Viscosidade
Relatório 2
Lorenzo Philip Ramacciotti Vieira ; N°USP: 11224014 Malu Pellachin; N°USP: 8527707
Lucas José e Silva ; N°USP: 11371781
1. Resumo:
Neste experimento pretendemos estudar o movimento de queda que 8 grupos de 4 esferas realizam em meio viscoso, o qual se caracteriza por ser um fluido de regime laminar . 1
Isto deve nos levar a determinar a viscosidade do fluido a partir das medições realizadas para a velocidade limite do móvel. Para tanto, uma série de correções foram realizadas para considerar o movimento dentro das delimitações de espaço, e não em ambiente infinito. Primeiramente corrige-se os dados de velocidade e de η de acordo com o Fator C e, em um segundo momento, fazemos a correção para a temperatura ambiente de 25 °C. De posse desses dados ajustados, lançamos mão do método dos MMQ para obtermos os coeficientes angulares das velocidades corrigidas nos dois cenários, pois esses valores nos possibilitam novo cálculo do índice de viscosidade. Neste ponto, conforme pretendemos, temos realizado o objetivo último do nosso trabalho, e o teste Z realizado entre os η calculados a partir dos coeficientes angulares retirados dos MMQ e os calculados a partir das correções de Ladenburg, proporciona reflexão positiva a respeito da compatibilidade dos resultados e da qualidade das medidas, bem como se as normalizações realizadas foram suficientes.
Introdução:
Ao analisar a queda de um móvel, os fatores mais importantes de estudo são: o ambiente em que ocorre o movimento e quais características que o mesmo apresenta. Isto é feito com objetivo de identificar prováveis variáveis que influenciam no movimento de queda. Antes de observar o próprio movimento em questão, deve-se deixar claro que líquidos apresentam o volume bem definido, mas não a forma, a qual depende do recipiente. A propriedade principal de um fluido é a de poder escoar ou fluir no meio em que está contido, em função disto se dá origem ao nome “fluído”.
Na vida cotidiana, para transmitir o conceito de movimento, expressões como “ o avião enfrenta muita turbulência” ou “turbulência do rio” são frequentemente utilizadas. No
1 Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas, cada uma delas preservando sua característica no meio. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade.
1
5,8
entanto, essa descrição do movimento turbulento é apenas qualitativa e, até certo ponto,2 subjetiva, o que não é o que queremos dizer em física. Depois que Reynolds publicou os resultados do experimento clássico de tubulação em 1883, ele definiu claramente o movimento turbulento do fluido. O dispositivo consiste em um tubo de vidro com uma entrada cada vez menor, imersa em um tanque de água com paredes laterais de vidro. Depois que o corante é injetado no reservatório, é possível observar o fluxo através do tubo.
Imagem 1: Aparato da Experiência de Reynolds
Ao usar uma válvula acionada por alavanca para alterar a taxa de fluxo na tubulação, Reynolds descreve dois tipos constantes de movimento: movimento linear e movimento sinusoidal (ou laminar e turbulento). Pesquisas realizadas por Reynolds mostram que, para uma certa faixa de vazões, diâmetros de tubo e viscosidades, a ocorrência de transições de turbulência laminar é aproximadamente igual ao valor do quociente adimensional que obteve seu nome:
2 Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade é relativamente baixa.
Reynolds fez excelentes contribuições para o desenvolvimento da mecânica dos fluidos pelas seguintes razões:
1. Usando a tecnologia de visualização de fluxo, ele descobriu o comportamento do fluido em movimento laminar e turbulento e estabeleceu as características qualitativas dos dois.
2. Com a descoberta do número de Reynolds, ele conseguiu determinar a universalidade desses movimentos, independentemente do tipo de fluido, taxa de fluxo e tamanho do cateter.
3. Através do número crítico de Reynolds, ele estabeleceu uma medida objetiva da transição do movimento laminar para o turbulento.
O fluido cuja tensão tangencial é proporcional à respectiva taxa de deformação é chamado fluido newtoniano. O termo fluido não newtoniano é usado para se referir a um fluido cuja tensão tangencial não é proporcional à respectiva taxa de deformação. A equação de Bernoulli descreve o fluxo permanente de fluido em um tubo horizontal longo, com seção transversal reta constante e pressão constante. Ao observar essa situação, você encontrará uma queda de pressão à medida que se move na direção do fluxo de fluido. Ou seja, se houver uma queda de pressão, o fluido flui apenas através do tubo horizontal.
Essa diferença de pressão é necessária para superar a resistência entre a superfície interna do tubo e a camada de fluido em contato direto com ele e para superar a resistência entre cada camada e a camada adjacente, movendo-se em velocidades diferentes. Essas resistências são forças viscosas. Devido a elas, a velocidade do fluido na parte reta do tubo não é constante.
A partir das considerações acima sobre fluídos líquidos e suas características, damos inicio a análise ao movimento de queda de um corpo em um meio que apresenta um fluído líquido com o objetivo de determinar a viscosidade do fluido. De início, pode-se notar a partir
do diagrama de forças atuantes sobre o corpo durante esta queda o que influencia em seu próprio movimento:
Figura 2: Diagrama de forças
O diagrama de forças nos fornece todas as forças atuantes no corpo, as quais são:
E = Empuxo Fv = Força de Viscosidade ou Força de Arraste mg = Peso do corpo
O movimento do corpo em um meio viscoso é afetado pela ação de forças viscosas, onde, conforme a Lei de Stokes Fv é proporcional à velocidade v. Se considerarmos um sistema em que uma esfera apresenta velocidade baixa, a força viscosa (força de arrasto) é expressa no módulo pela seguinte fórmula (Lei de Stokes).
Onde ƞ é o coeficiente de viscosidade do meio (N*s / m^2 ) , R (m) é o raio da 3 4 esfera, v é velocidade de queda (m/s) . Se uma esfera com uma densidade maior que o líquido 5 for liberada na superfície, a velocidade é zero no momento inicial, mas a força resultante gerada acelera a esfera, fato que ocasionará o aumento da sua velocidade.
Imagem 3: Gráfico velocidade x tempo
3Unidade de medida para viscosidade. 4 Unidade de medida para raio. 5 Unidade de medida para velocidade.
Pode-se notar que a partir de um certo intervalo de tempo, a velocidade aumenta de maneira não uniforme e atinge uma certa velocidade constante (denominada velocidade limite), ou seja, passa a apresentar um movimento uniforme, ou seja a aceleração passa a ser nula. Assim sendo, podemos recorrer a segunda lei de Newton ( Fr = m*a ) e ao analisar o movimento a partir do instante em que o corpo assume velocidade constante, a força resultante do corpo é nula. Assumindo o diagrama de forças acima e a segunda lei de Newton, temos que:
Ao analisar a força peso da esfera (m*g) levamos em conta que a massa da esfera pode ser calculada a partir da multiplicação entre a densidade absoluta do material que o corpo é constituído e seu próprio volume. Onde temos:
Já a força de empuxo analisada é o próprio produto entre a densidade do líquido (fluído), a gravidade local e o volume submerso do móvel (esfera). Onde temos:
Se reescrevermos a fórmula da força resultante , encontremos:
Ao analisar a equação acima e desconsiderar o fato que as paredes do tubo afetam o movimento de queda da esfera, é possível calcular a velocidade limite e a viscosidade que o fluido apresenta através das seguintes fórmulas.
e
É possível notar que as grandezas velocidade limite e viscosidade são inversamente proporcionais se a medida do raio se mantiver constante. Portanto, quanto maior for a velocidade limite, menor será a viscosidade apresentada pelo fluido e vice-versa.
Porém, considerando um sistema real deve-se levar em conta a influência que as paredes do recipiente exercem sobre o movimento da esfera ao se deslocar. Sendo assim, para ajustar o valor obtido para velocidade limite e viscosidade deve-se considerar a correção de Ladenburg que leva em conta o raio da esfera, o raio do recipiente e da altura do recipiente. Esta correção é dada por:
R é, por sua vez, utilizado como símbolo para representar o raio da esfera, A o raio do tubo e B a altura total do fluido. Sendo assim, a valor de correção para a força viscosa, a velocidade limite e para a viscosidade que o fluido apresenta serão respectivamente:
Como foi observado na descrição sobre a experiência de Reynolds sobre o comportamento do fluido em movimento laminar e turbulento, devemos levar em conta que a lei de Stokes se aplica apenas para fluidos em regime laminar, ou seja, apenas onde as moléculas do fluido se deslocam em formas de linhas. A mesma não é válida em um regime turbulento onde pode ocorrer de se formarem os chamados “vórtices” dentro do fluido e alterar o movimento realizado pela esfera.
Sendo assim, demos início ao experimento com o objetivo de estudar o movimento de uma esfera dentro de um meio viscoso e determinar a viscosidade que ele apresenta após tomar os dados da velocidade limite que a esfera atinge ao realizar uma queda no próprio
usamos outra fórmula..
meio viscoso, sempre avaliando os fatores relevantes para observar as principais influências que poderiam ser essenciais para a análise do movimento em questão.
2. Descrição Experimental
Arranjo Experimental:
Recipiente / Tubo : material que contém a solução de análise e apresenta diâmetro interno de 5,032cm +/- 0,007cm .
Imagem 4: ilustração do recipiente com as marcações com o fluido (óleo).
Óleo: fluído inserido no tubo com densidade 0,883 g/cm^3 +/- 0,001 g/cm^3.
Esferas: foram utilizados 8 grupos de 4 esferas com diâmetros distintos com o intuito de apresentar com maior precisão o valor da viscosidade. Todas apresentavam a mesma densidade de 7,85 g/cm^3 +/-0,01 g/cm^3.
Imagem 5: ilustração das esferas utilizadas.
A seguir elencamos uma tabela na qual um dos integrantes do grupo registrou as medições de diâmetro das esferas dos 8 grupos mencionados. Todos os outros 2 integrantes do grupo construíram tabelas semelhantes:
Micrômetro: utilizado para aferir com maior precisão e resolução o diâmetro das esferas (foram realizadas medições de 4 esferas com diâmetro quase igual e ao final foi tomada a média de cada grupo de esferas com o intuito de apresentar um resultado mais 7
Não vai dizer que o experimento era virtual? pq tem as marcações? as incertezas foram dadas ou vcs que avaliaram?
preciso), lembrando que quanto mais medições forem realizadas, maior será a precisão do valor final utilizado. Incerteza: +/- 0,0005 cm.
Imagem 6: ilustração do micrômetro utilizado.
Trena: utilizada para calcular a altura do recipiente/tubo. Incerteza: +/- 0,05 cm. Cronômetro (celular digital): utilizado para aferir o tempo de queda da esfera. Incerteza: +/-0,01s.
Densímetro: medidor da densidade do óleo. Incerteza: +/- 0,001 g/cm^3. Termômetro: utilizado para medir a temperatura do óleo. Incerteza: +/- 0,1°.
Tabela 3: medição da temperatura dos recipientes de cada integrantes do grupo.
Procedimento Experimental:
Foram considerados 8 grupos com 4 esferas de diâmetros diferentes para cada integrante do grupo com o intuito de obter cada medida de diâmetro. Cada conjunto de dados apresentou um valor médio de diâmetro com maior precisão através da média aritmética entre eles, diminuindo a porcentagem do erro.
Ao colocar o fluido dentro do recipiente, foi definido um ponto de início (X0), pouco abaixo do início do topo, e um ponto final (XF) com o objetivo de marcar onde ocorre o início e fim da tomada de dados do movimento realizado pela esfera. Vale deixar claro que o cronômetro começa a rodar logo que a esfera ocupa a posição X0, objetivando diminuir o erro percentual da sua velocidade limite, já que como a esfera acelera durante o movimento, ela realizará a maior parte do percurso até o fim do tubo a uma velocidade acima de 99% da velocidade limite.
Para iniciar o estudo do movimento, cada grupo de teve suas esferas abandonadas desde o repouso e ao passar pela marcação inicial foi iniciado a medição do tempo, através do cronômetro do celular digital, que cada uma leva para se deslocar até a marcação final. Após realizar 5 medições de tempo para cada grupo de esferas com o intuito de apresentar maior precisão de medida, foi realizado o cálculo para verificar o tempo médio levado através da média aritmética entre os tempos que cada grupo de esferas levou para atingir o final do percurso e o desvio padrão com o intuito de realizar a incerteza final levando em conta a incerteza do cronômetro.
Com a medida da distância entre cada marcação no recipiente e os tempos médios que cada grupo de esferas leva para completar o percurso, foi possível realizar a medição da velocidade que cada grupo de esferas apresentou. Sendo assim, de posse da densidade do líquido, da esfera, da velocidade limite que cada uma apresentou e da gravidade, foi possível avaliar o índice de viscosidade do meio.
Ao obtermos os respectivos valores de velocidade limite e viscosidade do fluido, foi possível notar que não foi levado em conta a influência que as paredes do recipiente exercem sobre o movimento da esfera durante a queda, portanto foi realizada a correção de Ladenburg, que considera a influência que as paredes do recipiente exercem sobre as esferas ao realizarem o movimento de queda, para esses valores.
9
critério?
hipóteses assumidas para os cuidados no experimento
Deve-se notar que a correção só leva em conta que as paredes exercem influência sobre o movimento da esfera em função de o meio apresentar escoamento laminar, ou seja, a camada do fluido que está em contato com as paredes apresenta velocidade pequena e varia continuamente à medida que se afasta dela. Através desta correção, foram calculados novos valores para o índice de viscosidade e velocidade limite de cada esfera com o intuito de calcular valor mais próximo da realidade. Foi também possível notar que através da fórmula correção de Ladenburg, o termo que acompanha a variável independente, ou seja, o coeficiente angular da função é o próprio índice de viscosidade do fluido. Sendo assim, para ajustar uma reta desta função, em outras palavras, minimizar a distância aos valores dados (método dos mínimos quadrados), obtivemos o valor do coeficiente angular e por fim, o valor do próprio índice de viscosidade.
3. Resultados das medições, cálculos e análise de dados
Aluno 1grupo 1 grupo2 grupo3 grupo4 grupo 5 grupo 6 grupo 7 grupo 8 diâmetro (cm) d1 - Esfera 1 0,151 0,198 0,249 0,318 0,399 0,476 0,550 0,635 d2 - Esfera 2 0,152 0,201 0,249 0,319 0,395 0,476 0,551 0,634 d3 - Esfera 3 0,149 0,197 0,250 0,312 0,397 0,477 0,549 0,636 d4 - Esfera 4 0,150 0,199 0,251 0,317 0,396 0,475 0,551 0,636 Diâmetro médio (cm) 0,150 0,199 0,250 0,316 0,397 0,476 0,550 0,635 Desvio padrão 0,001 0,002 0,001 0,003 0,001 0,001 0,001 0,001 Incerteza final (cm) 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 Tempo de queda (s) t1 18,47 10,73 6,96 4,76 3,25 2,41 2,20 1,67 t2 18,60 10,75 7,15 4,85 3,28 2,45 2,31 1,75 t3 18,63 10,65 7,08 4,88 3,28 2,39 2,23 1,55 t4 18,83 10,58 7,03 4,63 3,24 2,52 2,18 1,67 t5 18,52 10,70 7,11 4,75 3,37 2,46 2,25 1,59 Tempo médio 18,61 10,68 7,07 4,77 3,28 2,45 2,23 1,65 Desvio padrão 0,14 0,07 0,07 0,10 0,05 0,05 0,05 0,08 Incerteza final (s) 0,12 0,11 0,11 0,11 0,10 0,10 0,10 0,11
Tabela 4-Diâmetros de cada esfera,diâmetro médio,medidas de tempo,tempo médio,desvio padrão e incertezas finais
calculamos
incompatível com incerteza 0,0005 cm medidas com menos precisão do que poderia
Aluno 2
grupo 1 grupo2 grupo3 grupo4 grupo 5 grupo 6 grupo 7 grupo 8 diâmetro (cm) d1 - Esfera 1 0,151 0,198 0,249 0,318 0,397 0,476 0,550 0,635 d2 - Esfera 2 0,150 0,199 0,238 0,317 0,396 0,476 0,551 0,636 d3 - Esfera 3 0,151 0,201 0,250 0,316 0,395 0,478 0,549 0,635 d4 - Esfera 4 0,152 0,200 0,250 0,319 0,396 0,475 0,550 0,638 Diâmetro médio (cm) 0,151 0,199 0,247 0,318 0,396 0,476 0,550 0,636 Desvio padrão 0,001 0,001 0,006 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 Incerteza final (cm) 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 Tempo de queda (s)
grupo 1 grupo2 grupo3 grupo4 grupo 5 grupo 6 grupo 7 grupo 8
t1 20,35 12,67 8,40 5,38 4,05 2,85 2,65 1,95 t2 20,96 12,46 8,46 5,45 3,91 2,84 2,54 1,92 t3 20,87 12,69 8,70 5,42 3,94 2,87 2,73 1,99 t4 20,92 12,57 8,52 5,29 4,04 2,90 2,59 2,02 t5 20,69 12,50 8,60 5,40 4,04 2,86 2,58 1,96 Tempo médio (s) 20,76 12,58 8,54 5,39 4,00 2,86 2,62 1,97 Desvio padrão 0,25 0,10 0,12 0,06 0,07 0,02 0,07 0,04 Incerteza final (s) 0,15 0,11 0,11 0,10 0,10 0,10 0,11 0,10
Tabela 5-Diâmetros de cada esfera,diâmetro médio,medidas de tempo,tempo médio,desvio padrão e incertezas finais.
Aluno 3
grupo 1 grupo2 grupo3 grupo4 grupo 5 grupo 6 grupo 7 grupo 8 diâmetro (cm) d1 - Esfera 1 0,147 0,198 0,249 0,317 0,398 0,475 0,551 0,633 d2 - Esfera 2 0,147 0,198 0,248 0,317 0,396 0,472 0,549 0,634 d3 - Esfera 3 0,148 0,197 0,249 0,317 0,399 0,475 0,550 0,634 d4 - Esfera 4 0,149 0,199 0,249 0,318 0,394 0,476 0,550 0,633 Diâmetro médio 0,148 0,198 0,249 0,317 0,397 0,475 0,550 0,634 Desvio padrão 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,001 0,001 Incerteza final 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 0,475 Tempo de queda (s) t1 19,74 12,01 8,35 6,24 4,06 3,39 2,94 2,07 t2 20,01 12,24 8,07 6,21 4,10 3,26 2,59 2,05 t3 19,48 12,23 8,46 6,10 4,32 3,50 2,62 1,98 t4 19,65 12,29 8,18 6,29 3,99 3,39 2,94 1,99 t5 19,76 12,29 8,18 6,14 4,29 3,22 2,67 1,97 Tempo médio 19,73 12,21 8,25 6,20 4,15 3,35 2,75 2,01 Desvio padrão 0,19 0,12 0,16 0,08 0,15 0,11 0,17 0,04 Incerteza final 0,13 0,11 0,12 0,11 0,12 0,11 0,13 0,10
Tabela 6-Diâmetros de cada esfera,diâmetro médio,medidas de tempo,tempo médio,desvio padrão e incertezas finais.
Após realizar as medições dos diâmetros de cada esfera dos grupos foi calculado o diâmetro médio e sua respectiva incerteza. Para avaliar a flutuação dos valores foi calculado o desvio padrão dos mesmos. Após esta etapa, com a posse da distância entre as marcações, foi cronometrado o tempo de queda que cada grupo de bolinhas apresentou e sua respectiva incerteza. Foram realizadas 5 medidas de tempo de queda para um mesmo grupo com o intuito de obter o valor médio de queda com maior precisão. Apenas com essas medições, foi possível notar que quanto maior o diâmetro medido menor o tempo de queda. Observação 6
6 O processo de tomada de dados e procedimento experimental realizado foi igual para todos os integrantes do grupo - (Aluno 1, Aluno 2, Aluno 3).
Resultados e análise de dados:
Aluno 1 - Sem correção
raio^2 (cm) 0,0056 0,0099 0,0156 0,0250 0,0393 0,0566 0,0757 0,1008 inc (cm) 0,0001 0,0001 0,0001 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 Veloc (cm/s) 3,49 6,09 9,20 13,62 19,79 26,57 29,10 39,49 inc (cm/s) 0,02 0,06 0,14 0,32 0,62 1,12 1,34 2,56 eta (cgs) 2,44 2,46 2,57 2,78 3,01 3,23 3,94 3,86 inc (cgs) 0,03 0,04 0,04 0,07 0,10 0,14 0,18 0,25
Tabela 7-Raio ao quadrado. incerteza raio ao quadrado, velocidade, incerteza das velocidades, índice de viscosidade,
incerteza do índice de viscosidade.
Aluno 2 - Sem correção raio^2 (cm) 0,0057 0,0099 0,0152 0,0252 0,0391 0,0566 0,0756 0,1010 inc (cm) 0,00004 0,0001 0,0004 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 Veloc (cm/s) 3,13 5,17 7,61 12,06 16,27 22,70 24,83 33,03 inc (cm/s) 0,02 0,05 0,10 0,24 0,43 0,80 1,01 1,71 eta (cgs) 2,74 2,91 3,02 3,16 3,64 3,77 4,60 4,63 inc (cgs) 0,03 0,03 0,08 0,06 0,09 0,13 0,18 0,24
Tabela 8-Raio ao quadrado. incerteza raio ao quadrado, velocidade, incerteza das velocidades, índice de viscosidade, incerteza do índice de viscosidade.
13
1 sig
incomp com tabela anterior
Aluno 3 - Sem correção raio^2 (cm) 0,0055 0,0098 0,0155 0,0252 0,0394 0,0563 0,0756 0,1003 inc (cm) 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 Veloc (cm/s) 3,29 5,32 7,88 10,49 15,66 19,39 23,62 32,31 inc (cm/s) 0,02 0,05 0,12 0,18 0,45 0,65 1,09 1,65 eta (cgs) 2,51 2,79 2,97 3,63 3,81 4,40 4,85 4,71 inc (cgs) 0,03 0,03 0,05 0,06 0,11 0,15 0,23 0,24
Tabela 9- Raio ao quadrado. incerteza raio ao quadrado, velocidade, incerteza das velocidades, indice de viscosidade, incerteza do índice de viscosidade.
Grupo Diâmetro médio (cm) 0,150 0,199 0,248 0,317 0,396 0,475 0,550 0,635 Desvio padrão 0,002 0,001 0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 Incerteza final (cm) 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 Tempo médio (s) 19,7 11,8 7,9 5,4 3,8 2,9 2,5 1,9 Desvio padrão 0,93 0,85 0,70 0,61 0,40 0,39 0,25 0,18 Incerteza final (s) 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,06 raio^2 (cm^2) 0,0056 0,0099 0,0154 0,0251 0,0393 0,0565 0,0756 0,1007 inc (cm) 0,0001 0,0001 0,0002 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 Veloc (cm/s) 3,30 5,50 8,18 11,92 17,06 22,51 25,64 34,66 inc (cm/s) 0,05 0,13 0,22 0,42 0,57 0,96 0,81 1,06 eta (cgs) 2,57 2,72 2,86 3,19 3,49 3,80 4,47 4,40 inc (cgs) 0,03 0,03 0,06 0,07 0,10 0,14 0,20 0,24
Tabela 10-Diâmetro médio, desvio padrão do diâmetro, incerteza final diâmetro médio, tempo médio, desvio-padrão do
tempo médio, incerteza final do tempo médio, raio ao quadrado, incerteza raio ao quadrado, velocidade, incerteza.
Depois da tomada de dados de cada aluno com relação a sua própria velocidade, foi realizado o cálculo para descobrir o índice de viscosidade respectivo e também para o grupo no geral, realizando a média de cada valor obtido de cada grandeza.
De acordo com o que foi possível de identificar, o índice de viscosidade sem correção apresenta um certo aumento no seu valor quando realizamos o cálculo da velocidade para esferas que apresentam raios maiores ou iguais a aproximadamente 3,80 +/- 0,01.
Pode -se notar que, a partir do cálculo para descobrir quais medidas de raio^2 estavam mais discrepantes para seus respectivos valores de viscosidade, aqueles que apresentavam valores maiores do que 3,80, não apresentaram compatibilidade com o índice de viscosidade médio calculado para cada aluno. Sendo assim, para comprovar a esta hipótese, foi realizada a tabela 11, para verificar a existência de eventuais resíduos calculados e que poderiam ser retirados dos resultados obtidos e não serem utilizados na construção dos respectivos gráficos.
Cálculo de Resíduos - Viscosidade sem correção
Aluno 1
eta s/correção médio inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z 3,04 0,11 3,94 0,18 4,28 Resíduo 3,87 0,25 3,06 Aluno 2
eta s/correção médio inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z 3,57 0,11 4,61 0,19 4,83 Resíduo 4,64 0,24 4,04
eta s/correção médio inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z Aluno 3 3,71 0,11 4,40 0,15 3,68 Resíduo 4,85 0,23 4,54 4,71 0,24 3,75
Tabela 11- Eta sem correção médio, incerteza da média, medidas dispersas (aluno 1, 2 e 3), incertezas das medidas
dispersas, teste Z.
15
7
Gráfico 1 : Viscosidade(cgs) x Raio(cm) (Sem correção)
O gráfico acima evidencia que o índice de viscosidade médio calculado sem correção, mostra que ele apresenta uma certa distância significativa dos valores calculado do aluno 1, fato que demonstra uma certa imprecisão quanto a tomada de dados do respectivo aluno . Lembrando que os valores calculado e identificados como resíduos foram retirados da montagem do gráfico.
Partindo dos resultados obtidos para velocidade e índice de viscosidade sem correção, foram realizados cálculos para encontrar o fator de correção Ladenburg, que considera a influência que as paredes dos recipientes exercem sobre o movimento de queda da bolinha, tanto para o índice de viscosidade e velocidade.
Aluno 1 - Com correção
Fator C (P) 0,077 0,104 0,133 0,174 0,225 0,278 0,331 0,395
Vel cor (cm/s) 3,76 6,71 10,42 15,97 24,24 33,97 38,73 55,07
inc (cm/s) 0,02 0,06 0,15 0,37 0,76 1,43 1,79 3,56
eta cor (cgs) 2,27 2,23 2,26 2,37 2,45 2,52 2,96 2,77
inc (cgs) 0,03 0,03 0,04 0,06 0,08 0,10 0,14 0,10
Tabela 12- Fator C de correção de Ladenburg, velocidade corrigida, incerteza velocidade limite, índice de viscosidade,
incerteza índice de viscosidade. (Aluno 1)
7 Vale notar que os coeficientes angulares e lineares calculados não devem ser levados em consideração em função do excel não levar em conta as incertezas das medidas e se ajustar a partir dos pontos dados.
díficil de ler coordenadas sem linhas de grade auxiliares
Aluno 2 - Com correção Fator C 0,077 0,104 0,131 0,174 0,224 0,278 0,331 0,395 Vel cor (cm/s) 3,37 5,70 8,61 14,16 19,91 29,01 33,04 46,08 inc (cm/s) 0,03 0,05 0,11 0,27 0,52 1,02 1,33 2,39 eta cor (cgs) 2,55 2,64 2,67 2,70 2,99 2,956 3,466 3,322 inc (cgs) 0,02 0,03 0,08 0,05 0,08 0,105 0,141 0,173
Tabela 13- Fator C de correção de Ladenburg, velocidade corrigida, incerteza velocidade limite, índice de viscosidade,
incerteza índice de viscosidade. ( Aluno 2)
Aluno 3 - Com correção
Fator C 0,075 0,103 0,133 0,174 0,225 0,278 0,331 0,393
Vel cor (cm/s) 3,54 5,87 8,92 12,31 19,17 24,77 31,44 45,01
inc (cm/s) 0,02 0,05 0,13 0,21 0,55 0,83 1,45 2,29
eta cor (cgs) 2,33 2,52 2,62 3,09 3,11 3,44 3,64 3,37
inc (cgs) 0,02 0,03 0,04 0,05 0,09 0,11 0,16 0,17
Tabela 14- Fator C de correção de Ladenburg, velocidade corrigida, incerteza velocidade limite, índice de viscosidade, incerteza índice de viscosidade.( Aluno 3)
Grupo para Fator C
Fator C 0,076 0,080 0,085 0,094 0,107 0,123 0,140 0,163
Vel cor (cm/s) 3,55 5,93 8,87 13,04 18,88 25,27 29,23 40,30
inc (cm/s) 0,05 0,13 0,23 0,46 0,63 1,08 0,92 1,22
eta cor (cgs) 2,38 2,51 2,63 2,91 3,15 3,38 3,91 3,78
inc (cgs) 0,02 0,03 0,05 0,06 0,09 0,12 0,17 0,21
Tabela 15- Fator C de correção de Ladenburg, velocidade corrigida, incerteza velocidade limite, índice de viscosidade, incerteza índice de viscosidade.( Grupo)
Após realizar a correção de Ladenburg para velocidade e para o índice de viscosidade de cada integrantes do grupo, foi realizada uma tabela geral reunindo os valores médios para cada grupo de esferas com as respectivas grandezas citadas.
Sendo assim, ao verificar as compatibilidades de cada valor de índice de viscosidade com o valor médio, foram encontrados poucos valores de resíduos, o que se pode atribuir ao fato de que agora, os cálculos foram feitos levando em consideração um sistema que está submetido a influência das paredes do recipiente e sendo assim, está mais próximo da realidade.
Cálculo de Resíduos - Viscosidade com correção
Aluno1
eta c/correção
médio inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z 2,48 0,08 2,96 0,14 2,99 Não é Resíduo 2,77 0,18 1,48 Aluno2 eta c/correção
médio inc média
medidas
dispersas inc medidas dispersas teste Z
2,91 0,09
3,47 0,14 3,37 Resíduo
3,32 0,17 2,14 Não é resíduo
eta c/correção
médio inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z Aluno 3 3,02 0,09 2,334 0,03 7,43 Resíduo 3,645 0,17 3,28 3,377 0,17 1,84 Não é resíduo
Tabela 16 - Eta com correção médio, incerteza da média, medidas dispersas (Alunos 1, 2 e 3), incerteza das medidas dispersas, teste Z.
8
Gráfico 2 : Viscosidade(cgs) x Raio(cm) (Com correção)
O gráfico acima em comparação com o gráfico 1 apresenta valores de índices de viscosidade mais compatíveis com a média dos índices de viscosidade encontrado. Isto pode ser devido ao fato de que agora o sistema está com os fatores de viscosidade corrigidos.
8 Vale notar que os coeficientes angulares e lineares calculados não devem ser levados em consideração em função do excel não levar em conta as incertezas das medidas e se ajustar a partir dos pontos dados.
discussão média ponderada?...
Aluno 1 - Normalizado para 25°C Fator correção 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 1,056 eta cor 2 (cgs) 2,39 2,35 2,39 2,50 2,59 2,66 3,12 2,92 inc (cgs) 0,03 0,03 0,03 0,06 0,08 0,11 0,14 0,19 Vel cor (cm/s) 7,18 12,50 18,90 27,98 40,68 54,62 59,80 81,17 inc (cm/s) 0,05 0,12 0,28 0,64 1,28 2,30 2,76 5,25
Tabela 17- Fator C de correção de Ladenburg para 25°C, índice de viscosidade, incerteza índice de viscosidade, velocidade,
incerteza da velocidade. (Aluno 1)
Aluno 2 - Normalizado para 25°C
Fator correção 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118 1,118
eta cor 2 (cgs) 2,85 2,94 2,98 3,01 3,32 3,30 3,87 3,71
inc (cgs) 0,03 0,03 0,08 0,06 0,08 0,11 0,15 0,19
Vel cor (cm/s) 6,43 10,62 15,65 24,79 33,43 46,65 51,03 67,89
inc (cm/s) 0,05 0,09 0,21 0,48 0,88 1,65 2,06 3,52
Tabela 18- Fator C de correção de Ladenburg para 25°C, índice de viscosidade, incerteza índice de viscosidade, velocidade,
incerteza da velocidade. (Aluno 2)
Aluno 3 - Normalizado para 25°C
Fator correção 1,188 1,188 1,188 1,188 1,188 1,188 1,188 1,188
eta cor 2 (cgs) 2,77 3,00 3,11 3,67 3,69 4,08 4,32 4,01
inc (cgs) 0,03 0,03 0,04 0,06 0,11 0,13 0,20 0,20
Vel cor (cm/s) 6,77 10,94 16,19 21,56 32,18 39,86 48,55 66,40
inc (cm/s) 0,05 0,10 0,24 0,37 0,93 1,34 2,24 3,38
Tabela 19- Fator C de correção de Ladenburg para 25°C, índice de viscosidade, incerteza índice de viscosidade, velocidade, incerteza da velocidade.( Aluno 3)
Grupo para Fator C normalizado para 25°C
Fator C 1,120 1,120 1,120 1,120 1,120 1,120 1,120 1,120
Vel cor (cm/s) 6,99 11,65 17,33 25,27 36,16 47,73 54,37 73,48
inc (cm/s) 0,10 0,26 0,46 0,89 1,21 2,04 1,71 2,23
eta cor (cgs) 1,21 1,28 1,34 1,50 1,64 1,79 2,10 2,07
inc (cgs) 0,01 0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 0,09 0,11
Tabela 20- Fator C de correção de Ladenburg, velocidade corrigida, incerteza velocidade limite, índice de viscosidade,
incerteza índice de viscosidade.( Grupo)
Após realizar os cálculos para velocidade e índice de viscosidade com a correção de Ladenburg, realizamos o cálculos destas grandezas com o fator de correção de temperatura para 25°, obtendo este valor a partir das temperaturas dadas inicialmente de cada respectivo fluido.
Para obter o índice de viscosidade de cada temperatura de cada integrante, foi observado no gráfico de variação do índice de viscosidade em função da temperatura. Em função disto, os índices de correção obtidos para cada aluno foi diferente.
Ao realizar o cálculo para verificar a existência de resíduos, foi verificado que ocorreu presenças dos mesmos para esferas de raios maiores. Por hipótese, isso ocorre em função de que os valores de viscosidade e velocidade estão corrigidos e normalizados para a temperatura de 25°C.
Cálculo de Resíduos - Normalizado para 25°C
Aluno1
eta c/correção
médio para 25°C inc média
medidas
dispersas inc medidas dispersas teste Z
2,62 0,09 3,12 0,14 2,99 Não é resíduo 2,93 0,19 1,48 Aluno2 eta c/correção
médio para 25°C inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z 3,25 0,10 3,87 0,16 1,79 Não é resíduo 3,71 0,19 1,26 eta c/correção
médio para 25°C inc média
medidas dispersas inc medidas dispersas teste Z Aluno 3 3,59 0,10 4,09 0,14 4,78 Resíduo 4,33 0,20 7,06 4,01 0,20 4,01
Tabela 21 - Eta com correção para 25ºC, incerteza da média, medidas dispersas (Aluno 1, 2 e 3), incerteza das medidas
dispersas, teste Z.
Imagem 8: gráfico índice de viscosidade por temperatura.
Gráfico 3 : Viscosidade(cgs) x Raio(cm) (Com correção para 25°C)
9
Ao comparar os gráficos dos gráficos 1 e 2 com o 3, pode-se ver que o valor médio do índice de viscosidade é mais próximo de cada valor calculado por cada aluno com relação a viscosidade. Isto se deve ao fato que agora, o parâmetro de viscosidade está corrigido para a temperatura de 25°C.
Para verificar os resultados obtidos para as velocidades, foram realizados gráficos da velocidade pelo raio ao quadrado pelo excel com os valores obtidos por cada integrante do grupo como pode ser visto a seguir:9 Vale notar que os coeficientes angulares e lineares calculados não devem ser levados em consideração em função do excel não levar em conta as incertezas das medidas e se ajustar a partir dos pontos dados.
Gráfico 4 : Velocidade(cm/s) x Raio^2(cm^2) (Aluno 1)
Gráfico 5 : Velocidade(cm/s) x Raio^2(cm^2) (Aluno 2)
era para fazer um gráfico com dados dos alunos e grupo sem correção...
Gráfico 6 : Velocidade(cm/s) x Raio^2(cm^2) (Aluno 3)
Ao analisar cada um desses gráficos, percebe-se que a velocidade corrigida apresenta um aumento considerável em relação a velocidade não corrigida em função de que, com a correção de Ladenburg, o cálculo da velocidade já considera a influência que as paredes do meio exercem sobre o movimento de queda da esfera, isto é, em meio que ocorre regime laminar, as moléculas do fluido se movimentam em linha reta e por conta disso não ocorre alteração no sentido e direção do movimento da esfera consideráveis para alterar sua velocidade real.
Nota-se que os dois últimos pontos de cada aluno estão fora da reta traçada linearmente, fato que nos revela que estes pontos foram medidos com menor precisão do que os outros, em que pode ser atribuído tanto para o erro do aluno que realizou a medição, quanto para a linha de código do programa sobre o qual foi realizado o experimento virtual. Estes pontos são descartados das análises feitas por estarem com medições equivocadas.
23
incertezas nos coeficientes angulares
Gráfico 7 : Velocidade(cm/s) x Raio^2(cm^2) (Grupo)
Após todos os integrantes do grupo realizarem os cálculos de velocidade e raio ao quadrado foram realizados os cálculos para verificar os valores médios de velocidade de raio ao quadrado tanto com correção e sem correção. O mesmo que ocorreu para cada integrante do grupo, ocorreu para a construção do gráfico em grupo. Vale deixar claro que este gráfico é apenas representativo e não deve ser levado em consideração pois ele foi construído a partir dos pontos dados e não a partir os pontos e das incertezas respectivas.
Para calcular o coeficiente angular e obter o índice de viscosidade do fluído, normalizando para a temperatura de 25 °C, realizamos o método dos mínimos quadrados conforme abaixo, o qual se correlaciona com o Gráfico 3 previamente apresentado:
Tabela 23: MMQ - Velocidade Limite Normalizado para 25°C / Raio^2
De posse dos valores obtidos com os MMQ’s, utilizamos o coeficiente angular daí resultante para calcular o índice de viscosidade. Isto porque, dado que a seja igual à fórmula abaixo, multiplicando ambos os lados da equação por η e dividindo por a, conseguimos obter o valor da viscosidade.
Equação 1: fórmula do coeficiente angular
gráfico errado... o que significa esse coeficiente angular?
Nesse sentido, obtivemos o índice de viscosidade e sua média, conforme a tabela abaixo. Ademais, vemos que a compatibilidade entre esses dados é alta, no nível de 1 sigma, o que aponta para uma boa tiragem de dados.
Tabela 24: índice de viscosidade normalizado para 25°C.
Através da mesma metodologia, para calcular o coeficiente angular e obter o índice de viscosidade do fluído, normalizando a velocidade limite de acordo com o Fator C, realizamos o método dos mínimos quadrados conforme abaixo, o qual se correlaciona com o Gráfico 2 previamente apresentado:
Tabela 25: MMQ - Velocidade Limite Corrigida pelo Fator C / Raio^2.
Nesse sentido, calculando o índice de viscosidade da mesma forma como fizemos para a normalização da temperatura ambiente - utilizando a Equação 1 e o valor de a acima - obtivemos o índice de viscosidade e sua média, conforme a tabela abaixo. Do mesmo modo, notamos que a compatibilidade entre esses dados também está a nível de 1 sigma, o que aponta para uma boa tiragem de dados novamente.
Tabela 26: índice de viscosidade com fator de correção C.
25
vcs estão confundindo análise de dados com discussão. Discussão é um item independente...
4. Conclusão
:
Após a realização de todas as medições e de todos os cálculos, os quais elencamos no desenvolvimento do presente relatório através de gráficos, imagens e tabelas, devemos apreciar se o objetivo deste trabalho foi devidamente cumprido, i. e., se os valores que encontramos para os índices de viscosidade, a partir das correções de Landenburg, estão de acordo com o esperado, e se essas correções são suficientes. Ou seja, se a compatibilidade encontrada entre os valores dos índices de viscosidade normalizados foi alta. Em vias de concluirmos isso, procedemos desde o princípio.
Observando as tabelas 7, 8 e 9, é possível notar que quanto maior for o diâmetro da esfera, maior será a sua velocidade e, consequentemente, menor será o tempo de queda contabilizado. Sendo assim, concatenamos os dados de diâmetro médio e raio ao quadrado dos conjuntos de esferas e de velocidade para cada conjunto de dados dos integrantes do grupo e, por fim, para todos os dados juntos. Isto viabilizou o cálculo dos índices de viscosidade de cada aluno e do grupo todo.
Em cada uma dessas análises, percebe-se que a quantidade de resíduos obtidos, ou seja, pontos que se distanciam do comportamento normal da reta, é alta em função do fato de estarmos considerando um meio infinito. Por fim, ao se realizar a montagem de um gráfico de velocidade pelo raio, obtivemos pontos distantes dos pontos de valores médios, não sendo adequados, portanto, para uma análise fidedigna do fenômeno.
A presença destes resíduos em nossas análises nos levou a realizar as correções de Ladenburg para os cenários de normalização com o Fator C e com a temperatura padrão de 25 °C. O intuito disto foi verificar se estas correções seriam suficientes para chegarmos a valores de coeficientes angulares mais adequados com os apresentados em nossos gráficos, pois isso é importante para um cálculo preciso dos novos índices de viscosidade ajustados nos cenários mencionados. Teríamos nossa resposta sacramentada pelo resultado do teste Z realizado entre os valores dos novos índices de viscosidade, obtidos a partir dos coeficientes angulares dos MMQ dos diferentes cenários, e das médias dos valores de η corrigidos.
Considerando a tabelas 12, 13, 14, observando os valores obtidos para viscosidade com a correção de Ladenburg, foi possível notar que a quantidade de resíduos obtidos passa a ser menor do que a que foi realizada sem correção e que, a partir da montagem do gráfico de viscosidade pelo raio, os pontos calculados pelo grupo apresentam maior coerência com o
parece mais discussão do que conclusão, que costuma ser mais curta...
valor médio de cada conjunto de esferas. Já para a velocidade, os gráficos apresentam alguns pontos residuais, em especial para as esferas de maior raio de cada aluno, fato que indica certa dúvida quanto à escolha do valor de alfa, e levanta a hipótese de que, se fosse escolhido um valor diferente do atual, os pontos do gráfico seguiram um comportamento mais coerente com uma função linear.
Já levando em conta as tabelas 17, 18, 19, ao normalizamos os valores de índice de viscosidade e velocidade limite para a temperatura de 25°C, observou-se comportamento parecido com o que ocorreu para as tabelas com a correção de Ladenburg sem a normalização de 25°C. O índice de resíduos para a viscosidade diminuiu com relação às esferas que apresentavam menor raio e aumento para as de maior. Com relação à velocidade, observa-se um comportamento parecido com o anterior, visto que os pontos que apresentam maior discrepância em relação aos demais são aqueles com maior raio. Isto nos leva à mesma conclusão com relação à escolha do valor de alfa feita anteriormente para raios grandes.
Ao realizar os gráficos pelo excel citados anteriormente, não foram levados em conta os coeficientes angulares e lineares em função de que o excel não realiza a montagem de gráficos baseado nos pontos e suas incertezas, mas sim apenas em relação aos próprios pontos. Nesse sentido, ao realizar o ajuste de reta pelo método dos mínimos múltiplos, foram encontrados os coeficientes angulares e lineares reais do gráfico da relação entre velocidade corrigida por Ladenburg e normalizada para a temperatura de 25°C. Sendo assim, foi possível calcular a partir dos coeficientes angulares de cada respectivo gráfico os seus respectivos índices de viscosidade e ambos apresentaram compatibilidade a nível de sigma 1 com as respectivas médias de valores obtidos por nós.
A partir disso, podemos dizer que o experimento realizado foi útil, pois obtivemos sucesso na verificação do movimento que de uma esfera realiza em meio que possui um fluido viscoso de escoamento laminar. Foi possível determinar o índice de viscosidade corrigido para ambos os cenários de normalização com sucesso, e sabemos disso através do alto nível de compatibilidade exibido pelo teste Z entre os novos η e a média dos normalizados. Sabemos que, portanto, a correção de Ladenburg se demonstrou suficiente para determinarmos valores de viscosidade bons de acordo com o parâmetro do real.
Ademais, em vias de finalmente concluirmos, como sugestão deixamos proposta a possível variação do parâmetro alfa em futuras replicações deste experimento. Acreditamos que isto viabiliza a produção de dados mais precisos e, portanto, com menos resíduos.
27
Apêndice A - Fórmulas das medições iniciais
-
(1.1)Cálculo diâmetro médio das medições.-(1.2) Cálculo desvio padrão do diâmetro das medições.
- (1.3)Cálculo da incerteza do diâmetro médio.
- (1.4)Cálculo do tempo médio das medições.
- (1.5)Cálculo do desvio padrão do tempo das medições.
Apêndice B - Fórmulas principais do experimento
- (2.1) Cálculo do raio ao quadrado.Diâmetro médio/ 2) R2 = ( 2
(2.2) Cálculo incerteza do raio ao
R (Diâmetro médio Incerteza F inal)/2
σ 2 = * −
quadrado.
V∞ = Distância entre as marcações/ Tempo médio - (2.3 )Cálculo velocidade em meio
infinito.
- (2.4) Cálculo velocidade limite.
- (2.5) Cálculo incerteza da velocidade em meio infinito.
- (2.6 )Cálculo índice de viscosidade.
- (2.7) Cálculo incerteza índice de viscosidade.
- (2.8) Cálculo fator de correção para meio não infinito (com alfa igual a 2,4).
- (2.9) Cálculo velocidade corrigida.
cor V ∞ 1 )
V = * ( + C
- (2.10) Cálculo incerteza velocidade corrigida.
V cor σV ∞ 1 )
σ = * ( + C
29
= - (2.11 )Cálculo índice de viscosidade.
η (2)/(9)* ( ρe− ρm)* gr /(v cor)2
-(2.12) Cálculo incerteza índice de viscosidade.
ηcor ση∞ 1 )
σ = * ( + C
