Atividade recente no site - Prof. Fernando J. O. Souza - Dept. de Matemática, UFPE

(1)

UFPE – ´AREA II – Prof. Fernando J. O. Souza MA129 (c´alculo 4) – 2014.2 – Turma QA

SIMULADO DA 3a _{UNIDADE v. 1.0}

Orienta¸cão: Resolver as questões em cinco sessões de 120 minutos cada, sem interrup¸cão nem distra¸cão, combinando tópicos diferentes em cada sessão. Dar solu¸cões leg´ıveis e justificadas, escrevendo os passos, detalhes e propriedades rele-vantes. Ler as respostas ou solu¸cões de uma sessão só depois dela.

Quest˜ao 1. Sejam as fun¸c˜oesf e g definidas em [0,2] por:

f(x) =

x, se 0_≤x_≤1;

1, se 1< x_≤2. g(x) =

x2_, _{se 0}

≤x_≤1; 0, se 1< x_≤2.

1.a. Calcular a s´erie de Fourier associada a fi, extens˜ao ´ımpar de f, ao

inter-valo [₋2,2]. Simplificar a resposta;

1.b. Repetir o Item 2.a para fp, a extens˜ao par de f ao mesmo intervalo;

1.c. Repetir o Item 2.a para gi, a extens˜ao ´ımpar de g ao mesmo intervalo. A

s´erie converge em x= 1? Em caso afirmativo, para qual valor?

1.d. Seja a fun¸c˜ao peri´odica h de per´ıodo 4 determinada em [₋2,2] por: h(x) =

 



−1, se ₋2< x <₋1; 2, se ₋1< x <1;

−1, se 1< x <2. h n˜ao est´a definida em _±1 e _±2.

Calcular a s´erie de Fourier associada ah. A s´erie converge emx= 1? E emx= 2? Para quais valores?

1.e. Calcular a série de Fourier associada à fun¸cão f definida em [₋1,1] por

f(x) = cos (3π x)₋2x;

1.f. Calcular a série de Fourier para a fun¸cão periódica k de per´ıodo 2L determinada por:

k(x) =_|x_| se ₋L_≤x_≤L.

Questão 2. Seja a fun¸cão h deper´ıodo 2 determinada por: h(x) = 1₋5x, se ₋1< x <1; h não está definida em x=_±1. 2.a. Calcular a série de Fourier associada a h;

2.b. A s´erie converge em x = 1 ? Em caso afirmativo, para quanto ?

2.c. Usando a identidade de Parseval, calcular

∞ X

n=1 b2

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Quest˜ao 3. Resolver os seguinte problemas de contorno: 3.a. y′′

(x)₋y(x) = 1₋2x, 0< x < 1; y(0) = 0, y(1) = 1 +e; 3.b. y′′

(x) +y(x) = 0, y(0) = 1 =y(2π); 3.c. y′′

(x)₋3y′

(x) = 0, y(0) = 1, y′

(1) = 9e3 ; 3.d. Em termos de cada n´umero realλ,

y′′

(x) +λ y(x) = 0, 0< x < π; y′

(0) = 0, y(π) = 0.

Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜oes deZ′′

(z) =₋λ Z(z) com 0_≤z _≤L(logo, o autovalor é₋λ) submetidas às respectivas condi¸cões de contorno (abaixo, n é inteiro). Caso Z′

(0) = 0 =Z′

(L): Zn(z) = cos

n π z L

, λn = n π

L 2

para n >0; e Z0(z) = 1, λ0 = 0;

Caso Z(0) = 0 =Z(L): Zn(z) = sen n π z

L

, λn= n π

L 2

para n >0.

Quest˜ao 4. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:

 



ut=uxx para 0< x <1 e t >0,

u(0, t) = 10 e u(1, t) =₋8 para t >0, u(x,0) = 0 para 0 _≤x_≤1.

4.a. Escrever o problema que descreve a fun¸cão estado estacionário v(x), e calculá-la;

Pelo método da separa¸cão de variáveis para EDPs, calcular a fun¸cão tran-siente w(x, t) e a solu¸cão u(x, t) =v(x) +w(x, t). Para tanto, seguir 4.b–d:

4.b. Escrever o problema que descreve w(x, t) e, então, reescrever a EDP e as condi¸cões homogêneas paraw(x, t) como dois problemas com EDOs (uma, em x, e a outra, em t);

4.c. Calcular a solu¸cãow(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogêneas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas);

(3)

 



ut=uxx para 0< x <1 e t >0, ux(0, t) = 0 =ux(1, t) para t >0, u(x,0) = sen(2π x) para 0_≤x_≤1.

5.a. Reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas com EDOs (uma, em x, e a outra, em t);

5.b. Calcular a solu¸cão u(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogêneas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas);

5.c. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

 



ut(x, t) =uxx(x, t) para 0< x <3 e t >0, ux(0, t) = 0 =ux(3, t) para t >0,

u(x,0) = cos(π x)₋4cos(5π x) para 0 _≤x_≤3.

6.a. Expressar a solu¸cãou(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogêneas (as dicas podem ser usadas);

6.b. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

Questão 7. Considere-se a EDP abaixo submetida às condi¸cões dadas:

 



utt(x, t) = 4uxx(x, t) para 0< x <1 e t >0, u(0, t) = 0 =u(1, t) para t >0,

u(x,0) = 32 sen(5π x)₋4 sen(2π x) e ut(x,0) = 12 sen(3π x), 0≤x≤1. 7.a. Pelo método da separa¸cão de variáveis, reescrever a EDP e as con-di¸cões homogêneas como dois problemas com EDOs, um em x e um t; 7.b. Calcular a solu¸cão formal da EDP com as condi¸cões homogêneas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas);

7.c. Assumindo a convergência da série, calcular os coeficientes de u(x, t) submetida a todas as condi¸cões do problema dado.

Questão 8. Resolver o PVI abaixo assumindo que a solu¸cão se decompõe comou(x, t) =A(x+ 3t) +B(x₋3t) para fun¸cõesA(ψ) eB(η) convenientes:

utt(x, t) = 9uxx(x, t) para x∈R e t >0, u(x,0) = exp (₋x2

(4)

Quest˜ao 9. Resolver os problemas abaixo:

9.a.

utt(x, t) = 16uxx(x, t) para x∈R, t > 0; u(x,0) = 2 exp (₋x2

), ut(x,0) = 2 exp (x/4); x∈R.

Dica: A solu¸cão se decompõe como u(x, t) = A(x+ 4t) +B(x₋4t) para fun¸cões A(ψ) e B(η) adequadas. Calculá-las!

9.b.

utt(x, t) = 4uxx(x, t) para x∈R, t >0, u(x,0) =x, ut(x,0) =x para x∈R.

Dica: A solu¸cão se decompõe como u(x, t) = A(x+ 2t) +B(x₋2t) para fun¸cões A(ψ) e B(η) convenientes.

Questão 10. Considere-se a EDP da onda modificada, submetida às condi-¸cões dadas abaixo:

 



utt(x, t) + 4u(x, t) =uxx(x, t) para 0 < x <1 e t >0, u(0, t) = 0 =u(1, t) para t >0,

ut(x,0) = 0 e u(x,0) = 12 sen(3π x)−8 sen(4π x) para 0< x <1. 10.a. Pelo método da separa¸cão de variáveis, reescrever a EDP e as con-di¸cões homogêneas como dois problemas com EDOs (um em x, e um em t); 10.b. Calcular a solu¸cão u(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homogê-neas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas); 10.c. Assumindo a convergência da série, calcular seus coeficientes.

Questão 11. Pelo método da separa¸cão de variáveis, calcular a solu¸cão u(x, t) da EDP abaixo submetida às condi¸cões homogêneas, expressando-a como uma série formal (as dicas podem ser usadas). Então, assumindo a con-vergência da série, calcular u(x, t) para o problema com todas as condi¸cões.

 



ut t(x, t) + 16u(x, t) =ux x(x, t) para 0< x <3 e t >0, u(0, t) = 0 =u(3, t) para t >0,

(5)

Quest˜ao 12. Considere-se o seguinte problema:

 



uxx+uyy = 0, 0< x < a, 0< y < b uy(x,0) = 0, uy(x, b) =f(x), 0< x < a ux(0, y) = 0, ux(a, y) = 0, 0< y < b

Suponha-se que f(0) = 0 e Ra

0 f(x)dx = 0. Usando o método de separa¸cão de variáveis, calcular a solu¸cão u(x, t) seguindo o roteiro abaixo:

12.a. Para solu¸cões do tipo u(x, y) = X(x)Y(y), encontrar as equa¸cões que expressam a EDP e as condi¸cões homogêneas do problema acima em termos de X(x) e Y(y);

(6)

SOLU ¸

C ˜

OES

1.a. O fato de fi ser fun¸cão ´ımpar já nos diz que fi só possui termos em

sennπx 2

, ou seja

∞ X

n=1 bn sen

nπx 2

, onde bn= 1 2

Z 2

−2

fi(x) sen nπx

2

dx.

Sendo o produto de fun¸cões ´ımpares uma fun¸cão par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo fi uma extensão de f, que está definida em [0,2], obtemos a segunda:

bn= 6 2

62 Z 2

0

fi(x) sen nπx 2 dx= Z 2 0

f(x) sennπx 2

dx =

Z 1

0

x sennπx 2

dx+

Z 2

1

sennπx 2

dx=

−2 nπ x cos

nπx 2 1 x=0 − Z 1 0 −2 nπ cos nπx 2

dx+ −2 nπ cos nπx 2 2 x=1 = −2 nπ ✟✟ ✟✟ ✟✟ cosnπ

2

−0

+ 4

n2_π2 sen nπx 2 1 x=0 +−2

nπ

cos

nπ ₆2

62 − ✟✟ ✟✟ ✟✟ cosnπ

2

=

4 n2_π2

h

sennπ 2

−❳❳_{sen (0)}_❳❳i₊−2 nπ (−1)

n

∴b_n = 4 n2_π2 sen

nπ 2

+ (₋1)n+1 2 nπ onde a primeira parcela se reescreve de v´arios modos, contribuindo apenas

quando n ´e ´ımpar: sennπ 2 =   

0, se n ´e par;

1, se n₋1 ´e m´ultiplo de 4;

−1, senão (n₋3 é múltiplo de 4). Para efeito de exames, esta resposta seria satisfatória devido à complexi-dade dela para a experiência esperada dos estudantes. Em todo caso, um exemplo básico de reescritura, constru´ıdo caso a caso, é: particionamos os ´ımpares positivos em 4k₋3 e 4k₋1, onde k é inteiro positivo (eles corres-pondem aos casos que dão 1 e₋1 acima). Já os pares positivos são da forma 2k. Simplificando as expressões, obtemos a série abaixo, onde a última das três parcelas do termo geral é a contribui¸cão dos pares positivos:

∞ X

k=1

2(4k₋3)π+ 4 (4k₋3)2_π2 sen

(4k₋3)πx 2

+2(4k−1)π−4 (4k₋1)2_π2 sen

(4k₋1)πx 2

− 1

(7)

1.b. O fato de fp ser fun¸cão par já nos diz que fp só possui termos em

cosnπx 2

e constante, ou seja a0 2 +

∞ X

n=1

an cos nπx

2

, onde

a0 = 1 2

Z 2

−2

fp(x)dx e, para n >0, an = 1 2

Z 2

−2

fp(x) cos nπx

2

dx. Sendo o produto de fun¸cões ´ımpares uma fun¸cão par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo fp uma extensão de f, que está definida em [0,2], obtemos a segunda:

a0 = 6 2

62 Z 2

0

fp(x)dx= Z 2

0

f(x)dx= Z 1

0

x dx+ Z 2

1

1dx= x 2 2 1 x=0 + x 2 x=1 = 1

2 −0 + 2−1 = 3

2 ∴a0 = 3

2 e, analogamente para n >0, an = 6

2

62 Z 2

0

fp(x) cos nπx 2 dx= Z 2 0

f(x) cosnπx 2

dx =

Z 1

0

x cosnπx 2

dx+

Z 2

1

cosnπx 2

dx=

2

nπ x sen nπx 2 1 x=0 − Z 1 0 2 nπ sen nπx 2

dx+ 2 nπ sen nπx 2 2 x=1 = 2 nπ ✟✟ ✟✟ ✟✟ sennπ

2

−0

+ 4

n2_π2cos nπx 2 1 x=0 + 2 nπ "❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ sen nπ ₆2

62 − ✟✟ ✟✟ ✟✟ sennπ

2

# =

4 n2_π2

h

cosnπ 2

−cos (0)i∴a_n= 4 n2_π2

h

cosnπ 2

−1i, se n >0. Mas:

cosnπ 2 =   

0, sen ´e ´ımpar;

1, sen ´e m´ultiplo de 4;

−1, senão (ou seja, se n₋2 é múltiplo de 4). ∴

cosnπ 2

−1 =  



−1, se n ´e ´ımpar;

0, se n ´e m´ultiplo de 4;

−2, senão. Um modo de se escrever esta série é: 3

4+

∞ X

k=1

4(₋1)

(2k₋1)2_π2 cos

(2k₋1)πx 2 + ∞ X k=1

4(₋2)

(4k₋2)2_π2 cos

(4k₋2)πx 2 = 3 4+ ∞ X k=1

4(₋1)

(2k₋1)2_π2 cos

(2k₋1)πx 2 + ∞ X k=1

4(₋2)

4(2k₋1)2_π2 cos ((2k−1)πx)∴

fp(x)∼ 3 4 − 1 π2 ∞ X k=1 1 (2k₋1)2

4 cos

(2k₋1)πx 2

(8)

1.c. O cálculo da série é semelhante ao do Item 1.a. Pelo teorema de Diri-chlet, a série converge, emx= 1, para a média dos seguintes limites laterais:

lim x→1−

gi(x) = lim x→1−

g(x) = lim x→1−

x2 = 12

= 1 e lim

x→1+gi(x) = lim_x→1+g(x) = lim_x→1+0 = 0, ou seja, ela converge para 1/2 em x= 1.

1.d. Itens 2.a e 2.b de ee3-gabarito-v1 0.pdf de 2012.2. 1.e. Quest˜ao 2 de final-gabarito-v1 0.pdf de 2012.2.

1.f. Item 4.b de simulado 3-ps1-v1 0.pdf de 2012.2 sendo k denotada por f. 2. Quest˜ao 2 de ee3-v1 0-gabarito-v1 0.pdf de 2014.1.

3.a. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 5. ´E o Item 5.a de simulado 3-ps1-v1 0.pdf de 2012.2.

3.b. Item 1.c de ee3-v2 0-gabarito-v1 0.pdf de 2013.1. 3.c. Item 1.b de ee3-v1 0-gabarito-v1 0.pdf de 2014.1. 3.d. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 10. ´E o Item 5.b de simulado 3-ps1-v1 0.pdf de 2012.2.

4. Quest˜ao 6 de simulado 3-ps1-v1 0.pdf de 2012.2.

5. Quest˜ao 5 de simulado-03-v1 0-complemento.pdf de 2013.1. 6. Quest˜ao 4 de ee3-v1 0-gabarito-v1 0.pdf de 2014.1.

7. Quest˜ao 3 de ee3-gabarito-v1 0.pdf de 2012.2.

8. [Nagle et al.] Se¸cão 10.6, Exerc´ıcio 17. É a Questão 7 de simulado-03-v1 0-complemento.pdf de 2013.1.

9.a. Quest˜ao 3 de ee3-v1 0-gabarito-v1 0.pdf de 2014.1. 9.b. Quest˜ao 3 do ee3-v2 0-gabarito-v1 0.pdf de 2013.1.

10.  



utt+ 4u=uxx para 0< x <1 e t >0, u(0, t) = 0 =u(1, t) para t >0,

ut(x,0) = 0 e u(x,0) = 12 sen(3π x)−8 sen(4π x) para 0< x <1. 10.a. Devido à linearidade da EDP, buscamos solu¸cões não-triviais dela no formatou(x, t) = X(x)T(t) que satisfa¸cam as condi¸cões homogêneas.

As-sim, X(x)T′′

(t) + 4X(x)T(t) = X′′

(x)T(t) ∴ X ′′

(x) X(x) =

T′′

(t) + 4T(t) T(t) nos pontos (x, t) tais que X(x)₆= 0 e T(t)₆= 0. Assim, uma fun¸cão de x e uma fun¸cão de t são iguais, donde se conclui que elas são iguais a uma constante

−λ. Portanto:

X′′

(x) +λ X(x) = 0 para 0< x <1, (1)

T′′

(9)

Como n˜ao desejamosT _≡0, as condi¸c˜oes de contornoX(0)T(t) =u(0, t) = 0 e X(1)T(t) = u(1, t) = 0 traduzem-se por:

X(0) = 0 =X(1). (3) Como n˜ao desejamos X _≡ 0, a condi¸c˜ao inicial X(x)T′

(0) = ut(x,0) = 0 traduz-se por:

T′

(0) = 0. (4)

Com isto, (1) e (3) definem um problema de contorno em X(x), enquanto (2) e (4) definem um problema em T(t).

10.b. Das dicas fornecidas, o problema descrito por (1) e (3) tem solu¸cões não-nulas dadas pelos múltiplos não-nulos de Xn(x) = sen (µnx), autofun-¸cões do autovalor ₋λn=−µn2, onde µn=nπ para né inteiro positivo.

10.c. Aplicando, a (2), os valoresλnencontrados paraλ no Item 10.b, obte-mos a equa¸c˜ao caracter´ıstica r2

+ 4 +λn = 0∴r2 =−(4 +λn) =−(4 +µ2n)< 0∴ r=±ip4 +µ2_n=±i ν_n, denotando por ν_n=p1 +µ2_n>0∴

T(t) = Acos (νnt) +Bsen (νnt) ∴ T ′

(t) = ₋νnAsen (νnt) +νnBcos (νnt). Da condi¸c˜ao (4), temos que 0 = T′

(0) = νn[−A·0 +B ·1] = νnB. Mas νn > 0 ∴ B = 0 ∴ T(t) = Acos (νnt), e há solu¸cões não-triviais, m´ ulti-plas não-nulas de Tn(x) = cos (νnt). Combinando linearmente as solu¸cões un(x, t) =Xn(x)Tn(t) para formarmos uma série formal como limite de tais somas parciais, e assumindo a convergência da série, temos a solu¸cão formal:

u(x, t) =

∞ X

n=1

cnun(x, t) = ∞ X

n=1

cn sen (nπ x) cos √

4 +n2_π2 _t_.

Mas

∞ X

n=1

cn sen (nπ x)·1 = u(x,0) = sen(3π x)−8 sen(4π x)∴ cn = 0 para

todo n >0 exceto c3 = 1 e c4 =−8. Logo:

u(x, t) = sen (3π x) cos√4 + 9π2 _t

−8 sen (4π x) cos2√1 + 4π2 _t_.

11. Quest˜ao 3 de final-v1 0-gabarito-v1 0.pdf de 2014.1.