiramente, devemos mencionar que nesse caso a express˜ao para ω2

r + ω2θ se anula exatamente na ´orbita fotˆonica, sendo positiva

em regi˜oes permitidas para o movimento circular tipo-tempo (d˜r2/dr > 0 e Ω2_{(r) > 0)}

e (formalmente) negativa em regi˜oes onde esse movimento n˜ao ´e poss´ıvel (d˜r2/dr < 0 ou Ω2_{(r) < 0). Em particular, n˜ao existem geod´esicas tipo-tempo circulares se ω}2

r + ω2θ ≤ 0.

Esta ´e a extens˜ao do resultado newtoniano (6.4) no v´acuo, apresentado em Klu´zniak & Rosi´nska (2013), para o movimento geod´esico em espa¸cos-tempos est´aticos e com Rµν = 0

(Ricci-flat), o v´acuo da relatividade geral.

O caso “degenerado” dessa situa¸c˜ao ´e quando as express˜oes para ambas as frequˆen- cias ω2

r e ωθ2 s˜ao nulas no raio da ´orbita fotˆonica rph. Na situa¸c˜ao geral, no entanto, uma das

frequˆencias quadradas ´e positiva e outra ´e negativa. Por continuidade, o sinal das frequˆencias quadradas ser´a preservado em uma vizinhan¸ca do raio da ´orbita fotˆonica, com uma das frequˆencias sendo portanto imagin´aria. Assim, em espa¸cos-tempos Ricci-flat, sempre haver´a uma regi˜ao de geod´esicas circulares tipo-tempo inst´aveis entre a ´orbita fotˆonica e a ´orbita marginalmente est´avel mais pr´oxima: a regi˜ao de estabilidade nunca atingir´a o raio da ´orbita circular fotˆonica. O exemplo mais familiar que apresenta esse fenˆomeno ´e o espa¸co-tempo de Schwarzschild, por´em foi tamb´em mostrado explicitamente que alguns espa¸cos-tempos axial- mente sim´etricos no v´acuo apresentam essa propriedade, como por exemplo as solu¸c˜oes mul- tipolares da relatividade geral analisadas em Hernandez-Pastora, Herrera, & Ospino (2013). Esse resultado tem uma interpreta¸c˜ao clara em termos do momento angular das ´orbitas circulares pr´oximas a uma ´orbita fotˆonica inst´avel, como veremos a seguir. O mo- mento angular L de ´orbitas circulares (6.18) ´e dado por

L2(r) = ˜r4gtt,r

d˜r2

dr −1

, (6.66)

Podemos mostrar tamb´em (Vieira et al. 2014) que d`2 dr = 1 E2  1_{− v}2dL 2 dr , (6.67)

onde v ´e a velocidade da part´ıcula, medida por um observador est´atico local. Assim, como por (6.66) temos L2 _{→ ∞ quando r se aproxima do raio da ´orbita circular fotˆonica, segue}

que `2 _{cresce com r → r}

ph. Ainda mais, por (6.67), nas regi˜oes permitidas pelo movimento

geod´esico circular tipo-tempo temos que os sinais de d`2_{/dr e dL}2_{/dr s˜ao os mesmos, e}

portanto o crit´erio de Rayleigh dL2_{/dr para a estabilidade radial de ´orbitas circulares pode}

tamb´em ser escrito como d`2_{/dr > 0 nessa regi˜ao. Em particular, como L}2 _{→ ∞ quando}

r _{→ r}ph, temos que as geod´esicas circulares s˜ao inst´aveis radialmente na vizinhan¸ca de

uma ´orbita inst´avel fotˆonica, r > rph (geod´esicas circulares tipo-tempo s˜ao proibidas na

vizinhan¸ca r < rph, pois nessa regi˜ao d˜r2/dr < 0). Dessa forma, as ´orbitas circulares na

regi˜ao logo ap´os o raio de ´orbitas fotˆonicas inst´aveis (r > rph) s˜ao inst´aveis radialmente, com

ou sem presen¸ca de mat´eria (ou curvatura Rµν). O caso mais interessante ´e o de ´orbitas

fotˆonicas que s˜ao est´aveis, dadas por d˜r2/dr = 0 e d2_r˜2_/dr2 _{< 0. Nesse caso o movimento}

circular geod´esico ´e permitido para r < rph e proibido para r > rph. O crit´erio de Rayleigh

nos d´a que as ´orbitas circulares s˜ao est´aveis radialmente para r < rph, e portanto nessa regi˜ao

ω_r2 > 0. Temos, todavia, que ω2

r + ωθ2 < 0 nessa vizinhan¸ca, o que mostra que as ´orbitas

circulares ficam verticalmente inst´aveis ao se aproximarem do raio da ´orbita fotˆonica. Assim, a estabilidade vertical das ´orbitas circulares pr´oximas a uma ´orbita fotˆonica est´avel ´e de extrema importˆancia para a an´alise do movimento nessa regi˜ao, pois se Rµν = 0 a frequˆencia

epic´ıclica vertical ser´a automaticamente imagin´aria pela equa¸c˜ao (6.65). Esse resultado pode ajudar a entender, por exemplo, as quest˜oes levantadas sobre o comportamento das ´orbitas circulares em solu¸c˜oes multipolares da relatividade geral (Hernandez-Pastora et al. 2013). A an´alise da estabilidade radial feita nesse artigo n˜ao ´e suficiente para classificar o movimento geod´esico circular pr´oximo a ´orbitas fotˆonicas circulares inst´aveis, pois o espa¸co-tempo n˜ao ´e esfericamente sim´etrico e por isso, como vimos, ω2

θ precisa ser considerada. Essa discuss˜ao

acima tamb´em ´e uma maneira de verificar a presen¸ca de mat´eria em regi˜oes pr´oximas a ´orbitas est´aveis fotˆonicas, porque se o movimento circular for est´avel (ω2

devemos ter Rtt+ Ω2(r)Rϕϕ > 0 nessa vizinhan¸ca. Em particular, isso nos d´a informa¸c˜oes

qualitativas sobre o tensor de Ricci em espa¸cos-tempos esfericamente sim´etricos conhecidos com as propriedades acima, como por exemplo as solu¸c˜oes de singularidades nuas de Reissner- Nordstr¨om (Pugliese, Quevedo, & Ruffini 2011), de buracos negros regulares de Bardeen (Garcia, Hackmann, Kunz, L¨ammerzahl, & Macias 2013) e de Kehagias-Sfetsos na gravita¸c˜ao de Hoˇrava (Vieira et al. 2014).

Um ´ultimo coment´ario sobre a condi¸c˜ao de v´acuo ´e que ela ´e local: todos os argumentos acima permanecem v´alidos se tivermos Rµν = 0 apenas no raio da ´orbita fotˆonica.