A ÁLGEBRA DE CLIFFORD CANÔNICA

Texto

(1)fe= PÓS-GRADUAÇÃO. SÃ. 2). IST. TUTO. DE. CIÊNCIAS. MATEMÁTICAS. DE. L.C.M.8.C.. A. ALGEBRA. DE. CLIFFORD. CANÔNICA. Celi Vasques Crepaldi. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. SÃO CARLOS. -. SÃO PAULO. BRASIL.

(2) A. | nn.. | |. ALGEBRA DE. CLIFFORD. CANÔNICA. Celi Vasques Crepaldi. .. —r.. ORIENTADOR:. Prof. Dr. Cândido. Tese apresentada ao. Instituto. Lima da. Silva Dias. de Ciencias Matemáticas. de São Carlos, da Universidade de São Paulo, para obtenção do título de Doutor em Ciencias (Matematica).. SÃO *. CARLOS. 1985.

(3) Aos meus. pais. ao Moacir e. as minhas. fílhas.

(4) AGRADEÇO SINCERAMENTE. Ao. Prof. Dr. Cândido. e principalmente pelo. incentivo. Lima da. Silva Dias, pela orientação segura. e amizade.. Ao. Prof. Dr. Antonio Paques, pelas suas valiosas sugestoes. Ao. Prof. Dr. Antonio. e co. laboraçoões. Conde sempre pronto a prestar-me o seu va-. lioso auxílio. Aos meu. colegas. e amigos do IQAr.. -. UNESP,. em. especial,. ao. Prof.. Ro. Magnani, pela amizade, apoio e colaboraçao.. Aos colegas Ao. de datilografia.. e amigos do. LI.C.M.S.C., pelo apoio e estímulo.. Josê Carlos pela paciencia,. dedicação. e. pelo otimo trabalho.

(5) ABSTRACT. Our. intention. was to. construct. and study one. Clifford. algebra. Cy which has a fundamental importance to the determination of other Clifford. it. gebras. Moreover,. allows the stablishment of the relation between. ford algebra of vector space E, of a of that space:. algebra. is. When we. a. Clifford algebra. =. <x,Xx'>,.. :. C,,. M. which the quadratic form QC(x,x')). field. Clif-. the. the exterior algebra. and. ÀE.. The. come. finite dimension,. al. have studied the. of the space. *. = E OE,. M. properties of this algebra,. to the conclusion that the quadratic space. M. (and the space E). we. have. over. the. has an inner product.. K,. The orthogonal group. G. de Cy and the. Clifford group. de. G. are. very important and have been described and analysed in Chapter IL. In Chapter. with. III,. we. have construct one algebra. on. the. vector. quadratic form Q, induced from Q, and by analogy, we have consalgebra on the vector space E, we have also stablished the relations. space. E. truct. one. among. the algebras. a. On. cy» Cr e Ch *.. Chapter IV,. we. be obtained as a deformation of the. J. Helmstetter. and using the. have shown that the Clifford algebra of. exterior algebra. AE,. interior products. Finally,. between the reasoning of Helmstetter and the. results. we. based.on we. the. E. can. works of. have shown an analogy. have. attained..

(6) ÍNDICE. INTRODUÇÃO. —————————. CAPÍTULO. I. ÁLGEBRA DE. CLIFFORD. CAPÍTULO GRUPO. DE. CAPÍTULO. .PR. —=——————————————————————————————————=—————————=—=———===—==———. 1. II CLIFFORD. ———————. .—>——=————-————————————————————————————=.——=—. 23. III. RELAÇÕES ENTRE AS ÁLGEBRAS DE. CAPÍTULO. ceder. i. CLIFFORD E ÁLGEBRA EXTERIOR. -—--——--—-—-----—-. 45. IV.. AS ALGEBRAS DE. BIBLIOGRAFIA. CLIFFORD. COMO. DEFORMAÇÕES. DAS. ÁLGEBRAS. EXTERIORES. ———--———— —. -===———=—————————————————=—————=————————————————————————————.———. 60. 82.

(7) INTRODUÇÃO. A. artigo. um. ford de. de. um. ideia inicial. [29], no qual. Schemberg. M.. este trabalho. e à motivação para. autor introduziu. o. uma. surgiram. algebra. de. Clif. de. espaço pseudo-euclidiano de dimensão 2n. A. definição da algebra 6,. intrinseca. €. e. obtivemos. defini.. uma. ção equivalente e canoníica. A. M=E. ço. x. E),. em. cação. do. =. vetorial. K-espaço. onde E” é o dual de. canonica Ql x,x"')] M. partir. <Xx,X'>; no. e. E. sobre. Capítulo. relação à forma quadratica canonica E. considera-se. M. onde (x.) i?. dratico. -e. 1<i<n. espa. quadratica. representamos por Cy cuja multipli. e a. 3:. +. ' E e (7%). base de. uma. 1<j<n. si;0.... 8. KR.. hiperbolico. (M,Q): é um espaço. Indice. -. de. inércia igual. a. e. se. I,. à. algebra das matrizes. são estudadas no Capítulo. I;. define-se. priedades, mostrando suas relaçoes No o. grupo de Clifford. F € G,. também. com a. existe. T. álgebra. algebra. pseudo-euclidiano. que Cy. E. que pertencem ao grupo s. E. [ tal que x(s). =. o. algebra cen-. uma. de. Clifford. de. de Weyl e as. suas. pro-. Clifford.. grupo ortogonal de Q, representa. o. associado a. por este procedimento, determina-se. as propriedades.. a. grupo dos automorfismos lineares de. M. espaço qua-. de ordem 2º”.. Capítulo IL, determina-se. morfismos lineares de. para cada. do. construçao e as propriedades gerais da algebra. A. e o. .. as propriedades. verifica-se. dimensao par,. tral simples isomorfa. quadrática. *. (n,n).. é de. isto é,. E. =[R, é um espaço. K. M. do por G,. 1. base dual de. e a. Como. TT;. forma. a. o. construímos a álgebra de Clifford de. LI,. Estudam-se tambem no Capitulo. de. define-se. dada por Lo x;J:. com. de dimensão n,. E. G; G. M. que conservam a forma. obtivemos a descriçao dos auto e como à. F, onde. X. € a. dimensao de. M. representação. grupo de Clifford de Ge. E. par,. linear. estudam-se.

(8) ii Neste Capitulo, obtem-se. sao subespaços totalmente singulares por operaçoes fismo. linear. F. =. no), que origina. espaço E, representada C, (Se B, não. o. bilinear simetrica B':E. > K, a. x E. III,. Capitulo. No. Clifford. restrição. a. de um espaço. vetorial. E. partir. de F a. E. fornece. um. isomor. bilinear B:E xE. E. algebra. >. K. Clifford sosimetrica, pode-se obter uma forma uma. de. B).. de. evidenciamos as relaçoes entre e a. E. e. E. algebra. a. algebra exterior deste espaço,. de. utilizando-. a construçao de Chevalley em [8]; obtêm-se a igualdade. -se. x*y=xAy+ onde. bilinear canonica associada. é a forma. B. isomorfos. como. monstrar que:. relaçao. te para. ticos tre. algebra. Mº. Cc,. “E. algebra. vetorial. (EQ). e. C,. M. de. Clifford. E”.. (E ,0,). No. e. E E. demonstra-se que. Q, pode. Capitulo. vetorial. ser obtida. da. pois. pode-se de. de dimensao. algebra C,. III, verifica-se. em. de uma forma. o. e. fínita. E,. analogamen-. que os espaços quadra. ea. isomorfismo de algebra entre Cy. utilizando-se. os produtos. interiores. ba-. Capítulo IV, generaliza-se os resultados de Chevalley,. trabalhos mais recentes. do. autor J. Helmstetter. se propoe estudar os isomorfismos Jp: Ce >. bilinear. B. sobre. E. tal. AE. como. que B(a,a). =. Q(a) para todo a Q.. Considerando-se que a algebra de Clifford. Cf. tem o mesmo espaço. [18].. R7]1,. espaços vetoriais,. necessariamente a forma bilinear canonicamente associada a. AE. são. eC E *,. No. rior. AE. e. Cr. são isometricos e sao estabelecidas as relações en. dos endomorfismos de AE,. seando-se. Q. de um espaço. Finalmente, demonstra-se. algebra. a. x,y. importancia fundamental. € de uma. quadratica. à uma forma. (M,Q),. C. uma. espaço. o. B(x,y). espaços vetoriais. A. em. como. eles são permutados entre si. M,. u:E > E”, e atraves de u, obtêm-se uma forma. nao-degenerada (e simetrica se u bre. maximais de. ortogonal; entao. do grupo. resultado importante:. um. vetorial, constroi-se sobre. o. ea. espaço. E. O. autor. dependendo E, que nao é. algebra exte-. vetorial. AME. um.

(9) i11i. produto (que depende de. bra. de. produto. Clifford Cr;. o. B). que a transforma numa. algebra A(E,B), isomorfa à alge. produto de Clifford aparece então. "deformação" do. exterior. Para estudar esta algebra A(E,B),. riores. como uma. que originam uma. anti-derivaçao. de. ÀE. utiliza-se. os produtos. e dependem de formas. inte-. lineares sobre. E.. Estes procedimentos. podem. ser usados. com poucas mudanças. na. al-. gebra simpletica.. Mostra-se. estreita analogia. com. que. esta. abordagem da álgebra de Clifford. apresenta. os objetivos deste trabalho e com os resultados obtidos..

(10) |. CAPÍTULO. ALGEBRA. DE. CLIFFORD. Neste capítulo, daremos a definição e construçao das algebras de. Clifford,. suas propriedades fundamentais.. e tambem. Também. to. do. trabalho. seguir, determinaremos. A. ticular o. serao introduzidos conceitos essenciais ao desenvolvimen-. M=. E 8. E,. seu espaço dual,. onde em. Definição 1.1.. Uma. €&. relação. à forma. M. um. espaço. quadrática canonica. Q:. e. em. M. de um espaço. Clifford dim. n sobre. E =. Q[(x,x')). =. par-. Ke. E. <x,x'>,. analisaremos as suas propriedades.. vetorial sobre. forma quadratica. de. vetorial qualquer. espaço. um. bilinear fundamental,. onde <x,x'> é a forma. Seja. E. algebra. a. um. corpo K.. aplicaçao. é uma. Q. de. M. em K. que tem as. seguintes propriedades: (a) Q(ax) (b). =. > Q(x+y). B. é a forma. B(y,x) para todo x,y. Além. e. unica.. forma. Q(x). -. Q(y) e uma forma. disso, temos:. bilinear associada E M.. Q(2x). B(x,x). A. -. bilinear. Mx M>(K.. Dizemos que =. aeKk,xEM. aplicação (x,y). A. B:. niçaão que B(x,y). aº.Q(x). a Q.. É. Be portanto simetríica.. 4Q(x) o que implica por. = =. claro da defi (Db). 2Q(x).. bilinear simetrica associada. com a. aplicaçao quadratica. Q.

(11) Deginiçao 1.2.. Um. espaço quadratico. bre K, munido de. trica em. N. da aplicaçao. elemento x. Um. E. Q. de dimensao. finita so-. forma bilinear sime-. e a. com Q.. a um subespaço. Q. cuja forma bilinear associada. Definição 1.3.. vetorial. espaço. forma quadrática. uma. associada. restrição. A. drática. B. E um. ME chamado. da forma quadratica a. N. singular se. íqual. é. de. Ba. Q(x). =. restriçao. a. E. de. N. é uma forma qua. M. N. xN.. restrição. O. Se a. à zero, dizemos que. N. totalmen. é. te singular. Seja. ja. M. um. K um. característica diferente. corpo comutativo de. de 2 e se. vetorial.. K-espaço. Define-se: M'. Definição 1.4.. posto. O. =. (x. €. M. t.q. B(x,y). da forma quadratica. Q. =. O. E M). Yyy. é o numero m-m'. tal. que. m. =. dim. Mem' =dimM'".. 1.5.. Degíniçaão. Um. espaço. lar) Proposição 1.6. [8]. vetorial. se ele contém. Seja B,. uma. forma quadrática. diferente. M. um. forma em. Q. isotrópico. de zero, é. (ou singu-. vetor singular.. bilinear e. em. M. X. M.. Então x >. toda forma quadratica. pode. B (x,x). E. uma. ser represen-. tada desta maneira.. B,. A Ad. Se. K. = nao e-. +. caracteristica .. 2, podemos tomar. na. .. =. Proposição. l.6,. B.. Seja. base de E, seja. E. z«. o. E um. K-espaço. vetorial. espaço dual de. E. e. de dimensão n e. seja Desen. consideremos a base dual da base. to e, —. GeVP. '. ... x.). e e a. base de. E. *. tal. que. x:Nx.) (x). =. 8;... ou. <x.,x'> xi. x. = 6. O,.. 1). x). uma. x. ), is.

(12) Define-se. o. conjunto. M=EXE ES=í((x,x')/xEEex'EE) *. |. Introduz-se. em. uma. M. estrutura. de espaço. atraves. das. cartesiano. de E. vetorial,. operações:. (x,x'). +. (y,y'). A(x,x'). =. (Ax,AX'). Víx,x'), (y,y') espaço vetorial M=. O. por. (x. =. +. y, x'. +. y'). EM, VA EK. x. E. *. E' e chamado o produto. ;. E. Proposiçao 1.7.. Se. E =. x entao. (x ques. tivamente,. ). eF=. LESPRRRNT SO. E+F= Tx 50), +...) (X50),. - bases de sao. (O,x1),.-.,(O0,x")). E e E. * ,. e uma base de. E xXxE.. Demonstração:. De. fato,. a. (x,,0). a. x, +.... +t. -0 +.... +t. +. ..t+t. a. +. (x,;O). B,(O,x7) +.20.+t 1t. BL. (Ox) 1,. —. =. O. significa. a,. Como. os. x.. SA. “.. ao e. + +. 8,. O. Bx 1. +...+ 8, +...+. 0=O0O. 8 *ntt. o. xi sao linearmente independentes. respec. isto implica.

(13) = Portanto,. E + F. l.í.. é um sistema. - 2 DEN Alem disso, se z EE XE , entao *. (x€,xX'), x EE e x'. =. E. E. *. assim,. n. n. z. (x,X')=(Y. =. is. n. =. portanto, todo. de. E +. E E. z. XE. *. =] 1 Y. pode ser. a.. B.x!). E. Oa.Xx,. js. ++?. DO. =. n. (x.,0) ) +. 1º. escrito .. como. BRB.(O,x!. EX. J. j=l. ' 3). combinaçao. línear. .. .. elementos. dos. FT.. Conclui-se que:. *. dim (E XE ) = dim. Se. tal. E +. dím. E. *. =. 2n.. *. a T: EGE M''=E&O0E, existe un isomorfismo canonico. *. > E XE. *. que. T(x+x'). E. isto. XE. =. x€E,. (x,x'). x=E&8E.. x' EE. *. *. E,. Pode-se identificar (a. *. |. *. eE',comEeE,. menos de. isomorfismos) os subespaços. respectivamente, sendo: :. E'. E. =. =. ). ((x,0!). GE XE. [(0,x'). EExX E”) E'. UE). |. ((x,0)/x. MW. EE. e. 0'. E. E”). ((0,x')/0 EE. e. x'. E. E”). E'. m. e. E'.

(14) Portanto, deste. modo,. e. E. , 1sto e,. o. E. *. ser considerados: subespaços ooo E X E * se decom produto cartesiano podem. — o. vetoriais. de M= E. oo. poe como soma. dB E. . direta. *. *. XE,. =sE. de subespaços l1somorfos. Sobre. M. e. fato. é de. (a). E. e. *. E. .. toma-se a forma quadrática canonica M> K/Q(x,x') =. [x' (x)].. Q:. Q. canonicamente a. 2.. uma. forma quadratica, pois:. QD, ,x')]. = <)Ax,Áx'>. = a? *<x,X'>. =. x? .. Q[(x,x')]. isto €,. Qhz). (b) Se. =. 2º. +. Q(z). z=(x,x'). B(z,w). e uma forma. bilinear. Q(z +. +. -. Q(z2). -. Q(w). y'(X). M. B. é nao-degenerada.. B ((X,x'), (y,y')). Temos também. ço. mw). em M x M.. B. Observemos que. Então. EK, zEM. w=(y,y')EM,. e. x'(y). 2. com a. forma quadrática. =. Q. —. [x' (y). forma. e a. +. y' CO).. bilinear. B. é um. espa-. quadratico.. Podemos. tomando a matriz 2n. *. associar. uma. com uma. base. E + F. de. M,. 2n, cujos elementos são BC Cx; ,xi). Seja J. matriz simetrica. (x 1. pe,. K. n. ,. '. (X Xx,)). “1<i,j,k,l<n.. base X!,...,X') n. C. o.. de M=. E O E. *. .. - temos Entao.

(15) Portanto, base. em. B((x.,0'), (x:,0')). =. B((O0,x:),. (0,x:)). =.O. B((x.,O' (( ão Ds. ( O,x!. ' B((O,x3),. Cx.,0')). xi). =. 6.... ij. =. =.=x). =. =,. =. a matriz N, que é à matriz do espaço. relação à forma bilinear. i;j>. S. n. S. Vi,j,l <i,j,<mn. xix'(x.)o). =. 1. Vi,j,l. O. a. se. -. iz. (1. 1. =. : ;; o=34á. do. quadrático. M. na. sera:. B. O.... 1. O. t. 1. '. !. U. 1. Tt. 1. 1. 1. 1. 1'. 1. t. ',. O. ' ' ' 1t. U. U. 1. O.... O. O. 0... 1...0 '. O. 1. ',. U. U. tv. t. T. O. O. 1. OL.... 0 '. tt. tr 1". O.... t. 1'. O.... N =. 1.... t. Tt. 1.... :. 1. t. 't 1. '. 1. O. TI. IL. o. =. o '. 't. T. o. 1. T'. U. eee O. Usa-se a notação MEN O. lHpeiiaxs. determinante da matriz. Rea) Uma. e temos det. N =. condição necessaria. N. -l. e. é. discriminante. chamado o. dos. vetores. (se n é Impar).. suficiente para. que. B. seja nao-degene-. rada é que seu discrimínante seja diferente de zero. | :. Observemos que os subespaços. lares, pois:. EC MeE. *. &. M. —. sao totalmente singu ..

(16) qQEI=O. Q(E). O. e. e vale Q(E). O. <===>. B (E,E). = O. por causa da identidade. B (2,0) Seja nal. U'. U. um. =. =. -. [Q(z+6). Q(z). subespaço do espaço quadratico. - Q 0) M.. O. ]. Vz,. W. EM. complemento ortogo. (espaço conjugado) de Vem Meêo subespaço. U'. Degiíniçao 1.6.. Definimos. o. =. (z EM] B(z,U). radical. de. rad x. (z EM. =. como o. M. |. = O). subespaço. B(ze,M). 0). =. =. MW. “Mê um espaço regular quadratico se rad M= espaço quadrâático. O. Um. é. M. importante exemplo de. regular se um. e. O,. somente se det.. N. espaço regular isotrópico. É O. E. o. plano. hiperbolico. Definição 1.9.. Chama-se. nido de. tico binario. uma. um. vetorial. espaço. de dimensão 2, mu. forma quadratica, que é regular e possui. de. vetores singulares.. As. seguintes afirmações sao equivalentes para. um. uma. base. espaço quadra-. E:. Um. bases.. plano hiíperbólico. E. é um. (b). E. é isotroópico e. (c). dE =. =. plano hiperbolico .. plano hiperbolico. (a). regular. -1. E. .. tem a matriz. E. = =. 10. 1. 1. 09j. em uma. de. suas.

(17) o Definição 1.9.. Seja. vetor. um. Define-se. y. E. que Q(y) £. a. aplicaçao. uma. x. y. Ty. tal. M. T,. > M,. M. B(x,). —. Q(y). e um endomorfismo de M, que conserva a forma. chamada a. simetria. Ty. relação. em. a y.. deixa os pontos. Toda. simetria. num. hiperplano. do. O. pela fórmula. .. quadrática;. E. uma. Íínvolução e é. conjugado de Ky,. H,. invariantes.. plano híperbolico troca as duas retas isotroópi. cas.. Temos à. Proposição 1.10. [26]. M. Q(E). seguinte:. e. O. espaço H, co com. “Temos Se. espaço regular quadrático,. E um. lx. qo x.)de. O. dim. < 2n <. M. base para E.. no. qual cada H.. M. x. € H... i. - M= entao. E. x. OE. ECM, Q(E)=O. ,. mantermos a decomposiçao de planos. M=H. como. e uma. de. 17,. i. em. cada H. e. E. é un. subespaço. com. existe. sub-. Entao. € um. um. plano hiperboli-. ox) xa hiperbolicos e. base de E.. em M,. temos. |... E |X,. um. plano hiperbolico. e M, € ou. O. ou. não singu-. lar.. Pelo Teorema de Witt vemos que n não depende. composição E. feita,. e. entao. M,. ê. Aplica-se agora. o. indice. de. M.. Em. unico. como. a de. isometria.. a Proposição 1.10 e concluímos que n é realmente. particular isto prova O. a menos de. do modo. que n = ind. <2indM<. dim. M. M. satisfaz. a desigualdade..

(18) Definição 1.11].. Neste. caso, chama-se. Entao. M. '. . particular,. o. O. <. 2n=dim. M.. e somente se tem uma decomposição.. todos H. planos hiperbolicos.. com. 1. espaço hiperbolico se. um. hiperbólico se. é. no qual n > Em. M. . . espaço vetorial considerado M=. E. O E. *. —. e um. es. paço hiperbolico. O. indice. regular quadradico. de um espaço. M. invariante. é um. que. pode ser definido assim:. Definiçao 1.12.. Chama-se Indice de xíimais regularmente. Seja uma. forma. (da. vetorial,. K-espaço. algebra. Seja. de. M.. quadrática. munido de uma forma. e. T(M) a. Clifford). de. algebra tensorial.. do. espaço vetorial Me I. pelos elementos x & x - Q(x).l para todo x. gerado. em T. C(M). Fm.. € chamada A. De. de T(M).. um. singulares. bilinear associada.. Definição 1.13.. =. M. a dimensao comum de todos os subespaços ma. Q. algebra. álgebra. de. fato, seja. TP (M). Representamos por T,(M). Então TM) O. ideal I. &. Clifford da forma quadratica. Clifford. de. E M.. o. =. é uma. como a soma de. Q.. algebra graduada,. espaço dos elementos homogeneos de grau h TP (M). h par. é. = T (Mm. eT(M). =. o. TPM).. h impar. TM). gerado por elementos pertencentes a T,(M).. elementos de. ideal. Então a algebra. que T(M) tem uma base composta de elementos homogeneos, todo elemento de. ser escrito. o. IL. f. TT,. (M). e. INT (M.. Desde LI. pode.

(19) 10. Seja. Entao. C(M). e. diz-se. tambem que C(M) tem uma. estrutura. =. oO. de uma. e. c(M). âlgebra. - graduada,. Z2. repre-. sentando-se. CM). C (Mm. =. Lembremos que uma K-âlgebra. sao finita dada na forma C=C o elementos de. Os. C, e uma Cc,. C. (MM). Z7;- graduada se ela. &. tal queK=K.1LCC o C, 1. &. particular,. (Em. c(M =C. e. (MM). dimen-. é de. e que C.*C. 1 ). CC.1+]j.,. sub-algebra).. sao chamados pares e os elementos de C (M). são ímpares.. partir daqui,. Representaremos, a ço. vetorial. M,. por. C,. enquanto nao. existir. a. algebra. dúvidas sobre. o. de. Clifford. espaço. do. espa-. vetorial consi. derado. Definição 1.14. “Chama-se involução principal. o. automorfismo. linear. £ :. C. +. C. tal. que. Seja h. >. O.. e). =u. se. uEC +. e(uv). =-u. se. utêecC. A. aplicação. (XX) ee A... x e obviamente. multilinear.. de. Mx.... x. M. + TPM).

(20) 11. Portanto, existe &. :. uma. aplicaçao linear. Seja a” a aplicação linear de. al. h. claro. É. que (oo)? e. t=x então temos: T. a o que. prova que a”. (t. o t'). A. Xiii. sobre ele. T(M). ++. mesmo. estende. que. Ax 2... dx,. Ay,. 2, 2. a nte. (t'). &. à. T. (t),. anti-automorfismo de T(M).. E um. Este anti-automorfismo deixa os elementos de Tº. fixados; ele leva sobre eles Mas. E M.. X%,. em M,. dx, t'=7,8.... 28.... YR. SE. identidade.. Korn Ão YriIIR, estão. Se. que. [SN *) =x A... x,. T. o, (x,. todas as aplicações. tal. Tº(M) + TP (M). mesmos os. geradores. x. &. x. -. (M)=K. Q(x)*1 de. e. Ti MD. LI.. é o conjunto de todos os elementos que sao somas de produ. IL. tos da forma. t. A. (x. x. À. Isto implica. -. QCGIO.1). t',. &. —. C(M). >-. QT. , define. C(M), sendo C(M) =. jo quadrado. E. a. identidade;. T(M). Foo. E. E. TM,. xeEM.. que. a (1) Entao à. t,t'. com. =. ;. de uma maneira É. claro. que à. TIL,. natural &€. um. uma. NS linear aplicaçao as. anti-automorfismo de. chamado o anti-automorfismo. principal. C,. de C(M).. O. :. cu-.

(21) 12. Definição 1.15,. O. anti-automorfismo a:. +. C. chamado anti-automorfismo. Y. "Seja. uma. aplicação. ponhamos que CL. principal. 0)?. linear. =. x. para todo. x. E. M. é. de C.. a um homomorfismo. tão. =. (CO). de. M. numa. Q(x)*1 para x. =. estendido PV. que a(x). seguinte teorema fundamental:. Temos o. Teorema 1.16,. tal. C. |. de. C. em. algebra C' sobre Entao. E M.. C'.. Se. ?. K. Su. pode. (M) gera C',. ser en. C'.. Phova:. Seja C'. tal. algebra sobre KeY. uma. M>M'. CT. s.e.. que (CP. Seja um. :. homomorfismo q: De. d:. C. T. 0)?. =. fato,. tal. que Vín(x)). sabemos que. PY. =. Vx. (x). V. pode. aplicação. VxEM. QG0-1. a aplicação canônica T: T(M) >. > C'. C' uma. C. =. FO,. Então existe. EM.. ser estendido a.. um. homomorfismo. TM) > C'. Se x. E M,. então. (P6))) -Q(x)1=0... x. -. QCG) D. contém. LI. (núcleo de 1). Entao. d(x. &. =. ,. Isto mostra. que o nucleo da. À&. od. onde q:. tão,. C. + C'. E um. =wv. À. pode ser na forma. om. homomorfismo com a propriedade. temos. v(c) =. C'. exigida.. Se M'. gera C',. en-.

(22) 13. Agora construiremos uma algebra C'.. Seja. sera representada por. E =. algebra exterior sobre. a. AM. An.. Sabemos que, sendo. rivaçaão é de. AM. tal. x €. À. 6 E. E M,. bilinear B,:. uma forma. linear. funçao. uma. que ôº*x=AXA(x)*l para x. Existe para todo. na qual a multiplicação. M,. em M,. MXM+>*+K. Seja L,. que. BL. AM. tal. que.. (x,x). =. Q(x). o. =. B (X;y). EM. y. da multiplicação à esquerda por x. operador. u > x. L. aplicação linear ?. u. À. coloca-se. Entao do. tal. anti-de e sº = O,. M.. 8 "y E;. uma. homogenea de grau -]1. Representamos por ô. a anti-derivaçaão de. em. existe. espaço vetorial. x >. € uma. M> O dos endomorfismos. :. AM.. Mostraremos que vale:. (CF 09)? onde I é a. 11? =. =. QUO. aplicaçao identidade. De. fato:. =12+L 1? x x x Temos que. ô.. Lº. x. =. Ss?. x. Lu 6,. (x. =. 0. Au. Q(x)*u. -. 8. x. +68. x. L. x. +. 6º. (1). x. e. =. 8.. L "8,. X)AU-XA (8, u. u). =.

(23) 14. Portanto, L, ê,. L'2. 8, L,. +. que VíT(x)) =. L. para. x. (2). que. existe. |. que. :. -l1=0,sexEMe. considerado. como um. |. de. em. C. (£. M. temos o nucleo de V. suas imagens. com. subespaço de x”. igual. de. em. a zero.. Mem C.. Poderemos. pela aplicação 4. C. portanto. e. M. serã. C. Temos. Q(x)1. =. Aplicando (3) a x,y e x. -. Q(x+y). Oy. pois:. lex,. Segue que T induz um isomorfismo os elementos de. homomorfismo. x > L. e um isomorfismo de M,. Lclsexal+6 x x. identificar. um. E M.. Verifica-se. desde que 5,. e. Q(x)-I. =. Esta igualdade implica. tal. Q(x)*I. =. +. OyYX. +. Q(x). =. se. x EM. y (onde x,y. E M). - Q(y). =. (3). e usando o. obtemos. B(x,y). B(x,y)*1.. x,y. fato. E. (4). M. Enunciaremos as propriedades fundamentais da algebra de Clifford que. serão utilizadas posteriormente.. Proposíiçao 1.17. [8]. "Seja [x. +. ax) base. de M. Se. O. qUencia estritamente crescente de 1. e m,. seja. P(0). o. produto. K;. 1. =. (isoiii). inteiros. 0... X,. EM. h. 1. C.. 17º. e uma. se-. ...,.l, h entre. Então os. mentos P(o) formam uma base de C, que € de dimensao. ele-. 29,.

(24) 15. Proposição. 1.168.. [8]. "Seja. a notação de 1.16, se. sao. 2,. >. Proposição 1.19. [8] "Seja por. N. entao. m. |V. .-é. K -. =. 2". =. leemM. espaço. dim .M,. é um. de. AM,. isomorfa à algebra de Clifford da restrição de. du). =. M.. V1:C. >. aplicação linear. linear,. isomorfiísmo. de C(M) em. MM. desde. e. que coincide com a. atraves de. O. Entretanto,. a. Q. uêc. para. espaço. o. C. considerando acima. Coloca-se. (&. Vu) (1). essa identificação depende da escolha =. “gerada. é. Geralmente, identificaremos. vetorial. Então a subálgebra de. um. 8 € uma 8. C'.". com. C. dimen-. N. .. C(M). . de isomorfismo. subespaço de. e C' é de. gera C'. .. um. Retornamos ao homomorfismo. Entao. V(M). vetorial basico bilinear. identidade de C(M). tal. B,. que. BB. em. com o. considerar,. devemos sempre. de uma forma. dim. que,. que. (x,x). =. Q(x).. Portanto C(M). =. (de espaços. MM. Finalmente, enunciaremos. um. vetoriais). teorema de maior importancia, que de. termina a estrutura da algebra de Clifford para espaços vetoriais de. dimensao. par. Teorema 1.21.. [8] "Seja. M. espaço vetorial de dimensao 2r e. um. tao a algebra de Clifford. ples.. Além. disso, se. Q. C. é de. de. Q. Indce. é uma. de posto m. En-. central. algebra. r, entao. . gebra de todas as matrizes de ordem. Q. 2 r com. sim-. C é isomorfa a. al-. os coeficiente. K".. :. em. Apliquemos os resultados obtidos, na determinação da algebra de. Clifford. do. espaço M=. tica canonica.. E 6 E. *. definido anteriormente,. em. o. relaçao. a forma quadra.

(25) 1 16. A. a. algebra. para. Cy =. z E M).. algebra. O,. Clifford. de. I. onde. [(x+y'). =. Ss. o. 2...+. A. :. xX.y' +. à forma. Guy!) M. que implica que. +. z. -. Q(z). *-. 1. *. j. GO]. 1. C,. y'x=<x,y'>1, x€E,y'€EE. fica:. EE, y'. x. :. x*y'. &. :. subespaço de. ='. y'x+. S=(2z2. Q, É. xE€EE,y'6E). y'(X)1. como. quadrática. escrito. pode ser. S. Então, considerando-se. K. relação. em. M. ideal gerado pelo conjunto. é o. z=x+y'EM,. Se. de. C. E E. *. *. (5). pois:. considerando-se que. |. Q(E) =. Se. Iyis+. cc aNn). de. E, &*. e. *. Q(E). =O0.. considerarmos a base de E. vale:. [xpesK. e. .àa. base. dual. .. “*:. que € a tábua da. O. ' + fox. = <x.,ylD Jy; “:. “9;. $;. multiplicação. da. algebra. 6. +. 1. =. Ô,,+1. ij. 6 (6).

(26) 17. bilinear associada. Lembramos que a forma. B[(x,x'), (y,y')]. =. [G'O). B [(x,x"), (y,y')]. =. =. +. à. Q. é dada por. y' O]. ou. aos subespaços. conclui-se. E. que as algebras de. Em. . . das restriçoes Clifford To. equivalente. a. xXx. Além. 2º,. dem. rema. =. 2n e com. Q. de. disso,. indice n,. coeficientes. E. e a. *. z. E,. .. sao. iso -.. e E.. (E). -=. e. NM. Cc. (E”). = ÀE. *. e. 2. =xAax=0O. 12. t. =sxXx''AX .. VxEE. :. Vx ' EE. =O. t. *. importante destacar que, sendo a dimensão do espa. Cy é. isomorfa. em K e € uma. à. algebra. âalgebra. de todas as matrizes de. central simples(aplicando-se. or-. o Teo. 1,21). A. seguir,. daremos a. estã intimamente relacionada Seja ço. E. Qa. de. afirmar, x. ço par. y' CJ]. simbolos, C. E. +. e,. CJ.. que. 7). Considerando-se que a restriçao da forma quadratica canonicaQ, & . . e E de M, e- igual a forma nula, isto -. . de morfas =as algebras exteriores. o. [x'. vetorial.. K um. com a. definição. e. propriedades. algebra de Clifford:. corpo comutativo de. de uma. é a chamada. caracteristica nula. e. algebra. que. Álgebra. de. M. um. K-espa.

(27) 18. Definição 1.22.. Uma. bilinear. forma. f(x,y). (a). Esta condição f(x,x). (b). (pois Deginiçao 1.23.. A. somente se. x,y EM. equivalente a: =. x EM. O. característica nula). tem. K. anti-simêtrica see. Mx M+>KêE. -f(y,x). =. é. £f:. Algebra de Weyl de. um. vetorial. espaço. quociente da algebra tensorial. T(M). M, Co. e. (M,f). pelo ideal. a. álgebra. bilateral. gerado. pelos elementos.. zEw-wA8Ez- f(z,w) onde f. uma. €&. bilinear anti-simetrica.. forma. as da algebra de Weyl; por exemplo toda forma. B(a,b) - B(b,a). rial. f(a,b). =. se a,b. E M,. Pode-se definir Seja bre. uma. forma. F uma M. sobre. algebra simétrica. a. tal. M. que. SM.. algebra. A. da algebra. de. tensorial. de "ordem" maximal so-. Clifford simplética T(M). pelo ideal. e. a. Pbilate-. gerado pelos elementos. Notação:. mo. B. isomorfismo Jg do espaço veto-. bilinear anti-simetrica. zAw-wlzA. um. bilinear. analogia. extensao desta algebra.. (forma simpletica).. algebra quociente. ral. determina. vetorial subjacente. CL(M,f) sobre o espaço. Definição 1.24.. E M. das propriedades das algebras de Clifford tem. Muitas com. z,w. CL. algebra. (propriedade universal).. F(z,w). z,w. E M. (M,F). C&. (M, E). e. associativa. e é. Unica a menos de isomorfis-.

(28) 19. Teorema 1.25.. [12]. "Seja. A. near. algebra associativa sobre. uma. de Mem. u(x). então existe. Teorema 1.26.. [12]. u=uo. Pr:. T(M) >. "A. algebra. pr,. *. u(x). aplicação 1i. x,. F(x,y). =. homomorfismo u e um so de. um. uma. que. uy) - u(y). *. que. tal. A. eu. K,. e. onde pr,. E M;. (M,F) em. CL. tal. canonica. aplicação. a. A. eSM,FI”.. CL. (M,F) e linearmente isomorfa à. algebra simétri-. ca SM". !. Retomamos o espaço. vetorial. M=. E. E. G. *. definido anteriormen. ,. te. Seja. F:. MXM+>Ka forma bilinear anti-simetrica F(z,w). =. F((x,x'), ((X,y')). Entao, a multiplicação de. z'w-wz Gerx'). =. CL. (M,F) e dada por. F(z,w). (y+y')- ty) (x+x'). =. - [y' x) -x' (3)] z,w. E M. [y'GO-x'Q)) 1. x,y€6E,. x',y' eF”. ou. xy. +xX'y-y x! - y'x. Fazendo z. =. xE€. D' Go-x' (3)). =. E, a igualdade (7). 1. fica:. : EE, y' EE :. x Se. y'-y'x=[27'Co]1. fx.) 1<i<n ;. =. e. base de. E. e. x. 3) 1<j<n 1,. (7). |. a base dual de. :. (8) *. E,. ter. mos:. x. y!. -. y!x. =. 6,..l. (9).

(29) 20. algebra. A. definida por estas igualdades constitui. (M, £). a. al-. é. iso. — CF. gebra Ly definida por Schemberg. importante. É. ressaltar. morfa à algebra simétrica sobre. de. M E. E. e a. que a. Em. CL(M,F). CL(M,F). restrita. algebra. isomorfa à algebra simetrica sobre simbolos, na algebra. CH. E. subespaço E*. vale:. (M,F). Vx,y. x'y'. y. Portanto, usando. ao. a. E.. xy=yX y'x'. =. restrita. algebra. E E. x' 3y'. e. E. *. a notação de Schemberg [29]; concluímos que as. algebras G, e L, sao extensoes das algebras exterior. simetrica. e. de. vetores con-. travariantes.. definiçao. Usando a. que. det. espaço. M. M. =. em. -1. (em. planos. e. observando-se. relação à forma bilinear. B), analisaremos a decomposiçao hiperbolicos. (det M=-1 sen = dim E e impar).. Teorema 1.27. /13]"Seja (M,B) ou. hiperbólico. de plano. um. espaço. vetorial. munido de uma forma. anti-simétrica nao-degenerada. de M, de base dada. singular. Se. é um. S. (x) 1<i<r. ;. existe. totalmente singular,. de mesma dimensão que. (x) j 1<i<r. que:. de S'. tais. espaço. S,. B. simetrica. totalmente. sub-espaço S'. um. e. j,. uma. l<j<r, *; e x: formam uma base plano regular 4. (plano hiperbolico) e B(x;,x:) = ll se 1). O. se. i. É. Para cada. do. base. de. um. i=sj,. j.. 2). A. soma. S +. S'. E. direta,. direta ortogonal. (M,B), soma. ses=mn. decomposição. |mn,. e é um. dos planos H; (planos. | .... |. dita hiperbolica. sub-espaço regular de. de. S O. HE,. S'. ". hiperbolicos):.

(30) 21. Proposição 1.26. [13] "Seja. unespaço vetorial de dimensão 2n munido de. (M,B). bilinear B, simétrica. ma. anti-simétrica,. ou. ja aplicação linear associada e. representada p, <x,P(y)>. sub-espaço. (x) l<i<n. S. totalmente singular. S. restriçao. e possui uma base .. de. B. à. S. x. M. S'. à. Oi) 1<jeon tal. que. N. =. 1. S' se identificando ao. sobre. NÓ,. existe. de dimensao n, onde. 0). (S. S. de. Suponhamos que. é dada; todo outro espaço totalmente. dimensao n, suplementar de. dual de. B(x,y).. =. não degenerada, cu-. direita, bijeção. à. for. uma. um. base. uma. singular S',. de. identificado S..5. =. 1. B(x;.x:) "colchete". ao Aa. 1). de. duali. dade", No ma. espaço vetorial M=. E 8 E. temos a forma. B(x+x", y+y') B' A. restrição. Be. de. B' =. aã. B'. - que, Conclui-se entao, espaço E. E'. '. ser escrita. E. =. xE. *. (x,y') em M,. E. *. como a soma. GE'=H. a. afirmar. que. M. ser decomposto. E',. for. e a. em. soma. direta. um. E E. x',y' EE. <y,x'>. *. bilinear canonica.. <x,y'> pode. e. ser .identificado. direta ortogonal. |H,|.... é um espaço. Reciprocamente,. e. ”. x,y. 1. E. equivale. =. a forma. &. =. <y,x'>. +. <x,y'>. cos H:: (1<i<n). que. -simetrica. i a de dimensão . n, onde uma base e ( (x. 1<i<n. totalmente si singular. é E' pode. <x,y'>. =. (x+x', yty'). B(x,y'). o. B. anti-simetrica:. B'. soma. *. dos. -. a um sub-. - dada. Sí. |. e. a. planos hiperboli. |,. hiperbolico.. espaço hiperbolico (M,Q) de dimensao 2n pode. de dois subespaços totalmente. de dimensão n, colocados em dualidade. singular maximais. pela forma bilinear. associada. E. a.

(31) 22. QÍM,Q). quadratico. e isomorfo ao espaço -Á. .. .. E O E. *. , munido +.. bilinear sime-. da forma. .. .. —-. e. trica B(x. x',. +. Teorema 1.29. 13] "Seja (M,Q). y!). +. y. =. <x,y'>. +. <y,Xx'>.. espaço quadratico sobre. um. corpo ordenado. Todos. um. estritamente positivos maximais. os subespaços. dimen-. tem mesma. sao p, todos os subespaços estritamente negativos maximais mesma. dimensao q.. inercia. O. |. de Q, que é de "posto". base ortogonal de. tes. M,. (z. =. LX. i. EM. e. à p,. de coeficientes. X.. estritamente negativo. é. igual. à. (x). =. +. (x)?. E. Q. O. o.. com. o. es. meo. (M,Q) é chamado. Ca) espaço. estritamente positiva, anti-euclidiano se Q. e de. o. corpo. Q. Indice. eucli&. es. (p;qg). eq>O.. Verifica-se . pseudo-euclidiano. qe. o. ortogonal".. PS x)” Gg). tritamente negativa, pseudo-euclidiano se >?. uma. base ortogonal conveniente:. em uma. espaço quadratico real regular. de. x: 1<i<n),. =. Q(x.). em. igual. diano se. co. i=1 é. números sao os mesmos para toda base. com p. (a) "x.. Z. estritamente positivo. Q0(2). Um. x. n. Indice. X.. Esta forma pode se escrever. Definiçao 1.30.. a.. ptq. SeQ(2)=. o. coeficientes. número de número. par de inteiros (p,q) é chamado. tem. que o espaço M=. “. indice «. de. E. - . igual inercia o. ”. 8. E. *. sobre. a (n,nm).. RR. e- um. espa-.

(32) CAPÍTULO. GRUPO. II. CLIFFORD. DE. ja utilizadas anterior. Neste capítulo sao validas as notaçoes mente. Q. dimensao. ela. m. sobre. um. corpo K,. é não degenerada;. Deginiçao 2.1.. C. B. é a forma. algebra. é a. quadrática sobre. a forma. representa. Chama-se grupo de. de. bilinear associada. Clifford. Clifford. de. de elementos inversiíveis s de x E Se s. de Me. rial. de. x:s > x(s). espaço vetorial. um. de. G. C. e. Q. G. a. e. Q. supoe-se que. grupo ortogonal de Q.. o. representa-se por. e. tal ques. de. M. x. ". EM. T,. o. grupo. para. todo. M.. E. e uma. |,. representa-se por. .xX(s). representação linear de. o. automorfismo. T, chamada a. linear x>sxs. representação vetor. [T.. Seja s. E. l.. Então temos, para x Q(s x. Isto implica. sb. =. (sxs ). vetorial x(I). gular z. Para. x. E M,. H um. 2. =. sx. so! 2. que x leva I' no grupo ortogonal. Teorema 2.72. [8] Se a dimensao do espaço. Seja. E M,. hiperplano. de. M. M. é. Zz. Q(x)*1l. de Q.. par, então. = G.. cujo conjugado contémum vetor não sin. define-se. TiX="Xx-. G. =. Qi)". B(x,2)*z..

(33) 24. é um endomorfismo de M, que. T, e é chamada a. Teorema. simetria. 2.5.. relaçao. em. "Se x. y +. -. ao grupo ortogonal G,. a H.. elemento não singular de. E um. aplicação. pertence. Ty, onde. T. entao. M,. simetria. é a. em. x. E T. relação. e x (x) ao. ea. hiperpla-. no conjugado de Kx".. Prova:. x "=. Q]. Seja x *. um. elemento não singular de. Então. M.. xê inversível,. e. XxX.. Temos xy + yx. xy x. xy x. B(x,y). =. .para. 1. y;y. EM,. +y=B(x,y)*x -l. —.. o. =. Rx) -l. B(x,y). *. xy. =. -Tºy. donde. x(x) .(y) onde. T E. simetria. à. relação. em. Segue que x Teorema 2.4.. um. .. Z. &. esta —. e xX(x) =. -T. .«. o. 2. . elementos, dim. conjunto de geradores. do. = 4 e. M. Q. e- de. indice2,Z +. *. UrNM). grupo [I".. Phova:. E Z. *. ,. no nucleo de x. -—. ao conjugado de K.x.. E. corpo com. Se s. que. Z. Z. € um. ni. e grupo multiplicativo dos elementos inversiveis do cen - Z 2%e o nucleo de C; entao de X e, exceto no caso que K e-. "Seja. tro. *. =. x(s) (x). = x. para x. €E. Me portanto. Z. *. c. 1, e. eo é. obvio.

(34) 25. Reciprocamente, se s mento de M, e s E€Z NT =. E. z”.. 1, x(s). =,. entao s comuta. com. todo ele. Excluímos o caso excepcional mencionado no enunciado. Toda operação de G pode ser escrita como um produto Ty---T, de simetrias em relação aos hiperplanos cujos conjugados contem vetores não singulares KppeisÃho Seja & a aplicação x > -x(x€M), e 54º o automorfismo de C que es. tende 7, Vale C'(u) = -u para u E Cc. Então, desde que €º = 1, temos O = ao X(Kjas aÃ) Se m é ímpar, então temos det T; +1, det tT=-l,e,se 0 EG), entao temos h = O (mod 2) e O = xx, ... x“): seo = x(s), s err, então s = =. 2). ... S. to, seja tão. Se. GI). *. Ze.. €. s,. com. m. : entao. par,. e uma. base de. |. &. pertence. xO)0,. grupo gerado por. T. | MeZ. *. Teorema 2.5. [8] "Todo s. tro. de. s é ou. E T. Ce. 2.6.. vetorial. M.. De. fa-. i%É5j. acima que todo s € [ pertence ao. pode ser escrito na forma zs', onde s estã no cen s' E um elemento de T que é par ou Iimpar.Seme par,. par ou impar. I''. +. grupo de elementos pares de. .o. [T.. pertence ao grupo G' gerado pelas simetrias em relação aos hiperplanos cujos conjugados contém vetores não singulares.. [8] Toda operação de. G. &. ço. N|. " 4. do mesmo modo que. Representa-se por Teorema. se. Ex er:. Então, segue. [. composta de vetores mutuamente ortogonais. En. M. " -y.. donde. ao grupo gerado por. -—. M= E 8 E , onde Retornemos ao espaço quadratico de dimensão n, com a forma quadratica canonica Q. . ” T eEntao gerado pelo conjunto K U (T N M) onde &*. TNMv= M,. =. (2 EM. t.q.. Q(2). $£. O). E. e- um K-espa-.

(35) 26. ou. M. =. [2. Portanto elemento s. E. [. E. também. xi.. +. 1<i<h Seja. ET. s. x(s). t.gq.. =. =. EG. uma. O. K.sp.oo. CG,. M. =. E. existe. simetria. a. <ZX:>. 2.6.,. s. k Ss. =. co. em. —-T. =. M. linear. automorfísmos. pode ser par ou impar.. dim. M. = 2n. é. existe. par,. ao. =. vetor 8.. (s 1 ...5s$S)z(sS h. B:E. XE >. K uma. forma. .... 1. s. h. 7). =. “Tha (z). e.... 2. 0eparaz€EM. es,. €. nao-singular. de M= E. G. =. G E. *. <x,k'>, (x,x'). bilinear. Para todo. x. E. E,. E MJ. temos. àa. em E. .. .. um. . de isomorfismo. y >. :. B(x,y). . . canônicamente associada a- B. :. Observemos que se. ue-. eh. Como. lineares t.q. Q(F(x,x')). * o linear euE>+E -ea aplicaçao. *. 0. - do grupo Determinemos as operaçoes. (F:M >. dim E ,. $+. xXx(s)=. o.. sz. .—-T. 1. relaçao. t.q.. uíx). =. x:>. vemos que:. i. Seja forma. *. o.. =. 1. que. EK:. k. Sh,. operação do grupo G.. x(s)(z). onde T.. to.. x'. e. aplicando-se [2.5] neste caso particular. onde. Aplicando se. tt... x$o. da forma. sã es. =x. <x,x'>%Lo). EM z=x+x'. z. Verifica-se um. t.q.. (x +x'!) EM. =. E. B E. sobre. nao-degenerada, E. * .. u e. injetora. e como dim. E =.

(36) 27. K-espaço. vetorial.. Chama-se. transposta. de uma. ta t u,. aplicaçao linear u:F. Seja Definição 2.7.. F um. a. Valem as. oe. ds. tt. aplicação linear u:E +>+E. *. > F, e. uy!) t,,. t.q.. represen. ' =7y7'o. uu.. propriedades:. (a) <u(x), y'>. =. <x,. fng')>. Fe v=F>H(HêE t (vo = t uo t v. (b) Se uiE >. x. 6E,y'EF. vetorial). K-espaço. um. *. ww. (0). Co). =4u. (d) Se u:E +. .. .. 1somorfismo, entao. F um. -—. tt. e-. JA. n&. u:F >. E. .. umiso. morfismo, e. Deginiçao 2.8,.. Seja u:E >. te. de u (ou. a. transposta. mo. isomorfismo; chama-se isomorfismo contragradien. F um. =. .. aplicação .contragradiente e. .. o. =. <x<xX'">. temos v. (u) . 18sto. -. e,. ue-. o. +. (E!. : . v Po : - definido o. pela identidade u e entao isomorfismo. <u(x), úlx!)> e. vuU,. representa-se. . e” e isomorfismo reciproco de u (igual ao isomorfis+ . reciproco de t u), istoe,. do. Cet e. O. de u) e. . " isomorfismo contragradiente ;. =. de. U,. vvu.. x€E,x'. EE. A. (1).

(37) 28. Proposição 2.9,. Existe. um. de Me. troca (entre si). EeE. &. automorfismo F:M >. de. M,. que pertence ao grupo ortogonal. s.e. totalmente singulares. os. maxímais. WM.. Prova:. Seja. e nao-degenerada). (B. U:E*. (u e-. “E.. Podemos entao. (pode-se também escrever F(x,x'). E. ,. troca. B.. aplicação. a. F:M>. t.q.. M. (xx). (uG), Ux')). Ex),. =. Obviamente, F.é. =. a. e. definir. F(x,x'). - linear associada aplicação. a. . isomorfismo).. um. .. F. *. >Ke u:E>E. XE. BHJDE. linear. (1). EM. u(íx)).. e é um ísomorfismo.. totalmente singulares maximais. os subespaços. de M,. E. e. pois:. F(x). se x' EE. sz. Cc. F(x,0). =. (u(x),. =. 0). EE =>. F(E). =. E”;. N,. F(x') F €. =. F(0,x'). grupo ortogonal de Q(F(2)). =. pois se. M,. Q(F(x,x')). (Ux'),0) EE => F(E5 =E. =. z=(x,x'). <ú(x'), u(x)>. =. =. EM,. <x,x'>. =. Q(z). Conclui-se que: a mo. partir u:E >. de uma função E. * ,. bilinear :. ; e o isomorfismo. B:E x. >. E .. K. contragradiente. (não degenerada), temos v.. u:E. *. > E.. um. isomorfis.

(38) 29. Define-se então que conserva a forma. maximais. E. e E”,. quadratica. isto equivale. um. automorfismo de. troca entre sí. e. a afirmar que. Reciprocamente, dado. te singulares maximais operações de. deM, E e E. k. o. FE. M,. =. (U(x'),. s.e. totalmente. os G. F((x,x')). u(x)). singulares. (grupo ortogonal de Q).. grupo ortogonal. G. de Q, os. s.e. totalmen. —. sao permutados transitivamente entre. si por. G.. Então. FEG=>F(E)=E. *. *. ” u:E define-se entao. e. > E: isomorfismo e uma forma. ko. F(E) =E; (sime-. bilinear nao-degenerada —. i. trica). BEXE>K t.q. uloI(y)=B(x,y), B. é. simétrica se. E. E.. e somente se u =. Estabelece-se então. uma. correspondencia entre *. s.e. totalmente singulares E e E' (espaço vetorial de dimensao finita n munido de .. que trocam os. x,y. .. de Me os uma. forma. as operações. espaços. bilinear. de. G. - . quadraticos. E. B. e uma. forma. quadratica Q).. Teorema 2.10 [8] Sejam E e E'. s.e. totalmente singulares. de dimensão n.. Entao. existe s. ET t.q.. sEs. =. E'. Teorema 2.11 [8] Todos os subespaços totalmente singulares maximais tem a mesma dimensao e sao permutados transitivamente entre eles por operaçoes de. G,..

(39) 30. Portanto, existe. sET onde F. E. o. t.q.. x(s). =. E,. automorfismo da Proposição 2.9 e. x(s) (E). =. E”, x(s). (E) !. Quais são as outras aplicaçoes F:M >. M. m|. que pertencem a. G?. Seja". F (2) =. ta.. F:M>M. Az. z. E M.. Então se. z= (x,x'), temos Q(Ahz) = <Ax,. se e somente se. AxXx'>. =. Nx, x'>. <x,x'>. =. Mele=)=t1, Portanto ITe-L€E6G,.. Existem outros automorfismos de gonal. M,. que pertencem ao grupo. orto-. G.. Seja. u':E um. ,. . isomorfismo. -se definir. o. linear; .. a. >. transposta t. E. uvu'. -. &e. um. :. . de isomorfismo. isomorfismo contragradiente. Voe. (tn) = t:EtE * k*. E. *. sobre. E. e. pode-.

(40) 31. linear. e o automorfismo. tu.. F':M>M. Proposição 2.17. Alem da identidade, existe. F' (6X!). (WO), UGM)). =. automorfismo F':M >. um |. Qe leva Eem. ce ao grupo ortogonal de. e. E. E. *. M,. que. (ID). perten. em E .. Prova:. Verifica-se. 2,9,. como em. que. F':M>M t.q.. linear. ê um automorfismo. F'(x,xX'). VV;. t. '. F' leva os. isto. U'GX)). t <x,x'>. =. mostra que F' pertence ao grupo ortogonal. mesmos,. ('X),. de Me t u'(x!)> <u'(x),. e que. =. G. de. M.. :. s.e. totalmente singulares. maximais. e E. E. * s. neles. &€,. Se x. *. F'(E). = E. F'(x). =. F'(x,0). F'(x). =. F'(0,x'). e. F'(EÔ). =. E*. EE CM =. (u'(x),O0). E E. esex'E€EE cM.. Vimos que Em. existe s, s'. particular,. E. para x'. (0, vd'(x'). t.q. x(s). =. E E. A. .. Fe x(s'). =. F',. se. x e. E T. =. t. Fx). E,. =. u(x). =. s x. s =x(s) (x). Ee. E”. Tl O Vi =x(s)(x)EE EE, F(X')=ulxX)=sx's *. 1. (1).

(41) 32. Analogamente, se x. *. F'). u'(x. =. F'(x'). =. Ud. 1. e. 2), para. x. E. sxs*. =. ET. EE. t.q. e. (2). ,. =sx's EE.. (XxX). Observemos que se ss,» ss,. igualdades. 3s,s'. EEex' EE,. E. t.q. x(s,) (x). TT. =. x(s,) (x). (nas. E,. Ss.. Ss.. =. x 2 82X,. x. =. 52 x. x. =. (ss! s.) 1 2. x. (s,2 s.) 1. =. (s, s,). x. (s, s,). s7!. 1**1 XxX. 1. s.". “82. al. x. -. Portanto, T. Ss. Ss,. Ss e. portanto,. s,. 1. e. Ss. 2. diferem por. s, pertence :. =kEK um. x. ao centro d de. ou. =>s. ==. Ss,. EK. *. ==>. =s,=k.s " 2. escalar diferente. Pode-se interpretar. C. de zero.. estudar estas aplicaçoes ortogonais, atra. ves das representações.. Definição 2.13.. Chama-se representação do grupo grupo dos: automorfismos de. G. todo homomorfismo. espaço. um. vetorial. E, que. de. P E. O. G. no. espaço. da representação. Se E. uma. E. E. K-espaço. um. representaçao sobre. o. vetorial,. de dimensao. corpo K, de grau n.. finita n, diz-se. que P.

(42) 33. Definição 2.14,. Sejam. P. e P'. representações. de um grupo. destas representações. Diz-se te. um. isomorfismo J de. P'(s) Deginição 2.15.. Sejam. e P'. P. o. E. se existe. uma. forma. B(P(s) x,. e.P'. linear nao-degenerada. E. BB:. *. e- um. . isomorfismo. XE>Ke. E. álgebra. C, a. e E'. os. espaços. contragradientes, XE'. tal. tambem. que. E. de. E. e. x'. E', diz-se. E. relaçao. à forma B.. linear, determina-se .. .. uma. forma bi e.. reciprocamente.. Clifford. em. E. de E em. t.q.. Q, Co). relação. =. B, (x,*x) x. a forma. E. Re-. E. quadratica. Q,. xs. E;. Clifford,. Ses a. E. B(x,x'). =. em. e. Seja Q, a forma quadratica. X E. Ge. B nao-degenerada sobre. 6, xE. são contragradientes. SeuE>E. e Tg o seu grupo de. espaços. paratodo sEG. que P e P' são. P'(s)x'). quaisquer que sejam s. presenta-se por. os. que. de um grupo. bilinear. e E!. vale. que. P. tal. J=J3Jo.P(sS). destas representações. Diz-se. E. PeP'sao equivalentes seexis.. que. sobre E'. representações. Ge. € Tg:. seja. representação vetorial. de. Verifica-se. Xx(s). o. automorfismo. linear. x. * s. de. FT.. aplicaçao. que a. s.> t x(s ») —. é uma. representação. do grupo T,. <x, x'> sobre near canonica. E. X. contragradiente E. * .. à X(s) em. relação à forma. bili.

(43) 34. De. fato:. ix(s )O)). B(x(s) (x),. [x'. t x(s. ». o. x(s"7. =. x'(x). =. (3). =. <x,x'> =B(x,x') x6EE, x' EE. chama-se dual da representação x(s) e o espaço desta representação A. igualdade acima pode ser. <x(s) (x), o que. (x(s)(x)). [xs Dx] 0x6) co. =. <x,x'>. s ET. (4). mostra que a aplicação. pertence. ao grupo. preserva. os. ortogonal. tg Fix). G. de. Q. e. '. E e E. e considerando-se o isomorfismo. = E e. maximais de. *. F' (E). MM.. ,. isto e,. =. se. P e. uo. para todo s. Xx(s). fx(s. sao. finita). Resulta presentação P. de grau. e B:E x. E'. uma. um. grupo. é de grau. finito,. GG,. E. e. bilinear. forma. E. equiva. de P.. que todas as. finito. do. si.. nao-degenerada, conclui-se que: se P' € contragradiente à P, entao P'. representação dual. (5). € Tr. representações. P' são representações de. E' espaços de suas representações (de dim. à. EF". u, vale. de (3) e (5) que x(s) e. geral,. *. -. —. grupo Teo que são equivalentes e contragradientes entre De modo. = E. são os espaços das representaçoes x(s) e ty(s Ly,. *. fçs ou Resulta. ds) GC), x(s DG). =. vale F"(E). s.e. totalmente singulares Vimos que. se. E”.. escrita. x(s (x')> -. FMM. lente. &€. representações contrágradientes. sao equivalentes entre. a dual da dual de. si;. a. uma. re. alem do mais, e claro que,. Pê equivalente. à P..

(44) 35. Entao, para que duas representaçoes de grau G. te. sejam contragradientes, é necessario e à dual da. suficiente. finito. de um grupo. seja equivalen-. que cada uma. outra. finalmente,. Observemos. produto cartesiano de x(s) e. f(s. ca a F'!) é contragradiente a. ela. *. —-. que a. Ly, do espaço. vetorial o. relaçao. mesma em. B (G+Xx', y+y')) De. representação. E x E. *. x(s). *. (que se. tvs"), identifi e.. .º. .. a B,-. xyEE, x',y', EE. X'G)+y'X). =. =. À. fato:. B (A(s) (x B (x(s). x'),. +. (3x) +. A(s)(y +7y'). x(s O),. x(s). =. 5). +. x(s 5). Ee)+ xs 6) R(s) Co) x' ox(s I(s))) y'ox(s IG(s)(X)] tx(s DEI. +. x'(y) +y'(x) .. Teorema 72.16.. "Se dim M=. WOe Se K nao. m >. de. = B. O, o. (x+x',. grupo x(F. e caracteristica ... çoes de determinante. y+y'!) +. ). ” e um. x,y. x',y'. E. EC. o. EE. . + subgrupo de indice +,. = 2, entao x(Ff ) e. —. o. 2. de G.. grupo de opera-. 1 em GC".. Phova Desde que mento impar de T, donde Se , : imediatamente que. é. m +.. xX(F ). T. m > É. O,. M. contém. um. r.. par, então o centro - de indice PS 2 e- entao. vetor não singular x;. de ey e em. GC.. K.l,. que. estã. em. x é. Cc,. um. elesegue.

(45) 36. Se. m. é impar, então o centro de Cy contem. vel ímpar; este elemento está. em. T. mas. não. Tr,. em. Então segue de [2.5] que todo elemento de. rº,. elemento do centro de Cy por um elemento de o. grupo de operações de determinante O. inversíi-. elemento. um. T. é o produto. donde x(T) =. x(15. Este. de. um. grupo é. 1 em G.. determinante de todo elemento de Ge. ração de determinante - 1, por exemplo, a aplicação. x >. *. 1, e. -x.. G. contém uma ope-. x(1)E. Segue. de. indi. ce 2em6G.. Agora, suponhamos que. é par e que a. representavel na forma Cx er Ms facilmente que det x (x) =-l (1<i<h),. Todo s —-se. m. E T. é. IA. 1. -1, se. ou. EK, x. ET. E. É. 2.. (1<i<h)eve-. NM. donde. (-1)».. det x(s).. - det x(s) eEntao,. característica deKe. s. E. +. ou nao,. o. completa. que. :. a. prova do teorema,. Ogrupo r* chama-se grupo. x(T) sera. chamado grupo. Teorema 2.17.(8] Se. m E. especial. >. O, o. grupo. Clifford. de Q (ou grupo de. especial ortogonal par. de. ra gerado pelos. mentos nao singulares de. de Q;. o. grupo. rotações).. produtos de dois ele-. M.. Conclui-se que: (A) As. operações F. de. G. que trocam os. s.e. totalmente singulares. de. M. são "equivalentes" à aplicaçao F.. o. "=. F (mod. uU). u. isomorfismo de. E em E. “det x(s). maximais. *. eses&6T t.q. x(s). =. -1. UU. EetkE. F., entao.

(46) = 37. s.e. totalmente singulares. operações F: de G que conservam os. (B) As. eE. * =. Fi. de. M. VV. Dino. .º. F' (mod tu!). isomorfismo.de. UU. VV. e.. Obtemos entao uma. grupo de Clifford. do. çoes de. enE. E. ET. e se s. t.q. x(s). MM?. eG. t.q.. F. (E). T=(s t.q. det x(s). Podemos. .partição. =. =E. e F.. -1). U. (E). do. grupo. G. que corresponde a uma. (s. uitriec t.q.. =E). t.q. det x(s). reflexões. RA. 5) ein?. lação à base. dt. vo. M(ú). (“A). 1. =. seguínte. do. modo:. Et,. Se. (A. 7”. K. Então, a matriz de F'. em. 1), que e-. relação. . matriz. a. a uma base (Kj-. dada por:. M(F'). =. 2n. det M(F'). =. det. A. * .det “A. =. det A. det. A. “=. (de ordem. M(u') é a matriz de u'. A =. 1.. xXx. 2n. em. re-. . contragradiente. de X.. e. rota-. Fi (E)=E e FIGE) =E"). quadradas inversiveis sobre. n) correspondem aos automorfismos u' de E.. é. e. par. 1). =. verificar esta afirmação. Sabemos que as matrizes. M. entao. Fi. = 1. que originam respectivamente as. T.,,. =. M.. G=1r.. de. E. são "equivalentes" a aplicaçao E'.. det x(s). tição. maximais. e. Xoo. Yi).

(47) 38. Analogamente, se B. bases. x) eim. *. de u:E + E , em. tal. = VV,= (”B) de E , entao M(u). 1. A matriz. . matriz. x. O) jam. de E e. e- a. = M(u). de F em. relação. o. à base CIPEERNC SOS. tl. -——. relaçao às. BB”.. AEREREN. AO). de. M. da por:. e det M(F) =. *1. (se. n é par ou Impar).. Vimos que. para. €. F. G,. existe. s E. T. (. Ty. tal. que Xx(s). =. Se. z= (x x') t. =. esez=xouz=x',. u:E >. E. ,. o. =. —. (u(x), u(x')). temos:. .. sx *. -l ' szs -l.=F()>s(X,xX')s. EM,. =. u(x). sx. e. Ss!. =. =. x(s. dx"). s. err. o. isomorfismo linear ja- definido. Se u(x). =. x(s) (3). u (x). =. x(s)] TG). 3). Então. F(x,x). =. (uG), D&)=OCG6)CI,. xls DG)). xE6E,. x'. EE. F.. é da.

(48) 39. o que. implica que ><. n>. Em. É. "5. são representações do grupo Ty sobre o espaço Analogamente, se u é. >. mH|. E. vetorial. M,. linear. automorfismo. um. de E, e F':M*>NM. o. automorfismo definido anteriormente, vale:. =zsEer M t.q.. x(s). F'. =. Se. '. (x,x'). z =. x(s)(2) =F' (2) =>. EM;. s(x,x')s. |. =. 28 =F'(0);. s. (ulx), U(X')). esez=xouz*=x'", fica:. sxs “= Neste caso, ,. —. representaçoes. do. grupo. direta,. u:E > que. -. linear. mos:. tt,. =. dx"). v.*t x(s - )=u:E 1. estas aplicaçoes. Ss. aa. *+E. ET,. x. são representa-. ser consideradas. podem -—.. texto. o. de Bourbaki [4] sobre. E. GO. E. x. eN. um. E. aplicações. igual. F. e uma à Fr. particular,. vetorial; qualquer. e E. *. ).. lineares. so- de Mem. :. *. 2 .. º. K-espaço. lineares FIE aplicaçoes. Em. e. E. sx' 8!. temos:. . = Proposição 2.16. Seja M=. e. e. (e os espaços das representaçoes sao. Tg. Aplicando-se de uma soma. =. verificar. ção do grupo Tv e pode-se como. xX(s). ,. u(x). que sejam as. NeFox:E >N, existe uma aplicaçao N ... de F a E (ou -a E E ) t.q. a restriçao. >. .. -—-. (respectivamente Fã*). se F:M> Me dada por F(x,x'). =. (u(x), ú(x')),. te.

(49) 40. F(z2). =. F(h,(2). =. F(hy(2)). = F. =. E. onde F, = u:E >. e Eça. E. componente de z em E (em. E. U:E” o E e *. Oh a(2)). +. ,(hi(2)). +. valor. u(x). +. U(x'). ).. uiE>Ee. de. de F para todo z. M. Fr x. U:E. =. e determinado. '. &*. *. SE. conhecimento. pelo. Reciprocamente, conhecendo-se as aplicaçoes lineares. eFx= E. a. de F a E (e à E”).. restriçoes. das. =. hr(z) (respectivamente h,*(z) representa. Analogamente, vale para Fr = O. =. F pa(hy*(2)). pa(x'). + F. Fç/(x). z EM. hrx(2)). +. V:E” > M, determina-se uma Unica. aplicação F:M>. FL =U:E>+M. M.. Por outro lado, se considerarmos as aplicaçoes lineares. au,:E. *. E>E&8SE. ". &. :. esezEELEOE, representa-se k, (2) de. a componente de z em E-e. k,(z). a componente. *. zemE, Dada. *. F:M—-—E. O. E,. F=u, 1. +. k,. o. u1. tk ou. 1. uy. e. *x. +>E6OE. 1. =. Us vale: e. u,"=k. ou. +tk ou,. entao: F(z) =k,. onde as. o. u, (z). k, o u,(z). +. +. k, o u,(z). +. k, o u,(z). aplicaçoes lineares sao definidas KkK.. u,. 1 o. k, ky. 1. :. E. E. E>E. ou * ou,:E * :. >. >. ES. E. |. o. k, ou,. Verifíca-se. uy=ueu, = o. que as. :. E. + E. *. aplicaçoes lineares definidas acimas. geram todas as operações do grupo. G.. (t.q..

(50) = 41. eE. E. mais de. = o . . nao sao os -unicos subespaços totalmente singulares maxi-. fato:. De. M.. *. .. Seja 5,. ortogonal à. S,. ". um. subespaço regular de. =íy!EE .. o. FL. So. 1:. S,. subespaço. de. E. *. &E,. regular. 1. de. E. é um. fator direto. [A. '. —. Proposição. o. YxES,). /<xk6&y>=O. dd | e que dim (Ss, o 57) = dim E = n. . Conclui-se entao que. gular maximal,. ». |. Deduz-se que: todo subespaço. E = Ss,. seja Ss. e. relaçao à forma bilinear canonica, isto. em. Si. e. E. o. :. '. subespaço :. S,. so 1 de Me- totalmente sin-. 5. &. 1. relaçao à forma quadratica canonica.. em. Seja. E. =. Ss o Sa» uma decomposição de. E. como soma. direta. de subes-. paços. Entao. e os pares. sd,. Ss,. e. Ss. Ss,. são duais. em. relação. à forma. bilinear canonica.. Além. disso, as aplicaçoes injetoras induzidas. sao sobrejetoras e portanto,. Prova: Sejam T,:E. ciadas. com a soma. +=. E, e T,:E. o.. E, as projeçoes canonicas asso-. direta.. Seja x'. E E. *. ,. é define-se xo. x) (x). =. x' (Tx). x” por. e. x (x). =. x' (Tx).

(51) 42. si. Segue que x: e. 1,2) e x' ”. =. x. +. x”. Portanto,. Para mostrar que a decomposição e direta, suponhamos que x. U. &€. 1. x'(x) e. portanto x'(x). =. O. xE. para todo. -. L. E ntao. Ss n 57 .. =. x €. O. Entao x'. E.. =. Ss O. x. E. S,. di-. e assim a decomposição e. reta. Proposiçao. 2. - Seja. tal. se. E um. subespaço. seja. e. *. se. E. *. subespaço dual de E,. o. que x 11. *. Então E. =. S,. o ( s*7). 1. O. :. e. E =s"eos' | ia. (2). 1. Prova: Temos. (5,. te. +55, ). tl. o SsSl n (Ss, ). donde. E=0"=[8+. (SI. S7 n. =. Ss. *. Ss. +s!. o. (3).

(52) = 43. |. Ss. o que. junto. com. Ns 1. *. S1. (2) segue da Proposição. anterior.. linear :. u:E. *. ". <.. e. y.*t ? E, podemos u:E escrever:. &. e<. —t sles!t=zs es. ——º&s 1 es!1. 95, 2. 1. E. ?*. o. e<. s,. segue que. To. Mm. E =. e S, sao. direta.. (3) prova que à soma é. . Dado o .isomorfismo. o.duais,. É. Por outro lado, desde que. 2. 1. =. 1. =. 2. Reciprocamente, dadas as aplicações: . —5,l ujt5,. . u,:5,. que. caracterizam. a. dualidade, obteêm-se u:E +. ". —=—. S7. uma. aplicaçao linear. E *. Analogamente, temos:. E. *. =. *. Ss 6. *. 5,. 2 =. 57 o S7. (41,1). ———. Í. Vv. 5.. :. 8. s7. 1,1,) =——=—-—=. 5s 8. 5,. = E. E”.

(53) 44. entre si'os subespaços totalmente singu-. e obtêm-se os isomorfismos que permutam. lares maximais. de. M.. disso, observemos que:. Alem. E— SE *. E. v. à forma quadrática. Q. (Q,3"). Portanto, decomposiçõoes. S,; s7. subespaço S,.-0S. o. acima. =. DE. EE. *. Sabemos que s7 e. near canonica e. V. es,. If. *. sao duais. e as. simetrica). E. em. *. relação à forma. singular maximal o So). em. bili-. relação. =mn.. as. aplicaçoes lineares que permutam entre si. os. Ss.. regular. M.. temos o caso em que. particular,. operações. u. *+E. de M, obtêm-se. dado qualquer subespaço. descritas. *. UuoUE. (= Tç* se. simetrica). E. Se u. <x,y'>), considerando dim(S,. = S—=E. As. (=. de M.e totalmente. rm. subespaços totalmente singulares maximais de Em. UouE->E. do. l. fol,. e. Ss. grupo G,. isto €,. os automorfismos de. M. que cón-. servam a forma quadrática, sao formados por pares de aplicações que permutam en-. tre. si. os subespaços totalmente singulares maximais de V. le. F. UU. 2. (u,ú) (4. o. u:E > U,. U. o. E. M,. por exemplo:. *.,isomorfismo . linear :. ú) ou F, = (u,ú). e analogamente, determinam-se todos os automorfismos F:. u:B > E E. GC.. Conclui-se que os isomorfismos lineares acima geram. o. grupo. G,..

(54) III. CAPÍTULO RELAÇÕES. ENTRE. Vimos a z. E M,. rial. aplicação d:2. a. satisfaz. MM),. a. ALGEBRAS. AS. definição. > L. de. M. em. End. =. Q(z2)*I. Isto implica > Lº e um isomorfismo de. existe. que. um. z. EM. podemos. E M,. Cy com o. identificar. o. —. enquanto. 2. A. wWw. tal. a anti-derivaçaão. AM E. estende. que. que Q(z) =. "e. uv. em. AM. B. (2,2). pa-. da algebra de Clifford. de M,. tal. zAwW+Ôô *wW. que. z,w. 1. 6 z*w(2,w) representa. que. [Observemos que se z,. representa seu produto. tal. vetorial subjacente. espaço. espaço vetorial basico da algebra exterior. 6: MM>. C. M. ZW = (L, + ô,) (w). onde. (1). |. homomorfismo V:C *. > End (AM). Dada uma forma bilinear B:M x M>K. ra z. dado. (endomorfismos de espaços veto-. = &. (AM). Clifford que:. de. relação 13º?. z. construção da algebra. e. EXTERIOR. CLIFFORD E ALGEBRA. DE. (2). E M. B. seu produto. E M,. em. C M. ,. MM] .. Pode-se escrever entao. z*w=z onde B, € a forma. bilinear associada i. i. :. ma. No. caso. quadratica canonica, Se. em. a. —. questão,. AWwW+B (z2,W). à Q.. E. z,w. (3). :. |. no qual. M=E. 6 E. *. e. Q(z)=<x,x'" "Pe. relaçao (3) se escreve: Zz=EXxX+x,. M. w=ey+y'. EM. —s. a. for-.

(55) 46. Gxtrx') 47!). Gex'). =. (47) +. A. +. mas:. x'*y'=x'. Ay'. x', y'. y€E, :. se. x,. pois: Cx). = AE. Se mos. xy exala ZroOQ) EE. fizermos. as igualdades;. xy'. x'y. zn. ,. (5), respectivamente. (4). e. = AE. Ceg*”,. *. yo. z = x + O'. (5). ez=0+x'. te-. (6.a). =xAXy'. +. <x,y'>. =x' Ay. +. B(G',y+y')). x. A. pode ser obtido, tomando-se Se tomarmos a. E. +. =x Ay7'+ B(X,yty')). =. o que. * em. 1. +. Entao (4) fica: Wy'. y' 60]. G') y7') 1. 1. e. +. exAy+XxXAy!ltxX'Ay+X'Ay'. Kºy + xy' +xe'y +xX'ey'. xy=xAy. 3 BG). (6.b). y + <y,Xx'>. a. forma. B. =. base CC) 1<i<n. '. 28,. '. de. E. +. e a. ' base dual 03). de. 1<43<n. temos =. x.. yi,. x:. =. y nx. x. y:. Alem. disso,. '. ev!. A. y:. '. t+. 1. ô;:2.. 1. (7.a) .. 5;. 1. (7.b). .. é importante observar que. (6.a). e (6.b). Se =. x,. ty, !. 29 =. 7%. tt, t. ex,. implicam.

(56) 47. entao |. t. =. to. w. < rs <. linear. isomorfismo. y7. Nx,. +. Bi. X,y,). (8.b). bilinear simetrica t.q. 0(y) (x) =B, (x,y) eo=u:E > E” capítulo anterior ou B, (x,y) => [0) (x) +0(x) (3).. onde B:EXE*>K e a forma & o. 1. NM. do. Retomamos a construção de uma. álgebra. Clifford,. de. feita. como. por Chevalley [8].. definir. Queremos. relação à. em. uma. uma. forma quadratica Q,. algebra de Clifford do K-espaço vetorial E, (associada à forma bilinear B,) e estabele-. cer relaçoes entre esta algebra e a algebra a forma. quadratica canonica. bra por Cx. diferente. restrição. que a. caracteristica. 5,. 1. de. AE. tal. que A. e. 1. em. M. relação. do. corpo. K. deve. ser. de 2.. Seja x' uma forma linear sobre E. ção. vetorial. K-espaço. definida anteriormente. Representaremos esta alge. Q,. e fazemos aqui a. C, do. sobre (0).. 6, ,(x). x'(x). =. operação 8.1. Temos. sê. =. O;. 1. para todo. homogenea. E. se. *. xo. Entao x €. existe. uma. E.. de grau -1; isto é, leva. x” são formas. lineares. então temos. e. aa,. anti-deriva h. h-1l. ÀE, em. ÀE,. escalares,. +68,. Se z. ção. linear $,:M, ?. =. x + O0(x) é um elemento de. End (AE) da. seguinte maneíra:. LiZ(y). =. Ly SO). " x Ay. +. + BB,. Mes.e.. M. definimos. =x ny+xX'(y)*l. C,y). el. a. aplica. (9).

(57) 48. x'(y) e-. onde B, (x,y) = O0(x)(y) =. bilinear simetrica. forma. uma. linear definida anteriormente. Então. cação. 8 'L,º y= 1x. * >. ea apli. temos:. Ay). 8. e C:E >+E. 1). tu. (8. yu. Q(2) *y. yu. Q(z) “Tg. Ay. x. L,. SO). =. (8,1. ()). =. Portanto:. 1. Desde que. + o. o. mr. 2. Aplicando-se te. um. homomorfismo Os. Teorema. 3.1,. de Cy. v.. em. Q,. 1. a. ÀE. de. ser estendido. Ly. em dE. *. e. ô,. a. * ,. z €. =. (11). 1.16, a igualdade (11) implica que exisestende. d-. no. algebra. de M, na. bilinear BE. onde. Ly. anti-derívaçao. SS. LY'. E. Té C,,. Ee. a. +. :. o. para. z. €. M e d, po. End (ÀE)".. em. algebra. sera representada: por. definir. endomorfismos. dos. >K, define-se una forma qua. x E. B, (x,x) para todo x. 0). *. a um homomorfismo Va de. que. (10). M. M. definida por (9). Então L'º = Q(z). de. que Q, x). y' EE. -. aplicação linear. Analogamente, podemos. MM,». z €. implica que. em End (AE) que. relação à forma quadratica Q,,. se z €. Ex. resultados acima sao reunidos. "Seja d,. tal. Q(z) .. o Teorema. Usando a forma. dratica. =. =. (10). = O,. L'z. x'. Cy. Clifford. de. NS de endomorfismo. ÃE. * :. 8 3") =x'Ay'+y'(X)*l. ads. *. E tal. que. dó eyToo=. y'(X). y. EE. E. +. (12). -&O operador y' > x' a y' da multiplicação de. de. oT. por. x.

(58) o e. (z. M, =. ,. E M. t.q.. z =. eco, 3" =xXUAY!. oo E 7"). tal. |. *. y' EE). Na. :. +. forma bilíinear simetrica. € uma. (o - 169,3),. B, (x'. y')*l. B,(x',y'). que. KAOS. |. x',y'. para. EE. onde. =y'(x)ex= o. x). A. xE. *>K. e. -1 ":E *E - . . . . - linear ss anteriormente. definida ea inversa da aplicaçao ,*. O. DA. B,:E. Então temos:. SL" y'. - (6x ' Jay. .. =. x'. =. Q(2)y'. Co). 8.. Desde. que LÊ.. 1º?. 22. [1.16],. a. *. :. xR'. A. 8. (y. o. =. ) =. =. 5,0). La. =. '. L' 8 (y). —. =. =. "Seja ds AE. *. Q(z) . Le *. (13). (13) implica que. O,. Q(2). Ext =. *. 1. “zZEM 2. E. (14). *. uma. (AE. *. ), aplicando-. de um homomorfismo. d,-. seguinte resultado:. Temos o. de. ô,. +. V, de Cx * em End (ÀE ) que estende. Teorema 3.2.. -. ay!). - linear aplicaçao d,:E + End igualdade (14) implica na existencia. entao. Temos. o Teorema. y'. 6 x'. Portanto:. Ly1. -se. A. 1. =. a. aplicação linear. de M, na. - 1,2 definida por (12). Entao. ds pode ser estendida a. um. algebra. =. Q(z). homomorfismo. ?,. dos. endomorfismos. *I,* para de. Cu End. z € M, e * (ÀE. ).".

(59) 50. bilinear. Usando a forma. drática. Q,. Clifford. tal. de E. *. que Q, (x). Se. *. xE +. define-se. K. *. e temos. quadráticas Q,. Notação:. E) *. Seja M=E6E, da forma quadratica canonica Vimos que. (*,y): para x,y. algebra. de CR *.. Q. existe. um. By. eB,, li-. isomorfismo. que. B,(T(X), T(7)). B,. -—. bilineares. e Q, associadas às formas. tal. near TIE, > E,. =. a. forma qua-. sera- representada por. A," que. dizemos que eles sao isometricos se existe. do. ,. uma. E, sao espaços vetoriais munidos, respectivamente, de for. E,. mas. *. B,(x',x') para todo x' EE. -— moa forma quadratica relaçao. em. Definição 3.3.. B,:E. =. =. B, (x,y). E. E,. (E7;Q,). o. kK-espaço. e. a forma. vetorial, objeto deste estudo, ;. bilinear associada. isomorfismo. um. x,y. para todo. linear. Oo:E. >. muni. B,E. *. talque. o0(x)(y). E.. €. Definimos a aplicaçao. -O:E>E o(x) e. representamos. M,. 1. =. E um. subespaço de. M. =. *. tal. (x,0(x)). O(E), a imagem de M. Mx. =. GE. E. n,. x EE. pela aplicação. T(x,0(x)) EM. de dimensão. que. t.q.. O.. x E E). que é isomorfo à E,. atraves da aplicação. O..

(60) = ol. Alêm. B. disso, vale:. (0 (x) 0 (y)). = B. ((x;X'),(37,7')). =. 3. 6) +00). =. a. =. [0(x) (y). =. [B, (x,y) +B, (y,x)|= B. Portanto, os espaços (E,Q,) forma quadrática associada a B,Analogamente, define-se. O':. =!. ES. o'(x'). |. e. representa-se. M, =. >. e um. subespaço de. =. DI. (o. =. (x,y)'. x,y EE. (MO) são isometricos onde. Q, e. linear:. Es. tal. |. le. t “(x'), x'). x' '. que. E E. 0'(E ).. M, é. Mx,. 1. e. o(y)(x)). +. isomorfismo. um. >E6GE. E. =. M. (o GO),y) em. . de dimensão. n,. que. =.isomorfo. &. -à. E“. y'€. t.q.. -. . - da aplicaçao atraves. 2%. E ,. Então vale:. B (9'. x), (3!)). B(C,x'),9,7)). + GQ. =. +). = [By +B,0,x)] x. ,y ot. E6GE. *. =. BUG).. O.

(61) 52. Portanto, os espaços €. isometricos,. e (M,,Q) sao. onde Q,. a forma quadratica associada a B,-. (E. E“,Q,). Além. ,Q,). disso, conclui-se. atraves. sao isomêtricos,. linear. isomorfismo. do. B,. (0x), o(y)). B,(x'. y'(x) y €. E, O(y). =. y'. e. E”.. y'). =. 0(y)(x). =. =. B,(,y). o X).. decompomos o espaço M, munido da forma. dois espaços quadraáticos, (E,Q,). em. Q. x=. e. Portanto, nonica. O:E >. (E,Q,). fato:. De. para x,. quadraticos. que os espaços. (EQ),. e. quadratica ca-. que sao isomeétricos en. tre sí. Ja definimos. algebra. a. de. Clifford. do. espaço. Podemos tambem forma quadratica, que representamos por C,. M. Clifford algebra. do. espaço . Clifford. de. E em. relaçao à forma quadratica. vetorial .. do espaço. E. *. Q,». M,. definir. em. relação. à. a. algebra. de. representada por. e. C,. a. |. em. —. relaçao. eo. a forma. -—. quadratica. Q,». que. será representada CR. ..—.. Consideremos agora a algebra E em. relação. à forma. =. Xy +. x. de. Clifford. do. espaço. 1. Q, (x). yx = B, (x,y). 1. E+KeEea forma bilinear associada B, (x,y). ou. algebra. quadratica Q,; vale. x. onde B:E. Cx». B(x,y). =. =. x'(y). =. =. a Qo. x,y. t.q.. o0(X)(y) = <y,x'>. [<y,x'>. +. <x,y'>]. (23). E E. x'. E E.

(62) 53. Sejam x,y. E E. (5) 10i<n. e. n. x=. ax, 121. É. 1=1. base de E, n. bx j=l JIJ. y=. E. e a igualdade (23) se escreve n Z. i,jel. a.b.(x.x. 23. i). CM). 'e. so es;. n. ji. x.x.). n. '. (suponhamos que y. +. =. onde. ,. a.b.. 3. i,j=l 13. ;. B. “Mo. o Gi). Yy;. *1 (x.,x.) j. 1. a.,.,b. EK. Oi 1<jean. e. (24). 1º). 1º. e. abase. dual. de. 1<icn. entao (24) se escreve n EF. i,jel. n. a.c.(Xy. 13) 1º] +y.x)=. Ji. XZ. i,jel. a.c.B(X.,y.)*l 13 1 1º]. EK a.,c. 1 ). (25). e. B1(;3;). =. 1. x;. 7). vi (x). =. =. 7. 8;. (se 0. = =. Et. go. Portanto, +. XK.Yy.. ll. 7. YV.X.. Definição 3.4. Chama-se produto interior (à direita) de elemento x' posto. do. E AE. *. representa-se. e. ,. endomorfismo s. z'. '. >. x'. 1. AN. z'. 1. x. L. de. x', ÀE. * .. Vale: <x. L. x',2'>. =. <x,X'. À. elemento x. um. 2'>. o. E AE. valor parax. e um .. do. trans.