UMA ABORDAGEM ALTERNATIVA PARA O ESTUDO DA DINÂMICA DE UM CORPO RÍGIDO ATRAVÉS DA ÁLGEBRA DE CLIFFORD

U

MA

A

BORDAGEM

A

LTERNATIVA PARA O

E

STUDO DA

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INÂMICA DE UM

C

ORPO

R

ÍGIDO

A

TRAVÉS DA

Á

LGEBRA DE

C

LIFFORD

E. de Góes Brennanda[eladiobrennand@uol.com.br]

Jardél Lucena da Silvaa[jardel.lucena@gmail.com]

Thiago Brito Gonçalves Guerraa[tbfisico@gmail.com ]

Morgana Lígia de Farias Freirea[morgana.ligia@bol.com.br]

a

Universidade Estadual da Paraíba – UEPB, Campina Grande, Brasil

RESUMO

Tradicionalmente o momento angular é tratado como um produto vetorial que mapeia uma área em um segmento orientado (1-vetor). Nesse trabalho apresentamos um tratamento alternativo da dinâmica das rotações paut ado na Álgebra de Clifford. Isso permite redefinir o momento angular como uma área orientada (2-vetor), possibilitando assim, uma intuição física mais profunda desta grandeza. As equações que traduzem a dinâmica das rotações são escritas nesta nova linguagem e introduzem, como conseqüência, novos métodos de resolução. O curioso neste tratamento é o surgimento de uma sub- álgebra que se assemelha a álgebra das matrizes de Pauli que descreve o spin do elétron. Esse fato abre a possibilidade de uma relação mais estreita entre as teorias clássica e quântica. Finalmente, no intuito de promover uma aprendizagem significativa dos conceitos físicos pautados neste novo formalismo matemático, procuramos organizar o conteúdo desse trabalho segundo os princípios da diferenciação progressiva e da reconciliação integrativa da teoria cognitivista de David Ausubel.

1. INTRODUÇÃO

No ensino da física a matemática é, na maioria das vezes, vista como um conjunto de verdades imutáveis que devem ser assimiladas e aplicadas. Isso se traduz ,na prática , em um ensino da física em todos os níveis centrado na resolução de problemas que, em sua maioria, consiste nas aplicações de fórmulas matemáticas sem aparente relação com os conceitos físicos envolvidos. Isso gera uma dicotomia conceitual físico-matemática que prejudica a compreensão da profunda conexão entre estas duas ciências. (De GÓES BRENNAND, 2007)

Historicamente, grande parte dos conceitos matemáticos utilizados na física, e que hoje fazem parte dos livros textos, foram criados e desenvolvidos com o intuito de solucionarem problemas desta ciência natural. Além do mais o uso de diversas estruturas matemáticas nos diferentes domínios da física cria uma fragmentação conceitual dificultando uma uniformização de abordagem bem como a conexão e passagem de um domínio a outro da física. Muitas dessas estruturas matemáticas não proporcionam uma fácil intuição das propriedades físicas (geométricas) dos sistemas tratados. (op. cit.)

Nesse contexto, o presente trabalho se propõe a apresentar uma estrutura algébrica, conhecida como álgebra de Clifford ou álgebra geométrica, para descrever a dinâmica de um corpo rígido. Por motivo de limitação do espaço abordaremos apenas o caso da rotação. Esta álgebra quando a plicada a física, proporciona uma fácil exploração intuitiva das propriedades dos sistemas estudados. A lém disso, podemos derivar deste ferramental matemático uma sub-álgebra semelhante à álgebra das matrizes de Pauli e que , portanto, nos permite descrever o spin do elétron, tornando possível uma interface mais suave entre o formalismo clássico e o quântico. (HESTENES, 1999; DORAN & LASENBY, 2003)

Esse processo de modelagem matemática dos conceitos físicos pela álgebra de Clifford proporciona uma incorporação natural de uma das principais características prática do modelo aus ubeliano de aprendizagem (AUSUBEL, 2003) – a apresentação de um conteúdo deve ser feita dos conceitos mais gerais aos mais específicos. Assim, partindo de uma estrutura geral, o espaço físico, sobre o qual desenvolvemos uma álgebra que codifica as suas propriedades, identificamos os objetos dessa álgebra com as principais grandezas físicas que descrevem o sistema e deduzimos as equações gerais da dinâmica de rotação. Portanto, o princípio da diferenciação progressiva como também o da reconciliação integrativa norteiam a apresentação desse trabalho e de um mapa conceitual proposto para o seu conteúdo.

2. ÁLGEBRA DE CLIFFORD DO ESPAÇO FÍSICO

Tomaremos como modelo do espaço físico o espaço euclidiano tridimensional. Isto significa que a cada ponto do espaço físico associaremos um espaço vetorial com uma norma euclidiana. Denotaremos esse espaço de 3.

Sobre o 3 definimos a álgebra de Clifford a partir de quatro axiomas que caracteriza a sua base canônica como: (CASANOVA, 2002)

i)

( )

e_i 2 =1,i=1,2,3;

ii) O quadrado de um vetor

x

=

x

i

e

_i é dado pela forma quadrática reduzida

2

( )

2

‡”

( )

2

( )

2

‡”

(

)

,

j i i j j i j i i i i i i

e

e

e

e

x

x

e

x

e

x

x

<

+

+

=

=

que se supõe eiej +ejei =0 para todo i≠ j

(

i, j=1,2,3

)

;

iii)

( )

e₁e₂ e₃ =e₁

(

e₂e₃

)

;

Desta forma, dados dois vetores aρ=aie_i e

b

ρ

=

b

j

e

_j o seu produto se escreve como

( )( )

‡”

‡”

(

-

)

, , j i j i i j j i j i j i j i j j i i

_e

_b

_e

_a

_b

_a

_b

_a

_b

_e

_e

a

<

+

=

δ

, (1)

onde i, j=1,2,3 e δ_{i ,j} é a delta de kronecker.

Este produto é chamado de Clifford. Em notação vetorial temos

a

b

a

b

a

b

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

₌

₊

_∧

.

, (2) onde o primeiro termo do lado direito é o produto interno e o segundo é chamado produto exterior. Devido à propriedade anti-comutativa do produto exte rior

b

ρ

a

ρ

=

a

ρ

.

b

ρ

-

a

ρ

∧

b

ρ

, (3) podemos escrever

(

)

(

)

2

,

2

.

b

a

b

b

a

a

b

a

b

b

a

a

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

+

_•È

₌

-=

, (4)

revelando que o produto interno é a parte simétrica enquanto o produto externo é a parte anti-simétrica do produto de Clifford. Ou seja, o produto de Clifford estabelece relação de colinearidade e ortogonalidade entre os vetores.

Utilizando os axiomas acima estabelecidos, podemos explicitar a base canônica que gera os elementos da álgebra de Clifford associado ao espaço físico, isto é:

1

,

{

e

1

,

e

2

,

e

3

} {

,

e

1

e

2

,

e

2

e

3

,

e

3

e

1

}

,

e

1

e

2

e

3. (5)

Isso não deve causar estranheza , pois, por analogia podemos dizer que os números complexos são gerados a partir da base { i . O interessante é que cada elemento dessa 1, } base possui uma representação geométrica (fig. 1), significando que estaremos operando objetos geométricos segundo as regras algébricas (De GÓES BRENNAND, 2008).

escalar 1 vetor 1 e bivetor 2 1e e trivetor e₁e₂e₃

Figura 1. Representação geométrica dos elementos algébricos que compõem a base canônica da álgebra de Clifford.

1 e 2 e 1 e e₁ 2 e 3 e

Assim um elemento genérico deste espaço pode ser representado pelo soma desses quatro tipos de elementos, isto é

M = M₀+M₁+M₂+M₃ , (6) ondeM_k um k-vetor com k =0,1,2,3que representa o ordem do vetor. M₀ por exemplo representa o escalar, M₁ um vetor e assim por diante. A soma M chamaremos multivetor. O passo seguinte é representar as grandezas relevantes para a descrição da rotação de um corpo rígido como elementos dessa álgebra.

3. DINÂMICA ROTACIONAL DO CORPO RÍGIDO

Um corpo rígido consiste em um corpo ideal cujas distâncias entre as partículas que o constitue se mantem sempre invariáveis. O movimento mais geral de um corpo rígido é composto de uma translação e uma rotação ao mesmo tempo, podendo ainda estes serem tratados separadamente (NUSSENZVEIG, 2002). Como mencionado antes vamos aqui enfatizar o movimento rotacional.

Tradicionalmente, grandezas como o momento angular são descritas em termos do produto vetorial, o qual mapeia uma área em um vetor. No entanto, sabe -se que o conceito de momento angular, induzido pela lei de Kepler, esta diretamente relacionado a um modo de codificar a área varrida por um vetor que dá a posição de uma partícula em relação a uma determinada origem (fig. 2). Assim, é mais natural representar o momento angular por um 2-vetor ou bivetor pois codifica uma área orientada. (DORAN & LASENBY, 2003)

Figura 2: Representação do momento angular como área orientada.

Portanto, define-se o momento amgular como

L= rρ∧ pρ (7) onde o vetor rρ dá a posição da partícula em relação à origem e o vetor pρ representa o momento linear. Uma das vantagens de se definir o momento angular desta forma, é que podemos utilizar o produto de Clifford e assim definir suas derivações de forma mais prática. Outra vantagem é o fato dessa definição proporcionar uma visualização geométrica mais adequada ao conceito físico expressado por essa grandeza.

Figura 3: Posições relativas em um corpo rígido. F r p r v m v dt dL ρ ρ ρ ρ_& ρ ρ ∧ = ∧ + ∧ = . (8) Que nos habilita definirmos o torque Γ também como um bivetor

F

rρ∧ ρ

=

Γ , (9) que pode ser interpretado de maneira natural já que o torque age sobre um plano. Vemos então que os bivetores momento angular e torque estão relacionados por:

=Γ dt dL

. (10) Extenderemos o conceito de momento angular para um sistema de partícula através da seguinte equação:

=

∑

∧ i i i p x L ρ ρ (11) onde xρ_i dá a distância entre uma partícula i e a origem e pρ_i dá a sua velocidade (fig.3).

Assim, temos que o momento angular de um sistema de partículas é dado pela soma do momento angular de cada partícula em relação a uma origem comum.

Tomando a derivada do momento angular total do corpo, temos: =

∑

∧ =

∑

∧ +

∑

∧ j i ij i i i e i i i i p x f x f x dt dL , ρ ρ ρ ρ & ρ ρ ₍₁₂₎

onde utilizamos o fato de que Fρ é a força resultante que atua sobre a i -ésima partícula, de modo que e

fρ corresponde à força externa e fρ_ij corresponde à força interna (exercida pelas partículas que constituem o corpo), ambas agindo sobre a i -ésima partícula .

O último termo de (12)constitui uma somatória dupla que dá a soma de todas as forças internas exercidas pelas partículas que constituem o corpo, de modo que

A forma forte da terceira lei de Newton garante que o termo acima seja nulo, uma vez que ambos os vetores possuem a mesma direção. Utilizando este fato, temos que o momento angular total satisfaz a equação abaixo:

e

dt

dL _=Γ

, (14) onde _Γe _{é o torque externo total. Se o torque externo se anula, o momento angular se}

conserva.

Uma expressão útil para o momento angular de um corpo rígido pode ser obtida introduzindo o vetor posição da i -ésima partícula em termos de sua posição em relação ao centro de massa e deste último em relação à origem. Desta forma temos:

i i X r

xρ = ρ+ρ . (15) Tomando a derivada deste vetor posição em relação ao tempo, obtemos a velocidade da i -ésima partícula

i i X r

x&ρ = &ρ+ρ& . (16) Assim, o momento angular pode ser escrito por:

) ( ) ( ) ( _{i i} i i i i i i x x m X r X r m

L=

∑

ρ ∧ρ& =

∑

ρ+ρ ∧ ρ&+ &ρ (17)

( )

i i i i i i i i i i i i X X mr X X mr mr r m

L ρ &ρ ρ ρ ρ &ρ+ ρ∧ρ&

     ∧ + ∧       + ∧       =

∑

∑

∑

∑

(18)

Utilizando o fato de que

∑

=

∑

i =0

i i i

i

ir mr

m ρ &ρ , devido ao modo de como o centro de massa é definido no corpo rígido, obtemos:

( )

X X mr r M L i i i & ρ ρ & ρ ρ ∧ + ∧ =

∑

, (19)

∑

∧ + ∧ = i i i p r P X L ρ ρ ρ ρ . (20) Obtemos assim, o momento angular total de um corpo rígido, onde o mesmo é dado pela soma do momento angular do centro de massa em torno da origem, também conhecido como momento angular orbital, e o momento angular do sistema em relação ao seu centro de massa, também conhecido como momento angular intrínseco, ou ainda, como spin clássico.

4. O SPIN DO ELÉTRON – UM TRATAMENTO CLÁSSICO

O experimento de Stern-Gerlach foi o primeiro a demonstrar a existência de um estado quântico até então nunca observado. Nesse experimento um feixe de elétrons atravessa um campo magnético não-uniforme e isto deveria resultar em uma distribuição contínua , porem o que se observou foi o desdobramento em dois componentes. A esses componentes associaram-se dois novos estados quânticos , os quais foram ligados a um momento angular intrínseco denominado spin.

O primeiro a sugerir um modelo que descrevesse este novo estado quântico foi Wolfgang Pauli. Ele propôs representar os estados de spin por um conjunto de três matrizes σ₁,σ₂,σ₃, denominadas de matrizes de Pauli, que possuem a seguinte representação: ₁ 0 1 ₂ 0 ₃ 1 0 1 0 0 0 1 i i σ =_ _ σ =_ − _ σ =_ _       . (21)

Essas matrizes gozam das propriedades

σi2 =1, i=1,2,3 (22)

e

σ_iσ_j +σ_jσ_i =0 (23) para i≠ j. Isto significa que elas anti-comutam. Podemos expressar essas propriedades conjuntamente através da relação

σ_iσ_j =δ_ijI +iε_ijkσ_k , (24) onde I é a matriz identidade, δij o delta de Kronecker , i a unidade imaginá ria dos

números complexos e ε_ijk o símbolo de Levi-Civita.

O formalismo apresentado por Pauli nasceu no domínio exclusivo da mecânica quântica e como tal não apresenta similar clássico, pois o mesmo não pode ser obtido da teoria clássica do momento angular pautada na álgebra de vetores comumente utilizada. Essa limitação é removida quando utilizamos à álgebra de Clifford como modeladora dos conceitos físicos.

Para mostrarmos isto vejamos algumas propriedades dos objetos da álgebra de Clifford. O quadrado de um bivetor e de um trivetor possui características algébricas da unidade imaginá ria dos números complexos. De fato,

(eiej)2 =eiejeiej =−eieiejej =−1, (25)

( ) 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 _{= = =− =−} e e e e e e e e e e e e e e e I . (26)

Agora considere o produto de um vetor e pelo trivetor I , _i

e₁I =Ie₁=e₁e₁e₂e₃ =e₂e₃ , (27) e₂I =Ie₂ =e₂e₁e₂e₃ =−e₁e₃, (28) e₃I = Ie₃ =e₃e₁e₂e₃ =e₁e₂ . (29) Essas relações podem ser compactadas utilizando o símbolo de Levi-Civita como e_kε_ijkI =Iε_ijke_k =e_ie_j . (30) De posse dessas propriedades e dos axiomas que definem a álgebra de Clifford formemos o produto (DORAN & LASENBY, 2003)

e_ie_j =e_i.e_j+e_i ∧e_j =δ_ij +Iε_ijke_k . (31) Comparando a expressão (31) com (24), vemos que operamos com os vetores e_i da mesma forma que as matrizes de Pauli! Essa semelhança algébrica permite representar o spin em um espaço real – o espaço físico – e não em um espaço abstrato que descreve um grau de liberdade interno. E mais ainda o termo Iε_ijke_k tem uma interpretação geométrica muito simples: é o bivetor que define o plano de rotação do spin. São essas e outras vantagens que fazem da álgebra de Clifford um formalismo poderoso.

5. MAPA CONCEITUAL

Motivados pela s características de objetividade e operacionalidade da teoria cognitiva de David Ausubel, nos servimos dos seus fundamentos para construir um mapa conceitual do conteúdo desse trabalho e que guiou a apresentação do mesmo. Pautados nos princípios da diferenciação progressiva e da reconciliação integrativa organizamos o conteúdo de forma a proporcionar uma maior inclusão conceitual, procurando assim, atender, na medida do possível, os critérios que conduzem a uma aprendizagem significativa. (NOVAK, 2000)

Figura 4: Mapa Conceitual referente ao conteúdo abordado neste trabalho

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A nossa intençã o nesse trabalho foi e de abordar alguns velhos problemas da física através de outro ângulo de visão. Isso foi realizado com o uso de um formalismo matemático ainda pouco difundido conhecido como álgebra de Clifford. Esse sistema matemático quando aplicado à física, pode proporcionar novas interpretações das grandezas físicas que representa, bem como, ser utilizado em diferentes domínios da física, tais como aqui salientados, os da física clássica e quântica.

Devido ao fato de que os objetos dessa álgebra possuem interpretações geométricas simples possibilita ao aprendente o desenvolvimento mais intuitivo das propriedades físicas do sistema estudado. Como sabemos, “a geometria são olhos da física”.

A capacidade dessa álgebra de poder ser utilizadas em todos os domínios de ensino da física , desde o nível médio ao superior contribui para uma apresentação gradual do aprofundamento do conceito físico modelado, não havendo a necessidade de outro sistema matemático complementar.

Como é possível associar essa estrutura matemática ao “espaço” que serve de palco aos acontecimentos físicos , contribui para a indução pelo aprendente da compreensão do papel modelador da matemática e o de descrição da realidade objetiva pela física.

São inúmeros os trabalhos conhecidos na literatura que versam sobre o papel facilitador no processo ensino-aprendizagem proporciona do pela teoria cognitivista de Aus ubel. O interessante é que a utilização da álgebra de Clifford como modeladora dos processos físicos possibilita a inserção natural dos princípios da teoria ausubeliana na articulação da preparação de um conteúdo expositivo. Isto é possível, pois, partiremos sempre dos conceitos gerais aos específicos.

O processo de divulgação desse sistema matemático é lento. Mas desde a final da década de noventa que em paises como Estados Unidos, Canadá, Japão, Inglaterra e em outros paises europeus, se começa a despertar o interesse dos pesquisadores que trabalham com o ensino dessa ciência. Pretendemos com este trabalho trazer uma contribuição, mesmo que pequena, para a sua divulgação em nosso país.

Neste momento estão em confecção, pelo nosso grupo de pesquisa, vários materiais de diferentes domínios da física onde se utiliza a álgebra de Clifford como meio de modelagem das grandezas físicas, os quais deveram ser aplicados nas salas de aulas nos níveis de ensino tanto médio quanto superior.

7. REFERÊNCIAS

AUSUBEL, David P. Aquisição e Retenção do Conhecimento: uma perspectiva cognitiva . Tradução Lígia Teopisto. Lisboa: Editora Plátano, 2003.

CASANOVA, Gaston. L’Algebra de Clifford et ses Applications – Survey Article, Advances in Applied Clifford Algebras vol. 12, 1-155, 2000.

DORAN, Chris & LASENBY, Anthony. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

De GÓES BRENNAND, Eládio. Álgebra de Clifford e Aprendizagem Significativa: pilares para a construção de uma nova abordagem para o ensino de Física. Campina Grande: UEPB, 2007 (Projeto de Pesquisa do Grupo “Álgebra de Clifford como Modeladora de conceitos físicos” – Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática). __________________________. Aplicações Físicas da Álgebra de Clifford. Notas de aula. Campina Grande: UEPB, 2008.

HESTENES, David. New Foundations for Classical Mechanics. London: Kluwer Academic Publishers, 2nd Edition, 1999.

NOVAK, J. D. Aprender, criar e utilizar o conhecimento. Mapas conceituais como ferramentas de facilitação nas escolas e empresas. Lisboa: Plátano Universitária, 2000. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básic a: Mecânica . 4ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002.