INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO
Alonso Ali Gonçalves
Sobre circuitos, cordas e kernels em digrafos
CAMPINAS
2019
Sobre circuitos, cordas e kernels em digrafos
Dissertação apresentada ao Instituto de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciência da Computação.
Orientador: Prof. Dr. Orlando Lee
Este exemplar corresponde à versão final da Dissertação defendida por Alonso Ali Gonçalves e orientada pelo Prof. Dr. Orlando Lee.
CAMPINAS
2019
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Gonçalves, Alonso Ali,
G586s GonSobre circuitos, cordas e kernels em digrafos / Alonso Ali Gonçalves. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
GonOrientador: Orlando Lee.
GonDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação.
Gon1. Teoria de grafos. 2. Grafos orientados. I. Lee, Orlando, 1969-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Computação. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: On cycles, chords and kernels in digraphs Palavras-chave em inglês:
Graph theory Directed graphs
Área de concentração: Ciência da Computação Titulação: Mestre em Ciência da Computação Banca examinadora:
Orlando Lee [Orientador] Maycon Sambinelli
Christiane Neme Campos
Data de defesa: 17-09-2019
Programa de Pós-Graduação: Ciência da Computação
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-3447-8865 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/2802616409624088
INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO
Alonso Ali Gonçalves
Sobre circuitos, cordas e kernels em digrafos
Banca Examinadora: • Prof. Dr. Orlando Lee
UNICAMP
• Profa. Dra. Christiane Neme Campos UNICAMP
• Prof. Dr. Maycon Sambinelli UFABC
A ata da defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria do Programa da Unidade.
Agradeço aos meus pais, Míriam Ali e Adriano Gonçalves, por todo o apoio que forneceram na minha trajetória. Isso tudo não seria possível sem o carinho e os ensinamentos de vocês. Agradeço ao meu irmão, Lorenzo Ali Gonçalves, pela paciência e compreensão de todos os "não posso, estou estudando"que ouviu ao longo do meu mestrado. Teu esforço valeu a pena, essa vitória também é tua!
Agradeço à minha namorada, Lídia Sprogis, que também ouviu sua parcela de "não posso, estou estudando"mas sempre me fez companhia e acompanhou de perto meu pro-gresso. Obrigado por tudo!
Agradeço o apoio dos meus amigos porto-alegrenses, dos quais sinto saudades todos os dias. Sem a presença dessas pessoas maravilhosas na minha vida meus dias não seriam tão divertidos (entretanto, com certeza seriam mais produtivos).
Um forte agradecimento ao meu orientador, Orlando Lee, pela paciência e confiança depositadas em mim. Aprendi muito com seus ensinamentos e observações. Se um dia me tornar um pesquisador de sucesso, será por sua causa.
Agradeço a todos os moradores da República Caverna pelo companheirismo e por fazerem me sentir em casa. Um abraço especial para meus amigos de boardgames.
Agradeço aos meus amigos do LOCo pela companhia, dicas e ajuda ao longo do ca-minho. Fico honrado em trabalhar ao lado de tanta gente esperta.
De maneira geral, obrigado a todos que ajudaram a tornar realidade meu sonho de estudar computação. Este trabalho marca o fim de um período de evolução, tanto pro-fissional quanto pessoal. O auxílio de todos mencionados acima foi o que me deu força para me mudar para Campinas e dar início à minha carreira acadêmica. Sem vocês, nada disso aconteceria.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.
Agradeço também à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FA-PESP) e à Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa de pesquisa concedida, no âmbito do convênio FAPESP/CAPES, por meio do processo no 2018/16720-6, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), entre março de 2019 e setembro de 2019.
Um kernel é um subconjunto de vértices independentes e absorventes em um digrafo. O conceito de kernel foi introduzido por von Neumann e Morgenstern no contexto de teoria de jogos com o intuito de modelar interações econômicas e sociais. O conceito ganhou notoriedade no campo de teoria de grafos por conta de sua relação com a Conjectura de Grafos Perfeitos (agora Teorema Forte dos Grafos Perfeitos) e sua aplicabilidade para encontrar estratégias ganhadoras em jogos. Nesta dissertação, damos continuidade ao estudo de condições suficientes para a existência de kernels e k-kernels em digrafos cujos circuitos possuem cordas. Apresentamos os principais resultados da área, assim como novos problemas e resultados obtidos ao longo da pesquisa do mestrado.
A kernel is an independent and absorvent subset of vertices of a digraph. The concept of kernel was introduced by von Neumann and Morgenstern in the game theory context with the intent of modeling social and economic interactions. The concept quickly gained notoriety in the graph theory field because of its relation to the Perfect Graph Conjecture (now Strong Perfect Graphs Theorem) and its aplicability of finding winning strategies in games. In this dissertation, we continue the study of suficient conditions for the existence of kernels and k-kernels in digraphs whose cycles have chords. We present the main results of the field, as well as new problems and results we got during the master’s research.
2.1 Representação gráfica do conceito de grafo. Os círculos representam vér-tices (elementos do conjunto V ) e linhas ligando dois vérvér-tices representam arestas (elementos do conjunto E). Na imagem, o grafo ilustrado possui conjunto de vértices V = {s, t, u, v, w} e conjunto de arestas E = {α = uv, β = vw, γ = uw, δ = us, = tw}. . . 16 2.2 Representação gráfica de um grafo G, um subconjunto S ⊂ V (G) e o
subgrafo induzido G[S]. . . 17 2.3 Exemplos de caminho, trilha fechada e circuito. As arestas em azul formam
uma trilha fechada, as arestas em verde formam um circuito e as arestas em vermelho compõem um caminho. . . 18 2.4 Exemplo de um conjunto independente formado pelos vértices a, b e c. . . . 18 2.5 Representação gráfica de um digrafo. Analogamente à representação de
grafos, os círculos são vértices do digrafo e as linhas com setas seus arcos. A seta aponta para o vértice no qual o arco entra. O digrafo ilustrado possui conjunto de vértices V = {v1, v2, v3, v4, v5} e conjuno de arcos A =
{(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1)} . . . 19
2.6 Exemplo de uma corda curta (u, v) em um circuito. . . 21 3.1 Exemplos de um subconjunto de vértices que é um kernel e um subconjunto
de vértices que não é um kernel. . . 22 3.2 Um digrafo kernel perfeito. Para ver que todo subdigrafo próprio
indu-zido possui kernel veja que qualquer vértice sozinho compõe um kernel. Qualquer indução com a combinação de dois vértices também possui um kernel pois um vértice absorve o outro ou são independentes. Os vértices circulados na figura mostram um kernel do digrafo. . . 23 3.3 Representação gráfica de um clique C de tamanho 4 em um grafo G. . . . 26 3.4 (a) Um grafo G e (b) uma super-orientação de G. . . 26 4.1 Exemplo de digrafos com circuitos ímpares que tem kernel. . . 29 4.2 Todo circuito ímpar possui uma corda, mas o digrafo não possui kernel. . . 30 4.3 Todo circuito ímpar possui duas cordas, mas o digrafo não possui kernel. . 31 4.4 O circuito ímpar (v11, C, v1) ∪ (v1, v11), marcado em vermelho, contém duas
cordas: (v13, v1) e (v15, v1). . . 32
4.5 Os vértices marcados são um semikernel do digrafo. . . 35 4.6 O vértice circulado em vermelho compõe o conjunto R. Os vértices
trace-jados são um semikernel forte módulo R do digrafo. . . 36 5.1 Exemplos das iterações do método da substituição, nos quais define-se a
sequência de substituição. . . 42 5.2 Ilustração do circuito e suas possíveis cordas curtas, marcadas em vermelho. 46
portanto, não é um kernel. . . 47
5.4 Digrafo D no qual os vértices em vermelho denotam um kernel de D − x0. Note que o único circuito ímpar de D possui duas cordas curtas e cruzadas, ilustradas em azul. Apesar da hipótese ser satisfeita, o lema não vale para esse caso, pois o (x0, xr)-caminho (denotado pelos arcos em preto) é minimal e possui comprimento ímpar. . . 48
6.1 Exemplos de diferentes (k,`)-kernels em digrafos. . . 50
6.2 Um circuito par em que os vértices circulados compõem um kernel K, obtido alternando-se os vértices do circuito. . . 51
6.3 Um circuito de comprimento nove no qual os vértices circulados compõem um 3-kernel. O conjunto K é criado alternando-se nos vértices do circuito de três em três vértices. . . 51
6.4 Um circuito de comprimento dez não possui um 3-kernel. Os vértices cir-culados compõem um conjunto K, que não é um 3-kernel, uma vez que o vértice v – em vermelho – não tem distância ≤ 2 para algum vértice em K. 52 6.5 Ilustração do passeio formado pelos caminhos P0, T e Q. O único caminho cujo comprimento não é côngruo a 0 módulo k é o T . . . 53
6.6 Ilustração do digrafo H4. Note que o circuito C possui k−2k−1|C| arcos simé-tricos, mas o digrafo não possui 4-kernel. . . 55
6.7 Exemplo de um digrafo D e seu 2-fecho C2(D). Os arcos em C2(D) que não estão em D foram marcados de vermelho. . . 56
6.8 Ilustração do caso que v0,1 = v1,2. O arco (v0, v2) deve existir em H, formando um circuito C0 = (v0, v2) ∪ (v2, . . . , v0). . . 59
6.9 Ilustração do caso que v0,1 = vj,(j+1). Note que C0 = P ∪ (vj, v0,1, v1) é um circuito de D. . . 60
6.10 Ilustração do caso que v0,1 = vj. Note que C0 = P ∪ (vj, v1) é um circuito de D. . . 61
7.1 Os vértices em N20 e N40 estão, respectivamente, à distância dois e quatro de x0 ∈ N0. Como não pertencem ao 3-kernel de D − x0, dizemos que são intermediários. . . 65
7.2 Caso em que ti−2∈ N3k. . . 67
7.3 Caso em que ti−2∈ N3k+1 ou N3k+10 . . . 67
7.4 Caso em que ti−2∈ N3k+2. . . 67
7.5 Caso em que ti ∈ N3(k+1)+1. . . 68
7.6 Caminho (tj0, . . . , tj−2) e suas duas cordas curtas. . . 68
7.7 Os caminhos T e W . Temos `0 = 1 e ` = 2. . . 70
7.8 Ilustração do caso em que (wn00 = z`00, W, wn0 = z`0) ∪ (tr0 = z`0, T, tr00 = z`00) é um circuito de comprimento dois. . . 70
7.9 Exemplo ilustrando os caminhos (w0, W, z`00) e (z`00, W, z`0). Segue da hi-pótese de indução que o passeio fechado em azul possui comprimento |(w0, W, z`00) ∪ (tr00, T, t0)| ≡ 0 (mod 3). Se |W ∪ T | 6≡ 0 (mod 3), en-tão a trilha fechada C, em vermelho, possui comprimento |(z`00, W, z`0) ∪ (tr0, T, tr00)| 6≡ 0 (mod 3). . . 71
Como n000 + r000 ≡ 0 (mod 3), |C| ≡ n0+ r0 6≡ 0 (mod 3). . . 72
7.11 Ilustração do circuito e suas possíveis cordas curtas, marcadas em vermelho. 73 7.12 Ilustração do circuito e suas possíveis cordas curtas, marcadas em vermelho.
A corda (a, b), tracejada, não pode existir. . . 74 7.13 Ilustração do caso específico em que zr−1 = p1. O circuito C = (ts0, . . . , zr−1, ts, . . . , ts0)
possui comprimento múltiplo de três. Já (zr, p1, zr), apesar de ter
compri-mento dois, não pode ter cordas. Se a hipótese das cordas curtas contem-plasse apenas circuitos, então não haveria contradição neste exemplo. . . . 74 8.1 Exemplos de kernel em digrafos cujos circuitos ímpares possuem uma corda
curta. . . 76 8.2 Digrafo sem kernel no qual todo circuito ímpar possui uma corda curta. . . 76 8.3 A Figura (a) mostra que um C7 não possui 3-kernel. A Figura (b) mostra
que um C8 não possui 3-kernel. . . 77
8.4 Certas cordas podem garantir a existência de um k-kernel em circuitos não múltiplos de k. As Figuras (a) e (b) mostram exemplos para k = 3. Note que se a corda na Figura (b) fosse curta, não resultaria na existência de um 3-kernel no digrafo. . . 77 8.5 Duas cordas curtas e cruzadas em C7 e C8. . . 78
8.6 Três cordas curtas e cruzadas em um C8 resulta na existência de um
3-kernel, mas nem todo circuito satisfaz a hipótese. . . 78 8.7 Dois exemplos de circuitos satisfazendo a hipótese do Problema 8.2. . . 79 8.8 Removendo-se uma das cordas da hipótese do Problema 8.2 resulta no
mesmo 3-kernel. . . 79 8.9 Dois exemplos de digrafos satisfazendo a hipótese do Problema 8.5 e seus
k-kernels. . . 80 8.10 Contraexemplo para os Problemas 8.5 e 8.6 quando k = 3. . . 81 8.11 Contraexemplo fortemente conexo do Problema 8.5 para o caso em que k = 3. 81 8.12 Exemplo do circuito C, em vermelho, e C0, em preto. . . 83 8.13 Exemplo do circuito B. Os vértices marcados em vermelho fazem parte de
C. Se um dos arcos tracejados em vermelho existe, então dD(c02k−2, c 0
2k+2) = 2. 84
8.14 Exemplo do 2-fecho de um C12. Os vértices circulados compõem um kernel
do digrafo. . . 85 8.15 Exemplo do 2-fecho de um C6. Os vértices circulados compõem um kernel
1 Introdução 14
2 Definições básicas 16
2.1 Definições de grafos . . . 16
2.2 Definições de digrafos . . . 18
3 Kernels e o Teorema de Richardson 22 3.1 Kernel em digrafos acíclicos . . . 23
3.2 Teorema de Richardson . . . 23
3.2.1 Conjectura dos Grafos Perfeitos . . . 25
4 Generalizações do Teorema de Richardson 28 4.1 Cordas em circuitos ímpares . . . 28
4.2 A Conjectura de Meyniel . . . 29 4.3 Cordas simétricas . . . 31 4.4 Cordas cruzadas . . . 34 4.4.1 Definições . . . 35 4.4.2 Demonstração do teorema . . . 37 5 O método da substituição 40 5.1 O método da substituição . . . 40
5.2 Lemas sobre o pré-kernel . . . 41
5.3 A demonstração do teorema . . . 43
5.3.1 Comentários adicionais . . . 46
6 K-Kernels, uma generalização de kernels 49 6.1 (k,`)-kernels e k -kernels . . . 49
6.2 A generalização do Teorema de Richardson . . . 51
6.2.1 Teorema de Kwaśnik . . . 51
6.3 Arcos simétricos e k-kernels . . . 54
6.3.1 A Conjectura de arcos simétricos . . . 54
6.3.2 Estratégia das provas . . . 55
6.3.3 Prova para k = 3 . . . 56
7 Generalização o método da substituição 62 7.1 Método da substituição para 3-kernels . . . 62
7.2 Definições . . . 63
7.3 A sequência de 3-substituição e pré-3-kernel . . . 63
8 Problemas sobre a existência de k-kernels 75 8.1 O problema de uma corda curta . . . 75 8.2 Problemas de cordas e k-kernels . . . 76 8.3 Uma condição suficiente para a existência de 3-kernel . . . 82
9 Conclusões 86
Capítulo 1
Introdução
Seja D um digrafo. Dizemos que um subconjunto K ⊆ V (D) é um kernel se não existe um arco em D ligando dois vértices de K e todo vértice v ∈ V (D) \ K possui algum arco (v, w) tal que w ∈ K.
O conceito de kernel foi introduzido por von Neumann e Morgenstern em 1944 [1], no contexto de teoria de jogos, com o intuito de modelar interações econômicas e sociais. Após a publicação de resultados seminais, o campo de teoria de jogos se desenvolveu e começou a ser utilizado como ferramenta para modelagem de relações comportamentais, sendo aplicado a áreas como psicologia, biologia e ciência política. No entanto, apesar de possuir aplicações nessas áreas, kernels se destacam em teoria de jogos para encontrar estratégias vencedoras em jogos de dois jogadores – como o jogo de Nim e suas variantes [2] – e em jogos cooperativos de n jogadores. Por conta disso, o estudo de kernels tomou força no campo teórico de grafos, na busca de condições estruturais de digrafos que impliquem na existência de kernels.
O principal resultado da área, o Teorema de Richardson [3], diz que digrafos sem circuitos ímpares possuem kernel. Esse teorema é fundamental pois direciona o interesse do estudo de existência de kernel para digrafos que possuem circuitos ímpares. De fato, os principais desenvolvimentos em teoria de kernels são generalizações do Teorema de Richardson que levam em conta a existência de circuitos ímpares no digrafo. O principal conceito estudado para generalizar o teorema são cordas: arcos do digrafo que ligam dois vértices pertencentes a um circuito, mas que não pertencem a ele. Em 1976, Meyniel [4] conjecturou que se todo circuito ímpar de um digrafo possui duas cordas, então o digrafo possui kernel. A conjectura marca o início do estudo da relação entre cordas em circuitos ímpares e a existência de kernel. Em 1982, Galeana-Sánchez [5] mostrou que a conjectura é falsa. Porém, seu estudo resultou em amplos desenvolvimentos na teoria de kernels e em generalizações do Teorema de Richardson.
Em 1983, Berge e Duchet [6] propuseram uma conjectura que relacionava a existência de kernel em digrafos com a então Conjectura Forte dos Grafos Perfeitos, uma caracte-rização de grafos perfeitos proposta por Berge [7] em 1961. Essa relação trouxe atenção para o tópico de kernels, originando um vasto estudo sobre a existência deles. Em 2002, o Teorema Forte dos Grafos perfeitos foi provada por Chudnovsky et al. [8], fazendo com que o campo de teoria de kernels perdesse uma de suas motivações mais fortes. Desde a publicação do Teorema Forte de Grafos Perfeitos, a área pouco se desenvolveu e seus
problemas fundamentais conhecidos continuam em aberto.
Nessa dissertação, apresentamos os principais resultados sobre existência de kernels em digrafos. Além da revisão bibliográfica, propomos novos problemas relevantes para a área e introduzimos resultados originais que obtivemos.
O resto do texto está organizado da seguinte maneira. No Capítulo 2 apresentamos as definições e termos utilizados frequentemente ao longo do texto. No Capítulo 3, in-troduzimos o conceito de kernel e apresentamos os principais resultados da área, como o Teorema de Richardson. No Capítulo 4, apresentamos as principais generalizações do Te-orema de Richardson. No Capítulo 5, introduzimos o Método da substituição, publicado por Duchet [9]. No Capítulo 6, apresentamos o conceito de k-kernel, uma generalização de kernels, e alguns resultados sobre a existência de k-kernels em digrafos. No Capítulo 7, provamos um resultado original a partir da generalização do Método da substituição para 3-kernels. No Capítulo 8, propomos novos problemas sobre a existência de k-kernels em digrafos e dissertamos sobre suas relevâncias, além de provar um resultado original sobre a existência de 3-kernel em digrafos. Por fim, no Capítulo 9, apresentamos as conclusões sobre o estudo realizado no mestrado e falamos brevemente sobre trabalhos futuros na área.
Capítulo 2
Definições básicas
Nessa seção, apresentamos algumas definições que serão usadas frequentemente ao longo do texto, para referência rápida do leitor.
2.1
Definições de grafos
Definição 2.1. Um grafo é um par ordenado G = (V, E), tal que V é um conjunto finito de elementos chamados vértices e E é um conjunto de pares não ordenados de elementos em V chamados arestas. Dado um grafo G, também usamos V (G) e E(G) para denotar seu conjunto de vértices e seu conjunto de arestas, respectivamente. Usamos a notação e = uv para denotar uma aresta e, tal que u, v ∈ V . Dizemos que u e v são as extremidades da aresta e. Dada uma aresta e = uv, dizemos que e é incidente em u e v, e que u (respectivamente, v) é vizinho de (ou adjacente a) v (respectivamente, u). O grau de um vértice é o número de arestas incidentes nele. A Figura 2.1 ilustra uma representação de um grafo.
Definição 2.2. Em um grafo G, a vizinhança de um vértice v é o conjunto de vérti-ces NG(v) = {u ∈ V (G) : vu ∈ E(G)}. Quando G estiver claro dentro do contexto,
escrevemos simplesmente N (v), em vez de NG(v).
α β γ δ u s v w t
Figura 2.1: Representação gráfica do conceito de grafo. Os círculos representam vértices (elementos do conjunto V ) e linhas ligando dois vértices representam arestas (elementos do conjunto E). Na imagem, o grafo ilustrado possui conjunto de vértices V = {s, t, u, v, w} e conjunto de arestas E = {α = uv, β = vw, γ = uw, δ = us, = tw}.
Figura 2.2: Representação gráfica de um grafo G, um subconjunto S ⊂ V (G) e o subgrafo induzido G[S].
Definição 2.3. Um grafo G é (X, Y )-bipartido se V (G) = X ∪ Y , X ∩ Y = ∅, X 6= ∅, Y 6= ∅ e não existe aresta e = uv de G tal que u, v ∈ X ou u, v ∈ Y . Dizemos que G é bipartido se G for (X, Y )-bipartido para alguma bipartição (X, Y ) de V (G).
Definição 2.4. Um subgrafo de um grafo G é um grafo H tal que V (H) ⊆ V (G) e E(H) ⊆ E(G). Escrevemos H ⊆ G para indicar isso. Um subgrafo H de G é dito próprio se H 6= G.
Definição 2.5. Sejam G um grafo e S ⊆ V (G). O subgrafo de G induzido por S, denotado por G[S], é o subgrafo de G cujo conjunto de vértices é S e tal que toda aresta de G que possui ambas as extremidades em S pertence a E(G[S]). Dizemos que H é um subgrafo induzido de G se existe S ⊆ V (G) tal que H = G[S].
A Figura 2.2 ilustra o conceito de subgrafo induzido. Definição 2.6. Um passeio em um grafo G é uma sequência
W = (v0, e1, v1, . . . , v`−1, e`, v`)
cujos termos são, alternadamente, vértices e arestas de G tal que vi−1 e vi são os extremos
de ei, para 1 ≤ i ≤ `. Usamos V (W ) e E(W ) para denotar o conjunto de vértices e o
conjunto de arestas contidos em W , respectivamente. Dizemos que v0 é o vértice inicial
e v` o vértice final do passeio W ; também dizemos que W começa em v0 e termina
em v`, ou que W é um passeio de v0 a v`; os demais vértices v1, . . . , v`−1 são chamados de
vértices internos. O comprimento de W , denotado por |W |, é seu número de arestas, ou seja, l. Dizemos que um passeio é par (respectivamente, ímpar) se seu comprimento é par (respectivamente, ímpar). Um passeio é fechado se v0 = vl e possui pelo menos
uma aresta. Chamamos de trilha um passeio sem arestas repetidas. Chamamos de caminho um passeio sem vértices repetidos. Chamamos de circuito um passeio fechado que não possui vértices internos repetidos. A Figura 2.3 ilustra um caminho, uma trilha e um circuito. Dizemos que um passeio P = (p0, . . . , pn) é minimal em G se não existe
Figura 2.3: Exemplos de caminho, trilha fechada e circuito. As arestas em azul formam uma trilha fechada, as arestas em verde formam um circuito e as arestas em vermelho compõem um caminho.
c
a
b
Figura 2.4: Exemplo de um conjunto independente formado pelos vértices a, b e c.
Definição 2.7. Em um grafo G, a distância entre dois vértices u e v é definida como o comprimento do menor caminho que começa em u e termina em v. Denotamos a distância entre u e v por dG(u, v). Em casos em que o grafo que contém u e v estiver subentendido,
denotamos simplesmente por d(u, v). Definimos d(u, u) = 0, para todo vértice u.
Definição 2.8. Em um grafo G, um subconjunto de vértices I ⊆ V (G) é independente se não existem vértices u e v em I que sejam adjacentes em G. A Figura 2.4 ilustra um exemplo.
2.2
Definições de digrafos
Definição 2.9. Um digrafo é um par ordenado D = (V, A), tal que V é um conjunto finito de elementos chamados vértices e A é um conjunto de pares ordenados de vértices distintos chamados arcos. Em um digrafo D, usamos V (D) para denotar seu conjunto de vértices e A(D) para denotar seu conjunto de arcos. Usamos a notação a = (u, v) para denotar um arco de u a v, tal que u, v ∈ V (D). Chamamos de inversão de a o arco a− = (v, u). Dizemos que a sai de u e que entra em v; alternativamente, também dizemos que u é predecessor de v e que v é sucessor de u. Para um vértice v, chamamos
v1
v2
v3
v4
v5
Figura 2.5: Representação gráfica de um digrafo. Analogamente à representação de grafos, os círculos são vértices do digrafo e as linhas com setas seus arcos. A seta aponta para o vértice no qual o arco entra. O digrafo ilustrado possui conjunto de vértices V = {v1, v2, v3, v4, v5} e conjuno de arcos A = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1)}
de grau de saída de v o número de arcos que saem de v. Analogamente, chamamos de grau de entrada de v o número de arcos que entram em v. A Figura 2.5 ilustra a representação de um digrafo.
Definição 2.10. Em um digrafo D, a vizinhança de saída de um vértice v é o con-junto de vértices ND+(v) = {u : (v, u) ∈ A(D)} e a vizinhança de entrada é o con-junto ND−(v) = {u : (u, v) ∈ A(D)}. Um vértice u é vizinho do vértice v se u está na vizinhança de entrada ou de saída de v. A vizinhança fechada de saída (respec-tivamente, entrada) de um vértice v é o conjunto de vértices ND+[v] = ND+(v) ∪ {v} (respectivamente, ND−[v] = ND−(v) ∪ {v}). Podemos estender as respectivas definições de vizinhança para um conjunto de vértices S ⊆ V (D): a vizinhança (de entrada ou saída, fechada ou não) de um conjunto de vértices é a união das respectivas vizinhanças para todo vértice contido em S. Quando D estiver claro dentro do contexto, escrevemos simplesmente N+(v) em vez de N+
D(v); o mesmo se aplica para N
−(v), N+[v] e N−[v].
Definição 2.11. Um subdigrafo de um digrafo D é um digrafo H tal que V (H) ⊆ V (D) e A(H) ⊆ A(D). Escrevemos H ⊆ D para indicar isso. Um subdigrafo H de D é dito próprio se H 6= D.
Definição 2.12. O grafo subjacente de um digrafo D é o grafo G = G(D) tal que V (G) = V (D) e E(G) = {uv : (u, v) ou (v, u) ∈ A(D)}. Muitas vezes, tomamos emprestado ter-mos de grafos para digrafos usando o grafo subjacente. Por exemplo, podeter-mos dizer que D é bipartido ou que dois vértices u e v são adjacentes em D; isto significa que G(D) é bipartido ou que u e v são adjacentes em G(D).
Definição 2.13. Um passeio em um digrafo D é uma sequência W = (v0, e1, v1, . . . , v`−1, e`, v`)
cujos termos são, alternadamente, vértices e arcos de D tal que tal que ei = (vi−1, vi),
vértices e arcos contidos em W . Dizemos que v0 é o vértice inicial e v` o vértice final
do passeio, dizemos que W começa em v0 e termina em v`, ou que W é um passeio
de v0 a v`; os demais vértices v1, . . . , v`−1 são chamados de vértices internos de W . O
comprimento de W , denotado por |W |, é seu número de arcos, ou seja, l. Dizemos que um passeio é par (respectivamente, ímpar) se seu comprimento é par (respectivamente, ímpar). Um passeio é fechado se v0 = vl e possui pelo menos um arco. Chamamos
de trilha um passeio sem arcos repetidos. Chamamos de caminho um passeio sem vértices repetidos. Chamamos de circuito um passeio fechado que não possui vértices internos repetidos. Dizemos que um passeio P = (p0, . . . , pn) é minimal em D se não
existe passeio W = (w0, . . . , wm) em D tal que w0 = p0, wm = pn e V (W ) ⊂ V (P ).
Muitas vezes denotamos por Cn um circuito de comprimento n. Dizemos que um digrafo
é acíclico se não possui circuitos. A Figura 2.5 é um circuito de comprimento cinco. Definição 2.14. Seja C = (v0, . . . , vn−1, v0) um passeio fechado. Um passeio
par-cial de vi ∈ V (C) a vj ∈ V (C) por C é o passeio P = (vi, vi+1, . . . , vj−1, vj).
Utiliza-mos (vi, C, vj) para denotar o passeio parcial P .
Definição 2.15. Seja D um digrafo e sejam T = (t0, . . . , tn) e P = (p0, . . . , pm) passeios
de D. Se tn = p0, então chamamos de concatenação de T e P o passeio T ∪ P =
(t0, . . . , tn = p0, p1, . . . , pm).
Definição 2.16. Seja D um digrafo e seja S um subconjunto de arcos de D. Denotamos por S− = {(v, u) : para todo (u, v) ∈ S} o conjunto dos arcos inversos de S.
Definição 2.17. Seja D um digrafo e sejam S1, S2 ⊆ V (D). Chamamos de (S1, S2
)-arco um )-arco (u, v) tal que u ∈ S1 e v ∈ S2. Nessa notação, pode-se escrever um dos
subconjuntos como um único vértice; por exemplo, um (u,S1)-arco é o mesmo que um
({u}, S1)-arco.
Definição 2.18. Seja D um digrafo e sejam S1, S2 ⊆ V (D). Chamamos de (S1, S2
)-caminho um )-caminho que começa em um vértice de S1 e termina em um vértice de S2.
Definição 2.19. Em um digrafo D, a distância entre dois vértices u e v é definida como o comprimento de um caminho mais curto em D que começa em u e termina em v. Denotamos a distância entre u e v por dD(u, v). Em casos nos quais o digrafo que contém u
e v for subentendido denotaremos simplesmente por d(u, v). Definimos d(u, u) = 0, para todo vértice u.
Definição 2.20. Um digrafo D é dito fortemente conexo se para todo par de vérti-ces u, v ∈ V (D) existe um caminho de u a v em D.
Definição 2.21. Um componente fortemente conexo (ou componente forte) de um digrafo D é um subdigrafo maximal fortemente conexo.
Definição 2.22. Em um digrafo, uma corda de um circuito C = (c0, . . . , cn−1, c0) é um
arco a = (ci, cj) tal que ci, cj ∈ V (C) mas a 6∈ A(C). O comprimento da corda a é a
distância de ci a cj em C. Se o comprimento da corda for dois, dizemos que a corda é
u
v
(u, v)
Figura 2.6: Exemplo de uma corda curta (u, v) em um circuito.
Definição 2.23. Um arco (u, v) em um digrafo D é chamado de simétrico se o arco (v, u) também está em D. Dizemos que D é simétrico se todo arco em D é simétrico.
Definição 2.24. Dizemos que um digrafo D é transitivo se vale a seguinte propriedade: se (u, v) e (v, z) são arcos de D, então (u, z) também é.
Definição 2.25. Em um digrafo, chamamos de fonte um vértice que não possui prede-cessores e de sorvedouro um vértice que não possui suprede-cessores.
Definição 2.26. A remoção de um arco f de um digrafo D, resulta no digrafo D − f = (V (D), A(D) \ {f }). A remoção de um vértice v de um digrafo D resulta no digrafo D − v = D[V (D) \ {v}], ou seja, ao remover um vértice também removemos todos os arcos incidentes a ele. Analogamente, podemos estender essas definições para a remoção de um conjunto de vértices (ou arcos) S, denotado por D \ S, em que removemos de D todos os vértices (ou arcos) de S.
Definição 2.27. Em um digrafo D, um conjunto de vértices I é independente se não existem vértices u e v em I que sejam adjacentes em D.
Definição 2.28. Em um digrafo D, um conjunto de vértices B é absorvente se para todo vértice v ∈ V (D) \ B existe algum (v, B)-arco em A(D). Dizemos que um vértice x ∈ V (D) \ B é absorvido por B se existe um (x, B)-arco em D. Analogamente, dizemos que um subconjunto de vértices N ⊆ V (D) \ B é absorvido por B se, para todo vértice v ∈ N , v é absorvido por B.
Capítulo 3
Kernels e o Teorema de Richardson
O conceito de kernel foi definido por von Neumann e Morgenstern [1] a fim de modelar comportamento social e econômico dentro do contexto de teoria de jogos.
Definição 3.1. Seja D um digrafo. Um kernel de D é um subconjunto de vértices K ⊆ V (D) independente e absorvente. A Figura 3.1 ilustra um exemplo de um subconjunto de vértices que é um kernel e um subconjunto de vértices que não é.
(a) Os vértices circulados são inde-pendentes e absorvem todos os outros, portanto compõem um kernel do di-grafo.
(b) Os vértices circulados absorvem os demais, entretanto, como não são in-dependentes, não são um kernel do di-grafo.
Figura 3.1: Exemplos de um subconjunto de vértices que é um kernel e um subconjunto de vértices que não é um kernel.
Definição 3.2. Dizemos que um digrafo D é kernel perfeito se todo subdigrafo induzido de D possui um kernel. A Figura 3.2 ilustra um digrafo kernel perfeito.
Em 1944, von Neumann e Morgenstern [1] provaram um resultado fundamental sobre a existência de kernels em digrafos acíclicos, conhecido como o Teorema de von Neumann. Esse resultado foi estendido quando o Teorema de Richardson [3] – originalmente um resultado de lógica – foi mostrado ser equivalente a enunciar que todo digrafo sem circuito ímpar é kernel perfeito.
Na Seção 3.1, apresentamos o Teorema de von Neumann sobre a existência de kernel em digrafos acíclicos. Na Seção ??, apresentamos o Teorema de Richardson, um resultado
fundamental que generaliza o Teorema de von Neumann, e sua relação com o Teorema Forte dos Grafos Perfeitos.
3.1
Kernel em digrafos acíclicos
Em 1944, von Neumann e Morgenstern [1] provaram o seguinte resultado.
Teorema 3.3 (Teorema de von Neumann). Todo digrafo acíclico D é kernel per-feito. Além disso, D tem exatamente um kernel.
Demonstração. Seja D um digrafo acíclico. Como todo D é acíclico, todo subdigrafo induzido de D também é acíclico. Portanto, para mostrar que D é kernel perfeito, basta mostrar que D possui um kernel. Provamos, por indução em n = |V (D)|, que D possui um kernel. Omitiremos o argumento de unicidade, mas ele segue basicamente da mesma prova.
Caso base: (n = 1) O único vértice do digrafo é um kernel.
Hipótese de indução: Suponha que todo digrafo D0 acíclico com |V (D0)| < n possua um kernel.
Passo indutivo: Seja D um digrafo acíclico com |V (D)| = n. Seja S o conjunto dos vértices sorvedouros de D. Note que S 6= ∅. Seja D0 = D \ N−[S]. Pela hipótese de indução, D0 possui um kernel K0. Seja K = K0∪ S. Note que K é independente, pois S é independente, K0 é independente, não existem (K0, S)-arcos e não existem (S, K0)-arcos. Além disso, K é absorvente pois todo vértice de D \ V (D0) ou está em S ou é absorvido por S e todo vértice de D0 é absorvido por K0. Portanto, K é um kernel de D.
3.2
Teorema de Richardson
Em 1946, Richardson [3] provou um teorema seminal para a teoria de kernels. Antes apresentamos um resultado elementar.
Lema 3.4. Em um digrafo, todo passeio fechado ímpar contém um circuito ímpar. Demonstração. Seja W um passeio fechado ímpar. Provamos o resultado por indução em ` = |W |.
Caso base: (` = 3) Para ` = 3 temos que, por definição, todo passeio fechado também é um circuito. Logo, o resultado segue.
w v
u
Figura 3.2: Um digrafo kernel perfeito. Para ver que todo subdigrafo próprio induzido possui kernel veja que qualquer vértice sozinho compõe um kernel. Qualquer indução com a combinação de dois vértices também possui um kernel pois um vértice absorve o outro ou são independentes. Os vértices circulados na figura mostram um kernel do digrafo.
Hipótese de indução: Suponha que o resultado vale para passeios fechados ímpares com comprimento menor que `.
Passo de indução: Seja W = (w0, w1, w2, . . . , w2k−1, w2k, w2k+1 = w0) um passeio
fechado ímpar com ` = 2k + 1. Se W não contém vértices repetidos, então é um circuito e o resultado segue. Caso contrário, seja v um vértice repetido do passeio. Sejam wi
e wj duas ocorrências de v em W . Temos então dois passeios fechados criados a partir
desses dois vértices: W0 = (w0, w1, . . . , wi−1, wi = wj, wj+1, . . . , w2k, w2k+1= w0) e W00 =
(wi, wi+1, . . . , wj−1, wj = wi). Note que se W0 tiver comprimento par, então W00 tem
comprimento ímpar e vice-versa. Pela hipótese de indução, um dos passeios deve conter um circuito ímpar, pois tem comprimento ímpar e menor que |W |.
Teorema 3.5 (Teorema de Richardson). Todo digrafo sem circuito ímpar é kernel perfeito.
Demonstração. Seja D um digrafo sem circuito ímpar. Como D não possui circuito ímpar, todo subdigrafo induzido de D também não contém circuito ímpar. Portanto, para mostrar que D é kernel perfeito, basta mostrar que D possui um kernel. Temos dois casos:
• D é fortemente conexo. Seja y ∈ V (D) e seja K = {x ∈ V (D) : a distância de x a y é par}. Note que, se um vértice não está em K, então ele é um antecessor de um vértice
em K. Portanto, K é absorvente. Resta mostrar que K é independente. Supo-nha, por contradição, que exista um arco (u, v) ∈ A(D) tal que u, v ∈ K. Como v ∈ K, existe um caminho P de comprimento par de v a y. Como D é fortemente conexo, também existe um caminho P0 de y a u. Se P0 tem comprimento par, então P0 ∪ (u, v) ∪ P é um passeio fechado ímpar e, pelo Lema 3.4, contém um circuito ímpar, uma contradição. Logo, P0 tem comprimento ímpar. Mas como u ∈ K, também existe um caminho par P00 até y e, portanto, P0∪ P00 é um passeio fechado
de comprimento ímpar que contém um circuito ímpar, uma contradição. Logo, K é um kernel.
• D não é fortemente conexo. Provamos a existência de um kernel por indução em n = |V (D)|.
Caso base: (n = 1) O único vértice é um kernel.
Hipótese de indução: Suponha que todo digrafo sem circuitos ímpares com menos que n vértices possua kernel.
Passo indutivo: Seja D um digrafo sem circuitos ímpares com n vértices. Podemos supor que D não seja fortemente conexo. Seja D0 um componente fortemente conexo de D do qual não existem arcos saindo dele. Pela hipótese de indução, D0 possui um kernel K0. Seja D00 = D \ N−[K]. Pela hipótese de indução, D00 possui um kernel K00. Como não existem (K0,K00)-arcos nem (K00,K0)-arcos, K0∪ K00 é um kernel de D, pois todo vértice de D pertence a K0, K00 ou é absorvido por eles e, além disso, K0 e K00 são independentes.
Observação 3.6. Intuitivamente, o Teorema 3.5 indica que os digrafos mais simples que não possuem kernel são circuitos ímpares e todos os digrafos que não possuem kernel possuem circuitos ímpares.
A partir da Observação 3.6 podemos explicar a relevância do Teorema de Richardson. O Teorema de Richardson diz que todos digrafos que não possuem kernels possuem cir-cuitos ímpares. Note que, apesar disso, existem digrafos que contém circir-cuitos ímpares e também possuem kernel. Portanto, o teorema direciona a atenção do estudo da existência de kernel para digrafos que contém circuitos ímpares. Como apresentamos nos Capítulos 4 e 5, os principais resultados sobre existência de kernels em digrafos são generalizações do Teorema de Richardson e supõem a existência de certas propriedades em todos circuitos ímpares de um digrafo.
Além disso, o Teorema 3.5 possui relação com a antiga Conjectura de Grafos Perfeitos [7], o que contribuiu para um intenso estudo sobre kernels por volta de 1980. Esse estudo foi motivado a partir de uma equivalência conjecturada entre grafos perfeitos e a existência de kernels em algumas orientações específicas de grafos sem circuitos ímpares. Explicamos isto na próxima seção.
3.2.1
Conjectura dos Grafos Perfeitos
Uma justificativa da importância que o estudo de kernels em digrafos recebeu foi a sua relação com grafos perfeitos, mais especificamente com a Conjectura Forte dos Grafos Perfeitos proposta por Berge [7]. Ela foi provada por Chudnovsky, Robertson, Seymour e Thomas [8] e, atualmente, é conhecida como o Teorema Forte dos Grafos Perfeitos. O teorema caracteriza grafos perfeitos como sendo aqueles que não possuem circuitos ímpares com ao menos cinco vértices nem complementos desses como subgrafos induzidos. A semelhança com o Teorema de Richardson (Teorema 3.5) surge por conta da proibição de circuitos ímpares.
Berge e Duchet [6], enquanto estudavam kernels, conjecturaram que havia uma forte relação entre grafos perfeitos e o que eles chamaram de grafos kernel-solucionáveis. Para definir kernel-solucionabilidade precisamos primeiro definir cliques e super-orientações. Definição 3.7. Um clique em um grafo G é um subconjunto C ⊆ V (G) tal que para todo u, v ∈ C temos que uv ∈ E(G). A Figura 3.3 ilustra um clique de tamanho 4 em um grafo.
Definição 3.8. Um digrafo D é chamado de uma super-orientação de um grafo simples G se D é obtido de G substituindo-se cada aresta uv por um arco (u, v), ou um arco (v, u), ou ambos. A Figura 3.4 ilustra um grafo e uma possível super-orientação de suas arestas. Note que uma super-orientação ~C de um clique possui um kernel se e somente se existe um vértice em ~C que é sucessor dos outros vértices, pois um conjunto independente tem tamanho no máximo um. Com isso podemos definir kernel-solucionalibidade:
Definição 3.9. Um grafo G é kernel-solucionavel (ou quase-perfeito) se, para toda super-orientação D de G em que todo clique de D possui um kernel, D também possui um kernel.
Figura 3.3: Representação gráfica de um clique C de tamanho 4 em um grafo G.
Em 1961, Berge e Duchet [6] conjecturaram as seguintes afirmações: Conjectura 3.10. Grafos perfeitos são kernel-solucionáveis.
Conjectura 3.11. Grafos kernel-solucionáveis são perfeitos.
Maffray provou a Conjectura 3.10 para classes especiais de grafos, como grafos de Gallai [10] em 1986 e grafos-linha [11] em 1992. No mesmo artigo, o autor também prova a Conjectura 3.11 para grafos-linha [11].
Em 1996, Boros e Gurvich [12] provaram a Conjectura 3.10 sem fazer uso de conceitos relacionados a kernel, mas com conceitos que se aprofundam em teoria de jogos.
Teorema 3.12 ([12]). Grafos perfeitos são kernel-solucionável.
Ainda em [12] os autores provam um resultado parcial para a conjectura 3.11, que descrevemos a seguir.
Definição 3.13. Seja G um grafo, B = (v0, . . . , vn) uma sequência de vértices de G e
C = (C0, . . . , Cn) uma sequência de cliques. Dizemos que G0 é uma substituição de B
por C em G se G0 é obtido a partir de (G \ B) ∪ C adicionando as seguintes arestas: • todas as arestas de Ci ∈ C,
• {uc, c ∈ V (Ci) : se uvi ∈ E(G) para vi ∈ B}.
Chamamos o grafo G0 de um blow-up de G.
Teorema 3.14 ([12]). Se todo blow-up G0 de G é kernel-solucionável, então G é perfeito. Este resultado foi obtido antes do Teorema Forte dos Grafos Perfeitos ter sido provado por Chudnovsky, Robertson, Seymour e Thomas [8]. Pode-se mostrar que ambas as conjecturas seguem do Teorema Forte dos Grafos Perfeitos. Por conta de ser uma prova muito extensa, a omitimos.
Capítulo 4
Generalizações do Teorema de
Richardson
Nesse capítulo, apresentamos as principais generalizações do Teorema de Richardson (Te-orema 3.5). Na Seção 4.1, introduzimos a motivação do estudo de cordas em circuitos ímpares e, na Seção 4.2, apresentamos a Conjectura de Meyniel sobre a existência de ker-nels em digrafos cujos circuitos ímpares possuem duas cordas. Na Seção ?? apresentamos dois resultados de Duchet e Meyniel sobre arcos simétricos que generalizam o Teorema de Richardson. Por fim, na Seção 4.4 apresentamos um resultado de Galeana-Sánchez sobre cordas com cabeças consecutivas em circuitos ímpares.
4.1
Cordas em circuitos ímpares
No Capítulo 3, vimos que um circuito par possui kernel e um circuito ímpar não possui. Em circuitos pares, podemos obter um kernel selecionando-se seus vértices alternada-mente, de maneira que dois vértices selecionados não são adjacentes e todos que não foram selecionados são adjacentes à algum vértice selecionado. Por outro lado, em circui-tos ímpares isso não é possível, pois sempre resta um vértice não absorvido pelo “kernel”. Intuitivamente, esse problema pode ser contornado adicionando-se um arco a partir do vértice não absorvido para algum vértice que pertence ao “kernel”. Isso pode ser feito de duas maneiras: adiciona-se uma corda ao circuito ou adiciona-se um arco para um vértice não pertencente ao circuito. A Figura 4.1 ilustra o exemplo de um digrafo sem kernel mas que, com a adição de certos arcos, passa a ter.
Apesar de existir um kernel no caso em que adiciona-se um arco para o vértice não pertencente ao circuito, note que o digrafo não é kernel perfeito, pois o subdigrafo induzido dos vértices do circuito ímpar não possui kernel. Portanto, a fim de estudar digrafos kernel perfeitos, consideramos o caso da adição de cordas aos circuitos ímpares, para que a hipótese seja verdadeira em qualquer subdigrafo induzido.
Naturalmente, por ser uma propriedade mais forte, o conceito de kernel perfeição foi mais estudado do que a existência de kernels em digrafos arbitrários. Consequentemente, a maioria dos resultados de teoria de kernels consistem em mostrar que digrafos com cordas em circuitos ímpares são kernel perfeitos. A maior parte desses resultados surgiram a
(a) Circuito ímpar que não possui kernel. O vértice não absorvido é marcado em vermelho.
(b) A existência da corda em vermelho resulta em um kernel no digrafo.
u
(c) O arco para o vértice u faz com que exista um kernel no digrafo.
Figura 4.1: Exemplo de digrafos com circuitos ímpares que tem kernel.
partir do estudo da principal conjectura da área, a Conjectura de Meyniel, apresentada na seção a seguir.
4.2
A Conjectura de Meyniel
Em 1976, Meyniel conjecturou a seguinte afirmação sobre cordas em circuitos ímpares. Conjectura 4.1. Se todo circuito ímpar de um digrafo D possui duas cordas, então D é kernel-perfeito.
Primeiramente, argumentaremos que a conjectura não pode ser melhorada para uma única corda. A Figura 4.2 ilustra um exemplo de um digrafo que não possui kernel e todo circuito ímpar possui uma corda. Seja D o digrafo ilustrado na Figura 4.2. Para ver que D não possui kernel, considere o vértice a. Suponha que exista um kernel K no digrafo. Vamos mostrar que a deve pertencer a K, mas não pode. Se a ∈ K, então b, e, h 6∈ K pois são vizinhos de a. Como o único sucessor de b é c, c ∈ K e, consequentemente, d 6∈ K. Analogamente, g ∈ K, pois h é seu único sucessor, e, portanto, f 6∈ K. Note que, como d 6∈ K, d deve ser absorvido por algum de seus sucessores: e ou f . Entretanto, d não é absorvido, pois e, f 6∈ K. Concluímos que se a ∈ K, então K não é um kernel de D, um absurdo.
Se a 6∈ K, então deve ser absorvido por K. Como os únicos sucessores de a são b e e, a deve ser absorvido por um desses vértices. Consideraremos ambos os casos e concluiremos
que a não é absorvido por K. Suponha que e ∈ K. Note que, como d e f são vizinhos de e, d, f 6∈ K e, consequentemente, g ∈ K, pois f deve ser absorvido por K. Entretanto, veja que h não é absorvido por K, pois a 6∈ K, mas também h 6∈ K, pois é vizinho de g. Concluímos que se e ∈ K, então K não é um kernel de D. Suponha então que a é absorvido por b, ou seja, b ∈ K. Como o a é o único sucessor de h e j, segue que h, j ∈ K. Por serem vizinhos de b, j e h, respectivamente, c, i, g 6∈ K. O vértice e deve, portanto, ser absorvido por f . Entretanto, se f ∈ K, então d 6∈ K e c não é absorvido por K, pois d é seu único sucessor. Concluímos que, se b ∈ K, então K não é um kernel de D. Como b e e não pertencem ao kernel K, o vértice a não é absorvido por K e, portanto, K não é um kernel de D.
Como mostramos que o vértice a não pode pertencer a um kernel em D, e não pode ser absorvido por um, segue que não existe kernel no digrafo D.
a b c d e f g h j i
Figura 4.2: Todo circuito ímpar possui uma corda, mas o digrafo não possui kernel. Em 1982, Galeana-Sánchez [5] apresentou uma família de contraexemplos para a Con-jectura 4.1. A Figura 4.3 ilustra o digrafo mais simples dessa família. Vamos mostrar que este digrafo não possui kernel.
Seja D o digrafo da Figura 4.3 e seja C = (v1, v2, . . . , v20). É possível mostrar que
todos os circuitos ímpares de D podem ser expressos por (v11+i0, C, vi0+2i+1) ∪ (vi0+2i+1, v11+i0)
e possuem as cordas (v11+i0+2j, vi0), para todo i0 ∈ {0, 5, 10, 15} e todo 0 ≤ i, j ≤ 2
(notação em módulo). Na Figura 4.4 marcamos o circuito ímpar no qual i0 = 0 e i = 0.
Suponha, por contradição, que exista um kernel K de D e v1 ∈ K. Vamos mostrar que
o vértice v6 não é absorvido por K. Se v1 ∈ K, então v2 6∈ K. Como v2 e v4 só podem
ser absorvidos por v3 e v5, respectivamente, v3, v5 ∈ K. Assim, v6 6∈ K. Analogamente,
v166∈ K, pois v19e v17∈ K. Note que v116∈ K, pois é vizinho de v1. Como v11 e v16 6∈ K,
v10 ∈ K e, consequentemente, v8 também. Mas, se v8 ∈ K, então v7 6∈ K; um absurdo
pois então v6 não é absorvido por nenhum vértice de K. Sendo assim, se K é um kernel
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v 16 v17 v18 v19 v20
Figura 4.3: Todo circuito ímpar possui duas cordas, mas o digrafo não possui kernel.
kernel de D, v6, v11, v16 6∈ K. Se v11 e v6 6∈ K então v5 e, consequentemente, v3 ∈ K. Se
v3 ∈ K, v2 6∈ K e v1 não é absorvido por K mas também não faz parte de K, o que é
impossível. Sendo assim, D não possui kernel.
Apesar da Conjectura 4.1 ser falsa no caso geral, o estudo de casos particulares per-mitiram um avanço da teoria. Resultados relevantes, que generalizam o Teorema de Richardson (Teorema 3.5), foram obtidos para casos específicos. Nas seções seguintes desse capítulo, apresentamos alguns destes resultados.
4.3
Cordas simétricas
Em 1980, Duchet [4] mostrou dois teoremas sobre kernel perfeição de digrafos com cordas simétricas. Ambos os resultados seguem do conceito de reorientar arcos em um digrafo para gerar um outro digrafo acíclico que, pelo Teorema 3.3, possui um kernel. Antes de apresentar este resultado, precisamos introduzir novas definições.
Definição 4.2. Seja D um digrafo e seja S ⊆ A(D). Dizemos que um conjunto de arcos T é uma orientação (ou reorientação) de S se, para todo f ∈ T , f− ou f ∈ S. Note que é possível f e f− existir em T , mas só um deles existir em S.
Definição 4.3. Seja D um digrafo, seja S ⊆ A(D) e seja T uma orientação de S. Dizemos que T é parcial se:
f ∈ T ⇒ f− 6∈ T f ∈ T ⇒ f ∈ S ou f− ∈ S.
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v 16 v17 v18 v19 v20
Figura 4.4: O circuito ímpar (v11, C, v1) ∪ (v1, v11), marcado em vermelho, contém duas
cordas: (v13, v1) e (v15, v1).
Informalmente, T é um subconjunto de S em que alguns arcos foram invertidos. Além disso, dizemos que T é total se
f ∈ S ⇒ f ∈ T ou f−∈ T.
Definição 4.4. Seja D = (V, A) um digrafo, seja S ⊆ A e seja T uma orientação de S. Dizemos que T é válida se D0 = (V, (A \ S) ∪ T ) não possui circuito. Além disso, se D0 não possui circuito ímpar, então dizemos que a orientação T é ótima.
Proposição 4.5. Seja S um conjunto de arcos de um digrafo D. Se todo circuito possui um arco em S, uma orientação válida maximal T de S é total.
Demonstração. Seja T uma orientação válida maximal de S. O conjunto T existe, pois a orientação T = ∅ é válida. Suponha, por contradição, que T não seja total. Então existe (u, v) ∈ S tal que (u, v), (v, u) 6∈ T . Como as orientações T + (u, v) e T + (v, u) não são válidas, existem circuitos C0 = (u, v, a1, a2, . . . , an, u) e C00 = (v, u, b1, b2, . . . , bm, v) que
contém (u, v) e (v, u), respectivamente, e nenhum outro arco de T . Note que removendo-se os arcos (u, v) e (v, u) ainda existe um passeio fechado C = (v, a1, . . . , an, u, b1, . . . , bm, v).
Mas, então, C deve conter um circuito disjunto de T , e portanto, de S. Concluímos com esse absurdo que uma orientação válida maximal é total.
Teorema 4.6. Se todo circuito de um digrafo D possui um arco simétrico, o digrafo é kernel perfeito.
Demonstração. Seja S o conjunto de arcos simétricos do digrafo D. Pela Proposição 4.5, existe uma orientação total T de S tal que o digrafo D0 = (D \ S) ∪ T é acíclico. Pelo Teorema de von Neumann (Teorema 3.3), D0 é kernel perfeito. Note que ao adicionar os arcos restantes de S \ T a D0, o kernel não é alterado: se adicionamos um arco (u, v), significa que (v, u) já existia em D0. Portanto, somente um desses vértices pertencem ao kernel, caso contrário o conjunto não seria independente.
Teorema 4.7. Se todo circuito ímpar de um digrafo D possui dois arcos simétricos, então D é kernel perfeito.
Demonstração. Seja S o conjunto de arcos simétricos de D. Chamamos uma orientação T de S de aceitável se uma das orientações T + α ou T + α− for ótima, para todo α ∈ S \ (T ∪ T−). Seja T uma orientação aceitável maximal (não está contida em nenhuma outra orientação aceitável) de S. Vamos provar que, para todo α ∈ S \ (T ∪ T−), as orientações T + α e T + α− são ótimas.
Seja α ∈ S \ (T ∪ T−). Suponha que T + α seja ótima e T + α− não seja. Como T é aceitável maximal, T + α não é aceitável e existe um arco β ∈ S \ {α} ∪ (T ∪ T−) tal que D = (V, (A \ S) ∪ (T ∪ {α} ∪ {β})) contém um circuito ímpar C1 e D = (V, (A \
S) ∪ (T ∪ {α} ∪ {β−})) contém um circuito ímpar C2. Como T + α é ótima, segue que
β ∈ A(C1) e β− ∈ A(C2). Além disso, como uma das orientações T + β e T + β− é
ótima, pela aceitabilidade de T , α ∈ A(C1) ou A(C2). Como supomos que T + α− não
é ótima, o digrafo (V, (A \ S) ∪ T + α−) contém um circuito ímpar C tal que α− ∈ C. Digamos que α = (a, b), β = (c, d), C1 = (c, d, u1, . . . , un, c), C2 = (d, c, v1, . . . , vm, d) e
C = (b, a, w1, . . . , wp, b).
Seja P = (d, u1, . . . , un, c, v1, . . . , vm, d). Note que P é um passeio fechado par. Como
α ∈ A(C1) ou A(C2), α ∈ A(P ). Substituindo-se uma única ocorrência de α = (a, b)
em P pelo passeio (a, w1, . . . , wp, a) obtemos um passeio fechado de comprimento ímpar
no digrafo (V, (A \ S) ∪ (T ∪ {α})), que contradiz a validez de T + α, uma vez que esse passeio deve conter um circuito ímpar, pelo Lema 3.4. Sendo assim, sabemos que para todo α ∈ S \ (T ∪ T−), as orientações T + α e T + α− são ótimas.
Para provar o Teorema, é suficiente mostrar que T é uma orientação total de S. Por contradição, suponha o contrário: existe um arco α = (a, b) ∈ S \ (T ∪ T−). Pelo caráter maximal de T e como sabemos que para todo α ∈ S \ (T ∪ T−), as orientações T + α e T + α− são ótimas, existem dois arcos β = (c, d) e γ = (e, f ), não necessariamente distin-tos, em S \ (T ∪ T−∪ {α} ∪ {α−}) tal que os digrafos (V, (A \ S) ∪ T ∪ {α, β}), (V, (A \ S) ∪
T ∪ {α, β−}), (V, (A \ S) ∪ T ∪ {α−, γ}) e (V, (A \ S) ∪ T ∪ {α−, γ−}) contenham,
respec-tivamente, os circuitos ímpares C1 = (c, d, u1, . . . , un, c), C2 = (d, c, v1, . . . , vm, d), N1 =
(e, f, w1, . . . , wp, e) e N2 = (f, e, z1, . . . , zr, f ). Além disso, como T + β, T + β−, T + γ e
T + γ− são orientações ótimas, o arco α = (a, b) deve estar contido nos circuitos C1 e C2,
enquanto que α− = (b, a) deve estar contido em N1 e N2. Denotaremos suas ocorrências
por (a, b) = (ui, ui+1) = (vj, vj+1) e (b, a) = (wk, wk+1) = (z`, z`+1).
Veja que (c, v1, . . . , vj−1, a = vj, b = ui, ui+1, . . . , un, c) é um passeio fechado do digrafo
par. Substituindo-se a única ocorrência de α = (a, b) pelo passeio (a = wk+1, . . . , wp, e, z1, . . . , z`−1, z` = b)
obtemos um passeio fechado ímpar no digrafo (V, (A \ S) ∪ T ∪ {γ}), o que contradiz a validade de T + γ e, portanto, T é uma orientação total.
4.4
Cordas cruzadas
Antes de enunciar o próximo teorema, precisamos definir o conceito de cordas cruzadas. Definição 4.8. Seja C = (c0, . . . , cn−1, c0) um circuito de um digrafo D e seja α =
(α1, α2, . . . , αm) uma sequência de cordas de C. Dizemos que duas cordas αi = (cj, cj+k)
e αi0 = (cj0, cj0+k0) se cruzam se j < j0 < j + k < j0+ k0, notação em módulo n. Dizemos
que as cordas em α se cruzam se, para todo i < m, αi se cruza com αi+1.
Em 1983, Duchet e Meyniel [9] publicaram o Teorema 5.1.
Teorema 4.9. [Duchet e Meyniel, 1983] Se toda trilha fechada ímpar de um digrafo D possui duas cordas curtas e cruzadas, então D é kernel perfeito.
No Capítulo 5 apresentamos a prova publicada no artigo e mostramos que o resultado é frequentemente citado de maneira errada por conta de uma possível falha de tradução, atribuindo as cordas da hipótese apenas para circuitos ímpares. Apesar disso, em 1984, Galeana-Sánchez e Neumann-Lara [13] apresentaram uma generalização do resultado que implica em duas cordas curtas e cruzadas em circuitos ímpares serem suficientes para a existência de um kernel em um digrafo: o Teorema 4.11. Antes de enunciarmos o teorema, precisamos definir cordas com cabeças consecutivas.
Definição 4.10. Seja D um digrafo, seja C = (v0, v1, . . . , vn−1, v0) um circuito de D
e sejam (ci, cj) e (ck, c`) cordas de C. Dizemos que (ci, cj) e (ck, c`) possuem cabeças
consecutivas se suas cabeças são adjacentes no circuito, ou seja, cj = c`+1 (notação em
módulo n).
Teorema 4.11. [Galeana-Sánchez e Neumann-Lara, 1984] Se todo circuito ímpar de um digrafo D possui duas cordas com cabeças consecutivas, então D é kernel perfeito.
O Corolário 4.12 segue diretamente do Teorema 4.11 e generaliza o Teorema 5.1. Corolário 4.12. Se todo circuito ímpar de um digrafo D possui duas cordas curtas e cruzadas, então D é kernel perfeito.
Os autores demonstram o Teorema 4.11 a partir de onze resultados intermediários sobre semikernels e digrafos criticamente kernel perfeitos, conceitos introduzidos na pró-xima subseção. A fim de facilitar a compreensão do leitor, condensamos os resultados intermediários em três lemas principais (Lemas 4.22, 4.23 e 4.24) que são utilizados para provar o Teorema 4.11.
Figura 4.5: Os vértices marcados são um semikernel do digrafo.
4.4.1
Definições
Nessa subseção, apresentamos todas as definições necessárias para a prova do Teorema 4.11. Além disso, mostramos o Lema 4.15, uma importante ferramenta na prova da kernel-existência em digrafos.
Definição 4.13. Seja D um digrafo e seja S ⊆ V (D). Chamamos de complemento de S o conjunto S = V (D) \ S.
Definição 4.14. Um semikernel de um digrafo D é um subconjunto independente S ⊆ V (D) tal que, para todo vértice u ∈ S, se existe um arco (u, v) ∈ A(D), então existe um arco (v, w) ∈ A(D) tal que w ∈ S. A Figura 4.5 ilustra um semikernel.
Basicamente, um semikernel é um conjunto independente e localmente absorvente: ele absorve todos os vértices que são vizinhos de saída do conjunto. É fácil de ver que todo kernel é um semikernel, mas a reciproca não é verdadeira. O conceito de semikernel é importante para a teoria de kernels pois facilita a prova da existência de kernels em digrafos a partir do seguinte lema.
Lema 4.15. Seja S um semikernel de um digrafo D, seja D0 = D \ N−[S] e seja S0 um semikernel de D0. Então S ∪ S0 é um semikernel de D. Além disso, se S0 for um kernel de D0, então S ∪ S0 é um kernel de D.
Note que o Lema 4.15 facilita a prova da existência de kernels pois, encontrando um semikernel, podemos reduzir o digrafo a um caso menor que seja, possivelmente, mais fácil de ser resolvido. A partir da definição de semikernel, os autores definem semikernel forte módulo R, tal que R é um conjunto de vértices:
Definição 4.16. Seja D um digrafo e sejam S, R ⊆ V (D). Dizemos que S é um semi-kernel forte de D módulo R se:
R
Figura 4.6: O vértice circulado em vermelho compõe o conjunto R. Os vértices tracejados são um semikernel forte módulo R do digrafo.
• se (u, v) ∈ A(D) tal que u ∈ S \ R e v ∈ V (D) \ R, então existe (v, w) ∈ A(D) para algum w ∈ S.
Note que se R = ∅, então S é um semikernel de D. A Figura 4.6 ilustra um semikernel forte módulo R.
Veja que, intuitivamente, R é um conjunto de vértices que são “ignorados” pelo se-mikernel. Além disso, se S é um semikernel forte de D módulo R, então S \ R é um semikernel de D \ R.
Definição 4.17. Seja D um digrafo e K ⊆ V (D). Um caminho T = (t0, t1, . . . , tn) é
chamado de K-normal se valem as seguintes afirmações:
• V (T ) ∩ K = {ti : 0 ≤ i ≤ n, i par} ou {ti : 1 ≤ i ≤ n, i ímpar};
• Se i e j são inteiros tais que i < j < n, tj 6∈ K e ti ∈ K, então (tj, ti) 6∈ A(D).
Definição 4.18. Seja W = (w0, w1, . . . , wn−1, w0) um passeio fechado e seja i ≤ n um
inteiro não-negativo. Uma reindexação de W a partir de wi é o passeio fechado
Wwi = (w
0
0 = wi, w01 = wi+1, . . . , wn−10 = wi+n−1, w00 = wi) (notação dos índices em
módulo n). Note que V (W ) = V (Wwi), a reindexação é apenas uma maneira de expressar
a contagem dos vértices de W a partir de wi.
Definição 4.19. Seja T = (t0, t1, . . . , tn) um caminho. Denotamos por T0
(respectiva-mente, T1) o conjunto de vértices de índice par (respectivamente, ímpar) em T . Se T for um circuito, denotamos por T0
ti = {tj : j ≡ 0 (mod 2), j 6= 0} o conjunto de vértices de
índice par, com exceção de ti, na reindexação de T a partir de ti. Analogamente,
denota-mos por T1
ti = {tj : j ≡ 1 (mod 2)} o conjunto de vértices de índice ímpar na reindexação
de T a partir de ti.
Definição 4.20. Seja D um digrafo sem kernel, se todo subgrafo próprio induzido D0, com V (D0) 6= ∅, possui kernel dizemos que D é criticalmente kernel imperfeito. Definição 4.21. Seja u um vértice do digrafo D. Denotamos por F+
u o conjunto dos
4.4.2
Demonstração do teorema
Nessa subseção, apresentamos os Lemas 4.22, 4.23 e 4.24, a fim de provar o Teorema 4.25. Além disso, mostramos que o Teorema 4.25 implica diretamente no Teorema 4.11. Lema 4.22. Seja D um digrafo e sejam os conjuntos S0, S, R ⊆ V (D) tais que ∅ 6= S0 ⊆
S, S0∩ R = ∅ e que satisfazem:
1. S é um semikernel forte de D módulo R, e
2. todo (S0, R)-caminho S-normal passa por U = N−(S0) \ R.
então existe um semikernel S0 = {w ∈ S : existe um (S0, w)-caminho S-normal que não passa por U }
de D, tal que S0 ⊆ S0 ⊆ S \ R.
Demonstração. De (1) e da definição de semikernel forte, sabemos que existe um (S,S)-arco (u, v) em D apenas se u ∈ S ∩ R. Como S0∩ R = ∅, temos que S0 é independente e
que U ⊆S ∩ R. Portanto, S0 ⊆ S0. De (2) sabemos que S0 ⊆ R e portanto S0 ⊆ S \ R.
Como S é um semikernel forte de D módulo R, não existem (S0, S)-arcos em D. Portanto, S0 é independente. Suponha que S0 não seja um semikernel de D. Então existe s ∈ S0 e w ∈ V (D) \ S0 tal que (s, w) ∈ A(D), mas não existe (w, S0)-arco em D. Seja W = (w0, w1, . . . , wn = s) um (S0, s)-caminho S-normal. Como w 6∈ S0, (w0, w1, . . . , wn= s, w)
continua S-normal. Então w 6∈ R, senão teríamos uma contradição com (2). Portanto, w ∈ S ∩R. Por (1), deve existir z ∈ S tal que (w, z) ∈ A(D). O caminho (w0, w1, . . . , wn=
s, w, z) é S-normal e não passa por U . Portanto, z ∈ S0, o que contradiz o fato de não existir (w, S0)-arco. Portanto, S0 é um semikernel de D, em que S0 ⊆ S0 ⊆ S \ R.
Lema 4.23. Seja D um digrafo e sejam S0, S, R ⊆ V (D) tais que ∅ 6= S0 ⊆ S, S0∩R = ∅.
Suponha que as seguintes condições sejam satisfeitas: 1. S é um semikernel forte de D módulo R, 2. D não possui kernel,
3. D \ N−[S0] é um digrafo kernel perfeito.
Então existe um (S0, R)-caminho T que é S-normal e não passa por U = N−(S0) \ R.
Além disso, T satisfaz as seguintes condições: 1. T não possui ((V (T ) − tn), T0)-cordas, e
2. |T | é par se e somente se tn∈ S.
Demonstração. Se o Lema 4.23 fosse falso, pelo Lema 4.22 existiria um semikernel S0 de D com ∅ 6= S0 ⊆ S0 e, pelo Lema 4.15 e (3), D possuiria um kernel, o que é uma contradição
de (2).
Antes de apresentarmos os próximos resultados, explicaremos a intuição por trás da prova e como o Lema 4.23 é utilizado. No próximo lema (Lema 4.24) mostraremos que em um digrafo criticalmente kernel imperfeito existem circuitos de comprimento ímpar sem cordas com cabeças consecutivas. Sendo assim, se um digrafo D satisfaz as hipóteses
do Teorema 4.11 e não é kernel perfeito, então D deve conter um subdigrafo induzido que é criticalmente kernel imperfeito. Esse subdigrafo, consequentemente, possui circuitos de comprimento ímpar sem cordas com cabeças consecutivas, uma contradição. O digrafo D, portanto, é kernel perfeito.
A ideia da demonstração do Lema 4.24 é escolher um arco (u, v) do digrafo D e, a partir do Lema 4.23, mostrar que existe um (v, u)-caminho que, quando concatenado com (u, v), forma um circuito ímpar C sem (V (C), (Cu1 ∪ {u}))-corda ou (V (C), (C0
v))-corda.
Lema 4.24. Sejam D um digrafo criticalmente kernel imperfeito, u ∈ V (D) e f = (v, w) ∈ A(D). Os seguintes circuitos de comprimento ímpar existem em D:
B, contendo u, sem (V (B), (Bu1∪ {u}))-cordas, e (4.1) C, contendo f , sem (V (C), (Cv0))-cordas. (4.2) Demonstração. A demonstração será apresentada em duas partes, nas quais provaremos cada uma das afirmações individualmente.
(1) Como o vértice u é sorvedouro em D \ Fu+, {u} é um semikernel de D \ Fu+ e, como D − u é kernel perfeito, D \ N−[u] possui um kernel Nu. Pelo Lema 4.15, N = Nu∪ {u}
é um kernel de D \ F+
u . Seja F ⊆ Fu+ de maneira que |F | tenha o menor valor possível
e N seja um kernel de D \ F . Intuitivamente, F é o conjunto de arcos que “impede” N de ser um kernel de D, ou seja, são arcos que ligam u a um vértice z ∈ N . Seja S0 = {z ∈ V (D) : (u, z) ∈ F }. Como observamos, S0 ⊆ N . Como N é um kernel de
D \ F , N é um semikernel forte módulo {u} de D, já que não existem arcos ligando u a outro vértice em N . Além disso, S0∪ {u} ⊆ N . Pelo Teorema 4.23 existe um (S0,
u)-caminho T = (t0, . . . , tn = u) que é N -normal. Como todo vértice em S0 pertence a
N e u também pertence a N , pela N -normalidade de T , seu comprimento deve ser par. Adicionando o arco (u, t0) ao caminho T , temos um circuito B de comprimento ímpar
sem (V (B), (Bu1∪ {u}))-cordas.
(2) Sejam N um kernel de D − v e R = {v}. N é um semikernel forte módulo R de D, de contrário, não seria um kernel de D − v. Seja S0 = N+(w) ∩ N . Pelo Lema
4.23, existe um (S0, v)-caminho T = (t0, . . . , tn = v) que é N -normal e não passa por w.
Adicionando o arco (v, w) e (w, t0) ao caminho T , temos um circuito C = (v, w, t0, . . . , v)
de comprimento ímpar. Resta mostrar que não existem (v, (C0
v))-cordas ou (w, (Cv0
))-cordas. Se existe (v, (Cv0))-corda, então v é absorvido por N e, portanto, N é um kernel de D; um absurdo, pois D é criticalmente kernel imperfeito e não possui kernel. Suponha que exista um arco α = (w, t2i) que seja (w, (Cv0))-corda e escolha i de maneira que seja
o maior inteiro possível. Então C0 = (v, w, t2i, t2i+1, . . . , v) é um circuito de comprimento
ímpar em D passando por (v, w) e sem (V (C0), (Cv00))-cordas, como queremos mostrar. Teorema 4.25. Seja D um digrafo e seja T ⊆ V (D) tal que D \ T é kernel perfeito. Suponha que para todo u ∈ T (1) ou (2) são satisfeitos:
1. todo circuito C de comprimento ímpar passando por u contém uma (V (C), C0 u
)-corda,
2. todo circuito C de comprimento ímpar passando por u contém uma (V (C), C1
u
então D é kernel perfeito.
Demonstração. Se D não é kernel perfeito, D contém um digrafo induzido D0 que é criticalmente kernel imperfeito. Como D \ T é kernel perfeito V (D0) ∩ T 6= ∅. Para qualquer u ∈ T , pelo Lema 4.24 as hipóteses (1) e (2) não são satisfeitas, portanto, D deve ser kernel perfeito.
Note que o Teorema 4.25 equivale ao enunciado do Teorema 4.11, porém de maneira mais técnica. Podemos compor um conjunto de vértices T de um digrafo D adicionando um vértice de todo circuito ímpar, então D \ T é kernel perfeito pelo Teorema de Richard-son pois não tem circuitos de comprimento ímpar. Como, pela hipótese do Teorema 4.11, todo circuito ímpar possui duas cordas com cabeças consecutivas, tanto a hipótese (1) quanto a hipótese (2) do Teorema 4.25 valem para qualquer u ∈ T .
Capítulo 5
O método da substituição
Em 1983, Duchet e Meyniel [9] publicaram um artigo apresentando o Teorema 5.1 sobre digrafos kernel perfeitos.
Teorema 5.1 (Duchet e Meyniel, 1983). Se D é um digrafo e toda trilha fechada ímpar possui duas cordas curtas e cruzadas, então D é kernel perfeito.
Os autores apresentam o método da substituição, ingrediente chave da prova do Teorema 5.1. Nas próximas seções, apresentamos o método da substituição, a prova do Teorema 5.1 e comentamos sobre a viabilidade do uso do método da substituição em outros contextos.
5.1
O método da substituição
Seja D um digrafo tal que todo subdigrafo próprio induzido não vazio possui kernel. Ou seja, D é kernel perfeito ou criticalmente kernel imperfeito. O método da substituição consiste em um processo iterativo de: remover um vértice x0 arbitrário; obter um kernel
K de D − x0; e, em D, realizar uma sequência de iterações, substituindo-se os vértices do
conjunto K por outros vértices de D, a fim de obter um kernel K0 de D (que contém x0).
Definição 5.2. Seja x0 ∈ V (D) e seja K ⊆ V (D−x0) um kernel de D−x0. Uma
sequên-cia de substituição começando em x0 e K é uma sequência de conjuntos (N0, N1, . . . , Np)
construídos a partir do seguinte processo:
N0 = M0 = {x0} (5.1)
N2k+1= (N−(N2k) ∩ K) \ ∪k0<kN2k0+1 (5.2)
M2k+2= {x ∈ (V (D) \ ∪k0≤kM2k0) : N+(x) ∩ K ⊆ ∪k0≤kN2k0+1 e
N+(x) ∩ ∪k0≤kN2k0 = ∅} (5.3)
N2k+2 é o kernel do subdigrafo D[M2k+2] (5.4)
