Física Geral II – FIS052 – EAD
Semana 6: Aulas 11 e 12
Professor: Adhimar Flávio Oliveira 10 de Setembro de 2014
Conteúdo
1 Instruções 1
1.1 Biblioteca Virtual . . . 1 1.2 Atividades . . . 2
2 Torque e aceleração angular de um corpo rígido 2
3 Movimento combinado de rotação e translação 3
3.1 Rolamento sem deslizamento . . . 5 3.2 Movimento combinado de rotação e translação: dinâmica . . 6
4 Exercícios 7
5 Questões 8
1
Instruções
1.1 Biblioteca Virtual
Em nossa disciplina vamos utilizar a Biblioteca Virtual da Unifei. Para acessá-la vocês devem:
1. acessar o link: https://unifei.bv3.digitalpages.com.br
2. em login digite sua matrícula,
3. e na senha digite sua data de nascimento no formato ddmmaa
Freedman, R. A., Física I, Editora Addison Wesley, 12a edição, São Paulo, SP, 2008.
2. Estudar as seções 10.2 Torque e aceleração angular de um corpo rígido e 10.3 Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel (página 323). É muito importante refazer e entender os exemplos.
3. Resolver os exercícios e questões apresentados nas seções 4 e 5 deste texto.
4. Postar na ferramenta Portfólio em Portfólios Individuais aos exercícios e questões pedidos no item 3, compartilhando apenas com os Forma-dores. Não esqueça de associar a atividade a avalição da Semana.
Em caso de dúvidas utilize a ferramenta Correio ou o Fórum Dúvidas e Su-gestões.
Para auxiliar no estudo, no texto a seguir é apresentado um re-sumo sobre o tema abordado no livro texto.
2
Torque e aceleração angular de um corpo rígido
Escolhendo para o eixo de rotação o eixo Oz (Figura 1)
para a partícula m1 a segunda lei de Newton para a componente tan-gencial da força é apresentada na Equação 1
F1,tg =m1a1,tg (1)
Sendo:
S =θr (2)
dS dt =r
dθ
dt →v =rω (3)
dv dt =r
dω
dt →a=rα (4)
A Equação 1 pode ser escrita.
F1,tg =m1r1αz (5)
F1,tgr1 =m1r1r1αz (6)
F1,tgr1 =m1r21αz (7)
Figura 1:
Figura 2:
Escrevendo a Equação 8 para todas as partículas do corpo.
τ1z+τ2z+...+τnz =I1α1+I2α2+...+Inαn (9)
ou X
τiz = (
X
miri2)αz (10)
Logo, a segunda lei de Newton para o movimento de rotação é apresen-tado na Equação 11.
X
τz=Iαz. (11)
De acordo com a terceira lei de Newton, todos os torques internos pro-duzem resultante igual a zero.
Exemplo 1: Na Figura 2 encontre a aceleração do objeto de massa m. Resolução no livro texto!
3
Movimento combinado de rotação e translação
~vi =~vCM +v~′i (12)
A energia cinéticaki dessa partícula no referencial inercial é
ki =
1
2mivi2=
1
2mi(~vi·~vi), (13)
ou ainda,
ki =
1
2mi(~vCM +v~′i)·(~vCM +v~′i) (14)
ki =
1
2mi(~vCM ·~vCM +v~′i·v~′i+ 2~vCM ·v~′i) (15)
ki=
1
2mi(~vCM2 +v~′
2
i + 2~vCM ·v~′i) (16)
A energia cinética total é a soma
k=Xki =
X (1
2mi~vCM2 ) +
X (1
2miv~′
2
i) +
X
(mi~vCM·v~′i) (17)
k= 1 2
X
(mi)~v2CM +
X (1
2miv~′
2
i) +~vCM ·
X
(miv~′i) (18)
O terceiro termo da equação é a massa M vezes a~vCM em relação ao
centro de massa é igual a zero por definição. Logo,
k= 1
2M vCM2 +
1 2M v′
2 (19)
Sendov=ωr eI =M r2, temos
k= 1
2M vCM2 +
1
Figura 4:
3.1 Rolamento sem deslizamento
Considere uma roda simétrica, de modo que seu centro de massa é dado pelo seu centro geométrico.
Visualizando o movimento em um referencial inercial, para o qual a superfície em que a roda rola esta em repouco (Figura 4).
Sendo R o raio da roda eωa velocidade angular, então o módulodo vetor
|v~′
1|+|~vCM = 0
vCM =Rω (21)
A energia cinética da roda é
k= 1
2I1ω12 (22)
ondeI1 é o momento de inércia da roda em torno de um eixo que passa pelo
ponto 1.
Do teorema dos eixos paralelos, temos
I1 =ICM +M R2, (23)
logo,
k= 1
2(ICM +M R2)ω2= 1
2ICMω2+ 1
2M R2ω2 (24)
k= 1
2ICMω2+
1
2M vCM2 (25)
Quando um corpo rígido muda de altura a energia gravitacional é
midade do fio enquanto o cilindro é liberado sem velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza nem se dilata a medida que o cilindro cai e gira. Use considerações de energia para achar a velocidade vCM do centro
de massa do cilindro sólido depois que ele caiu até uma distância h.
3.2 Movimento combinado de rotação e translação: dinâ-mica
Sendo:
X~
Fext=M~aCM (27)
O movimento de rotação em torno do centro de massa é descrito pela segunda lei de Newton na rotação.
X
τz=ICMαz (28)
ondeICM é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro
de massa.
Quando ocorreu a dedução da Equação 28 utilizamos a hipótese de que o eixo de rotação permacecia fixa. Porém ela vale mesmo quando o eixo de rotação se move, desde que:
• O eixo que passa pelo centro de massa deve ser um eixo de simetria.
• O eixo não pode mudar de direção.
Exemplo 3: Para o ioiô primitivo do exemplo anterior ache a aceleração de cima para baixo do cilindro e a tensão no fio.
Resolução no livro texto!
4
Exercícios
1. O volante de certa máquina possui momento de inércia igual a 2,50kg.m2
em torno do seu eixo de rotação. Qual é o torque constante necessário para que, partindo do repouso, sua velocidade angular atinja o valor de 400rev/min em 8,0 ? (13,1 N.m)
2. Uma caixa de 12,0 kg em repouso sobre uma superfície horizontal e livre de atrito está atada a um peso de 5,0 kg por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com atrito desprezível (Figura 2). A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 2,0 kg e diâmetro de 0,500 m. Após o sistema ser liberado, ache a) a tensão no cabo sobre ambos os lados da polia, b) a aceleração da caixa e c) os componentes horizontal e vertial da força que o eixo exerce sobre a polia.
Figura 5: Figura da questão 2.
5
Questões
1. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrena-gens, de raios diferentes, acopladas?
2. Uma pessoa pode distinguir um ovo cru de um ovo cozido fazendo-os girar sobre uma mesa. Explique como isso é possível.
3. Se você segurar um ovo cru que está girando e soltá-lo imediatamente, ele continuará “girando”? Por quê?
