GA aula1

Geometria Analítica

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.1

Objetivos

1 Entender a denição de VETOR 2 Aprender a somar dois vetores

O que é um VETOR?

Antes de apresentar a denição de vetor, precisamos entender o que vem a ser uma relação de equivalência

Relação de equivalência

Considere um conjunto M e uma relação binária ∼ denida em M. Dizemos que a relação ∼ é uma relação de equivalência se ela satisfaz às três condições seguintes:

∼é reexiva: para todo x ∈ M, x ∼ x ∼é simétrica: se x ∼ y então y ∼ x

∼é transitiva: se x ∼ y e y ∼ z então x ∼ z

Uma relação de equivalência denida em um conjunto, particiona este conjunto em subconjuntos chamados classes de equivalência.

Isto signica que

M = M1∪ M2∪ ...

onde os conjuntos Mi são dois a dois disjuntos e dois elementos de M x e y pertencem a um

mesmo conjunto Mi se e somente se x ∼ y.

Antes de continuar

1 Dê exemplos de relações que são e que não são de equivalência

2 Especique o conjunto e como ele ca particionado pelas classes de equivalência de cada

Segmentos orientados

Considere o conjunto S formado pelos segmentos de reta no espaço que são orientados. Um segmento orientado pode ser representado por um par ordenado (A, B) onde A e B são pontos no espaço.

b

A

bB

O segmento orientado (A, A) é chamado segmento nulo. Seu comprimento é zero, ele não tem direção nem sentido.

O comprimento do segmento orientado (A, B) é a distância do ponto A ao ponto B. A direção do segmento orientado (A, B) é a direção da reta que passa por A e B. O sentido do segmento orientado (A, B) é do ponto A para o ponto B.

Os sentidos de dois segmentos orientados somente são comparáveis se estes segmentos são paralelos.

Equipolência

Denição

Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento,

mesma direção e mesmo sentido

Equipolência

Denição

Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento,

mesma direção e

Equipolência

Denição

Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento,

mesma direção e mesmo sentido

Equipolência

Denição

Os segmentos orientados (A, B) e (C, D) são equipolentes se eles têm mesmo comprimento,

mesma direção e mesmo sentido

Representaremos a relação de equipolência pelo símbolo ∼. Todos os segmentos orientados nulos são equipolentes.

Proposição

Equipolência é uma relação de equivalência

Para provar esta proposição é preciso mostrar que a relação de equipolência é reexiva, simétrica e transitiva. Faça isso como exercício e depois veja a demonstração

Conforme foi dito anteriormente, a relação de equipolência particiona o conjunto dos segmentos orientados S em conjuntos, as

CLASSES DE EQUIVALÊNCIA

Denição de Vetor

Denição

Um vetor é uma classe de equivalência da relação de equipolência de segmentos orientados no espaço.

Notação

Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,→v, ou um par de letras maiúsculas com uma seta AB→ . Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A, B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele.

O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor →v é denotado por k→vk O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por→O

Notação

Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,→v, ou um par de letras maiúsculas com uma seta AB→ . Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A, B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor→v é denotado por k→vk

O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por→O

Se (A, B) ∼ (C, D) entãoAB=→ CD→

Notação

Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,→v, ou um par de letras maiúsculas com uma seta AB→ . Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A, B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor→v é denotado por k→vk

O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por→O

Notação

Vetores são representados por uma letra minúscula com uma seta,→v, ou um par de letras maiúsculas com uma seta AB→ . Nesta última representação procuramos enfatizar que o segmento orientado (A, B) representa todos os segmentos orientados equipolentes a ele. O comprimento ou módulo ou ainda norma de um vetor→v é denotado por k→vk

O vetor nulo tem norma zero, não tem direção (ou tem todas as direções, depende do contexto) não tem sentido e é representado por→O

Se (A, B) ∼ (C, D) entãoAB=→ CD→

Vetores especiais

Se k→vk= 1dizemos que→v é um vetor unitário.

O vetor com mesmo comprimento que →v, com mesma direção que →v e com sentido contrário ao de →v é o vetor simétrico de →v, denotado por −→v. Note que se →v =AB→ então BA= −→ →v

Vetores especiais

Se k→vk= 1dizemos que→v é um vetor unitário.

O vetor com mesmo comprimento que →v, com mesma direção que →v e com sentido contrário ao de →v é o vetor simétrico de →v, denotado por −→v. Note que se →v =AB→ então BA= −→ →v

Operações com vetores

As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores

produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores

I Produto Interno I Produto Vetorial

Operações com vetores

As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores

produto de um vetor por um número (escalar)

produto de dois vetores

I Produto Interno I Produto Vetorial

Operações com vetores

As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores

produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores

I Produto Interno I Produto Vetorial

Operações com vetores

As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores

produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores

I Produto Interno

I Produto Vetorial

Operações com vetores

As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores

produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores

I Produto Interno I Produto Vetorial

Operações com vetores

As operações que usualmente fazemos com vetores são soma de dois vetores

produto de um vetor por um número (escalar) produto de dois vetores

I Produto Interno I Produto Vetorial

A seguir vamos entender o que signica somar dois vetores.

Soma de vetores

O resultado da soma dos vetores→u e →v é um vetor →w=→u +→v que será descrito por um segmento orientado que o representa.

Escolhemos um segmento orientado (A, B) que representa →u

→

u =AB→

e para representante de →v escolhemos o segmento orientado (B, C)

→

Soma de vetores

Denição

→

u +→v =AB +→ BC=→ AC→

Soma de vetores

Soma de vetores

Soma de vetores

Comentários sobre a soma de vetores

A escolha do representante do vetor→u (primeiro vetor) é arbitrária, esta escolha interfere na escolha do representante do vetor →v (segundo vetor).

As características do vetor soma (comprimento, direção e sentido) não dependem da escolha dos representantes dos vetores que estão sendo somados.

Comentários sobre a soma de vetores

A escolha do representante do vetor→u (primeiro vetor) é arbitrária, esta escolha interfere na escolha do representante do vetor →v (segundo vetor).

As características do vetor soma (comprimento, direção e sentido) não dependem da escolha dos representantes dos vetores que estão sendo somados.

Pense um pouco

1 O resultado da soma depende da ordem das parcelas?

2 Como somar 3 ou mais vetores?

Pense um pouco

1 O resultado da soma depende da ordem das parcelas?

b A bB bC b D →_u → v →_u → v

Pense um pouco

1 O resultado da soma depende da ordem das parcelas?

b A bB bC b D →_u → v → u + → v →_u → v

2 Como somar 3 ou mais vetores?

Pense um pouco

1 O resultado da soma depende da ordem das parcelas?

b A bB bC b D →_u → v → v + → u →_u → v → u +→v =AB +→ BC=→ AC→ → v +→u =AD +→ DC=→ AC→ Quais somas correspondem aos vetores BD→ eDB→ ?

Propriedades da soma de vetores

Proposição

A soma de vetores é

Comutativa: →u +→v =→v +→u

ssociativa: (→u +→v )+→w=→u +(→v +→w) xiste elemento neutro: →v +→O=→v xiste elemento inverso: →v +(−v) =→ →_O

Propriedades da soma de vetores

Proposição

A soma de vetores é

Comutativa: →u +→v =→v +→u

Associativa: (→u + →v )+→w=→u +(→v +→w)

xiste elemento neutro: →v +→O=→v xiste elemento inverso: →v +(−v) =→ →_O

Propriedades da soma de vetores

Proposição

A soma de vetores é

Comutativa: →u +→v =→v +→u

Associativa: (→u + →v )+→w=→u +(→v +→w) Existe elemento neutro: →v +→O=→v

xiste elemento inverso: →v +(−v) =→ →_O

Propriedades da soma de vetores

Proposição

A soma de vetores é

Comutativa: →u +→v =→v +→u

Associativa: (→u + →v )+→w=→u +(→v +→w) Existe elemento neutro: →v +→O=→v Existe elemento inverso: →v +(−v) =→ →_O

Exercícios

1 Mostre que se (A, B) ∼ (C, D) então (B, A) ∼ (D, C).

2 Mostre que se (A, B) ∼ (C, D) então (A, C) ∼ (B, D) nos casos em que A, B, C e D são

todos colineares e no caso em que não são.

3 Demonstre a associatividade da soma de vetores 4 Mostre que, para todo vetor →v, vale →v +O=→ →v

5 Mostre que, para todo vetor →v, vale →v +(−→v ) =→O

Equipolência é uma Relação de Equivalência

Demonstração

A relação de equipolência

É reexiva: (A, B) ∼ (A, B) pois todo segmento orientado tem mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido que ele mesmo.

É simétrica: Se (A, B) ∼ (C, D) então (C, D) ∼ (A, B) pois comparar comprimento, direção e sentido de segmentos orientados não requer uma ordem especíca.

É transitiva: Se (A, B) ∼ (C, D) e (C, D) ∼ (X, Y ) então (A, B) ∼ (X, Y ), isto deve ser claro.