Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica. Engenharia Electrotécnica e de Computadores

(1)

Aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia

eléctrica

João Tiago Abelho dos Santos Calheiros Andrade

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientadores: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira

Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

Júri

Presidente: Prof.ª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Orientador: Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

(2)

(3)

“O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.” –

(4)

(5)

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeço aos meus orientadores, professor Marcelino Ferreira e professora Célia de Jesus, pela ajuda e auxílio prestados durante a realização desta dissertação.

Obrigado também a todos os professores que ao longo da vida me foram dispensando os seus ensinamentos e cimentando os meus conhecimentos.

Igualmente agradeço aos meus amigos e colegas por todos estes anos de convívio e amizade que muito contribuiu para me trazer até aqui.

E por fim, o maior obrigado de todos aos meus pais e avós por toda a compreensão, apoio e força nos momentos mais difíceis. Sem vocês não teria sido possível.

(6)

Resumo

De um modo geral, esta dissertação surge no âmbito da análise de redes de energia eléctrica, bem como da tentativa de encontrar métodos alternativos para o cálculo de perdas na transmissão, após a ocorrência de perturbações.

Surge ainda com o objectivo de retomar o trabalho realizado na dissertação para obtenção do grau de Doutor “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e

Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” [5], realizada pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos

Cardoso de Jesus.

Uma vez que a definição da topologia de operação da rede pode significar um elevado número de possíveis configurações para a mesma, torna-se imperativo encontrar uma forma alternativa de saber quais as melhores soluções, sem envolver o cálculo de trânsitos de energia para todos os casos.

Desta forma, numa primeira fase, trata-se o conceito de rede adjunta e calculam-se as sensibilidades de perdas para quaisquer parâmetros da rede, com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. Posteriormente desenvolve-se uma fórmula exacta, continuando-se o estudo sobre a avaliação de perdas.

Finalmente, estuda-se a ideia de, reduzindo o esforço computacional e o espaço de observação da rede, obter resultados fiáveis para o cálculo de perdas, com base num modelo aproximado.

Todos os cálculos e resultados obtidos foram realizados com auxílio do MATLAB.

Palavras-chave

Redes de energia eléctrica, avaliação de perdas, redes adjuntas, Teorema de Tellegen, análise de sensibilidades

(7)

Abstract

In general, this dissertation appears in the ambit of the analysis of power networks, as well as the attempt of finding alternative methods for calculating the transmission losses after the occurrence of disturbances.

Another goal of this dissertation is to follow the study performed in the PhD dissertation “Aplicação

do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” [5], realized by the Prof. Dr. Célia Maria Santos Cardoso de Jesus.

Once the definition of the network operation topology can mean a large number of possible configurations, it becomes imperative to find an alternative way of knowing what the best solutions without involving the calculation of power flows to all cases.

This way, in a first stage, it is treated the concept of adjoint network and the loss sensitivities are calculated for any network parameters, based on the Tellegen’s Theorem and on the concept of adjoint networks. Posteriorly, it is developed a precise formula, continuing the study of the loss evaluation.

Finally, we study the idea of get reliable results for the calculation of losses, reducing the computational effort and the network’s observation space, based on an approximate model.

All the calculations and the obtained results were performed using MATLAB.

Key words

(8)

Índice

Agradecimentos ... v

Resumo ... vi

Abstract ... vii

Índice de Figuras ... x

Índice de Tabelas ... xii

Lista de Símbolos e Abreviaturas ... xiii

1. Introdução ... 1

1.1 Contexto e Motivação ... 2

1.2 Análise do problema e principais objectivos ... 4

1.3 Estrutura da Dissertação ... 5

2. Avaliação de perdas – Sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de

redes adjuntas ... 7

2.1 Introdução ... 8

2.2 Objectivos ... 8

2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades ... 9

2.2.2 Modelação da rede adjunta ... 9

2.3 Teorema de Tellegen ... 9

2.4 Representação simbólica da rede adjunta ... 10

2.5 Sensibilidades - Fórmulas ... 11 2.6 Modelação ... 12 2.6.1 Ramo ... 12 2.6.2 Ramo ... 12 2.6.3 Ramo ... 13 2.6.4 Ramo ... 13 2.6.5 Soma de Tellegen... 14 2.7 Exemplo ... 15

2.8 Considerações sobre o capítulo ... 21

3. Avaliação de perdas – Fórmula exacta ... 23

3.1 Introdução ... 24

3.2 Objectivos ... 25

3.3 Variações de tensão - equações exactas ... 25

3.4 Dedução da fórmula exacta ... 26

3.4.1 Ramo ... 27 3.4.2 Ramo ... 27 3.4.3 Ramo ... 28 3.3.4 Ramo ... 28 3.5 Fórmula exacta ... 29 3.6 Exemplo ... 30

3.6.1 Exemplo Fórmula Exacta ... 30

3.6.2 Comparação de resultados ... 33

(9)

4.1 Introdução ... 40

4.2 Objectivo ... 40

4.3 Trânsito de energia convencional VS Equações com base no Teorema de Tellegen . 41 4.4 Solução local para as novas equações ... 42

4.5 Exemplos ... 43

4.5.1 Testes e Resultados ... 44

5. Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado ... 55

5.1 Introdução ... 56

5.2 Objectivos ... 57

5.3 Modelo aproximado por solução local ... 57

5.3.1 Conceito ... 57

5.3.2 Procedimento ... 58

5.4 Modelos para comparação ... 59

5.4.1 Fórmula exacta ... 59

5.4.2 Avaliação por sensibilidades ... 59

5.5 Exemplos ... 60

6. Síntese final ... 65

6.1 Síntese ... 66

6.2 Continuidade do estudo ... 68

Bibliografia ... 69

Anexos... 71

1. Rede de 5 barramentos dos capítulos 2 e 3 ... 72

2. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (todos os ramos) ... 73

3. Rede de 10 barramentos dos capítulos 4 e 5 (versão com menos ramos) . 75

(10)

Índice de Figuras

Figura 2.1 - Representação simbólica dos elementos da rede adjunta ………... 10 Figura 2.2 – Representação do sistema de energia exemplo ………...…...………. 15 Figura 2.3 – Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2 ………... 15 Figura 2.4 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço

,

………... 18

Figura 2.5 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço

e

………... 19

Figura 2.6 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço

e

………... 20

Figura 3.1 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço

e

……….. 31

e

………... 32

e

………... 33

Figura 3.4 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço

e

……….... 34

e

………... 35

e

………... 36

Figura 4.1 – Rede de distribuição completa (10 barramentos) utilizada nos testes do Modelo

aproximado para avaliação de tensão ………... 43 Figura 4.2 – Rede de distribuição da figura 4.1 com perturbação (retirar ramo que liga os nós

7 e 9) ………... 44

(11)

Figura 4.4 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões, para diferentes níveis de carga nos barramentos ………... 45 Figura 4.5 – Valores de erro do modelo aproximado relativamente ao cálculo exacto das tensões com carga nominal nos barramentos ……….... 46 Figura 4.6 – Rede de distribuição derivada da rede da figura 4.1 (reduzido número de ligações entre os barramentos) ……….. 47 Figura 4.7 – Rede de distribuição da figura 4.5 com perturbações (retirar ramo entre os

barramentos 2 e 4 e ligar os barramentos 5 e 9) ………. 48 Figura 4.8 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos barramentos directamente perturbados – região curta ………... 49 Figura 4.9 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte real das tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada ……….. 50 Figura 4.10 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das tensões nos barramentos directamente perturbados – região curta ……….... 51 Figura 4.11 – Comparação entre modelo aproximado e exacto no cálculo da parte imaginária das tensões nos barramentos directamente perturbados e barramentos vizinhos – região alargada ….. 52 Figura 5.1 – Diagrama de procedimentos do modelo aproximado para avaliação de perdas em redes de distribuição ………. 58 Figura 5.2 – Perdas na rede da figura 4.1 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado para perdas ……….. 60 Figura 5.3 – Perdas na rede da figura 4.1 para diferentes % da carga nominal, calculadas pela fórmula exacta, por sensibilidades e pelo modelo aproximado ………. 61 Figura 5.4 – Perdas na rede da figura 4.6 considerando diferentes perturbações, calculadas pela fórmula exacta e pelo modelo aproximado ………... 63

(12)

Índice de Tabelas

Tabela 2.1 – Valores de tensão do sistema de energia

e da rede adjunta correspondente ̈

... 16

Tabela 2.2 – Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos diferentes parâmetros do mesmo ... 16

Anexos Tabela 1.1 – Dados dos ramos - rede de 5 barramentos ... 72

Tabela 1.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede de 5 barramentos ... 72

Tabela 2.1 – Dados dos ramos – rede completa de 10 barramentos ... 73

Tabela 2.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede completa de 10 barramentos ... 74

Tabela 3.1 – Dados dos ramos – rede de 10 barramentos (versão com menos ramos) ... 75

Tabela 3.2 – Potências injectadas nos barramentos – rede de 10 barramentos (versão com menos ramos) ... 76

(13)

Lista de Símbolos e Abreviaturas

Δ - Símbolo que denota a variação de uma grandeza

¨

- Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta ̈

˄ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta

̂

~ - Símbolo que denota as grandezas adjuntas correspondentes à rede adjunta

̃

* - Símbolo que denota o conjugado de uma grandeza

- Índice do ramo de referência

- Conjunto de índices dos ramos da rede passiva

- Conjunto de índices dos ramos que correspondem a cargas activas (corresponde a

na tese

de referência [5])

- Conjunto de índices dos ramos de geração

– Subconjunto de para ramos que sofrem alterações na potência activa de geração

– Subconjunto de para ramos que sofrem alterações no módulo da tensão de geração

- Subconjunto de

para ramos que sofrem alterações de potência complexa

- Subconjunto de

para ramos que sofrem alterações na sua admitância

- Tensão no ramo k

- Corrente no ramo k

(14)

(15)

Capítulo 1

Introdução

Este primeiro capítulo introduz o tema da dissertação, Aproximações ao cálculo de perdas em

redes de energia eléctrica, abordando o contexto em que se insere, a motivação, expondo ainda o

problema em questão.

(16)

1.1 Contexto e Motivação

A energia eléctrica é uma forma de energia que, mediante a transformação adequada, pode apresentar-se de outras formas que permitam o seu uso directo, em forma de luz, movimento ou ainda calor.

Essencialmente produzida em centrais termoeléctricas, centrais hidroeléctricos, sistemas eólicos, solares e nucleares, é uma das formas de energia mais utilizadas pela humanidade e considerada, nos dias de hoje, como um ‘bem de primeira necessidade’, uma vez que é impensável viver sem energia eléctrica.

Em Portugal, os principais produtores de energia eléctrica em regime ordinário são a EDP Produção, com produção hidráulica e térmica, a Iberdrola, com produção exclusivamente hidráulica, a REN Trading, que tem como principal função a gestão da Turbogás e da Tejo Energia, e a ELECGÁS, ambas com produção exclusivamente térmica. Existe ainda alguma produção em regime especial. Ao nível do transporte, a REN é a concessionária de serviço público exclusiva da RNT (Rede Nacional de Transporte), em muito alta e alta tensão, ligando os produtores aos centros de consumo e cobrindo a totalidade do território continental. O sector da distribuição de electricidade divide-se em média e alta tensão e baixa tensão. A distribuição em média e alta tensão é operada em exclusivo pela EDP Distribuição, através da RND (Rede Nacional de Distribuição). No mercado de distribuição de baixa tensão, ainda que operado quase na totalidade também pela EDP Distribuição, existem algumas excepções em que a distribuição de energia eléctrica está atribuída a pequenos operadores.

Previsões apontam para o aumento do consumo de energia eléctrica no futuro. Neste sentido, é importante a realização de estudos que facilitem a análise e aumentem a fiabilidade e eficiência dos sistemas de energia eléctrica.

Existem vários critérios de qualidade nos sistemas de energia eléctrica. Um dos principais indicadores da eficiência de uma rede eléctrica é as perdas de energia que ocorrem ao longo da sua estrutura. Muitas vezes, o estudo das perdas de energia baseia-se na análise da diferença entre a energia comprada e a energia facturada por parte da empresa responsável pela distribuição. O principal problema desta análise é que não permite conhecer a localização das perdas e quais os parâmetros da rede responsáveis pela sua ocorrência. Da mesma forma, a análise referida apenas sugere um montante de perdas, o que torna difícil a realização de um estudo de optimização para uma rede de dimensões reais.

Uma vez que a optimização desempenha um papel de grande relevância no planeamento, gestão e operação dos sistemas de energia eléctrica, é neste contexto que se insere o estudo desenvolvido nesta dissertação, análise de modelos aproximados para o cálculo de perdas de energia que permitam obter resultados precisos, num curto espaço de tempo e com reduzido esforço computacional.

Esta dissertação tem ainda como principal motivação retomar em parte o estudo realizado em 2004 pela Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus, na sua tese de doutoramento

(17)

Sistemas de Energia Eléctrica”. A principal ideia será retomar a parte deste estudo referente aos

modelos, aproximados e exactos, sugeridos como alternativa para a avaliação de perdas em redes de energia eléctrica.

Desta forma é sugerido, ao leitor da presente dissertação, realizar uma leitura da mesma em paralelo com a tese de referência [5] e seguindo as sugestões que para ela remetem. Os exemplos práticos apresentados ao longo dos vários capítulos desta dissertação seguem muitas vezes os exemplos da tese de doutoramento de referência [5] ilustrando, no entanto, diferentes casos, diferentes pontos de funcionamento e diferentes redes de energia. Por outro lado, e como forma de confirmar a validade do código MATLAB desenvolvido, os exemplos ilustrativos apresentados na tese de referência [5] foram reproduzidos. Esta reprodução de exemplos, bem como os resultados e gráficos obtidos pela mesma com sucesso, não é apresentada nesta dissertação, uma vez que foi apenas realizada como método de verificação e validação do código. Ainda assim, e uma vez que os exemplos apresentados nesta dissertação correspondem de certa forma a exemplos dados na tese de referência [5], pode encontrar-se em cada exemplo uma nota de redireccionamento para o exemplo correspondente no estudo realizado anteriormente [5], por forma a complementar o estudo e exemplo em questão.

Realizando esta ponte entre a presente dissertação e a tese de doutoramento da Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus pretende-se retomar e complementar o estudo realizado anteriormente sobre a aproximação ao cálculo de perdas e, ainda, facilitar a compreensão do leitor, principalmente se este pretender prosseguir estudos relacionados com esta temática.

Desta forma, e por uma questão de simplificação e fluência na escrita e leitura da presente dissertação, a tese de doutoramento “Aplicação do Teorema de Tellegen e de Redes Adjuntas ao

Cálculo de Tensões e Perdas em Sistemas de Energia Eléctrica” será a partir deste ponto referida

(18)

1.2 Análise do problema e principais objectivos

A energia eléctrica produzida nos centros de geração, normalmente localizados a grandes distâncias dos centros de consumo, é transportada por linhas de transmissão que alimentam as subestações de subtransmissão, localizadas mais próximo dos centros urbanos. A partir deste ponto, o papel do sistema de distribuição de energia eléctrica é o de levar a electricidade a todos os consumidores do sistema, onde quer que estes se encontrem.

Evidentemente, uma vez que alimentam consumidores tão diversos e tão distanciados, as redes eléctricas apresentam características muito específicas e alguns problemas tecnológicos.

A reconfiguração de redes de distribuição possui um papel importante no planeamento dos sistemas de energia, onde é preciso definir a topologia em que a rede irá operar. Um dos objectivos deste trabalho será o estudo de várias configurações de uma rede por forma a analisar a evolução das perdas de distribuição de energia e tentar minimizá-las.

Existem outras formas de redução destas perdas de distribuição, no entanto, são as reconfigurações que apresentam as soluções economicamente mais viáveis. O processo de reconfiguração consiste em retirar e inserir ramos na rede, processo este que corresponde a perturbações da mesma.

Tradicionalmente, o cálculo de perdas de energia em determinada rede pode ser efectuado realizando o trânsito de energia (Power Flow) através de métodos como Newton-Raphson, Gauss-Seidel ou Desacoplamento. Outra hipótese para o cálculo de perdas seria o igualmente clássico Método do Bs. Com estas duas soluções pode-se chegar ao cálculo exacto das perdas numa rede, no entanto, existe um grande problema associado. No cálculo de perdas para um elevado número de possíveis configurações de uma determinada rede, o tempo e esforço de computação seria demasiado elevado.

Desta forma, esta dissertação sugere estudar o desempenho de diferentes aproximações ao cálculo de perdas em redes de energia eléctrica em termos de precisão de resultados como função do esforço computacional e do espaço de observação da rede.

(19)

1.3 Estrutura da Dissertação

A forma como esta dissertação está organizada tem por base uma estrutura que segue uma linha de raciocínio, ao longo da qual se vão tirando conclusões e comparando estudos de capítulos anteriores com os estudos dos capítulos correntes. Todas as análises feitas ao longo da dissertação são ilustradas com exemplos práticos, quem têm por base os exemplos apresentados na tese de referência [5].

Antes de se iniciar qualquer explicação ou análise acerca do tema em questão, Aproximações ao

cálculo de perdas em redes de energia eléctrica, tem-se o primeiro capítulo da dissertação. Um

capítulo meramente introdutório que tem como objectivos a apresentação do tema, a explanação do contexto e do problema em análise, explicar a relação entre esta dissertação e a tese de referência [5] e ainda expor os principais objectivos deste estudo, terminando com esta apresentação da estrutura geral da dissertação.

O

Capítulo 2

, Avaliação de perdas – sensibilidades, Teorema de Tellegen e conceito de

redes adjuntas, assim como é sugerido pelo título do capítulo, introduz uma primeira forma de

avaliação de perdas em redes de energia eléctrica, as sensibilidades, assim como conceitos fundamentais para esta dissertação. São eles, o Teorema de Tellegen e o conceito de rede adjunta de um sistema de energia.

O

Capítulo 3

, Avaliação de perdas – Fórmula exacta, segue o estudo do capítulo anterior e,

com base nos conceitos apresentados no mesmo, desenvolve-se neste capítulo uma fórmula exacta para o cálculo de perdas. Como foi dito anteriormente, esta dissertação segue uma linha de raciocínio e, como tal, logo neste terceiro capítulo é feita a ligação com o capítulo anterior, comparando-se alguns resultados e tirando-se algumas conclusões acerca dos modelos apresentados até esta fase.

O

Capítulo 4

, Avaliação de tensão em redes de distribuição - Modelo aproximado, é um capítulo de grande importância, uma vez que serve de estudo base para o capítulo seguinte. As equações aproximadas para o cálculo de tensões nos barramentos de uma rede de distribuição, analisadas neste capítulo, serão a base do modelo aproximado para avaliação de perdas do capítulo 5. São ainda estudadas, neste capítulo, soluções locais para as equações de cálculo de tensões, como forma de aproximação.

O

Capítulo 5

, Avaliação de perdas em redes de distribuição - Modelo aproximado, é o capítulo que justifica, no verdadeiro contexto da dissertação, a existência do capítulo 4. Neste capítulo é apresentado um modelo aproximado para o cálculo de perdas que tem por base as tensões aproximadas calculadas com o modelo apresentado no capítulo anterior. Para este modelo é ainda utilizada a fórmula exacta desenvolvida no terceiro capítulo, ainda que de forma aproximada e

(20)

tirar as conclusões relacionadas com a precisão dos modelos para avaliação de perdas, aquando da ocorrência de perturbações e fazendo variar as condições de funcionamento dos sistemas.

O

Capítulo 6

, Síntese Final, conclui a dissertação, apresentando-se conclusões gerais como forma de encerrar os tópicos abertos neste capítulo introdutório. Apresentam-se algumas considerações relativamente ao problema e contexto que poderão, no final da dissertação, fazer maior sentido. As possibilidades de trabalho futuro que poderão ter por base o estudo elaborado nesta dissertação são também abordadas.

A secção Anexos contém informações relacionadas com as redes de energia utilizadas nos exemplos práticos apresentados ao longo de todos os capítulos.

(21)

Capítulo 2

Avaliação de perdas –

Sensibilidades, Teorema de

Tellegen e conceito de redes

adjuntas

Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através do cálculo das sensibilidades e explica-se o procedimento para o cálculo das mesmas com baexplica-se no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. São ainda apresentadas as fórmulas utilizadas no processo, bem como um exemplo para uma rede de cinco barramentos.

(22)

2.1 Introdução

O conceito de rede tratado nesta dissertação e o Teorema de Tellegen são uma base teórica para o cálculo de perdas em redes.

O Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas redes adjuntas, isto é, com o mesmo grafo (1).

A avaliação de perdas começa com um estudo de sensibilidades, uma vez que estas desempenham um papel fundamental no planeamento e reconfiguração de redes de distribuição.

Neste capítulo, estabelece-se a relação entre as variações incrementais de variável dependente (variações

) e uma série de variações incrementais nas variáveis independentes da rede (

,

, , , ).

Desta forma, após a definição de rede adjunta e descrição da sua representação simbólica, são apresentadas as fórmulas para o cálculo de sensibilidades de perdas, relativamente a qualquer parâmetro do sistema, susceptível de sofrer perturbações.

O estudo efectuado neste capítulo tem por base o estudo desenvolvido no capítulo 4 da tese de referência [5] relacionado com a avaliação de perdas por sensibilidades.

Relativamente à estrutura do capítulo 2, após esta breve introdução (2.1), encontram-se os objectivos do capítulo (2.2), seguindo-se a apresentação do Teorema de Tellegen (2.3) e a representação simbólica da rede adjunta (2.4). As secções 2.5 e 2.6 são destinadas à apresentação das fórmulas das sensibilidades e à modelação que permite obter a variação

. Por fim,

apresenta-se um exemplo de aplicação do estudo realizado (2.7) e são descritas algumas considerações finais sobre o capítulo (2.8).

2.2 Objectivos

Este capítulo tem como principais objectivos:

1. A apresentação das fórmulas para o cálculo das sensibilidades de perdas (perdas incrementais de primeira ordem) relativamente a qualquer parâmetro do sistema.

2. Derivação das fórmulas a partir do Teorema de Tellegen e do conceito de redes adjuntas.

_______________________

(1)

(23)

2.2.1 Fórmulas para o cálculo de sensibilidades

As fórmulas apresentadas neste capítulo permitem calcular todo o tipo de sensibilidades, isto é, tanto as que dizem respeito a quantidades nodais, relacionadas com as cargas (potência activa e reactiva) ou com parâmetros dos geradores (potência activa e tensão gerada), como as que dizem respeito a alterações da rede (mudanças nas resistências e/ou reactâncias das linhas). Estas fórmulas podem também ser consultadas nas páginas 93 e 94 da tese de referência [5] ou na publicação referida no ponto [1] da bibliografia.

2.2.2 Modelação da rede adjunta

A modelação da rede adjunta definida para o sistema de energia inclui tanto a modelação de nós PQ e PV, como de todas as perturbações possíveis de ocorrer na rede.

As fórmulas são derivadas a partir do Teorema de Tellegen em vez das convencionais equações do trânsito de energia.

2.3 Teorema de Tellegen

Como foi dito anteriormente, o Teorema de Tellegen exprime uma relação entre grandezas de ramos de duas redes adjuntas.

Assim, considerando uma rede de energia N onde é a tensão através do ramo k ϵ K (conjunto de índices para todos os ramos da rede), e considerando ainda uma rede

̈ (rede adjunta à rede de

energia em estudo), onde ̈ é a corrente que atravessa o ramo k, o teorema de Tellegen diz que:

∑

̈

No caso de redes que sofrem variações incrementais o Teorema de Tellegen sugere:

∑ ̈

̈

Uma vez que as perdas são uma quantidade real e a equação acima é uma equação complexa, usa-se a parte real da equação:

∑ { ̈

̈

}

(24)

2.4 Representação simbólica da rede adjunta

A representação simbólica da rede adjunta ̈ é topologicamente equivalente à rede de energia, apresentando ambas as redes a mesma estrutura de grafo. Sendo assim, a rede adjunta é definida segundo as seguintes regras:

1. A representação do barramento de balanço, ou de referência, da rede de energia N é feito por uma fonte de tensão independente na rede adjunta das perdas ̈ – equação 2.13

2. A representação das linhas na rede adjunta é efectuada através da mesma admitância da linha da rede de energia, isto é, o ramo k da rede passiva corresponde a uma admitância na representação simbólica da rede adjunta – equação 2.14

3. A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PQ (ramo de carga) é realizada na rede adjunta por uma fonte de corrente dependente – equação 2.15

4. A representação dos ramos correspondentes a barramentos do tipo PV (geradores) é realizada por meio de uma fonte de tensão dependente – equação 2.16

A figura seguinte mostra a representação simbólica dos elementos da rede adjunta:

Fig. 2.1 - Representação simbólica dos elementos da rede adjunta

(1) Fonte de tensão independente (2) Admitância (3) Fonte de corrente dependente (4) Fonte de tensão dependente

(25)

2.5 Sensibilidades - Fórmulas

As seguintes fórmulas retiradas de [1] e/ou [5] são a base para computação das sensibilidades de perdas de energia do sistema relativamente a qualquer grandeza do mesmo, incluindo a tensão de referência do sistema, a demanda de potência activa e reactiva, magnitude da tensão gerada e parâmetros de transmissão da rede. Os valores relativos à rede adjunta estão representados com um trema.

{ ̈

}

k ϵ

(2.4)

{ ̈

}

k ϵ

(2.5)

̈

k ϵ

(2.6)

{

̈

}

k ϵ

(2.7)

{

̈

}

k ϵ

(2.8)

{

̈

}

k ϵ

(2.9)

{

̈

}

k ϵ

(2.10)

As fórmulas para a sensibilidade de perdas com respeito a e , k ϵ derivam das fórmulas anteriores que estão relacionadas com parâmetros dos ramos da rede ( – Network):

{

̈

}

k ϵ

(2.11)

{

̈

}

k ϵ

(2.12)

É importante notar que as grandezas adjuntas são definidas segundo o seguinte sistema [1]:

̈

k ϵ

(2.13)

̈

k ϵ

(2.14)

̈

k ϵ

(2.15)

̈

(26)

2.6 Modelação

Nesta secção do capítulo 2 é apresentada a metodologia para obter as fórmulas das sensibilidades, tendo esta por base a modelação da rede adjunta.

Tendo em conta a já apresentada soma de Tellegen (primeira parte da equação 2.3), e considerando as diferentes partições do conjunto (ver lista de símbolos)

(2.17)

conseguem obter-se, com base no sistema das grandezas adjuntas, os k termos da soma de Tellegen. Pode consultar-se uma modelação mais detalhada das fórmulas das sensibilidades na secção 4.4 da tese de referência [5] (pp 95 a 97).

2.6.1 Ramo

Começando pelo nó de referência e considerando-se o ramo pertencente à partição

(

), assume-se uma alteração na tensão de referência de

. Desta forma, o termo 0 da soma de Tellegen é

̈

(2.18)

Então, com base no sistema que define as grandezas adjuntas, mais concretamente assumindo a equação 2.13, o termo 0 da soma de Tellegen fica:

̈

(2.19)

2.6.2 Ramo

Considerando agora um ramo da partição e assumindo-se uma alteração na admitância desse ramo ΔYk, uma vez que

, então

(2.20)

Combinando as equações 2.3 e 2.20, chega-se ao termo k da soma de Tellegen

{

( ̈

̈

) ̈

}

(2.21)

Tal como na secção anterior, tendo por base o sistema que define as grandezas adjuntas e considerando a equação 2.14, chega-se ao termo k da soma de Tellegen que é

(27)

2.6.3 Ramo

Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de carga

, tem-se

(2.23)

Utilizando agora a equação 2.23 e substituindo na equação 2.3, obtém-se o termo k da soma de Tellegen

{

( ̈

̈

)

̈

}

(2.24)

Novamente com base no sistema que modela a rede adjunta e utilizando para este caso a equação 2.15, o termo k da equação de Tellegen contribui da seguinte forma

{

̈

}

(2.25)

2.6.4 Ramo

Por fim, considerando um ramo da partição

e assumindo desta vez duas alterações, uma na

amplitude da tensão

e outra na potência activa

tem-se que

(2.26)

(2.27)

Tendo mais uma vez presente a equação base do teorema de Tellegen (2.3) e utilizando as equações 2.26 e 2.27, o termo k da soma de Tellegen pode escrever-se

{

( ̈

̈

)} {

̈

}

{

̈

}

(2.28)

Considerando então a última equação do sistema de modelação da rede adjunta (2.16), o termo k da soma de Tellegen baseia-se nos termos

{

̈

} {

̈

(28)

2.6.5 Soma de Tellegen

A variação de primeira ordem na potência de

pode obter-se através da soma das contribuições de todos os ramos, correspondentes à soma de Tellegen (contribuições deduzidas ao longo da modelação realizada anteriormente). Tendo em conta que esta variação de primeira ordem corresponde, no nó de referência, a

(2.30)

obtém-se

{( ̈

)

}

(2.31)

∑ { ̈

}

∑ {

̈

}

∑ {

̈

}

∑ {

̈

}

As derivadas parciais, representadas na secção 2.5 Formulas, são facilmente obtidas tendo em conta o seguinte diferencial:

∑

( )

(29)

2.7 Exemplo

Por forma a clarificar toda a informação contida neste capítulo, segue-se um exemplo da aplicação do conceito de rede adjunta e do cálculo das sensibilidades, relativamente aos diferentes parâmetros de uma rede exemplo de cinco barramentos (dados da rede em anexo). Considere-se então a rede da figura abaixo.

Fig. 2.2 – Representação do sistema de energia exemplo. Os barramentos estão numerados a negrito, enquanto a numeração dos ramos não tem qualquer formatação. Nó 0 – referência. Nó 2 –

PV. Nós 1, 2 e 3 – PQ

Com base na secção 2.4, e seguindo a representação simbólica para redes adjuntas, obtém-se para o sistema de energia da figura 2.2 a seguinte representação adjunta

Fig. 2.3 – Rede adjunta correspondente ao sistema de energia da figura 2.2. A numeração dos barramentos e ramos segue a mesma lógica da figura anterior

(30)

O próximo passo implica o cálculo dos valores de tensão para cada barramento, bem como os valores de tensão da rede adjunta correspondentes. Só com todos estes valores é possível calcular as sensibilidades das perdas com base nas fórmulas da secção 2.5.

Desta forma, na tabela em baixo estão representados os valores de tensão para os nós da rede exemplo e da correspondente rede adjunta.

k

̈

0

1

1 0.9966 - j0.0828

1.0390 + j0.0863

2 1.0621 + j0.0213

1.0487 - j0.0370

3 0.9338 - j0.1366

1.0088 + j0.1680

4 0.9935 - j0.0431

1.0166 + j0.0481

Tab. 2.1 – Valores de tensão do sistema de energia

e da rede adjunta correspondente ̈

Note-se que para chegar aos valores de tensão para os ramos passivos, faz-se

ou ̈

̈

, para o ramo que liga os barramentos i e j. Por exemplo, para se obter

faz-se

. Fazendo ̈

̈

chega-se ao valor de ̈

. Exemplificando:

̈

Tendo todos os valores de tensão, quer da rede de energia quer da sua rede adjunta, podem então calcular-se as sensibilidades das perdas para os diferentes parâmetros do sistema. Na tabela seguinte encontram-se alguns dos valores de sensibilidade para o sistema de energia exemplo.

Tipo de ramo k Referência 0 - 0.0913 Ramos passivos 8 10 0.3578 - 0.0022 0.2014 - 0.0068 Nós PQ 1 3 4 0.0426 - 0.0000 0.0834 0.0213 0.0234 0.0040 Nó PV 2 -1.0942 0.5313

Tab. 2.2 – Valores de sensibilidade nos ramos e nós do sistema de energia relativos aos diferentes parâmetros do mesmo

(31)

Este exemplo tem semelhanças com o exemplo apresentado a partir da página 102 da tese de referência [5], no qual também se estudaram as sensibilidades relativas aos parâmetros de uma rede de cinco barramentos (diferente da rede utilizada nesta dissertação).

As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base no cálculo das sensibilidades, aquando da ocorrência de perturbações em alguns parâmetros da rede. A explicação mais detalhada de cada caso será dada seguidamente à figura. Note-se que, as figuras apresentadas neste capítulo ilustram as rectas de nível obtidas a partir do cálculo de perdas por sensibilidades, sendo que a sua comparação com as curvas de nível exactas apenas será realizada no próximo capítulo. No exemplo do capítulo 4 da tese de referência [5], as imagens apresentadas ilustram as perdas calculadas por sensibilidades para um determinado ponto de funcionamento e apresentam as curvas de nível exactas respeitantes às perdas do sistema. Os valores de perdas obtidos no exemplo da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso ainda que não apresentados nesta dissertação.

No primeiro caso, figura 2.4, está representada a evolução das perdas, dependendo das potências activa e reactiva do nó 3

e

do sistema de energia da figura 2.2.

No caso seguinte, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do sistema, com dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na figura 2.5 foram

e

.

A última figura (2.6) representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à existência de perturbações na resistência e na reactância

e

do ramo que liga os

barramentos 2 e 4 do sistema.

(32)

Fig. 2.4 – Rectas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir das sensibilidades, no espaço

,

Como foi dito anteriormente, as rectas representadas na figura 2.4 ilustram as perdas de energia do sistema da figura 2.2 no espaço

,

.

Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e

.

Os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível desta figura são

e

(33)

e

Por sua vez, as rectas representadas na figura 2.5 ilustram as perdas de energia do sistema da figura 2.2 no espaço

,

.

Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e

.

Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são

e

(34)

e

No exemplo da figura 2.6, as rectas representadas ilustram as perdas de energia do sistema da figura 2.2 no espaço

,

.

À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e

.

Neste caso, os valores de sensibilidade responsáveis pelas rectas de nível da figura são

e

(35)

2.8 Considerações sobre o capítulo

Com o exemplo dado na secção 2.7 ilustrou-se todo o procedimento explicado ao longo do capítulo.

Exemplificou-se o conceito de rede adjunta para um sistema de energia exemplo de cinco barramentos e calcularam-se as sensibilidades para os vários parâmetros do mesmo, com base nas fórmulas apresentadas na secção 2.5.

As imagens obtidas ilustram a evolução das perdas de energia do sistema quando este sofre perturbações em alguns parâmetros. Como seria de esperar, o cálculo das perdas a partir do modelo de sensibilidades, dá origem a rectas de nível, uma vez que o conceito base desta aproximação representa uma evolução linear de perdas de energia.

Outra conclusão que pode tirar-se de cada uma das imagens com as rectas de nível será, quais dos parâmetros testados poderão ter uma maior influência nas perdas de energia, quando sofrem perturbações. Por exemplo, considerando a figura 2.5, pode ver-se facilmente que uma perturbação da potência activa do barramento 1 tem maior efeito nas perdas do que a mesma perturbação na potência activa do barramento 4. Isto confirma os valores de sensibilidade para cada um destes nós relativamente à potência activa (

= 0.0426 e

= 0.0234) que consideram o barramento 1 mais

sensível a perturbações deste parâmetro.

Os resultados obtidos neste capítulo reforçam os resultados obtidos no exemplo apresentado na tese de referência [5], relativamente ao cálculo de perdas por sensibilidades. Referir mais uma vez que os valores de sensibilidade e de perdas obtidos no exemplo apresentado a partir da página 102 da tese de referência [5] foram recalculados com sucesso, provando assim a correcta implementação do modelo de sensibilidades em MATLAB.

O estudo efectuado neste capítulo será tido em conta mais à frente, a título de comparação com outros modelos de cálculo de perdas de energia, onde poderão tirar-se algumas conclusões acerca da sua precisão.

(36)

(37)

Capítulo 3

Avaliação de perdas – Fórmula

exacta

Neste capítulo aborda-se a avaliação de perdas através da utilização da fórmula exacta desenvolvida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, como seguimento do capítulo anterior. É ainda descrita a sua modelação, bem como alguns exemplos para a rede de cinco barramentos já utilizada.

(38)

3.1 Introdução

O estudo desenvolvido neste capítulo apresenta-se como tendo por base o capítulo anterior, no entanto, com uma diferença de importante relevo. Não fazer quaisquer aproximações na utilização das equações de Tellegen levando, desta forma, ao desenvolvimento da fórmula exacta para o cálculo de perdas.

Este capítulo deve ser considerado relevante no âmbito desta dissertação, uma vez que, na comparação entre modelos aproximados para o cálculo de perdas, é em relação ao modelo exacto que se consideram os erros e se pode concluir acerca da performance das aproximações realizadas.

Tal como no capítulo anterior, as perdas no sistema são uma consequência de perturbações na rede, sendo tidos em conta todos os tipos de perturbações já anteriormente considerados.

Desta forma, são agora disponibilizadas, sobre a forma de equações exactas, todas as relações relativas às fórmulas derivadas para as sensibilidades, tornando possível a determinação dos valores exactos de perdas em todos e quaisquer barramentos de uma rede de distribuição de energia eléctrica. Este capítulo tem por base o estudo realizado no capítulo 5 da tese de referência [5] e procura complementá-lo com um novo exemplo, que completa também o exemplo do capítulo anterior.

É importante notar que, para calcular as perdas através da fórmula exacta, é necessário fazer primeiro a avaliação das tensões do sistema quando sujeito a perturbações. Desta forma, são primeiramente apresentadas as equações exactas para avaliação da tensão. Estas, à semelhança do capítulo anterior, fazem uso de grandezas adjuntas que correspondem às redes adjuntas

̂ (valores

reais) e

̃ (valores imaginários). A modelação destas equações não será apresentada uma vez que o

raciocínio é semelhante ao já apresentado na modelação das fórmulas de sensibilidade e ao que será posteriormente apresentado para a fórmula exacta das perdas. Para obter informações mais detalhadas, tanto das equações exactas para avaliação da tensão como da sua modelação e ainda analisar alguns exemplos, deve consultar-se o capítulo 3 da tese de referência [5] – “Avaliação de

tensão – Equações exactas”.

A estrutura deste capítulo é semelhante à do capítulo 2, começando-se com uma breve nota introdutória, seguida dos seus principais objectivos (3.2). A diferença consiste na secção 3.3 que apresenta as equações para avaliação das variações de tensão. É então explicada a modelação da fórmula exacta para avaliação das perdas (3.4), apresentando-se a respectiva fórmula obtida na secção 3.5. O capítulo termina com um exemplo de aplicação da fórmula desenvolvida (3.6) e algumas considerações finais (3.7).

(39)

3.2 Objectivos

Tal como anteriormente, o grande objectivo deste capítulo consiste no cálculo de perdas em redes de distribuição com base no Teorema de Tellegen e no conceito de rede adjunta, contudo, agora de forma exacta, não se considerando quaisquer aproximações.

Dividindo em pequenos objectivos tem-se para este capítulo:

1. Apresentação da fórmula exacta continuando o estudo do capítulo anterior e calculando as variações de tensão de forma exacta.

2. Exemplificar a fórmula utilizando a rede de cinco barramentos já descrita no cálculo das sensibilidades.

3.3 Variações de tensão - equações exactas

Esta secção serve, exclusivamente, para apresentar as equações exactas utilizadas no cálculo das variações de tensão, aquando da ocorrência de perturbações no sistema. As variações de tensão calculadas a partir das equações seguintes serão utilizadas, mais à frente, na fórmula exacta para o cálculo de perdas. Estas equações exactas para o cálculo das variações de tensão podem igualmente ser consultadas nas páginas 53 e 54 da tese de referência [5].

Assim, a parte real das variações de tensão nos barramentos calcula-se da seguinte forma:

{ ̂

}

(3.1)

∑ { ̂

}

∑ {

̂

}

∑ {

̂

}

∑ {

̂

}

∑ {

̂

}

∑ {

(

{

̂

}

{

̂

})}

(40)

A parte imaginária das variações de tensão nos barramentos é calculada a partir de:

̃

(3.2)

∑ {

̃

}

∑ {

̃

}

∑ {

̃

}

∑ {

̃

}

∑ {

̃

}

∑ {

(

{

̃

}

{

̃

})}

3.4 Dedução da fórmula exacta

À semelhança do capítulo anterior, a dedução apresentada nesta secção do capítulo 3 terá por base o teorema de Tellegen e considera-se novamente as diferentes partições do conjunto

(ver lista de símbolos).

(3.3)

Ainda seguindo a lógica do capítulo 2, tem-se um sistema [5] que vai definir as grandezas adjuntas, apresentado a seguir:

(41)

̈

(3.4)

̈

k ϵ

(3.5)

̈

k ϵ

(3.6)

̈

k ϵ

(3.7)

É importante notar que esta análise dedutiva da fórmula exacta é em tudo semelhante à modelação da soma de Tellegen do capítulo anterior, assentando a única diferença no facto de considerar para as expressões que representam as perturbações os termos de ordem superior, o que garante a exactidão dos resultados obtidos. Assim sendo, a dedução apresentada de seguida é realizada da mesma forma que a modelação do capítulo 2, apresentando-se apenas para cada partição a(s) perturbação(ões) respectivas, o termo da fórmula exacta que se obtém e a contribuição final para a fórmula exacta, após a aplicação de uma das condições do sistema considerado em cima. Para uma modelação mais detalhada da fórmula exacta para o cálculo de perdas deve consultar-se a secção 5.4 da tese de referência [5] (pp 116 a 119).

3.4.1 Ramo

Tal como foi feito anteriormente e começando pelo ramo pertencente à partição e considerando uma variação de , o termo 0 da soma de Tellegen é

{ ̈

̈

}

(3.8)

Assumindo a equação 3.4, o termo 0 da soma de Tellegen fica:

{ ̈

}

(3.9)

3.4.2 Ramo

Considerando um ramo da partição

e assumindo-se uma alteração na admitância desse ramo

, então

(3.10)

Sendo o termo k da soma de Tellegen

(42)

Recorrendo à equação 3.5 do sistema das grandezas adjuntas obtém-se o termo k simplificado

{ ̈

}

(3.12)

3.4.3 Ramo

Olhando agora para um ramo pertencente à partição e alterando a potência complexa de

carga

(3.13)

O termo k da fórmula é

{

( ̈

̈

)

̈

}

(3.14)

Simplificado pela equação 3.6, o termo k fica

{

̈

}

(3.15)

3.3.4 Ramo

Para os ramos da partição

e tendo em conta alterações na amplitude da tensão

e na

potência activa

tem-se que

(3.16)

(3.17)

Obtêm-se assim os últimos termos da soma de Tellegen:

{

( ̈

̈

)} {

̈

}

{

̈

}

{

(

{

̈

}

{

̈

})} (3.18)

Considerando então a última equação do sistema das grandezas adjuntas (3.7), o termo k da soma de Tellegen baseia-se apenas nos termos

(43)

{

̈

} {

̈

}

{

(

{

̈

}

{

̈

})} (3.19)

3.5 Fórmula exacta

Considerando também os termos de ordem superior, o Teorema de Tellegen sugere que a fórmula exacta [5] é

∑

(3.20)

Juntando agora todos os termos obtidos na dedução anterior chega-se a

, obtendo-se a

fórmula que permite calcular com exactidão as perdas para uma rede distribuição, relativamente a qualquer perturbação que possa ocorrer na mesma.

{( ̈

)

(3.21)

∑ ̈

∑

̈

∑

̈

∑

̈

∑

̈

∑

(

{

̈

}

{

̈

})}

(44)

3.6 Exemplo

Tal como no capítulo anterior, esta secção “Exemplo” serve para apresentar os resultados obtidos aquando da aplicação das expressões e modelos descritos ao longo do capítulo.

Seguindo também a lógica do capítulo anterior, serão então apresentadas as curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, dependendo da ocorrência de perturbações em diferentes parâmetros da rede. Estes resultados serão apresentados na subsecção 3.6.1.

Na subsecção 3.6.2 ter-se-á então uma primeira comparação de resultados entre modelos. Esta primeira comparação torna possível começar a tirar algumas conclusões relativamente à precisão do modelo de cálculo de perdas por sensibilidades, quando comparado com a fórmula exacta deduzida com base no Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas. Remetendo para a tese de referência [5] podemos igualmente encontrar no exemplo do capítulo relativo à fórmula exacta algumas comparações dos resultados obtidos por sensibilidades com os resultados obtidos de forma exacta (pp 124 e 125). Tal como no capítulo anterior alguns dos resultados obtidos no exemplo da tese de referência [5] foram replicados com sucesso, provando-se assim a correcta implementação da fórmula exacta no MATLAB.

3.6.1 Exemplo Fórmula Exacta

As figuras apresentadas de seguida ilustram a evolução das perdas, com base na fórmula exacta deduzida a partir do Teorema de Tellegen e no conceito de redes adjuntas, para a ocorrência de perturbações em alguns parâmetros do sistema de energia. Os espaços escolhidos são semelhantes aos apresentados no capítulo 2 para tornar possível a posterior comparação de resultados. A explicação mais detalhada de cada caso será dada a seguir à respectiva figura.

Nestas figuras estão, à semelhança das figuras obtidas no exemplo do capítulo anterior, está ainda assinalado o valor das perdas para os pontos de funcionamento do caso base (determinado através de um trânsito de energia convencional).

(45)

No primeiro caso está representada a evolução das perdas com base na fórmula exacta, dependendo das potências activa e reactiva do nó 3

e

do sistema de energia da figura 2.2.

Fig. 3.1 – Curvas de nível relativas às perdas de energia do sistema da figura 2.2, calculadas a partir da fórmula exacta, no espaço

e

Está ainda representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e

que é igual a 0.0475.

(46)

No segundo exemplo, está ilustrada a forma como evoluem as perdas de energia do mesmo sistema, com dependência nas potências activas de dois nós PQ. As potências seleccionadas na figura 3.2 foram

e

.

e

Neste exemplo é claramente notório que, apesar das perdas de energia aumentarem tanto com a potência activa do barramento 1 como com a potência activa do barramento 2, têm uma evolução mais rápida para valores de potência activa mais elevados no primeiro barramento.

Está igualmente representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e

que é igual a 0.0475.

(47)

A figura 3.3 representa a evolução do valor das perdas de energia relativamente à existência de perturbações na resistência e na reactância

e

do ramo que liga os barramentos 2 e 4 do

sistema.

e

À semelhança dos exemplos anteriores, está representado o valor das perdas para o ponto de funcionamento base

e

que é novamente igual a 0.0475.

Tal como já tinha sido visto no capítulo das sensibilidades, confirma-se com este exemplo que a resistência de uma linha tem um efeito muito superior relativamente às perdas de energia do que a sua reactância.

A secção seguinte permite tirar algumas conclusões relativamente a estes dois modelos uma vez que são comparados os resultados dos dois modelos já conhecidos.

3.6.2 Comparação de resultados

Como foi dito, esta secção de comparação de resultados permite tirar as primeiras conclusões relativamente à precisão do modelo de sensibilidades para o cálculo de perdas.

Uma vez que, tanto no capítulo 2 como neste capítulo os exemplos escolhidos foram os mesmos, podem então sobrepor-se os resultados e observar quão preciso é o cálculo de perdas por sensibilidades em relação ao cálculo de perdas pela fórmula exacta desenvolvida neste capítulo.

(48)

Fig. 3.4 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço

e

Tendo em conta a figura acima, a primeira diferença que se destaca é o facto de, quando se trata da fórmula exacta, se obterem curvas de nível e não rectas, uma vez que as perdas não evoluem necessariamente de forma linear com a variação de um parâmetro.

Para este caso específico, olhando para a imagem, pode considerar-se que o cálculo de perdas por sensibilidades aproxima-se daquilo que são os valores exactos, pelo menos no que diz respeito à evolução das perdas. Naturalmente, no ponto de funcionamento base

e

, a

recta das sensibilidades é tangente à curva de nível resultante da fórmula exacta, sendo o valor das perdas para este ponto 0.0475. Isto acontece uma vez que para as sensibilidades é realizado um trânsito de energia para o caso base. Olhando para outras rectas, como é o caso em que as perdas são 0.04 e 0.06, vê-se que estas rectas de sensibilidades não são tangentes à curva que corresponde ao mesmo valor de perdas, no entanto, são bastante próximas.

Considerando outro ponto de funcionamento específico, podemos olhar para o caso em que a potência activa do barramento 3 é 0.2 e a potência reactiva é 0.1. Aqui pode ver-se, que o valor de perdas para este ponto de funcionamento quando calculado pelas sensibilidades é igual a 0.03, enquanto, na realidade, o valor de perdas exacto é de 0.0345. O mesmo acontece com o ponto de funcionamento em que as potências activa e reactiva são, respectivamente, 0.65 e 0.15, onde segundo as sensibilidades o valor de perdas é de 0.07 quando o valor real é 0.078. Com esta análise mais precisa, percebe-se que o erros do modelo de sensibilidades para este exemplo são consideráveis (entre 10% e 15%).

(49)

Fig. 3.5 – Comparação dos resultados obtidos relativamente ao cálculo de perdas de energia por sensibilidades e pela fórmula exacta, no espaço

e

Neste segundo exemplo, em que o plano escolhido envolve as potências activas de dois dos barramentos pode ver-se que os resultados do cálculo de perdas por sensibilidades são mais precisos para valores de potência mais elevados e, ainda, que o sentido de evolução das perdas é correcto.

Observando a imagem, nota-se que para alguns pontos de funcionamento, os resultados obtidos a partir das sensibilidades são muito próximos dos valores exactos, uma vez que as rectas de nível são praticamente tangentes às curvas de nível da fórmula exacta. No entanto, à medida que nos afastamos deste ponto de funcionamento, para potências activas mais baixas, o erro vai aumentar e os resultados começam a ser menos precisos. Tenhamos em conta, por exemplo, o caso em que uma perturbação leva as potências activas de ambos os barramentos para 0.55. Para este caso, o valor de perdas calculado pelas sensibilidades é 0.0442, sendo que o valor exacto é de 0.0449. Olhando para este ponto de funcionamento na imagem, vê-se que a recta de nível é praticamente tangente à curva de nível, obtendo-se então um erro muito pequeno de 1.55%. Ainda dentro dos resultados com bons níveis de precisão, podemos observar o ponto em que ambas as potências activas vão para 0.8. Aqui, pelas sensibilidades, o valor de perdas é igual a 0.0607, e pela fórmula exacta é 0.060. Novamente um erro muito pequeno de cerca de 1.2%.

Por outro lado, se considerarmos uma perturbação que afaste o sistema do ponto de funcionamento base, e com potências activas abaixo deste ponto para o barramento 4, irão obter-se erros superiores. Considerando assim, um ponto próximo do cruzamento de uma recta de nível com uma curva, a potência activa do barramento 1 é igual a 0.45 e a potência activa do barramento 4 é 0.4. Neste ponto, o resultado para as perdas obtido através das sensibilidades é de 0.0364, sendo