8 INVERSION
8.1 Definición:
Una inversión es una transformación geométrica que consta de los siguientes elementos: Un punto fijo llamado Centro alineado con cada pareja de puntos inversos.
Una constante K llamada Potencia de Inversión que es igual al producto de distancias de cada pareja de inversos al centro de inversión.
k
OP
x
OP
'
=
Es decir, las distancias de un punto y su homólogo al centro de inversión son inversamente proporcionales. Cuanto mayor sea la distancia OP, menor será OP’, y viceversa.
Si la potencia de inversión fuera negativa, los segmentos OA y OA’ tendrían sentidos opuestos; por tanto, A y A’ estarían a distinto lado de O.
La inversión es involutiva: si A se invierte en A’, B≡A’ se invierte en B’≡A
0 A A' 0 A A' Inversión de k > 0 Inversión de k < 0
8.2 Circunferencia de Puntos dobles
Si damos valores a los distintos segmentos OP y OP’, teniendo en cuenta que OP x OP’ = k, obtenemos la siguiente tabla:
OP OP’ 0 ∞ <
k
>k
k
k
>k
<k
∞ 0Vemos que, siendo
k
>0
, si la distancia de un punto al centro de inversión esk
, el punto se invierte en sí mismo, es decir es punto doble. El conjunto de puntos dobles formará una circunferencia de centro O y radiok
, llamada Circunferencia de Puntos Dobles (CPD).Los puntos del interior de la circunferencia se invertirán en puntos de fuera y viceversa.
El centro de inversión se invertirá en cualquier punto del infinito y viceversa.
Si la potencia de inversión fuese negativa, la circunferencia de radio
| k
|
sería doble, pero los puntos serían diametralmente opuestos enk
0 circunferencia de puntos dobles
8.3 Circunferencias de Autoinversión
Llamamos circunferencia de Autoinversión a una circunferencia que se invierte en sí misma, aunque sus puntos no sean dobles.
Si trazamos una circunferencia cualquiera que pase por una pareja A y A’ de puntos inversos, la potencia del Centro de Inversión respecto a la circunferencia será:
'
OA
x
OA
p =
Es decir, el valor de la potencia es igual a la constante de la inversión. Como la potencia es constante, cualquier otra recta que pase por O y corte a la circunferencia, determinará dos puntos B y B’ que serán inversos ya que:
'
OB
x
OB
k
p
=
=
Como cualquier punto de la circunferencia tendrá su inverso en la misma circunferencia, la circunferencia se invierte en sí misma, es decir es de Autoinversión. Por tanto:
Cualquier circunferencia que pase por una pareja de inversos es de Autoinversión. Para inversión de constante positiva, como la potencia también se puede expresar por:
( )
OT
p =
2 , yp =
k
, tendremos que:OT =
k
Es decir, los puntos de tangencia de las tangentes trazadas a una circunferencia de autoinversión desde el centro, son puntos dobles.
Y así mismo, las circunferencias de auto-inversión son ortogonales a la circunferencia de puntos dobles.
Si la potencia fuera negativa no se cumplen condiciones de ortogonalidad
En cualquier caso,
dos pares de puntos inversos siempre serán concíclicos.
Siempre existirá una circunferencia que pase por A, A’ y B, que contendrá forzosamente a B’ por ser de autoinversión.
0
A
A'
circunferencia de
autoinversión
B
B'
0 A A' CPD circunferencia de autoinversión circunferencia de puntos dobles B B' T-T' 0 A A' circunferencia de autoinversión B B' |k| 90°8.4
Forma gráfica de determinar el inverso de un punto
• Si la inversión viene definida por centro O y pareja de inversos A, A’
Como cualquier circunferencia que pase por A y A’ es de autoinversión, trazamos la circunferencia que pase por A, A’ y B (mediante mediatrices, hallamos el centro).
El punto B’ se encontrará en dicha circunferencia. Prolongamos la recta OB hasta que corte de nuevo a la circunferencia; el punto de corte será B’
Este método es válido tanto para potencia positiva como negativa
• Si la inversión viene definida por centro O y circunferencia de puntos dobles Dado que la fórmula de la inversión:
k
=
OA
x
OA
'
podemos escribirla como:( )
k
2=
OA
x
OA
'
, vemos quek
es medio proporcional entreOA
yOA
'
.Por el teorema del cateto sabemos que en un triángulo rectángulo, el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Con la siguiente construcción podemos determinar el inverso de un punto:
Si P interior a CPD, trazamos la perpendicular a OP en P hasta que corte a CPD. En ese punto trazamos la tangente a CPD y propongamos hasta que corte a OP en P’.
Si P exterior a CPD, trazamos con arco capaz de 90º la tangente a CPD, y desde el punto de tangencia, tomamos la perpendicular a OP que la cortará en P’
En ambos casos tenemos el teorema del cateto expresado de forma gráfica.
• Si la inversión es de potencia negativa
Conociendo la circunferencia de radio
| k
|
Podemos hallar el inverso de un punto como si la potencia fuera positiva y aplicarle un giro de 180º
O por aplicación del teorema de la altura, unimos A con el centro de inversión, tomamos la perpendicular al segmento OA hasta que corte a la circunferencia de autoinversión en P y trazamos la perpendicular a AP prolongándola hasta que corte a AO, obteniendo el punto inverso A’
0 A A' B B' 0 CPD P P' k 0 A A' |k| 90° |k| 90° P
8.5 Propiedad de dos parejas de puntos inversos
Tomemos una circunferencia de autoinversión y sobre ella dos pares de puntos inversos, A,A’, B, B’. Trazamos las rectas AB y A’B’.
Quedan formados dos triángulos OAB y OA’B’ que serán semejantes por tener dos ángulos iguales. (∠O común y ∠A = ∠B’ por inscritos en la circunferencia. Como dados dos parejas de inversos, siempre habrá una circunferencia de autoinversión que pase por ellos,
∠OAB =∠OB’A’ e igualmente
∠OBA = ∠OA’B’
8.6 Inversa de una recta que no pasa por el centro
Consideremos una recta cualquiera. Trazamos la perpendicular a ella desde el centro de inversión, siendo A el pie de dicha perpendicular. Hallemos su inverso A’.
Sea B un punto cualquiera de la recta. Como el ángulo ∠OAB siempre será 90º, y basándonos en la propiedad vista en el apartado anterior, el ángulo ∠OB’A’ será 90º. Por tanto, B’ se encontrará en el arco capaz de 90º para OA’.
Como la recta r está formada por todas las posiciones posibles de B, su inversa será la circunferencia de diámetro OA’
Es decir:
La inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión será una circunferencia que pasa por el Centro
Trazado:
Si la recta es secante a la circunferencia de puntos dobles, la inversa pasará por los dos puntos dobles y por el centro de Inversión. Con mediatrices entre estos tres puntos, hallamos su centro.
Si la recta es tangente a la circunferencia de puntos dobles, la circunferencia inversa tendrá como diámetro el radio de CPD que pasa por el punto de tangencia.
0 CPD r r'
0 CPD r'
Si la recta es exterior a la circunferencia de puntos dobles, trazamos una perpendicular desde O, hallamos el inverso A’ del pie de la perpendicular A, y el segmento OA’ será el diámetro de la circunferencia inversa. O A' A B B' 90° 90° OAB = OB'A' = 90º 0 A A' B B' OAB = OB'A' 0 A A' CPD r r'
8.7 Inversa de una circunferencia que pasa por el centro
Como hemos visto que la inversión es involutiva, las circunferencias que pasen por el centro de inversión se invertirán en rectas que no pasan por dicho centro.
Los métodos de trazado son los contrarios a los tres casos que vimos anteriormente.
0 CPD c c'
0 CPD c c'
Circunferencia secante con CPD Circunferencia tangente interior a CPD
0 A A' CPD c c' 90° Circunferencia interior a CPD
8.8 Inversa de una recta que pasa por el centro
Dado que un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión, si una recta pasa por el centro de inversión, el inverso de un punto de la recta estará también sobre la recta. Por tanto, la inversa de la recta será ella misma. Es decir, cualquier recta que pase por el centro de inversión es recta doble. (Aunque los puntos no sean dobles, a excepción de los puntos de corte con CPD) 0 A A' B C-C' D-D' r-r' CPD
8.9 Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro
Consideremos una circunferencia c que no pase por el centro de inversión. Trazamos una recta secante que pase por el centro, siendo A y B los puntos de corte.
Hallamos sus inversos A’ y B’
Por tanto,
k
=
OA
.
OA
'
=
OB
.
OB
'
La potencia desde el centro de inversión a la circunferencia c será:
OB
OA
p
=
.
Si dividimos las dos expresiones, tendremos:
OA
OB
OB
OA
OB
OA
OB
OB
OB
OA
OA
OA
p
k
'
'
.
'
.
.
'
.
=
=
=
=
es decir:OA
OB
OB
OA
p
k
'
'
=
=
Vemos por tanto que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son homotéticos en la homotecia de centro 0 y razón k/p.
Como tendríamos la misma expresión si la recta secante fuese otra, deducimos que la inversa de la circunferencia c será otra circunferencia homotética, en la homotecia de centro O y razón k/p.
Atención: Los centros de las circunferencias no son inversos uno del otro. Sí lo son los puntos de tangencia con las rectas tangentes trazadas desde O.
Trazado:
Tomamos desde el centro de inversión la recta tangente a c.
Hallamos el inverso del punto de tangencia T, que será el punto de tangencia T’ de la circunferencia inversa con la misma recta. Tomamos perpendicular en T’ y donde corte a la recta que une el centro de inversión con el centro de la circunferencia, obtenemos el centro de la circunferencia inversa
(Los centros de las circunferencias no son inversos uno del otro).
T T' O CPD A B B' A' O
8.10 Conservación de ángulos en la inversión
Consideramos dos circunferencias inversas.
Trazamos una recta secante desde O, quedando determinados dos pares de puntos inversos A, A’, B, B’.
Las tangentes a las circunferencias en A y B’ son paralelas puesto que las circunferencias son homotéticas. Por tanto, forman el mismo ángulo α con la recta trazada.
Las tangentes a la circunferencia menor en A y B forman el mismo ángulo con la recta.
Por tanto comprobamos que:
Las tangentes a dos curvas inversas en dos puntos inversos B y B’ forman el mismo ángulo con la recta que los une con el centro de inversión.
De igual manera, dada una recta y su circunferencia inversa, los ángulos que forman la recta y la circunferencia con la recta que une el centro con una pareja de puntos inversos, son iguales.
Si consideramos dos rectas o dos circunferencias y sus respectivas inversas, como el ángulo que forman entre sí es la suma o diferencia de los ángulos que forman con la recta que los une con O, y éstos permanecen constantes, queda demostrado que:
La inversión conserva los ángulos
0 A' CPD A 35° 35° 54° 54° r r' s s'
c1 c1' O CPD c2 c2' 3 7 ° 33° 37° 3 3 °
∠rs =∠r’s’
∠c1-c2 = ∠c1’-c2’
A B B' A' O 0 A CPD A' 54° 54° r r'8.11 Aplicación de la inversión a problemas de tangencia
Supongamos resuelto el caso de tangencias PRC;
Los datos serían la circunferencia c, la recta r y el punto P y una de las soluciones, la circunferencia s. c P r s
Apliquémosle una inversión de centro P con cualquier potencia de inversión El resultado sería la siguiente figura:
c'
r'
s'
la circunferencia c’, inversa de la circunferencia c; la circunferencia r’, inversa de la recta r;
la recta s’, inversa de la circunferencia s; (como s pasa por P, centro de inversión, se invierte en recta) P’, inverso del centro de inversión P es punto impropio.
Como s es tangente a r y c, s’ es tangente a r’ y c’, ya que la inversión conserva ángulos y la tangencia es ángulo de 0º.
Vemos que se hubiera podido obtener s’ aunque no conociéramos s, ya que es una recta tangente a dos circunferencias. Se hubiera podido determinar s como inversa de s’. Vemos también que como existen 4 rectas tangentes a r’ y c’, existirán 4 soluciones al problema, las inversas de las 4 rectas tangentes.
8.11.1
Casos de tangencia que se resuelven por inversión
Siguiendo el anterior esquema, cualquier caso de tangencia puede ser resuelto
por inversión. Ahora bien, solo se emplea cuando es más sencillo que con
potencia, es decir, en los siguientes casos:
PRC solución por Inversión PCC solución por Inversión RCC solución por Inversión CCC solución por Inversión
PRC
Fundamento teórico
Si aplicamos una inversión a la figura siendo P el centro de inversión, la recta r y la
circunferencia c se convertirán en dos circunferencias r’ y c’, y el inverso de P pasará al infinito. Las inversas de las soluciones serán las cuatro rectas tangentes a estas dos circunferencias r’ y c’.
Para que la ejecución gráfica sea más sencilla, se toma c como circunferencia de autoinversión.
Datos P c r P c r c' r' CPD a a' Tc Tc' Tr Tr'
Trazado:
1. Hallamos la tangente desde P a c con arco capaz de 90º; el segmento
tangente será el radio de la circunferencia de puntos dobles (CPD)
2. Se halla la inversa de la recta r, obteniéndose la circunferencia r’.
3. Se halla una de las rectas tangentes a las circunferencias r’ y c’. (Ésta
última, coincidente con c). Llamamos (a’) a la recta tangente y Tc’ y Tr’ a
los dos puntos de tangencia. (Trazado de la tangente no dibujado)
4. Se hallan los inversos de Tc’ y Tr’ uniendo dichos puntos con el centro de
inversión P, y cortando respectivamente con c y r. Obtenemos Tc y Tr
5. Trazamos la circunferencia que pase por P, Tc y Tr, que será la solución
PRC Caso Particular 1
La solución es concéntrica con la circunferencia que pasa por el centro O de c y
por P’, tal que PP’ = radio de c. Por tanto, la hallamos con la mediatriz de OP’ y
la perpendicular a r por P. Llevando P’ en el sentido opuesto encontramos otra
solución.
P
r
c
P'
P r c DatosPRC Caso Particular 2
Por ser P el punto de tangencia con c, conocemos la tangente común a ambas
circunferencias. El centro estará en la bisectriz de las dos tangentes, y en la
recta PO. Con la segunda bisectriz de r y t, encontramos otra solución.
P
O
c
r
t
P r c c O DatosPCC
Fundamento teórico
Si aplicamos una inversión a la figura siendo P el centro de inversión, las circunferencias c1 y c2 se convertirán en dos circunferencias c1’ y c2’, y el inverso de P pasará al infinito. Las inversas de las soluciones serán las cuatro rectas tangentes a estas dos circunferencias c1’ y c2’. Para que la ejecución gráfica sea más sencilla, se toma c1 como circunferencia de autoinversión. Datos P c1 c2
P
c1
c2
c2'
T1
T1'
T2
T2'
a
a'
Trazado:
1. Hallamos la tangente desde P a c1 con arco capaz de 90º; el segmento
tangente será el radio de la circunferencia de puntos dobles (CPD)
2. Se halla la inversa de la circunferencia c2, obteniéndose la circunferencia
c2’.
3. Se halla una de las rectas tangentes a las circunferencias c2’ y c1’. (Ésta
última, coincidente con c1). Llamamos (a’) a la recta tangente y Tc1’ y
Tc2’ a los dos puntos de tangencia. (Trazado de la tangente no dibujado)
4. Se hallan los inversos de Tc1’ y Tc2’ uniendo dichos puntos con el centro
de inversión P, y cortando respectivamente con c1 y c2. Obtenemos Tc1
y Tc2
5. Trazamos la circunferencia que pase por P, Tc1 y Tc2, que será la
solución inversa de la recta a.
CCC
Fundamento teórico:
La circunferencia solución es concéntrica con otra circunferencia que pase por
Oe, centro de la circunferencia e, y es tangente a otras dos circunferencias c1 y
d1, concéntricas con c y d y cuyo radio es el mismo que c y d aumentado o
disminuido en el radio de e.
De las cuatro soluciones para Oe, c1 y d1, obtenidas según PCC, solamente dos
de ellas son válidas para el caso CCC.
Como hay cuatro posibilidades para aumentar o disminuir los radios de c y d,
tendremos ocho posibles soluciones.
Trazado:
1.- Trazamos las circunferencias c1 y d1, aumentando los radios de c y d en el radio de e.
2.- Resolvemos el caso de tangencia PCC para Oe, c1 y d1, obteniendo la circunferencia s1.
3.- Aumentamos el radio de s1 en el radio de e, obteniendo la solución s.
8.12 Problemas de circunferencias con condiciones
angulares
Dado que la inversión conserva ángulos, nos puede servir para resolver problemas de
circunferencias que cumplan condiciones angulares. El método es similar al de los problemas de tangencias.
Veamos un ejemplo:
Hallar una circunferencia que forme un ángulo α con una recta, un ángulo β con una circunferencia y pase por un punto P.
Los datos serían la circunferencia c, la recta r y el punto P y una de las soluciones, la circunferencia s.
c
P
r
s
Apliquémosle una inversión de centro P con cualquier potencia de inversión El resultado sería la siguiente figura:
• la circunferencia c’, inversa de la circunferencia c;
• la circunferencia r’, inversa de la recta r;
• la recta s’, inversa de la
circunferencia s; (como s pasa por P, centro de inversión, se invierte en recta)
• P’, inverso del centro de inversión P es punto impropio.
• La recta s’ formará con r’ y c’ los ángulos α y β ya que la inversión conserva ángulos.
Vemos que se hubiera podido obtener s’ aunque no conociéramos s, ya que es una recta que forma ángulo conocido con dos circunferencias (ver epígrafe siguiente). Se hubiera podido determinar s como inversa de s’.
Veremos también que como existen 4 rectas que formen las condiciones angulares con r’ y c’, existirán 4 soluciones al problema, las inversas de estas 4 rectas.
c'
r'
8.12.1
Trazado de una recta que forme un ángulo dado con una
circunferencia.
Cualquier recta que forme un ángulo dado con una circunferencia será tangente a otra circunferencia concéntrica con la anterior que podremos hallar tomando una cuerda cualquiera con el ángulo debido y hallando su radio con una perpendicular desde el centro.
Si la recta tuviera que cumplir doble condición angular, sería trazar una tangente común a dos circunferencias halladas como en el caso anterior.
Dibujar una recta que forme un angulo de 45º con c1 y de 30º con c2
c2 3 0 ° 90° 4 5° c1 P c 3 0 ° 30° 90°
8.12.2
Problema de ejemplo.
Problema: Dibujar una circunferencia que pase por el punto P, sea tangente a
la circunferencia c y forme un ángulo de 30 º con la recta r
Datos P c r P c r c' r' CPD a a' Tc Tc' 30 ° 30 ° c aux M' M N N'
