Quest˜ ao 1 (1,5). Calcular e simplificar a solu¸c˜ ao expl´ıcita de:

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2018.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas q1 e q7

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EXERC´ICIO ESCOLAR v. 1.0 – 25/06/2018

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao ´e importante. Apenas solu¸c˜oes leg´ıveis e justificadas rece- ber˜ ao pontos: escrever os passos, detalhes e propriedades relevantes. Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circundar as respostas ! Integrais de convolu¸c˜ao devem ser calculadas! O valor de cada item est´a entre parˆenteses. Ex.: “1 (1,5).”

Quest˜ ao 1 (1,5). Calcular e simplificar a solu¸c˜ ao expl´ıcita de:

dy dt +

Z _t

0

exp(2 v) y(t − v) dv = δ(t − 5); y(0) = 3

Quest˜ ao 2. Seja g a fun¸c˜ ao de per´ıodo 2 determinada por g(x) = 2 x − 3 para

−1 < x ≤ 1.

2.a (0,5). Escrever SF {g} (x), a s´erie de Fourier associada a g (com L = 1), expressando os coeficientes de Fourier (a

, a

e b

, n > 0) como m´ ultiplos de in- tegrais apropriadas;

2.b (1,5). Calcular os coeficientes de Fourier do Item 2.a;

2.c (0,5). Calcular SF {g} (5) usando o teorema de Dirichlet;

2.d (1,0). Calcular

∞

X

n=1

(b

)

usando a identidade de Parseval.

Quest˜ ao 3 (1,5). Resolver

u

(x, t) = 9 u

(x, t) para x ∈

e t > 0,

u(x, 0) = exp (−x

), u

(x, 0) = sen(x) para x ∈

. Dica: A solu¸c˜ ao se decomp˜ oe como u(x, t) = A(x + 3t) + B (x − 3t) para fun¸c˜oes A(ψ) e B(η) convenientes pelo m´etodo de d’Alembert.

Quest˜ ao 4 (3,5). Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:







u

(x, t) = 16 u

(x, t) para 0 < x < 2 e t > 0, u(0, t) = 0 = u(2, t) para t > 0,

u(x, 0) = 5 sen(4 π x) − 9 sen(3 π x), u

(x, 0) = 24 sen(π x/2), 0 ≤ x ≤ 2.

4.a. Pelo m´etodo da separa¸c˜ ao de vari´ aveis, reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas (um em x e um t) e, a partir deles, calcular a s´erie formal que ´e solu¸c˜ ao da EDP com as condi¸c˜oes homogˆeneas (dicas no verso);

4.b. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular os coeficientes de u(x, t) subme-

tida a todas as condi¸c˜ oes do problema dado.

Dicas. Seguem-se bases para as autofun¸c˜ oes de Z

(z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (autovalor −λ) submetidas ` as respectivas condi¸c˜oes de contorno (n ´e inteiro).

Caso Z

(0) = 0 = Z

(L): Z

(z) = cos n π z L

, λ

= n π L

2

para n > 0; e Z

(z) = 1, λ

= 0 (para n = 0);

Caso Z (0) = 0 = Z (L): Z

(z) = sen n π z L

, λ

= n π L

2

para n > 0.

Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆ ametros e o n´ u- mero de cada regra no passo em que ´e utilizada. (Ex.: “Regra 01, a = 3”)

Regra f (t) = L

{F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f (t)}(s)

01 e

a ∈

(a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈

(0, +∞) s/(s

+ ω

)

03 sen(ωt) ω ∈

(0, +∞) ω/(s

+ ω

)

04 cosh (ωt) ω ∈

(|ω|, +∞) s/(s

− ω

)

05 senh(ωt) ω ∈

(|ω|, +∞) ω/(s

− ω

)

06 t

n ∈

(0, +∞) n! / s

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞)

e

Regra f (t) = L

{F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈

a F (s) + b G(s)

11 e

f (t) a ∈

F (s − a)

12 t

f (t) n ∈

(−1)

F

(s)

14 f

(t) k ∈

s

F(s) −

k−1

X

=0

f

(0) s

16 u

(t) f (t) c ∈ (0, +∞) e

L{f (t + c)}(s) 17 u

(t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e

F (s)

19 (f ∗ g)(t) ←− Convolu¸c˜ao! F (s) G(s)

Regra 20 lim

s→+∞

F (s) = 0

21 lim

s→+∞

s F (s) = lim

t→0⁺

f (t)

22 lim

s→0⁺

s F (s) = lim

t→+∞

f (t)