O EFEITO DA DISTORÇÃO DA MALHA PARA O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS

(1)

O EFEITO DA DISTORÇ ÃO DA MALHA PARA O M ÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS

Phillipe Daniel Alves1; Fel´ıcio Bruzzi Barros1; Roque Luiz da Silva Pitangueira1

1_{Departamento de Engenharia de Estruturas DEEs - UFMG}

Av. Antˆonio Carlos, 6627 - Bloco 1 - Campus Pampulha Belo Horizonte - MG - CEP 31270-901

phillipe@dees.ufmg.br, felicio@dees.ufmg.br, roque@dees.ufmg.br

Resumo. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é atualmente a ferramenta numérica mais amplamente empregada na mecânica computacional para resolução de problemas de valor de contorno. Por outro lado, existem problemas em que a formulação convencional do MEF não consegue descrever de forma satisfatória o fenômeno analisado, despertanto o desenvolvi-mento de novas estratégias. A aplicação do MEF no estudo de placas, por exemplo, sugere uma constante preocupação com a distorção dos elementos. Tais distorções, causadas por motivos diversos, acabam, muitas vezes, comprometendo os resultados encontrados. É nesse contexto que surge o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), considerado produto de métodos sem malha, sua formulação garante relativa independência da malha, possibilitando vantagem em problemas onde MEF convencional encontra problema na representação. Neste trabalho, busca-se apresentar a implementação do MEFG junto ao INSANE (INteractive Struc-tural ANalysis Environment), um ambiente computacional implementado em Programação Ori-entada a Objetos (POO) e desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) da UFMG. Duas abordagens do MEFG são aqui consideradas, diferenciando-se na forma com que o enriquecimento da aproximação é realizado, ou seja, em coordenadas de naturais ou f´ısicas. As coordenadas de naturais são adimensionais sendo associadas ao elemento mestre, já as coordenadas f´ısicas descrevem o problema real. Mostra-se, nos exemplos numéricos, de que forma estas duas abordagens influenciam na qualidade da discretização. Para isso são comparados diversos tipos de elementos empregados na análise de estruturas (via MEF) e o elemento enriquecido (via MEFG nas duas abordagens aqui citadas). Propõe-se identificar as vantagens do MEFG quando comparado à abordagem convencional do MEF, em particular no que se refere à distorção da malha de elementos e a influência do mapeamento no resultado final.

Palavras-chave: MEF, MEFG, MEC ÂNICA COMPUTACIONAL, DISTORÇ ÃO DE ELEMEN-TOS, POO

(2)

1. INTRODUC¸ ˜AO

A utilização de Elementos Finitos, ao longo dos tempos, tem se tornado bastante comum, e atualmente é a ferramenta numérica mais amplamente empregada na Mecânica Computa-cional, sendo utilizado na resolução de grande classes de problemas como os de análises estru-turais, mecânica dos fluidos e eletromagnetismo. Por outro lado, a melhoria do desempenho dos elementos finitos quadriláteros tem sido, nos últimos anos, objeto de importantes estudos e dis-cussões. De fato, a aplicação do MEF, especialmente no estudo de placas, sugere uma constante preocupação com a distorção dos elementos nas suas mais diferentes etapas. Tais distorções, causadas por motivos diversos, acabam, muitas vezes, comprometendo os resultados encontra-dos.

Assim, apesar da enorme contribuição do Método dos Elementos Finitos (MEF) para en-genharia, existem problemas em que a formulação convencional não consegue descrever de forma satisfatória as caracter´ısticas de um determinado fenômeno, despertando o desenvolvi-mento de novas estratégias para a descrição numérica do problema. É nesse contexto que surge o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), Duarte et al. (2000). O MEFG é formulado de tal forma que a simulação numérica garanta uma certa independência da malha de elementos. Torna-se, assim, uma alternativa ao MEF, na medida que possibilita a análise de problemas que, com o MEF, exigiriam diversos remalhamentos, sem grandes perturbações na discretização do dom´ınio. Apesar de seus fundamentos teóricos estarem bem estabele-cidos e dos inúmeros trabalhos realizados, existe ainda uma extensa área de pesquisa e de experimentação numérica a ser desbravada.

Neste sentido, a proposta deste trabalho é identificar vantagens do MEFG quando com-parado à abordagem convencional do MEF, em particular no que se refere à influência da distorção da malha de elementos. tais vantagens, quando não eliminam, são capazes de minorar os efeitos negativos da forma dos elementos que, muitas vezes, compromete significativamente a qualidade da solução numérica encontrada. Para isso foi necessária implementação computa-cional do MEFG em ambiente INSANE. O projeto INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment) é um ambiente computacional desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais, implementado em Java e que utiliza o paradigma da programação orientada a objetos (POO).

2. O EFEITO DA DISTORÇ ÃO E AS FAMÍLIAS DE ELEMENTOS

´

E fato que elementos distorcidos acabam modificando a capacidade original de representa-ção do fenômeno a ser aproximado, prejudicando consideravelmente os resultados obtidos da análise. Assim, essa incapacidade de representação do campo de deslocamentos acaba ocasio-nando, muitas vezes, em erros de interpretação dos resultados por parte do usuário pouco atento ao assunto. Segundo Lee and Bathe (1993), existem alguns tipos de distorção de elementos, que podem ser classificadas como: retangular, paralelogramo e angular.

Através de análises encontradas na literatura, entre os quais destaca-se o trabalho de Lee and Bathe (1993), verifica-se que nas distorções retangular e em paralelogramo a matriz ja-cobiana é constante, mas, de maneira geral, nas demais formas distorcidas, não se tem nas coordenadas f´ısicas a mesma expansão polinomial adotada no elemento mestre com as coor-dendas naturais. Observa-se que distorções angulares não afetam as representações quadráticas e cúbica dos correspondentes elementos Lagrange, enquanto nos elementos Serend´ıpetos tem-se apenas a representação do campo linear, conforme pode ser visualizado na Tabela 1, modificada de Lee and Bathe (1993).

(3)

Tabela 1: Termos conservados na expans˜ao polinomial em elementos distorcidos

3. O M ´ETODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS

O Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), pode ser entendido como uma variação do Método dos Elementos Finitos (MEF) convencional. O MEFG compartilha impor-tantes caracter´ısticas dos métodos sem malha, em que as aproximações são constru´ıdas sem que uma malha de elementos seja necessária. As funções de aproximação do MEFG, atreladas aos pontos nodais, são enriquecidas de modo semelhante ao que ocorre no Método das Nuvens-hp, proposto por Duarte and Oden (1995). Diferentemente deste último, contudo, em que o os pon-tos formadores das nuvens podem ser distribu´ıdos de forma aleatória, emprega-se no MEFG a malha de elementos para o posicionamento dos pontos nodais. A utilização de funções de Partição de Unidade (PU), sobre uma malha de elementos, e o enriquecimento destas funções, faz com que o MEFG seja interpretado como uma forma não-convencional do MEF, que esta-belece uma ponte com os métodos sem malha.

3.1 Formulac¸˜ao

A estratégia utilizada no MEFG consiste em empregar as funções de forma Lagrangianas lineares do Método dos Elementos Finitos (MEF) como Partição da Unidade (PU). Logo em seguida é feito o enriquecimento dessas funções, construindo-se, assim, a função de aproxima-ção. O emprego das funções convencionais de MEF, além de facilitar a aplicação do método, garante estabilidade ao sistema, verificando diretamente as condições de contorno, ao contrário do que normalmente ocorre no Método das Nuvens-hp, Barros (2002).

Assim, considera-se uma malha convencional de elementos finitos definida a partir de um conjunto de n pontos nodais {xj}nj=1, conforme pode ser visto na Figura 1. Define-se ent˜ao

a regi˜ao ou nuvem ωj, formada por todos os elementos que concorrem no ponto nodal xj. O

conjunto das funções interpoladoras de Lagrange associadas ao nó xj obtidas através do MEF

define a função Nj, cujo suporte corresponde à região ωj, que está representada na Figura 1

como região de Partição de Unidade (PU). Já o conjunto de funções de enriquecimento, que são espec´ıficas para um determinado tipo de problema, é composto por qj funções linearmente

independentes definidas para cada n´o xj com suportes na nuvem ωj:

Ij

def

(4)

Ao final do processo, através de união das funções básicas que formam a PU com as funções de enriquecimento, é poss´ıvel obter as funções de forma φj do MEFG atreladas ao nó xj:

{φji} qj

i=0= Nj × {1, Lj1, Lj2, . . . , Ljqj} sendo Lj0 = 1 (2)

As funções do conjunto (1) podem ser polinomiais ou não, sendo selecionadas conforme o tipo de problema que se está analisando. Pela maneira como é realizado, o enriquecimento pode variar entre elementos e ainda assim chega-se a uma aproximação sem “costura”, Duarte et al. (2000), verificando o critério de conformidade dos elementos. Além disso, o emprego das funções do MEF para a PU simplifica a implementação e evita, segundo Barros (2002), problemas relacionados à integração numérica e à imposição das condições de contorno, en-contrados em diversas formulações sem malha. A aproximação ˜u(x) é, dessa maneira, obtida pela seguinte combinação linear das funções de forma, em que bjisão novos parâmetros nodais

em correspondˆencia a cada componente NjLji. :

˜ u(x) = N X j=1 Nj(x) ( uj + qj X i=1 Lji(x)bji ) (3)

Figura 1: Descrição das funções de MEFG em R2, (Barros, 2002)

Assim, como resultado final do processo, obtém-se a função produto, que apresenta as caracter´ısticas aproximadoras da função de aproximação local, ao mesmo tempo que herda o suporte compacto da PU.

˜ u(x) = N X j=1 Nj(x) ( uj+ qj X i=1 Lji(x)bji ) ⇒ ˜u = ΦTU (4)

4. IMPLEMENTAC¸ ˜AO EM AMBIENTE INSANE

O projeto INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment), (Fonseca, 2007) é um ambiente computacional desenvolvido no Departamento de Engenharia de Estruturas da Univer-sidade Federal de Minas Gerais. O INSANE é implementado em Java e utiliza o paradigma da programação orientada a objetos (POO). Em linhas gerais, ele pode ser dividido em três grandes aplicações: pré-processador, processador e pós-processador. O processador é a aplicação mais importante deste ambiente e representa o sistema do núcleo numérico, que é responsável por obter os resultados para diferentes modelos de análise.

(5)

A estrutura do núcleo numérico desenvolvido para o MEFG é formada por interfaces e classes abstratas que representam as diversas abstrações de uma resolução numérica de modelos discretos. Sua organização, quando refere-se ao MEFG, é centrada nas relações entre as inter-faces GfemAssembler, GfemModel e Persistence, além da classe abstrata Solution. A interface GfemAssembler é a responsável por montar o sistema matricial, incluindo a parte enriquecida do processo.

4.1 Interface Shape

No projeto INSANE original, as funções de aproximação estão agrupadas na hierarquia da interface Shape, que possui métodos responsáveis por fornecer as funções de forma, suas primeiras e segundas derivadas. A hierarquia é dividida segundo: sistema de coordenadas uti-lizado, geometria dos elementos finitos e número de nós na incidência dos elementos. Na Figura 2 isola-se as classes que foram modificadas dentro da interface Shape. As classes em amarelo representam aquelas que foram modificadas, enquanto as classes em verde representam aquelas que foram criadas.

Figura 2: UML das classes modificadas do pacote Shape

Para o desenvolvimento do MEFG neste ambiente, a construção do enriquecimento em elementos isoparamétricos de 4 lados, foi desenvolvida a classe denominada Q4Enrich. Através da informação da variável “grau de enriquecimento” a classe é capaz de interpretar as funções de aproximação que regem o problema, forncecendo seus dados para análise enriquecida. 4.2 Interface GfemAssembler

Para inclusão da abordagem do MFEG a interface Assembler foi implementada pela classe GFemAssembler que é apropriada aos diversos tipos de problemas que podem ser modela-dos através do MEFG. É importante ainda citar o método numberEquations(), que numera as equações do modelo, organizando-as segundo o critério de valores desconhecidos, prescritos ou como elementos que fazem parte do enriquecimento.

4.3 Interface GfemModel

O modelo discreto a ser analisado ´e representado pela interface GfemModel que representa de forma geral as caracter´ısticas espec´ıficas do modelo. GFemModel possui lista de n´os, ele-mentos, carregamento, materiais e outras caracter´ısticas do problema. Tem ainda dois atributos: AnalysisModel e ProblemDriver.

(6)

4.4 Classe Abstrata Solution

Com a equação do problema montada, fica a cargo da classe Solution, resolvê-la. Seu principal método é denominado execute() e é ele quem desencadeia todo o processo de solução. A classe SteadyState é a mais simples das subclasses de Solution, pois representa a solução de um problema linear estático. Para a resolução da equação do problema de MEFG, foram utilizadas implementações baseadas nos trabalhos de Silva et al. (2009).

5. EXEMPLO NUM ´ERICO

Neste artigo, será apresentada simulação numérica de um problema de viga, cujas soluções anal´ıticas já são conhecidas. Esta simulação possui a finalidade de estudar a influência das distorções da malha para o Método dos Elementos Finitos (MEF) convencional e o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG). O problema proposto foi modelado utilizando o programa INSANE, através da nova implementação do MEFG.

O objetivo principal deste exemplo é estabelecer um comparativo entre os elementos Q-12 e Q-16 (elementos quadrilaterais de, respectivamente, 12 e 16 nós), utilizando a teoria clássica do MEF (resultados de Lee and Bathe (1993)), e o elemento Q-4 enriquecido utilizando a teoria do MEFG. A simulação foi feita utilizando tanto o enriquecimento nas coordenadas naturais (tendo o INSANE como instrumento de análise), quanto nas coordenadas f´ısicas (obtidas de Barros (2002)). Através deste problema é poss´ıvel ter uma ideia do desempenho do MEFG para resolução de problemas de elementos finitos em que a malha tenha sofrido considerável distorção.

5.1 Problema de viga

A Figura 3 corresponde ao problema de uma viga submetida a uma forc¸a fy aplicada em

sua extremidade, como uma carga distribu´ıda do tipo parabólica. As reações de apoio estão aplicadas na face x = 0 através de uma força −fy e um momento M representado aqui por uma

distribuição de força fx. Isto é feito para que o problema simule a condição de viga engastada.

A estrutura encontra-se, portanto, auto-equilibrada e os v´ınculos introduzidos servem apenas para eliminar os movimentos de corpo r´ıgido.

Figura 3: Problema de viga a ser resolvido

Os valores utilizados na resolução do problema de estado plano de tensão são os seguintes, em unidades consistentes: Módulo de Elasticidade E = 1, 0 × 107; Coeficiente de Poison ν = 0, 3; Espessura t = 1, 0; P = 20c_L2 distribu´ıdo como fy = 120y_L − 120y

2

cL e M = 20c

2

distribu´ıdo como fx = 240y_c − 120.

Para as geometrias utilizadas na resolução do problema, diversos tipos de malha são pro-postas, como podem ser visto nas Figuras 4.

Para que somente os efeitos da distorção sejam considerados, a aproximação adotada para o MEFG deve ser capaz de representar, para uma malha regular, exatamente as soluções anal´ıticas

(7)

Figura 4: Descrição das malhas utilizadas na resolução do problema

do problema. Para isso, a Partição de Unidade (PU) definida pelas funções Lagrangianas de ordem 1 é enriquecida, de maneira que a função de forma seja capaz de representar exatamente polinômios completos do terceiro grau.

Tabela 2: Resultados comparativos (soluc¸˜ao anal´ıtica uy = 8, 046E − 03)

Ser. 12 n´os Lag. 16 n´os MEFG local MEFG global Malha

NGL uy NGL uy NGL uy NGL uy

I 24 8,046E-03 32 8,046E-03 40 8,046E-03 40 8,046E-03 II 40 3,444E-03 56 8,046E-03 60 4,052E-03 60 8,046E-03 III 64 0,585E-03 104 8,046E-03 80 2,011E-03 80 8,046E-03

Os resultados que estão representados na Tabela 2 mostram que a aproximação do problema através do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), utilizando as aproximações enriquecidas com funções em coordendas f´ısicas (MEFG global), consegue descrever de forma adequada o comportamento da viga. Assim como no MEF com interpolação Lagrangiana, a simulação através do MEFG não tem seu desempenho comprometido, conseguindo reproduzir exatamente a solução anal´ıtica.

Conforme foi visto na Tabela 1, os elementos Serend´ıpetos com 12 nós, ao apresentarem distorção angular, deixam de representar exatamente os polinômios completos de grau 3, res-trigindo-se apenas aos polinômios lineares. A dimensão do espaço definido através das inter-polações Lagrangianas acaba sendo bem superior ao espaço Serend´ıpeto. Assim, a penalização devido à distorção angular não chega a impedir que as aproximações sejam capazes de repre-sentar exatamente polinômios completos até terceiro grau. Dessa maneira, pode-se explicar a diferença de resultados obtidos para as duas formas de aproximação do MEF.

Na análise via MEFG, foram encontrados dois resultados distintos. Os resultados obti-dos com enriquecimento nas coordenadas f´ısicas, para as malhas I, II e III foram exatos. Já a análise com enriquecimento nas coordenadas naturais apresentou resultados satisfatórios ape-nas para o elemento não distorcido. Isto se deve à penalização da capacidade de representação de polinômios completos de ordem 3, que é induzida pelo mapeamento entre as coordenadas naturais, na qual o enriquecimento é definido, e as coordendas f´ısicas, no qual o problema é resolvido. Ilustra-se, assim, por meio deste exemplo, a importância de se construir o enriqueci-mento nas coordenadas f´ısicas do problema, caso se pretenda utilizar uma formulação com certa independência da malha.

(8)

6. CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS

Neste trabalho foi feito um estudo da utilização do Método dos Elementos Finitos (MEF) e do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) em análise de problemas que apresen-tam distorção nos elementos. Através da análise numérica do problema proposto, foi poss´ıvel identificar que o MEFG de enriquecimento global não é penalizado pela distorção dos ele-mentos, assim como o que ocorre no MEF com interpolação Lagrangiana. Por outro lado, do ponto de vista da flexibilidade/implementação do enriquecimento polinomial da solução aproximada, o MEFG apresenta-se vantajoso com relação ao MEF. Isso deve-se ao fato de que o enriquecimento é associado aos nós e não mais aos elementos, contornando problemas de conformidade da aproximação variável ao longo da malha. Ao final, validou-se, através de exemplos numéricos, a implementação do MEFG na plataforma INSANE, além de se realizar comparações entre os dois métodos envolvidos nesse trabalho.

Conclui-se, por fim, que através do estudo, implementação e testes numéricos, é poss´ıvel demonstrar alguns detalhes importantes da formulação do MEFG na análise de problemas que apresentam elementos distorcidos. Assim, elucida-se melhor o problema da distorção da malha e como ele pode interferir na qualidade da aproximação numérica do MEFG. A implementação do MEFG na plataforma INSANE, por sua vez, teve o sucesso planejado, comprovando-se a flexibilidade deste ambiente computacional. Os experimentos numéricos permitiram identificar a influência da distorção da malha e mostrou-se a importância de se fazer o enriquecimento nas coordendas f´ısicas.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e o Conselho Nacional de Desenvolv. Cient´ıfico e Tecnológico (CNPq).

7. BIBLIOGRAFIA

Barros, F. B., 2002. Métodos Sem Malha e Métodos dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas. Tese de doutorado, EESC - USP, São Carlos, SP, Brasil. Duarte, C. A., Babuska, I., & Oden, J., 2000. Generalized finite element methods for three-dimensional structural mechanics problems. Computers & Structures, vol. 77, n. 2, pp. 215– 232.

Duarte, C. A. & Oden, J. T., 1995. Hp clouds - a meshless method to solve boundary-value problem. Technical report, TICAM, The University of Texas at Austin. Technical Report. Fonseca, F.T., P. R., 2007. An object oriented class organization for dynamic geometrically non-linear. CMNE/CILAMCE 2007.

Lee, N. S. & Bathe, K. J., 1993. Effects of element distortions on the performance of isopara-metric elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 36, pp. 3553–3576.

Silva, F. F. A., Santos, A. L., Barros, F. B., & Pitangueira, R. L., 2009. Detalhes da implementação do método dos elementos finitos generalizados em ambiente de programação orientada a objetos - matriz de rigidez semi-definida positiva. CILAMCE 2009.

8. DIREITOS AUTORAIS