aula08 ESZA024 17 v1

(1)

ESZA024-17

Aula Semana 8: M´

etodo de projeto via

alocac

¸˜

ao de polos

Prof. Magno Enrique Mendoza Meza1

1_{Universidade Federal do ABC}

Engenharia de Instrumenta¸cão, Automa¸cão e Robótica Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Mecânica

(2)

Conceitos fundamentais dos sistemas de controle s˜ao:

1 Um sistema ´e control´avel se for poss´ıvel, por meio de um vetor de

controle ilimitado, transferir o sistema de um qualquer estado inicial a qualquer outro estado em um n´umero finito de per´ıodos de

amostragem.

2 _{Um sistema ´}_{e observ´}_{avel se, com o sistema no estado x(0), pode-se}

determinar o estado a partir da observa¸c˜ao dos vetores de sa´ıda e de controle ao longo de um n´umero finito de per´ıodos de amostragem.

(3)

Considere o sistema de controle em tempo discreto definido por

x((k + 1)T ) = Adx(kT ) + Bdu(kT ) (1)

y(kT ) = C x(kT ) (2)

no qual x(kT ) é o vetor de estado (dimensão n), u(kT ) é o vetor de controle (dimensão r ) e y(kT ) é o vetor de sa´ıda (dimensão m) no k_{−ésimo instante de amostragem; A}d é a matriz n× n, Bd é a matriz

n× r, C ´e a matriz m × n.

Defini¸c˜ao 1 (Controlabilidade completa do estado)

O sistema descrito pela equa¸cão (1) é dito de estado completamente controlável se para qualquer estado inicial em k = 0, existe uma conjunto de controle irrestrito u(kT ), k = 0, 1, 2, . . . , n− 1, o qual transferem todo estado inicial x(0) para qualquer estado final x(nT ) para algum n finito.

(4)

A dedu¸cão da condi¸cão de controlabilidade pode ser encontrada na literatura de sistemas de controle. A condi¸cão de controlabilidade completa de estado é que a matriz n_{× n r}

Bd AdBd · · · An_d−1Bd

(3) tenha posto n (posto completo)

rank Bd AdBd · · · And−1Bd = n

(5)

Controlabilidade completa da sa´ıda

Defini¸c˜ao 2 (Controlabilidade completa de sa´ıda)

O sistema descrito pelas equa¸cões (1) e (2) é dito de sa´ıda completamente controlável se para qualquer sa´ıda inicial em k = 0, existe uma conjunto de controle irrestrito u(kT ), k = 0, 1, 2, . . . , n_{− 1, tal que qualquer sa´ıda} final y(nT ) pode ser alcan¸cada desde um estado inicial arbitrario em tempo finito n.

A dedu¸c˜ao da condi¸c˜ao de controlabilidade completa da sa´ıda pode ser encontrada na literatura de sistemas de controle.

(6)

Controlabilidade completa da sa´ıda

Uma condi¸cão necessária e suficiente para que o sistema definido pelas equa¸cões (1) e (2) seja de sa´ıda completamente controlável, é que a matriz m× (n + 1)r D C Bd C AdBd · · · C An_d−1Bd seja de posto m: rank D C Bd C AdBd · · · C And−1Bd = m (4)

Note que a presen¸ca da matriz D na equa¸c˜ao de sa´ıda do sistema sempre ajuda a estabelecer a controlabilidade completa de sa´ıda.

(7)

Defini¸c˜ao 3 (Observabilidade completa)

O sistema descrito pelas equa¸c˜oes (1) e (2) ´e dito completamente

observ´avel se qualquer estado inicial x(0) em k = 0, pode ser determinado do conhecimento da sa´ıda y(kT ) e da entrada u(kT ) para 0_{≤ k < n, no} qual n ´e algum tempo finito.

O conceito de observabilidade é útil no projeto dos observadores de estado. Para pesquisar uma condi¸cão necessária e suficiente para a observabilidade completa, basta considerar o sistema descrito pelas equa¸cões

x((k + 1)T ) = Adx(kT ) (5)

y(kT ) = C x(kT ) (6)

Uma vez que x(0) pode ser determinado da observa¸cão da sa´ıda, x(kT ) também pode ser determinado já que u(0), u(T ), . . ., u((k_{− 1)T ) são}

(8)

Observabilidade completa dos sistemas em tempo discreto

Considere o sistema definido pelas equa¸c˜oes (5) e (6). O sistema ´e

completamente observável se, dada a sa´ıda y(kT ) sobre um número finitos de per´ıodos de amostragem, é poss´ıvel determinar o vetor de estado inicial x(0).

Uma condi¸cão necessária e suficiente para que o sistema definido pelas equa¸cões (5) e (6) seja completamente observável é que o posto da matriz n_{× n m} C∗ A∗_dC∗ · · · (A∗ d)n−1C∗ (7) seja n. A matriz dada pela equa¸cão (7) é a matriz de

(9)

Observabilidade completa dos sistemas em tempo discreto

Uma condi¸cão necessária e suficiente para a observabilidade completa é que não ocorra nenhuma cancelamento de polos zeros na fun¸cão de transferência pulso. Se ocorre cancelamento, o modo cancelado não poderá ser observado na sa´ıda.

(10)

Considere a equa¸c˜ao de estado em tempo discreto e a equa¸c˜ao de sa´ıda x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k) (8)

y (k) = C x(k) + D u(k) (9) Nas próximas se¸cões serão apresentadas técnicas para transformar as equa¸cões no espa¸co de estados definidas pelas equa¸cões (8) e (9) nas três formas canônicas:

1 Control´avel 2 _Observ´_avel

3 _{Diagonal ou de Jordan}

Estamos supondo que o sistema definido pelas equa¸cões (8) e (9) é de estado completamente controlável e observável.

(11)

Forma canˆonica control´avel

O sistema definido pelas equa¸cões (8) e (9) pode ser transformado na forma canônica controlável pela matriz de transforma¸cão

T = M W (10) no qual M = Bd AdBd · · · An_d−1Bd (11) e W =        a1 a2 · · · an−1 1 a2 a3 · · · 1 0 .. . ... ... ... an−1 1 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0        (12)

(12)

Os elementos ai mostrados na matriz W s˜ao os coeficientes da equa¸c˜ao

caracter´ıstica

|z I − Ad| = zn+ an−1zn−1+· · · + a1z + a0= 0

Pode ser demonstrado que

T−1AdT = (M W)−1Ad(M W) = W−1M−1AdM W =        0 1 0 · · · 0 0 0 1 _{· · ·} 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 · · · 1 −a0 −a1 −a2 · · · −an−1

       (13)

(13)

Forma canˆonica control´avel e T−1Bd =        0 0 .. . 0 1        (14) Definamos x(k) = T z(k)

na qual a matriz de transforma¸cão T está dada pelas equa¸cões (10). Então as equa¸cões (8) e (9) se converte em

z(k + 1) = T−1AdT z(k) + T−1Bdu(k) = ¯Adz(k) + ¯Bdu(k)

(14)

Forma canˆonica control´avel no qual ¯Ad= T−1AdT, ¯Bd= T−1Bd, ¯C = C T e ¯D = D,        z1(k + 1) z2(k + 1) . . . zn−1(k + 1) zn(k + 1)        =        0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . .. ... 0 0 0 · · · 1

−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

              z1(k) z2(k) . . . zn−1(k) zn(k)        +        0 0 . . . 0 1        u(k) (15) y (k) = " b0− a0bn . . .b1− a1bn . . .· · ·...bn−1− an−1bn #        z1(k) z2(k) . . . zn−1(k) zn(k)        + bnu(k) (16)

(15)

bk são os coeficientes do numerador da fun¸cão de transferência pulso

C(z I_{− A}d)−1Bd+ D = C(z I¯ − ¯Ad)−1B¯d+ ¯D = bnz n_{+ b} n−1zn−1+· · · + b1z + b0 zn_{+ a} n−1zn−1+· · · + a1z + a0 (17) Observe que D = ¯D = bn.

(16)

Forma canˆonica observ´avel

O sistema definido pelas equa¸cões (8) e (9) pode ser transformado na forma canônica observável por meio da matriz de transforma¸cão

Q = (W N∗)−1 no qual N = C∗ A∗_dC∗ · · · (A∗ d)n−1C∗ (18) e W esta dada pela equa¸c˜ao (12). Pode ser demonstrado que

Q−1AdQ = ¯Ad=        0 0 _{· · · 0 0} _−a0 1 0 _{· · · 0 0} _−a1 .. . ... . .. ... ... ... 0 0 _{· · · 1 0 −a}n−2 0 0 _{· · · 0 1 −a}n−1       

(17)

Forma canˆonica observ´avel Q−1Bd = ¯Bd=        b0− a0bn b1− a1bn .. . bn−2− an−2bn bn−1− an−1bn        e C Q = ¯C = 0 0 _{· · · 0 1}

na qual bk são os coeficientes do numerador da fun¸cão de transferência

pulso da equa¸c˜ao (17). Ent˜ao, definamos x(k) = Q z(k)

(18)

Forma canˆonica observ´avel

As equa¸c˜oes (8) e (9) se convertem em

z(k + 1) = A¯dz(k) + ¯Bdu(k) y (k) = C z(k) + ¯¯ D u(k)        z1(k + 1) z2(k + 1) . . . zn−1(k + 1) zn(k + 1)        =        0 0 · · · 0 0 −a0 1 0 · · · 0 0 −a1 . . . . . . . .. ... . . . . . . 0 0 · · · 1 0 −an−2 0 0 · · · 0 1 −an−1               z1(k) z2(k) . . . zn−1(k) zn(k)        +        b0− a0bn b1− a1bn . . . bn−2− an−2bn bn−1− an−1bn        u(k) (19)

(19)

Forma canˆonica observ´avel y (k) = 0 0 _{· · · 0 1}        z1(k) z2(k) .. . zn−1(k) zn(k)        + D u(k) (20)

(20)

Forma canˆonica diagonal

Se os autovalores pi da matriz Ad s˜ao distintos, ent˜ao os autovetores

correspondentes ξξξ1, ξξξ2, . . ., ξξξn tamb´em s˜ao distintos. Definamos a matriz

de transforma¸c˜ao P como segue: P = h ξξξ1 ... ξξξ2 ... · · · ... ξξξn i Ent˜ao P−1AdP =      p1 0 · · · 0 0 p2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 _{· · · p}n     

(21)

Se definimos

x(k) = P z(k)

então equa¸cões (8) e (9) podem ser dadas pelas equa¸cões

z(k + 1) = A¯dz(k) + ¯Bdu(k) (21)

y (k) = C z(k) + ¯¯ D u(k) (22) no qual ¯Ad= P−1AdP, ¯Bd= P−1Bd, ¯C = C P e ¯D = D.

(22)

Portanto, equa¸c˜oes (21) e (22) podem ser escritas como

     z1(k + 1) z2(k + 1) . . . zn(k + 1)      =      p1 0 · · · 0 0 p2 · · · 0 . . . . . . . .. ... 0 0 · · · pn           z1(k) z2(k) . . . zn(k)      +      α1 α2 . . . αn      u(k) (23) y (k) = β1 β2 · · · βn      z1(k) z2(k) . . . zn(k)      + D u(k) (24)

(23)

na qual αi e βi s˜ao constantes, tais que αiβi ´e o residuo no polo z = pi,

isto ´e, tal que αiβi aparecer˜ao no numerador do termo 1/(z− pi) quando

a fun¸cão de transferência pulso é expandida em fra¸cões parciais como segue C(z I− Ad)−1Bd+ D = C(z I¯ − ¯Ad)−1B¯d+ ¯D = α1β1 z_{− p}1 + α2β2 z _{− p}2 +_{· · · +} αnβn z_{− p}n + D (25) Em muitos casos escolhemos α1 = α2 =· · · αn= 1. Note que a condi¸cão

necessária e suficiente para que o sistema seja de estado completamente controlável é que αi 6= 0 (i = 1, 2, . . . , n) e a condi¸cão para que seja

(24)

Forma canˆonica de Jordan

Se existem autovalores m´ultiplos pi da matriz Ad, ent˜ao escolhemos a

matriz de transforma¸c˜ao S definida como S =

η1 η2 · · · ηn

na qual ηi s˜ao autovetores (os quais correspondem a distintos autovalores)

ou autovetores generalizados (os quais correspondem a autovalores m´ultiplos). Ent˜ao

S−1AdS = matriz na forma canˆonica de Jordan

Agora, se definimos

x(k) = S z(k)

(25)

Forma canˆonica de Jordan

z(k + 1) = A¯dz(k) + ¯Bdu(k)

y (k) = C z(k) + ¯¯ D ˆu(k)

no qual ¯Ad= S−1AdS, ¯Bd= S−1Bd, ¯C = C S e ¯D = D. Se a matriz Ad

envolve um autovalor m-m´ultiplo p1 e outros autovalores pm+1, pm+2, . . .,

pn que s˜ao todos distintos e diferentes de p1, e, se o posto de p1I− Ad ´e

n_{− 1 (o qual implica que o polinômio m´ınimo é idêntico ao polinômio} caracter´ıstico), então as equa¸cões no espa¸co de estado na forma canônica de Jordan são dadas como segue:

(26)

Forma canˆonica de Jordan               z1(k + 1) z2(k + 1) . . . zm(k + 1) zm+1(k + 1) . . . zn(k + 1)               =                  p1 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 p1 1 · · · . . . 0 · · · 0 . . . . . . . . . 1 0 · · · 0 0 0 0 · · · p1 0 · · · 0 0 0 0 · · · 0 pm+1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 0 · · · pn                                z1(k) z2(k) . . . zm(k) zm+1(k) . . . zn(k)               +               0 0 . . . αm αm+1 . . . αn               u(k) (26) y (k) = β1 β2 · · · βn       z1(k) z2(k) . . . zn(k)       + D u(k) (27)

na qual αi e βi s˜ao as constantes que aparecem na fun¸c˜ao de

(27)

Forma canˆonica de Jordan C(z I_{− A}d)−1Bd+ D = C(z I¯ − ¯Ad)−1B¯d+ ¯D = αmβ1 (z _{− p}1)m + αmβ2 (z_{− p}1)m−1 +· · · + αmβm z_{− p}1 +· · · · · · +αm+1βm+1 z− pm+1 +_{· · · +} αnβn z− pn + D Em muitos casos escolhemos αm = αm+1=· · · = αn= 1. Note-se que a

condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que o sistema seja de estado

completamente control´avel ´e que αi 6= 0 (i = m, m + 1, . . . , n) e para que

(28)

O método conhecido como a técnica de aloca¸cão de polos requer as seguintes considera¸cões: (i) que todas as variáveis de estado sejam mensuráveis e estejam dispon´ıveis para realimenta¸cão, (ii) que o sistema considerado seja de estado completamente controlável para que os polos do sistema em malha fechada possam ser localizados em qualquer posi¸cão desejada por meio de uma realimenta¸cão de estados com uma matriz de ganho de realimenta¸cão apropriada, e (iii) que a técnica comece com a determina¸cão dos polos desejados em malha fechada, os quais devem de satisfazer os requerimentos de resposta transitória e/ou resposta em frequência como velocidade, coeficiente de amortecimento e largura de banda.

(29)

Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento igualando coeficientes

Dadas essas considera¸c˜oes, supondo que os polos desejados em malha fechada devem ser posicionados em z = p1, z = p2, . . ., z = pn. Deve-se

ter cuidado na escolha de T , per´ıodo de amostragem, para que o sistema desejado não requeira sinais de controle excesivamente grandes. Ao selecionar uma matriz de ganho apropriada para a realimenta¸cão de estado, é poss´ıvel que o sistema tenha os polos em malha fechada nas posi¸cões desejadas, lembrando que o sistema original deva ser de estado completamente controlável.

(30)

Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento igualando coeficientes z−1_I + x(k + 1) x(k) Bd Ad + u(k) C y(k)

Figura 1: Sistema de controle discreto em malha aberta.

A equa¸c˜ao de estado ´e

(31)

na qual x(k) é o vetor de estado (de dimensão n), u(k) é o sinal de controle (escalar), Ad é a matriz n× n, Bd é a matriz n× 1. Supondo que

a magnitude do sinal de controle u(k) ´e ilimitado e se o sinal de controle for

u(k) =_{−K x(k)}

no qual K é a matriz de ganho de realimenta¸cão do estado (uma matriz 1_{× m), então o sistema se converte em um sistema de controle em malha} fechada, como mostrado na Figura 2 e sua equa¸cão de estado fica da seguinte forma

(32)

Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento igualando coeficientes + − z −1_I + x(k + 1) Bd Ad + u(k) x(k) C y(k) K 0

Figura 2: Sistema de controle em malha fechada com u(k) = −K x(k), para um sistema de regula¸c˜ao.

(33)

x(k + 1) = (Ad− BdK)x(k) (29)

Cabe ressaltar que a matriz K ´e escolhida de forma que os autovalores de Ad− BdK sejam os polos desejados em malha fechada p1, p2, . . ., pn.

Quaisquer autovalores complexos devem vir como pares conjugados. Se a equa¸cão caracter´ıstica do sistema original dado pela equa¸cão (28) é

|z I − Ad| = zn+ an−1zn−1+ an−2zn−2+· · · + a1z + a0= 0 (30)

então define-se a matriz de transforma¸cão T como (10) e as matrizes M e W como as equa¸cões (11) e (12), respectivamente.

(34)

Logo, das equa¸c˜oes (13) e (14), temos T−1AdT = ¯Ad e T−1Bd = ¯Bd,

respectivamente.

A seguir define-se a matriz ¯ K = K T = _¯ k0 k¯1 · · · ¯kn−1 (31) ent˜ao ¯ BdK =¯        0 0 .. . 0 1        _¯ k0 k¯1 · · · ¯kn−1 =        0 0 _{· · ·} 0 0 0 · · · 0 .. . ... ... 0 0 _{· · ·} 0 ¯ k0 k¯1 · · · ¯kn−1       

(35)

a equa¸c˜ao caracter´ıstica do sistema (29) chega ser

|z I − Ad + BdK| = |z I − ¯Ad+ ¯BdK|¯ = z         1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 0 0 · · · 1         −         0 1 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . 0 0 · · · 1

−a0 −a1 · · · −an−1

        +         0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 ¯ k0 k¯1 · · · ¯kn−1         = z −1 · · · 0 0 z · · · 0 . . . . . . . . . 0 0 · · · −1 a0+ ¯k0 a1+ ¯k1 · · · z + an−1+ ¯kn−1 = zn+ (an−1+ ¯kn−1) zn−1+ · · · + (a1+ ¯k1) z + +a0+ ¯k0= 0 (32)

(36)

A equa¸c˜ao caracter´ıstica com os autovalores desejados ´e dada por (z − p1)(z− p2) · · · (z − pn)

= zn+ αn−1zn−1+ αn−2zn−2+· · · + α1z + α0(33)= 0

Igualando os coeficientes de potˆencias iguais de z das equa¸c˜oes (32) e (33) obtemos αn−1 = an−1+ ¯kn−1 αn−2 = an−2+ ¯kn−2 .. . α0 = a0+ ¯k0

(37)

Por isso, da equa¸c˜ao (31) temos K = K T¯ −1

= k¯0 k¯1 · · · ¯kn−1 T−1

=

α0− a0 α1− a1 · · · αn−1− an−1 T−1 (34)

(38)

Exemplo 1 (Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento igualando coeficientes)

Considere um sistema cont´ınuo que tem as seguintes matrizes de estado, de entrada e de sa´ıda: A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0  , B =   0 0 1  , C = 1 0 0 , D = 0 Aqui supõe-se que todos os estados estão dispon´ıveis para realimenta¸cão. Deseja-se que os polos do sistema cont´ınuo estejam em s =_{−5. Calcular} a matriz de ganhos K para o sistema discreto considere um per´ıodo de amostragem T = 0, 01 s.

(39)

Solu¸c˜ao

Dadas as matrizes do sistema cont´ınuo, calculemos as matrizes do sistema discreto das equa¸c˜oes (77) e (78) Aula 8, resultando em

Ad =   1, 00000 0, 01000 0, 00005 0 1, 00000 0, 01000 0 0 1, 00000  , B_d =   1, 66666667× 10−7 5, 0_{× 10}−5 1, 0_{× 10}−2   as matrizes Cd e Dd s˜ao as mesmas que no caso cont´ınuo. Calculemos a

matriz de transforma¸cão para a forma canônica controlável T dada pela equa¸cão (10), a qual está composta pelas matrizes M e W dadas pelas equa¸cões (11) e (12), respectivamente. Para isso, calcula-se a equa¸cão caracter´ıstica do sistema

(40)

Solu¸c˜ao

P(z) = z3− 3, 0z2_{+ 3, 0z}_{− 1, 0}

da qual identifica-se os coeficientes:

a3= 1; a2 =−3, 0; a1 = 3, 0; a0 =−1, 0

O polo desejado discreto é calculado de z = eTs, com s =_{−5 resultada} em zp = 0, 9512, daqui a equa¸cão caracter´ıstica desejada é

Pd(z) = z3− 2, 853688z2+ 2, 714512z− 0.860708

(41)

Aloca¸cão de polos: Procedimento igualando coeficientes Solu¸cão ad 3= 1; ad 2 =−2, 853688; ad 1= 2, 714512; ad 0 =−0, 860708 As matrizes M e W são M =   1, 66666667_{× 10}−7 1, 166666667_{× 10}−6 3, 166666667_{× 10}−6 5, 0× 10−5 _{1, 5}_{× 10}−4 _{2, 5}_{× 10}−4 1, 0_{× 10}−2 1, 0_{× 10}−2 1, 0_{× 10}−2   W =   3 −3 1 −3 1 0 1 0 0  

(42)

Solu¸c˜ao

A matriz de ganhos é calculada segundo a equa¸cão (34), obtém-se Kd=116, 0041807 70, 1970292 14, 2782541

A Figura 3 mostra a evolu¸c˜ao dos estados do sistema geral para o

problema de regula¸c˜ao e a Figura 4 mostra o esfor¸co de controle aplicado ao sistema geral para a regula¸c˜ao.

(43)

Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento igualando coeficientes Solu¸c˜ao 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Tempo Amplitude Estados do sistema x 1 x2 x3

Figura 3: Evolu¸c˜ao no tempo dos estados do sistema. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Controle u Tempo Amplitude

Figura 4: Esfor¸co de controle aplicado no sistema.

(44)

Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento utilizando f´ormula de Ackermann

A expressão dada pela equa¸cão (34) não é a única utilizada para

determinar a matriz de ganho de realimenta¸cão de estado K. Uma outra expressão é a fórmula de Ackermann. Considere o sistema definido pela equa¸cão (28). Suponha-se que o sistema é de estado completamente controlável e utilizando a realimenta¸cão de estados u(k) =_{−K x(k), se} deseja que os polos de malha fechada estejam em z = p1, z = p2, . . .,

z = pn. Isto ´e, a equa¸c˜ao caracter´ıstica desejada seja

|z I − Ad+ BdK| = (z − p1)(z− p2)· · · (z − pn)

(45)

Defina-se

˜

Ad= Ad− BdK

O teorema de Cayley-Hamilton declara que ˜Ad satisfaz sua pr´opria

equa¸c˜ao caracter´ıstica, daqui temos que ˜

An_d+ αn−1A˜nd−1+ αn−2A˜ n−2

d +· · · + α1A˜d+ α0I = φ( ˜Ad) = 0

Portanto, a f´ormula de Ackermann fico como segue K = 0 0 _{· · · 0 1} Bd AdBd · · · An_d−1Bd −1 φ(Ad) (35) na qual φ(Ad) = And+ αn−1And−1+ α2n−A n−2 d +· · · + α1Ad + α0I (36)

(46)

Exemplo 2 (Aloca¸c˜ao de polos: Procedimento usando f´ormula de

Ackermann)

(47)

Solu¸c˜ao

Dadas as matrizes do sistema cont´ınuo, calculemos as matrizes do sistema discreto das equa¸c˜oes (77) e (78) Aula 8, resultando em

Ad =   1, 00000 0, 01000 0, 00005 0 1, 00000 0, 01000 0 0 1, 00000  , B_d =   1, 66666667× 10−7 5, 0_{× 10}−5 1, 0_{× 10}−2   as matrizes Cd e Dd s˜ao as mesmas que no caso cont´ınuo.

(48)

Solu¸c˜ao

O polo desejado discreto é calculado de z = eTs, com s =_{−5 resultada} em zp = 0, 9512, daqui a equa¸cão caracter´ıstica desejada é

Pd(z) = z3− 2, 853688z2+ 2, 714512z− 0.860708

na qual identifica-se os coeficientes

α3= 1; α2 =−2, 853688; α1 = 2, 714512; α0=−0, 860708

A matriz de ganhos é calculada segundo as equa¸cões (35) e (36), obtém-se Kd=116, 0041807 70, 1970292 14, 2782541

(49)

Solu¸c˜ao

O programa para simula¸cão no Matlab do Exemplo 2 é basicamente o mesmo que no Exemplo 1. Como o ganho de realimenta¸cão de estados é o mesmo que no exemplo anterior não é necessário incluir as figuras

(50)

Observa¸c˜ao 1

A matriz K depende das posi¸cões dos polos desejados em malha fechada. A escolha dos polos desejados determinam a velocidade de resposta, bem como influencia nos efeitos prejudiciais das perturba¸cões e erros de medi¸cão. Uma pequena modifica¸cão da localiza¸cão dos polos desejados pode favorecer o comportamento do sistema. Escolhidos os polos desejados apresentou-se dois procedimento para determinar a matriz de ganho de realimenta¸cão de estados K, veja subse¸cões , as quais não são as ´

unicas, existem outros procedimentos de projeto na vasta literatura de sistemas de controle em tempo discreto.

(51)

O conceito da resposta deadbeat é único para sistemas de controle em tempo discreto, isto é, não existe seu equivalente em sistemas cont´ınuos. O controle deadbeat conduz qualquer vetor de erro não nulo à origem no máximo n per´ıodos de amostragem, mas a desvantagem é a necessidade de um esfor¸co de controle ilimitado. Neste controle o per´ıodo de

amostragem deve ser escolhido de maneira adequada devido a que ´e o ´

unico parˆametro de projeto.

Considere o sistema definido pela equa¸cão (28), bem como o mesmo sistema com realimenta¸cão de estados u(k) =−K x(k), a equa¸cão de estados fica como na equa¸cão (29).

(52)

Note que a solu¸cão desta última equa¸cão é dada por

x(k + 1) = (Ad− BdK)kx(0). (37)

Se os autovalores pi da matriz Ad− BdK ficam dentro do c´ırculo unit´ario,

então o sistema é assintoticamente estável. Ao escolher todos os

autovalores de Ad− BdK nulos ´e poss´ıvel obter a resposta deadbeat, ou

x(k) = 0, para k ≥ q, q ≤ n.

Considere o sistema de estado completamente control´avel dado por x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k) (38)

Escolhe-se a loca¸c˜ao dos polos desejados (autovalores desejados) serem nulos: p1 = p2 =· · · = pn= 0. Desde que a equa¸c˜ao caracter´ıstica com

(53)

(z _{− p}1)(z− p2)· · · (z − pn) = zn+ αn−1zn−1+· · · + α1z + α0 = zn

obtemos

α1= α2 =· · · = αn= 0

e a matriz K dada pela equa¸c˜ao (34) pode ser simplificada como segue K = α0− a0 α1− a1 · · · αn−1− an−1 T−1

= −a0 −a1 · · · −an−1 T−1 (39)

Utilizando a matriz de transforma¸c˜ao T dada pela equa¸c˜ao (10), definimos x(k) = T z(k)

(54)

bem como

T−1AdT = ¯Ad, T−1Bd = ¯Bd

Ent˜ao a equa¸c˜ao (38) pode ser escrita como

z(k) = T−1AdT + T−1Bdu(k) = ¯Adz(k) + ¯Bdu(k)

Se utilizamos a realimenta¸cão de estados u(k) =_{−K x(k) = −K T z(k),} então esta equa¸cão torna-se

z(k + 1) = ( ¯Ad− ¯BdK T)z(k)

(55)

¯

Ad− ¯BdK T = A¯d− ¯Bd

−a0 −a1 · · · −an−1

=         0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1

−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

        −         0 0 . . . 0 1        

−a0 −a1 · · · −an−1

=         0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1

−a₀ −a₁ −a₂ · · · −a_n−1         −         0 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0

−a₀ −a₁ −a₂ · · · −a_n−1        

(56)

¯ Ad− ¯BdK T =        0 1 0 _{· · · 0} 0 0 1 _{· · · 0} .. . ... ... ... 0 0 0 _{· · · 1} 0 0 0 _{· · · 0}        Assim, ¯Ad− ¯BdK T ´e uma matriz nilpotente. Portanto, temos

(57)

Em termos do estado original x(k), temos

x(k) = (Ad− BdK)nx(0) = (T ¯AdT−1− T ¯BdK)nx(0) = [T( ¯Ad− ¯BdK T) T−1]nx(0)

= T( ¯Ad− ¯BdK T)nT−1x(0) = 0

Assim, se todos os autovalores desejados são nulos, então qualquer estado inicial x(0) pode se levado à origem, no máximo n per´ıodos de

amostragem e a resposta ´e deadbeat desde que a sa´ıda u(k) ´e ilimitada.

Exemplo 3 (Controle deadbeat: Procedimento usando f´ormula de

Ackermann)

Projete o controle deadbeat para o Exemplo 1 usando a f´ormula de Ackermann.

(58)

Solu¸c˜ao

Dadas as matrizes do sistema cont´ınuo, calculemos as matrizes do sistema discreto das equa¸c˜oes (77) e (78) da Aula 8, resultando em

Ad =   1, 00000 0, 01000 0, 00005 0 1, 00000 0, 01000 0 0 1, 00000  , Bd =   1, 66666667_{× 10}−7 5, 0_{× 10}−5 1, 0× 10−2   as matrizes Cd e Dd s˜ao as mesmas que no caso cont´ınuo. O polo

desejado discreto é zp= 0, daqui a equa¸cão caracter´ıstica desejada é

(59)

Solu¸c˜ao

na qual identifica-se os coeficientes

alpha3 = 1; α2 = 0; α1 = 0; α0= 0A matriz de ganhos ´e calculada

segundo a equa¸c˜ao (39), obt´em-se

Kd =1, 0 × 106 2, 0× 104 1, 83333333333× 102

A Figura 5 mostra a evolu¸cão no tempo dos estados do sistema sob a a¸cão do controle deadbeat e a Figura 6 mostra o esfor¸co de controle deadbeat. Observe que o sistema estabiliza em 3 per´ıodos de amostragem, mas o esfor¸co de controle é extremadamente alto, i.e., ilimitado.

(60)

Solu¸c˜ao 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 Tempo Amplitude Estados do sistema x1 x 2 x3

Figura 5: Evolu¸c˜ao no tempo dos estados do sistema sob o controle deadbeat.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 5 Controle u Tempo Amplitude

Figura 6: Esfor¸co de controle deadbeat aplicado no sistema.

(61)

Até o momento tem-se considerado sistemas reguladores, nos quais a entrada de referência é nula. A equa¸cão caracter´ıstica para o sistema determina a velocidade pelo qual os estados não nulos aproximam-se da origem. Aqui considera-se o caso no qual o sistema tem uma entrada de referência não nula como mostrado na Figura 7, na qual a planta é descrita pelas seguintes equa¸cões de estado e de sa´ıda,

x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k)

(62)

+ − x(k) + x(k + 1) + Bd T Ad K u(k) r(k) Kf f

Figura 7: Sistema de controle com realimenta¸c˜ao de estados e controle feedforward para entrada de referˆencia.

(63)

O sinal de controle u(k) ´e dado por

u(k) =_{−K x(k) + K}ff r (k) (40)

Ao eliminar u(k) da equa¸c˜ao de estado, temos

x(k + 1) = (Ad− BdK) x(k) + BdKff r (k)

y (k) = C x(k) A equa¸c˜ao caracter´ıstica para o sistema ´e

|z I − Ad+ BdK| = 0

Se o sistema é de estado completamente controlável, então a matriz de ganho de realimenta¸cão K pode ser determinada para fornecer os polos desejados em malha fechada. É importante salientar que a realimenta¸cão de estados pode mudar a equa¸cão caracter´ıstica correspondente ao sistema, mas ao fazê-lo o ganho de estado estacionário do sistema

(64)

Portanto, é necessário ter um ganho ajustável Kff no sistema. O ganho

Kff deve ser ajustado de maneira que a resposta ao degrau unit´ario do

sistema no estado estacion´ario seja a unidade, ou y (_{∞) = 1.} A transformada z da sa´ıda ´e dada por

Y (z) = C [z In− (Ad− BdK)]−1BdKff R(z)

e o erro de rastreamento do erro de estado estacionário a uma entrada degrau unitária é

lim z→1(z − 1) (Y (z) − R(z)) = limz→1 C [z In− (Ad− BdK)]−1BdKff − In = C [In− (Ad− BdK)]−1BdKff − In

(65)

Para um erro de estado estacion´ario nulo se requer a condi¸c˜ao

C [In− (Ad− BdK)]−1BdKff = In (41)

Se o sistema é quadrado e Ad− BdK é estável, o ganho fica

Kff = C [In− (Ad− BdK)]−1Bd −1 (42) Exemplo 4

Projete um sistema de controle de seguimento de sinal para o Exemplo 1 usando a f´ormula de Ackermann.

(66)

Solu¸c˜ao

Ad =   1, 0000 0, 0100 5, 0_{× 10}−5 0 1, 00000 0, 01000 0 0 1, 00000  , Bd =   1, 666667_{× 10}−7 5, 0_{× 10}−5 1, 0× 10−2   as matrizes Cd e Dd s˜ao as mesmas que no caso cont´ınuo.

O polo desejado discreto é calculado de z = eTs, com s =_{−5 resultada} em zp = 0, 9512. A matriz de ganhos é calculada segundo as equa¸cões

(35) e (36), obt´em-se

Kd =116, 00418 70, 19701 14, 27825

(67)

Solu¸c˜ao

Para este caso o sinal de referência é uma onda quadrada de frequência de 0, 1 Hz e amplitude de 0, 2. A Figura 8 mostra a evolu¸cão no tempo dos estados do sistema para um seguimento de sinal de referência e a Figura 10 mostra o esfor¸co de controle para o seguimento de sinal de referência. Observe que o sistema não segue o sinal de referência.

Para um apropriado seguimento de sinal ´e determinado o valor do ganho Kff da equa¸c˜ao (42), como segue

Kff =

C [In− (Ad− BdK)]−1Bd

−1

= 116, 0041807.

A Figura 9 mostra a evolu¸cão no tempo dos estados do sistema para um seguimento de sinal de referência sob o controle feedforward e a Figura 11 mostra o esfor¸co de controle feedforward. Observe que o sistema segue o sinal de referência.

(68)

Solu¸c˜ao 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Tempo Amplitude Estados do sistema x 1 x2 x3 Ref.

Figura 8: Evolu¸c˜ao no tempo dos estados do sistema para o seguimento de sinal SEM controle feedforward. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −3 −2 −1 0 1 2 3 Tempo Amplitude Estados do sistema x 1 x 2 x3 Ref.

Figura 9: Evolu¸c˜ao no tempo dos estados do sistema para o seguimento de sinal COM o controle feedforward.

(69)

Solu¸c˜ao 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Controle u Tempo Amplitude

Figura 10: Esfor¸co de controle aplicado no sistema para um seguimento de sinal SEM controle feedforward. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −60 −40 −20 0 20 40 60 Controle u Tempo Amplitude

Figura 11: Esfor¸co do controle feedforward para o seguimento de sinal.

(70)

Solu¸c˜ao 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tempo Amplitude

Saída do sistema e Sinal de referência

x

1

Ref.

Figura 12: Sa´ıda do sistema e sinal de referˆencia para um seguimento de sinal SEM controle feedforward.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Tempo Amplitude

x

1

Ref.

Figura 13: Sa´ıda do sistema e sinal de referˆencia para um seguimento de sinal COM controle feedforward

(71)

A lei de controle (40) é equivalente a uma a¸cão de controle feedforward determinada por Kff que resulta em um erro de estado estacionário nulo

para uma entrada de referência r (k). Por causa que a a¸cão feedforward não inclui nenhuma realimenta¸cão esta aproxima¸cão não é robusta a incertezas de modelagem. Assim, erros de modelagem sempre acontecem na prática o que resultará em um erro de estado estacionário não nulo. Para eliminar tal erro, introduzimos um controle integral como mostrado na Figura 14, com um novo estado adicionado para cada erro de controle integrado.

(72)

− + + + x(k + 1) + + x(k) K Ad C Bd −1 z−1 y(k) − r(k) z−1 z(k + 1) K1 u(k) z(k)

Figura 14: Sistema de controle com realimenta¸c˜ao de estados e controle integral para seguimento de sinal de referˆencia.

(73)

x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k) (43)

z(k + 1) = z(k) + r (k)− y(k) (44)

y (k) = C x(k) (45)

u(k) = _{−K x(k) − K}1z(k) (46)

no qual z(k) ´e um vetor coluna, por exemplo l_{× 1. As equa¸c˜oes no espa¸co} de estados em termos do vetor de estado aumentado

˜ x(k) = [x(k) z(k)]0 x(k + 1) z(k + 1) = Ad 0 −C Il x(k) z(k) − B 0 (K K1) x(k) z(k) + 0 Il r (k)

(74)

y(k) = [C 0] x(k) z(k) Daqui temos ˜ x(k + 1) = h ˜A_{− ˜}B ˜Ki˜x(k) + 0 Il r (k) (47) y(k) = [C 0] ˜x(k) na qual ˜ A = Ad 0 −C Il , B =˜ B 0 ˜ K = [K K1]

(75)

Os autovalores da matriz de estados de malha fechada ˜A− ˜B ˜K podem ser escolhidos arbitrariamente para calcular a matriz de ganho ˜K.

Exemplo 5

Projete um sistema de seguimento de sinal com controle integral para o Exemplo 1 usando a f´ormula de Ackermann.

(76)

Solu¸c˜ao

Ad =   1, 00000 0, 01000 0, 00005 0 1, 00000 0, 01000 0 0 1, 00000  , Bd =   1, 66666667_{× 10}−7 5, 0× 10−5 1, 0_{× 10}−2   as matrizes Cd e Dd s˜ao as mesmas que no caso cont´ınuo. O polo

desejado discreto ´e calculado de z = eTs, com s =−5 resultada em zp = 0, 9512.

(77)

Solu¸c˜ao

As matrizes aumentadas s˜ao obtidas como segue ˜ Ad = Ad 0 −C Il , B˜d = B 0 ˜ K = [K K1] ,

assim, obt´em-se

˜ Ad=     1, 00000 0, 01000 0, 00005 0, 0 0 1, 00000 0, 01000 0, 0 0 0 1, 00000 0, 0 −1, 0 0 0 1     , B˜d=     1, 66666667× 10−7 5, 0× 10−5 1, 0× 10−2 0, 0    

(78)

Solu¸c˜ao

e a matriz de sa´ıda fica ˜

Cd =1 0 0 0

devido a que está-se considerando seguimento de sinal somente no primeiro estado de sa´ıda do sistema. A matriz de ganhos é calculada segundo as equa¸cões (35) e (36), considera-se o polo zp5= 0, 7 para o

estado aumentado, obt´em-se ˜

K =2.221, 9150576 488, 0150979 42, 1540652 −34, 8012542 Para este caso o sinal de referência é uma onda quadrada de frequência de 0, 1 Hz e amplitude de 0, 3.

(79)

Solu¸c˜ao

A Figura 15 mostra a evolu¸cão no tempo dos estados do sistema para um seguimento de sinal de referência com controle integral e a Figura 16 mostra o esfor¸co de controle para o seguimento de sinal de referência com controle integral. Observe que o sistema segue o sinal de referência.

(80)

Solu¸c˜ao 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −8 −6 −4 −2 0 2 4 Tempo Amplitude Estados do sistema x1 x2 x3 x 4

Figura 15: Evolu¸c˜ao no tempo dos estados do sistema com seguimento de sinal e controle integral. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0 50 Controle u Tempo Amplitude

Figura 16: Esfor¸co de controle aplicado no sistema para um seguimento de sinal e controle integral.

(81)

Solu¸c˜ao 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Tempo Amplitude

x

1

Ref.

Figura 17: Sa´ıda do sistema e sinal de referˆencia para um seguimento de sinal com controle integral.

(82)