UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE M´ ETODOS NUM´ ERICOS

(1)

M´

ETODOS NUM´

ERICOS

MANUAL TE ´ORICO

Jos´e A. Nhavoto, MSc

(2)

Conte´

udo

1 No¸c˜oes b´asicas sobre erros 4

1.1 Introdu¸c˜ao a erros . . . 4

1.2 Representa¸c˜ao em Virgula Flutuante . . . 4

1.2.1 Nota¸c˜ao cient´ıfica . . . 4

1.2.2 V´ırgula Flutuante . . . 5

1.3 Erro absoluto, erro relativo e erro percentual . . . 5

1.3.1 Erro absoluto . . . 5

1.3.2 Erro relativo . . . 5

1.3.3 Erro percentual . . . 5

1.4 Tipos de Erro e Arredondamento . . . 6

1.4.1 Erro de Arredondamento . . . 6

1.4.2 Erro de Truncamento . . . 6

1.4.3 Arredondamento por falta . . . 7

1.4.4 Arredondamento por excesso . . . 7

1.4.5 Arredondamento sim´etrico . . . 7

1.5 Algarismos significativos e exactos . . . 8

1.5.1 Algarismos significativos . . . 8

1.5.2 Algarismos exactos . . . 8

1.6 Aritm´etica de Ponto Flutuante . . . 8

(3)

(4)

Cap´ıtulo 1

No¸

c˜

oes b´

asicas sobre erros

1.1 Introdu¸

c˜

ao a erros

A Análise Numérica trata do estudo da aproxima¸cão de problemas por cálculo aproximado, onde os erros associados a essa aproxima¸cão, se podem classificar:

• Erros Inerentes: S˜ao os erros contidos nos pr´oprios dados. Ao resolvermos um problema, se os dados que possu´ımos estiverem afectados de erros, esses erros transmitem-se aos resultados finais.

• Erros do Método: Outro tipo de erros, que derivam da utiliza¸cão de determinado método que aproxima o problema.

• Erros Computacionais: São os erros espec´ıficos resultantes da utiliza¸cão de uma máquina finita (ver nota de rodapé). Ainda que os dados sejam correctos e que o método seja exacto, certas opera¸cões efectuadas pela máquina não podem ser executadas com exactidão, gerando-se este tipo de erros.

1.2 Representa¸

c˜

ao em Virgula Flutuante

1.2.1 Nota¸

c˜

ao cient´ıfica

Come¸camos por ver como representamos um qualquer número real. Um número real é uma classe de equivalência de sucessões de Cauchy de racionais. Como tal, pode admitir várias representa¸cões, mas normalmente tomamos como representante dessa classe uma sucessão de racionais que são múltiplos de uma potência de 10 (base decimal):

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No caso da nota¸cão cient´ıfica, um número representa-se através do sinal, da mantissa e do expoente, na base decimal. O primeiro d´ıgito da mantissa deve ser diferente de zero (o zero é representado à parte) e os outros variam entre 0 e 9.

1.2.2 V´ırgula Flutuante

A representa¸cão do número na forma de v´ırgula flutuante é: V F(10, n, t1, t2) e é o conjunto dos números

x=±0, a1a2. . . an. . .×10t

ondetvaria em{t1, . . . , t2}e que inclui o zero. Os n´umeros assim representados est˜ao limitados por:

• Overflow: Acontece se o valor do expoente t ´e superior a t2. • Underflow: Acontece se o valor do expoente t ´e inferior at1.

1.3 Erro absoluto, erro relativo e erro percentual

Seja x o valor exato de um número e seja x o valor aproximado do mesmo número, então, tem-se que:

1.3.1 Erro absoluto

Ea ´e a diferen¸ca entre o valor exacto de um n´umero e o seu valor aproximado, ou seja:

Ea =|x−x|

1.3.2 Erro relativo

Er é a razão entre o erro absoluto e o valor exato x ou, na prática, o valor aproximado de um númerox. Logo se tem que:

Er=

Ea

x ou Er = Ea

x .

1.3.3 Erro percentual

Erro percentual ´e a representa¸c˜ao percentual do erro relativo. Logo, temos:

Ep = (Er·100)%

Exemplo 1.1. Seja: x = 0,00003 e x = 0,00002. Calcule o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual.

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Jos´e A. Nhavoto, MSc 25 de Julho de 2011

• E_a=|0,00003−0,00002|= 0,00001 • E_r= 0,00001

0,00002 = 0,5 • Ep = (0,5×100)% = 50%

1.4 Tipos de Erro e Arredondamento

Arredondar um número é proceder ao truncamento desse número, na posi¸cão desejada, de acordo com a precisão requerida.

1.4.1 Erro de Arredondamento

Arredondar um n´umero na casa di ´e desconsiderar as casas di+j (j = 1, . . . ,∞) de tal forma que:

• di seja a ´ultima casa se di+1 <5; • di+ 1 seja a ´ultima casa se di+1≥5.

Exemplo 1.2. Arredondar π na quarta casa decimal, sendo que π = 3,1415926535. . .

Solu¸c˜ao: π = 3,1416

1.4.2 Erro de Truncamento

Truncar um n´umero na casa di ´e desconsiderar as casas di+j (j = 1, . . . ,∞).

Exemplo 1.3. Aproximarπtruncando na quarta casa decimal, sendo queπ= 3,1415926535. . .

Solu¸c˜ao: π = 3,1415

O erro de truncatura surge cada vez que se substitui um procedimento matem´atico infinito por um processo finito ou discreto.

Exemplo 1.4. A Série de Taylor da fun¸cão \(x) = ex _{em torno de} _x_{= 0} _{é expressa por:}

ex = 1 + x 1!+

x2

2! +. . .+

xn

n! +. . . .

Ent˜ao

e1

= 1 + 1 1 +

1

2 +. . .+ 1

n! +. . . .

Utilizando os 5 primeiros termos da s´erie, tem-se:

e1

= 2.708

Utilizando os 30 primeiros termos da s´erie, tem-se:

e1

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1.4.3 Arredondamento por falta

Quando ´e feito o simples truncamento de um n´umero, considerando-se apenas algumas casas decimais.

1.4.4 Arredondamento por excesso

Quando se trunca um número na posi¸cão desejada e, então, acrescenta-se 1 (uma unidade) ao algarismo final.

1.4.5 Arredondamento sim´

etrico

Tem-se que considerar, agora, 3 situa¸c˜oes diversas, sendo:

1. Quando o primeiro algarismo após a cisão for menor do que 4, é procedido o arredonda-mento por falta.

2. Quando este primeiro algarismo, ap´os a cis˜ao, for maior que 4, procede-se o arredonda-mento por excesso.

3. Quando este primeiro algarismo após a cisão for igual a 4, o arredondamento dependerá do segundo algarismo após a cisão.

Exemplo 1.5.

1. Arredonde 14356,4567, de 9 para 6 d´ıgitos, por falta.

Solu¸c˜ao: 14356,4 valor aproximado de 14356,4567, valor exato.

2. Arredonde 1,873432576, de 10 para 8 d´ıgitos, por excesso.

3. Arredonde 2,85323343, de 9 para 6 d´ıgitos, simetricamente.

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1.5 Algarismos significativos e exactos

1.5.1 Algarismos significativos

Chama-se algarismos significativos de uma d´ızima, a todo o algarismo dessa d´ızima que ´e diferente de zero, ou tem `a sua esquerda pelo menos um algarismo diferente de zero.

Exemplo 1.6.

• 2,35→3

• 0,042→2

• 0,2340→4

• 0,457·102 →3

1.5.2 Algarismos exactos

Diz-se que um dado valor aproximado xde um númerox, tem m algarismos exactos sse o erro absoluto desse número for inferior a 0.5×10−_m+i_{, onde}_i_{é o n´}_{umero de d´ıgitos da parte inteira.} Podemos a partir da fórmula do erro absoluto, deduzir a fórmula que relaciona o erro relativo com o número de algarismos exactos:

|x−x| ≤0.5×10−_m+i

δx ≤

10−_m+i

α onde α ´e o primeiro algarismo significativo do n´umero

1.6 Aritm´

etica de Ponto Flutuante

Para um dado sistema de representa¸cão numérica, temos agora que definir as opera¸cões ar-itméticas elementares neste sistema. Qualquer que seja a defini¸cão final, estas opera¸cões têm que ser compat´ıveis com as opera¸cões aritméticas conhecidas, em particular, para números que são exactamente representáveis no nosso sistema, estas têm que coincidir com as opera¸cões aritméticas clássicas.

O problema ´e que, por exemplo, dados dois n´umeros x, y ∈ F P(b, n, m,), pode acontecer que

x+y6∈F P(b, n, m,). E esta afirma¸cão é válida para as outras opera¸cões aritmeticas.

A solu¸cão deste problema envolve uma aproxima¸cão (normalmente, a mesma aproxima¸cão que é feita para a representa¸cão), logo, introduz mais erros, que têm de ser contabilizados para termos uma ideia de quão fiáveis são estas opera¸cões.

(9)

A defini¸cão geral é a seguinte: dada uma opera¸cão aritmética ⊗

∈ {+, ,×, /} e x, y ∈

F P(b, n, m,), definimos:

\ l(x)⊗\ l(y) =\ l(x⊗y)

Ou seja, dados dois números pertencentes ao sistema, primeiro calculamos o resultado da opera¸cão aritmética com os algoritmos habituais. Em geral, o resultado não está normal-izado, nem vai pertencer ao sistema, por isso, normalizamos e voltamos a aplicar o processo de aproxima¸cão.

Exemplo 1.7. Calcular, em V F(10,4,2, T), x+y, para x= 1.256879e y= 0.985441. Temos x= 1.256 e y= 0.9854, logo z =x+y= 0.1256 + 0.9854 = 1.111. Ent˜ao z = 0.1111.

1.7 Propaga¸

c˜

ao dos erros

Em métodos numéricos, os cálculos não são feitos com números exatos. Como essas imprecisões podem-se propagar nos cálculos?

Voltemos ás opera¸cões aritméticas:

Multiplicaão:¸ \(x, y) = xy. Os números de condi¸cão são px =

x∂f_∂x

xy =

xy

xy = 1 e py = 1.

Ent˜ao:

|δxy| ≤ |δx|+|δy|

Divis˜ao: \(x, y) = x

y. Temos px = x∂f_∂x

x/y = 1 e py =−1. Ent˜ao:

|δx

y| ≤ |δx|+|δy| Soma e subtrac¸c˜ao: \(x, y) =x±y. Temos px =

x

x±y e py =− y

x±y. Ent˜ao:

|δx±_y| ≤max

{

x x±y

, y x±y

}

(|δx|+|δy|)

Note-se que, apesar da semelhan¸ca destas expressões, o comportamento em termos de erros relativos da subtraçcão é distinto do da soma. Se x e y forem aproximadamente iguais, então os números de condicionamento da subtraçcão podem ser muito elevados. Esta é uma das manifesta¸cões do fenómeno de cancelamento subtractivo.

Exemplo 1.8. Encontre os limites de propaga¸cão de erro na soma de dois números. Por exemplo, se os números são:

x= 1.5±0.05

(10)

Solu¸c˜ao:

Valor m´aximo poss´ıvel de x= 1.55 e y= 3.44

Valor m´aximo poss´ıvel de x+y= 1.55 + 3.44 = 4.99

Valor m´ınimo poss´ıvel de x= 1.45e y= 3.36.

Valor m´aximo poss´ıvel de x+x= 1.45 + 3.36 = 4.81

Ent˜ao:

4.81≤x+y≤4.99.

Exemplo 1.9. Determinar o n´umero de algarismos significativos do resultado de cada uma das opera¸c˜oes xy, x

y, x+y e x−y, sabendo que x= 1010e y= 1000(todos os algarismos s˜ao significativos).

Solu¸c˜ao: Temos |ǫx|<0.5 e |ǫy|<0.5, logo |δx|= |ǫx|

x ≈

|ǫx|

x ≤0.495·10

−3

e |δy|le0.5·10−3.

Utilizando as express˜oes deduzidas acima:

|δxy| ≤ |δx|+|δy|= 0.995·10

−3

|δx

y| ≤ |δx|+|δy|= 0.995·10

−3

Dado que xy= 1.010·106

e x

y = 1.010, temos

|ǫxy|=|δxy||xy| ≈ |δxy||xy| ≤1.005·103.

Da mesma maneira, obtemos

|ǫx/y|=|δx/y||x/y| ≈ |δx/y||x/y| ≤1.005·103.

Então a multiplica¸cão e divisão têm, pelo menos, 3 d´ıgitos significativos.

Para a soma e subtrac¸c˜ao, temos:

|ǫx±_y| ≤ |ǫ_x|+|ǫ_y| ≤0.5 + 0.5 = 1.

Sendo os resultados aproximados x+y = 2010 (3 algarismos significativos) e x−y = 10 (1 algarismo significativo).

1.7.1 F´

ormula fundamental do c´

alculo de erros

Se\ é uma fun¸cão com várias variáveis x1, x2, x3, . . . , xn então o máximo erro poss´ıvel em \ é:

∆\ ≈ ∂\ ∂x1

∆x1 + ∂\ ∂x2

∆x2 +. . .+ ∂\ ∂xn

∆xn

Exemplo 1.10. Considere a seguinte f´ormula para determinar o esfor¸co axial num determinado

(11)

material:

ε= F

h2_E

onde: F = 72±0.9 N; h = 4±0.1 mm e E = 70±1.5 GPa. Determine o m´aximo poss´ıvel erro na medida do esfor¸co.

Solu¸c˜ao: ε= 72

(4·10−3₎2₍₇₀_·₁₀9₎ = 64.286·10

−6

= 64.286µ.

∆ε=

∂ε ∂F∆F

+ ∂ε ∂h∆h

+ ∂ε ∂E∆E

. Mas como, ∂ε ∂F = 1

h2_E;

∂ε ∂h =−

2F h3_E;

∂ε ∂E =−

F h2_E2,

ent˜ao

∆ε =

1

h2_E∆F +

− 2F

h3_E∆h + − F

h2_E2∆E = 1

(4·10−3₎₍₇₀_·₁₀9₎ ×0.9 +

2·72

(4·10−3₎3₍₇₀_·₁₀9₎×0.0001 + + 72

(4·10−3₎2₍₇₀_·₁₀9₎2 ×1.5·10 9

= 5.3955µ.

Portanto,

ε= (64.286µ±5.3955µ).

1.7.2 Algumas aplica¸

c˜

oes

Nesta seçcão, vamos calcular as estimativas do erro para as opera¸cões aritméticas elementares.

Soma: y =x1+x2. Temos:

|ǫx1+x2| ≤ |ǫx1|+|ǫx2|

Subtrac¸c˜ao: y=x1−x2. Temos:

|ǫx1−x2| ≤ |ǫx1|+|ǫx2|

Produto: y =x1×x2. Temos:

(12)

Divis˜ao: y= x1

x2

. Temos:

|ǫx₁ x₂

| ≤max {

1

x2

,

x1

x2

}

(|ǫx1|+|ǫx2|)

Note que a propaga¸cão dos erros para a soma e a subtraçcão são dadas pelas mesmas expressões. Isto parece contradizer o exemplo dado no in´ıcio deste cap´ıtulo, onde falámos do fenómeno de cancelamento subtractivo. Todavia, é preciso não esque¸cer que, por enquanto, estamos apenas a falar de erros absolutos. Mais adiante, veremos que estes erros transportam apenas parte da informa¸cão necessária. Logo, não existe aqui nenhuma contradi¸cão. Como motiva¸cão para o uso desta medida de erro, considere o exemplo seguinte:

Exemplo 1.11. x = 2112.9, com |ǫx| ≤ 0.1. Podemos garantir que x ∈ [2112.8,2113]. Da

mesma forma, dado y= 5.3 com|ǫy| ≤0.1, temos y∈[5.2,5.4].