Introduc~ao a Geometria Riemanniana

Introduc~ao a Geometria Riemanniana

Marcos M. Alexandrino (USP)

Sumario

Prefacio v

Parte I. Ferramentas basicas 1

Captulo 1. Variedades Riemannianas 3

1.1. Metricas Riemannianas 3

1.2. Grupos de Lie 6

1.3. Ac~oes Isometricas 9

Captulo 2. Conex~ao e curvatura 13

2.1. Conex~ao am 13

2.2. Conex~ao Riemanniana 16

2.3. Tensor curvatura de uma conex~ao am 17 2.4. Tensor curvatura da conex~ao Riemanniana 18

2.5. Formas de conex~ao e curvatura 21

2.6. ? Conex~ao e brados de referenciais 24 Captulo 3. Geodesicas e campos de Jacobi 29 3.1. Propriedades basicas de geodesicas 29

3.2. Vizinhanca normal convexa 33

3.3. Campos de Jacobi e variac~oes por geodesicas 35 3.4. Campos de Jacobi em espacos de curvatura constante 38

3.5. Pontos conjugados 39

Parte II. Resultados classicos 41

Prefacio

Estas s~ao notas de aula do curso Introduc~ao a Geometria Riemanni- ana o qual esta sendo ministrado no Departamento de Matematica do IME-USP durante o primeiro semestre de 2011, ministrado pelo Prof.

associado Marcos. M. Alexandrino.

A refer^encias para este curso s~ao:

Bibliografia Principal:

(1) M. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides.

(2) S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Uni- versitext, Springer.

(3) J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Uni- versitext, Springer.

(4) R.S. Palais, C-L Terng, Critical Point Theory and Submani- fold Geometry, Lectures Notes in Mathematics 1353, Springer Verlag. (see Terng).

Bibliografia de Apoio:

(1) M.M. Alexandrino, R. G. Bettiol Introduction to Lie groups, isometric and adjoint actions and some generalizations lec- tures: http://arxiv.org/abs/0901.2374

(2) R. Bisphop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS, Chelsea.

(3) W. Kuhnel, Dierential Geometry, Curves-surfaces-manifolds.

American Mathematical Society, Second Edition 2005.

(4) P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate texts in math- ematics, Springer.

(5) M. Spivak, A comprehensive Introduction to Dierential Ge- ometry, V. 1 Publish or Perish,Inc. 1979.

As notas aqui apresentadas est~ao ainda em preparac~ao n~ao con- tendo toda a materia do curso. Haja vista que elas est~ao sendo digi- tadas simultaneamente com o curso devem conter imprecis~oes e erros tipogracos. Tambem o sistema de refer^encia e citac~oes ainda sera implementado.

Sugest~oes e correc~oes s~ao bem vindas e podem ser enviadas para alexandrino.usp@gmail.com

Parte I

Ferramentas basicas

CAPTULO 1

Variedades Riemannianas

Neste captulo apresentamos a denic~ao de variedades Riemanni- anas e alguns exemplos. Dentre estes exemplos discutiremos rapida- mente os grupos de Lie compactos com metricas bi-invariantes e os espacos de orbitas M=G no caso em que G e um subgrupo fechado de isometrias da variedade Riemanniana M, agindo livremente em M.

Nesta sec~ao apresentaremos a denic~ao de metrica Riemanniana e discutiremos rapidamente alguns exemplos. Entre os exemplos discu- tidos est~ao os grupos de Lie compacto com metricas bi-invariantes e espacos de orbitas de ac~oes livres de grupos fechados de isometrias.

1.1. Metricas Riemannianas

Definic~ao 1.1. Uma metrica (Riemanniana) de uma variedade M e uma sec~ao suave do brado dos 2-tensores simetricos positivos denidos em T (M). Em outras palavras e uma aplicac~ao que associa a cada ponto p da variedade M um produto interno gp de TpM tal que gi;j := g(_@x^@_i;_@x^@_j) e suave. Uma variedade M com uma metrica g e chamada ent~ao de variedade Riemanniana.

Segue da denic~ao acima que uma metrica g pode ser descrita em coordenada da seguinte forma:

g = X

i;j

gi;jdxi dxj

Proposic~ao 1.2. Toda variedade M admite metrica Riemanniana.

Demonstrac~ao. Seja fU; g um atlas de M. Seja g⁰ metrica Euclid- iana e dena g := g⁰. Por m seja fhg uma partic~ao da unidade subordinada a fUg e dena g :=P

fg:

Observac~ao 1.3. Raciocnio analogo garante que n~ao somente T M mas qualquer brado vetorial admite metrica nas bras.

Observac~ao 1.4. O resultado acima (sem acrescimo de novas hipoteses) n~ao e valido para outras estruturas geometricas. Por exemplo, nem toda variedade admite uma metrica de Lorenz. Em particular uma su- perfcie admite metrica de Lorenz se e somente se a sua caracterstica de Euler for zero. Tambem nem toda variedade (dimens~ao par) admite estrutura simpletica, ou seja uma 2-forma fechada n~ao degenerada.

Tendo a denic~ao de metrica, podemos denir imers~oes isometricas e isometrias como se segue. Sejam (M; g^M) e (N; g^N) variedades Rie- mannianas. Ent~ao uma imers~ao F : (M; g^M) ! (N; g^N) e chamada imers~ao isometrica se g^M = Fg^N. Segue da denic~ao que uma imers~ao F : M ! (N; g^N) torna-se uma imers~ao isometrica se denimos a metrica de M como g^M := Fg^N. Tal metrica sera chamada metrica in- duzida (canonica). Alem disto, um difeomorsmo (local) F : (M; g^M) ! (N; g^N) e chamado isometria (local) se for uma imers~ao isometrica.

As denic~oes acima nos levam a considerar os exemplos de metricas induzidas em variedades mergulhadas ou imersas em espacos Euclidi- anos.

Exemplo 1.5. Seja M Rⁿ uma variedade mergulhada. Ent~ao (M; g^M) e variedade Riemanniana com a metrica induzida g^M := ig₀ onde i : M ! Rⁿ e a inclus~ao e g0 e a metrica Euclidiana. Em particular se M for a esfera S^{n 1}esta sera a metrica can^onica da esfera.

Observac~ao 1.6. Segue do teorema de Nash que qualquer variedade Riemanniana M pode ser isometricamente mergulhada em algum Rⁿ:

Um outro exemplo simples de variedades Riemannianas e o exemplo de variedade produto com metrica produto.

Exemplo 1.7. Sejam (M; g^M) e (N; g^N) variedades Riemannianas.

Ent~ao a variedade produto M N pode ser dotada da metrica g_(m;n)^MN(V; W ) := g^M_m(V₁; W₁) + g_n^N(V₂; W₂)

a qual sera chamada de metrica produto.

Exerccio 1.8. Sejam g1 e dr² metricas can^onicas de S^{n 1} e I = (0; 1). Dena em S^{n 1} I a metrica g(m;r) := r²g1+ dr².

(a) A metrica g e metrica produto?

(b) Mostre (S^{n 1} I; g) e isometrico a (Rⁿ 0; g₀) e que (S^{n 1} I; g₁ dr²) e isometrico ao cilindro fx 2 Rⁿ⁺¹jx²₁+ : : : + x²_n = 1; e x₀ > 0g.

Sugest~ao: Consulte Gallot, Hulin, Lafontaine (Sec~ao 2.A, pagina 58,59).

Completando a nossa lista de primeiros exemplos de variedades Rie- mannianas temos o exemplo do espaco hiperpolico em seus diversos modelos.

Exerccio 1.9 (Espaco hiperbolico). Neste problema iremos ver as diferentes representac~oes do espaco hiperbolico.

(a) O espaco de Minkowski e denido como Rⁿ⁺¹ com a forma quadratica hx; xi = x²₀+x²₁+ +x²_n. Considere Hⁿ⁺¹ a sub- variedade de Rⁿ⁺¹ denida como: Hⁿ := fx 2 Rⁿ⁺¹jhx; xi = 1; x0 > 0g: Verique que a forma quadratica dx²₀ + dx²₁ + + dx²_n restrita a Hⁿ e uma metrica Riemanniana g.

1.1 Metricas Riemannianas 5 (b) Seja f a pseudo-invers~ao com polo s = ( 1; 0; ; 0) denida por f(x) = s _{hx s;x si}^{2(x s)} ; onde h; i e a forma quadratica denida no Item (a). Para X = (0; X1; : : : ; Xn) no plano x0 = 0 denote jXj² := hX; Xi = P_n

i=1X_i²: Mostre que f e difeomorsmo de Hⁿ no disco unitario fx 2 Rⁿ; jxj < 1g e que g1 := (f ¹)g = 4P_n

i=1 dx²_i (1 jxj²)².

(c) Seja h a invers~ao no Rⁿ denida como h(x) := s +^{2(x s)}_{jx sj}2, com polo s = ( 1; 0; : : : ; 0): Mostre que h e um difeomorsmo do disco unitario no semi-espaco x1 > 0 e que hg1 =P_n

i=1 dx²_i (x1)². Obtemos assim duas variedades Riemannianas que s~ao isometricas a (Hⁿ; g), a primeira e chamada disco de Poincare (Item (b)) e a segunda semi-espaco de Poincare (Item (c)).

Sugest~ao: Consulte e.g. Gallot, Hulin, Lafontaine (Sec~ao 2.A, pagina 56,57) e Carmo (Capitulo 8, pagina 196,197).

O conceito de metrica nos permite introduzir de forma natural con- ceitos como comprimento de curva, dist^ancia e volume.

Seja : [a; b] ! (M; g) uma curva C¹ por partes. O comprimento da curva de e denido como

L() :=X

i

Z _ti

ti 1

pg(⁰(t); ⁰(t))d t A dist^ancia entre 2 pontos q e q de M e denida como

d(p; q) = inf

2p;qL()

onde _p;q e o conjunto das curvas C¹ por partes : [0; 1] ! M com (0) = p e (1) = q.

E possivel mostrar que d : M M ! R e uma func~ao continua e de fato uma func~ao dist^ancia. Temos assim que (M; d) e um espaco metrico.

Exerccio 1.10. Sejam (M^m; g) variedade Riemanniana orientada e ! a m-forma volume (i.e, a unica m-forma tal que !(e1; : : : ; em)p = 1 para qualquer referencial ortonormal feig de TpM coerente com a orientac~ao de TpM). Mostre que em coordenadas ! =p

det(gi;j) dx1^ : : : ^ dxn.

Sugest~ao: Considere ei = P

jbij @

@xj. Note que (bij)^T(gij)(bij) = Id. Assim det(bij) = p ¹

det(gij). Por outro lado se ! = cdx1^ : : : ^ dxn

temos 1 = !(e1; : : : ; en) = c det(bij). Podemos ent~ao concluir que c = p

det(gij).

Concluimos esta sec~ao discutindo 2 tipos de variedades Riemanni- anas muito especiais. A primeira sera um grupo de Lie compacto G com metrica bi-invariante. A segunda sera o espaco de orbitas M=G

de uma ac~ao livre um grupo fechado de isometrias G de uma variedade Riemanniana M. Para maiores detalhes vide Alexandrino e Bettiol.

1.2. Grupos de Lie

Iniciemos apresentando algumas denic~oes e propriedades gerais de grupos de Lie.

Definic~ao 1.11. Uma variedade G e chamada grupo de Lie se G e um grupo e as operac~oes

G G 3 (x; y) ! xy 2 G G 3 x ! x ¹ 2 G s~ao suaves

Observe que a denic~ao acima equivale a dizer que G e um grupo e a operac~ao G G 3 (x; y) ! xy ¹ 2 G e suave.

Exemplos de grupos de Lie s~ao (Rⁿ; +), (S¹; ), Tⁿ= S¹ S¹ e os grupos de matrizes GL(n; K), SL(n; K) (onde K = R ou K = C) e os grupos de matrizes O(n), SO(n), U(n) e SU(n).

Definic~ao 1.12. Um subgrupo H de G e um um subgrupo de Lie se H e variedade imersa (sem auto-intersec~oes) e H H 3 (x; y) ! xy ¹ 2 H e suave.

Um dos primeiros resultados da teoria de grupos de Lie nos fornece uma ferramenta util para obter exemplos de grupos e subgrupos de Lie.

Teorema 1.13. Seja G um grupo de Lie e H um subgrupo fechado.

Ent~ao H e um sugrupo de Lie de G mergulhado.

Exerccio 1.14. Mostre que GL(n; R); GL(n; C), SL(n; R) , SL(n; C), O(n) e U(n) s~ao grupos de Lie.

Sugest~ao: Mostre diretamente que GL(n; R) e GL(n; C) s~ao gru- pos de Lie. Depois mostre que SL(nR) , O(n), SL(n; C), e U(n) s~ao subgrupos fechados de GL(n; R) e GL(n; C) e use o resultado acima.

Recordemos agora que a cada grupo de Lie existe uma algebra de Lie associada. Um campo X e chamado campo invariante a esquerda se X = dLgX onde Lg : G 3 a ! ga 2 G e a multiplicac~ao a es- querda. E possivel mostrar que tais campos de fato s~ao suaves. Segue da denic~ao que um campo invariante a esquerda e determinado por seu valor no espaco tangente T_eG, i.e., X(g) = dL_gX(e). Assim cheg- amos a conclus~ao que o modulo dos campos invariantes a esquerda, denotado aqui por g; e um espaco vetorial com a dimens~ao do grupo de Lie G. Tambem e possivel mostrar que g e fechado pelo colchete de campos de vetores, ou seja o colchete de 2 campos invariantes a esquerda e um campo invariante a esquerda.

1.2 Grupos de Lie 7 Definic~ao 1.15. Seja g o modulo dos campos invariantes a es- querda do grupo de Lie G. Ent~ao g dotado do colchete de campos e uma algebra de Lie chamada algebra de Lie do grupo de Lie G.

Observac~ao 1.16. Como X(g) = dL_gX(e) frequentemente estare- mos identicando o campo X com o vetor X(e) 2 TeG. Tambem podemos dotar TeG com o produto de Lie [V1; V2] := [X1; X2]e onde Xi(g) = dLgVi e provar que TeG com tal produto de Lie e isomorfo (admite uma bijec~ao linear que preserva produto de Lie) a g com o colchete de campos.

Um outro conceito relevante em grupos de Lie e o da exponencial de Lie. Seja X 2 g. Ent~ao e possivel mostrar que existe uma unica linha integral X : R ! G do campo X. Ou seja ⁰_X(t) = X(X(t)) e X(0) = e. A exponencial de Lie e denida ent~ao como

exp(X) = X(1):

A seguir algumas propriedades da aplicac~ao exponencial de Lie.

(1) exp(tX) = X(t)

(2) exp( tX) = (exp(tX)) ¹

(3) exp(tX + sX) = exp(tX) exp(sX) (4) exp : T_eG ! G e suave e d(exp)₀ = id

Como podemos perceber tais propriedades s~ao as mesmas da aplicac~ao exponencial de matrizes. De fato quando G e um grupo de matrizes estas 2 exponenciais coincidem.

Exerccio 1.17. Seja G e um subgrupo de Lie de GL(n; R). Mostre que a aplicac~ao exponencial de G coincide com a exponencial de ma- trizes.

Sugest~ao: Dena '(t) := exp(tX). Usando o fato que ' e um homomorsmo de Lie a 1-parametro (ou seja '(s + t) = '(s)'(t)), conclua que ' e soluc~ao da E.D.O, '⁰(t) = '⁰(0)'(t) com '(0) = Id:

O resultado segue ent~ao da teoria de E.D.O.

Aceitando algumas propriedades da aplicac~ao exponencial e a rep- resentac~ao adjunta, podemos determinar explicitamente a algebra de Lie de grupos de Lie matriciais.

Exerccio 1.18. Sejam G subgrupo de Lie de GL(n; R) e X; Y 2 g.

Verique:

(1) dLgX = gX e dRgX = Xg:

(2) Ad(g)Y := _dt^d(g exp(tY )g ¹)jt=0= gY g ¹:

(3) Usando (sem demonstrar) o fato que _dt^dAd(exp(tX))Y jt=0 = [X; Y ] mostre que [X; Y ] = XY Y X (comutador de ma- trizes).

Tambem e conveniente destacar o proximo resultado sobre quo- ciente entre grupos de Lie que sera util no estudo de orbitas de ac~oes isometricas.

Teorema 1.19. Seja H um subgrupo fechado de um grupo de Lie G. Ent~ao G=H admite uma unica estrutura diferenciavel tal que : G ! G=H e aplicac~ao suave. Alem disto se H e normal G=H e grupo de Lie e e um homomorsmo de Lie, i.e., um homomorsmo suave entre grupos de Lie.

Observac~ao 1.20. Para que G=H seja um grupo de Lie e necessario que H seja normal. Veremos por exemplo que SO(3)=SO(2) e difeo- morfo a esfera S², a qual n~ao admite estrutura de grupos de Lie, haja vista que seu brado normal n~ao e trivial. O quociente de um grupo de Lie matricial por um grupo normal pode resultar em um grupo de Lie n~ao matricial, i.e., que n~ao admite uma representac~ao injetora matricial (vide detalhes em Carter, Segal e Macdonald).

Por m vamos considerar algumas metricas nos grupos de Lie.

Seja Rg : G 3 x ! xg 2 G a multiplicac~ao a direita. Uma metrica g em um grupo de Lie G e invariante a direita (respectivamente in- variante a esquerda) se Rg (respectivamente Lg) e isometria da metrica g para todo elemento g do grupo. Note que todo grupo de Lie admite uma metrica invariante a direita. De fato uma tal metrica pode ser denida como

gh(V; W ) := hD(Rh) ¹V; D(Rh) ¹W i

onde h; i e um produto internto qualquer em T_eG. De forma analoga, pode-se demonstrar que existe uma n-forma invariante a direita, ou seja R_h! = !. Nem todo grupo amite uma metrica que seja invariante a direita e a esquerda ao mesmo tempo (e.g., SL(2; R)). Mostramos a seguir que, quando o grupo G e compacto, tal metrica existe.

Proposic~ao 1.21. Seja G um grupo de Lie compacto. Ent~ao G admite uma metrica bi-invariante, i.e., invariante a esquerda e direita.

Demonstrac~ao. Seja ! uma forma volume invariante a direita em G e h; i uma metrica invariante a direita qualquer.

Dena para todo X; Y 2 T_xG, 6 X; Y >_x=

Z

GhdL_gX; dL_gY i_gx!:

Primeiro armarmos que 6 ; > e invariante a esquerda. De fato, 6 dLhX; dLhY >hx =

Z

GhdLg(dLhX); dLg(dLhY )ig(hx)!

= Z

GhdL_ghX; dL_ghY i_(gh)x!:

(1.2.1)

Fixe X; Y 2 TxG e dena f(g) = hdLgX; dLgY igx. Ent~ao Z

GhdLghX; dLghY i(gh)x! = Z

Gf(gh)!

1.3 Ac~oes Isometricas 9

= Z

GR_h(f!)

= Z

Gf!

(1.2.2)

= Z

GhdL_gX; dL_gY i_gx!

= 6 X; Y >x :

Das equac~oes (1.2.1) e (1.2.2), segue que 6 ; > e invariante a es- querda.

Vericamos agora que 6 ; > e invariante a direita.

6 dR_hX; dR_hY >_xh = Z

GhdL_g(dR_hX); dL_g(dR_hY )i_g(xh) !

= Z

GhdR_hdL_gX; dR_hdL_gY i_(gx)h !

= Z

GhdLgX; dLgY igx !

= 6 X; Y >x :

1.3. Ac~oes Isometricas

Nesta subsec~ao estamos interassados em considerar variedades que surgem como espaco de orbitas M=G, onde G e um subgrupos fechado de isometrias de M, bem como apresentar metricas naturais nestes espacos.

Iniciemos apresentando algumas denic~oes e resultados mais gerais sobre ac~oes proprias.

Sejam G um grupo de Lie, M uma variedade. Uma aplicac~ao : G M ! M e chamada ac~ao a esquerda se

(a) (g₁; (g₂; x)) = (g₁g₂; x) (b) (e; x) = x.

Vale aqui denic~ao analoga para ac~ao a direita. Por vezes, pode ser conveniente denotar (g; x) simplesmente por g x.

Uma ac~ao : G M ! M e uma ac~ao propria se a aplicac~ao G M 3 (g; x) ! ((g; x); x) 2 M M e propria, ou seja se a pre- imagem de conjuntos compactos e compacto. E possvel mostrar que uma ac~ao e propria se e somente se para toda sequ^encia fx_ng em M e (g_n; x_n) em M tal que x_n ! x e (g_n; x_n) ! y pudermos concluir que existe uma subsequ^encia fgnig convergente em G. Temos ent~ao que todo grupo compacto G age sempre propriamente em variedades.

A seguir um outro exemplo de ac~ao propria. Lembremos que uma ac~ao e livre se senhum (g; ) xa pontos quando g diferente da identi- dade.

Exerccio 1.22. Seja H subgrupo fechado de um grupo de Lie G.

Mostre que a ac~ao G H ! G denida como g h := gh e uma ac~ao a direita, livre, propria.

Um conceito relevante no estudo de ac~oes e o conceito de orbita.

Uma orbita passando por x e denida como sendo o conjunto G(x) := f(g; x)j8g 2 Gg:

Outro conceito relevante e a denic~ao de grupos de isotropia Gx de um ponto x.

G_x := fgj(g; x) = xg:

Proposic~ao 1.23. Sejam : G M ! M ac~ao e _x : G ! M denida como _x(g) = (g; x). Ent~ao

(a) ~_x: G=G_x ! G(x) M e uma imers~ao sem auto-intersec~oes, onde ~_x e a unica func~ao tal que ~_x = _x e : G ! G=G_x e a projec~ao canonica.

(b) Se a ac~ao for propria ent~ao ~_x e um mergulho. Em particular G(x) e variedade mergulhada.

Exerccio 1.24. Verique que Sⁿ= SO(n + 1)=SO(n).

Ac~oes proprias est~ao relacionadas com ac~oes de grupos fechados de isometria. Antes de explorar este relac~ao, apresentamos o teorema a seguir devido a Meyers-Steenrod.

Teorema 1.25. Seja M uma variedade Riemanniana e denote por Iso(M) o grupo de isometrias de M. Ent~ao todo subgrupo fechado na topologia da converg^encia compacta e um grupo de Lie. Em particular Iso(M) e grupo de Lie. Alem disto se M for compacta, Iso(M) e compacta.

Teorema 1.26. Seja G Iso(M) subgrupo fechado. Ent~ao a ac~ao : G M ! M denida como (g; x) = g(x) e uma ac~ao propria.

Observac~ao 1.27. E possivel tambem mostrar um resultado recproco.

Ou seja, para toda ac~ao propria : G M ! M existe uma metrica em M tal que (G; ) se torna um subgrupo fechado de isometrias.

Teorema 1.28. Seja : G M ! M ac~ao livre e propria. Ent~ao M=G tem estrutura de variedade e : M ! M=G e submers~ao. Alem disto para todo x 2 M=G e y 2 ¹(x) existe aplicac~ao suave S : U ! M (sec~ao local) tal que S(x) = y e S = Id.

Exemplo 1.29. Considere a esfera S²ⁿ⁺¹ = fz 2 Cⁿ⁺¹ = R²ⁿ⁺²; jz1j²+ + jznj² = 1g e : S¹ S²ⁿ⁺¹ ! S²ⁿ⁺¹ denida como (g; z) = (g z1; : : : ; g zn+1). Ent~ao Pⁿ(C) = S²ⁿ⁺¹=S¹ (espaco projetivo com- plexo) e variedade e : S²ⁿ⁺¹ ! Pⁿ(C) e submers~ao.

Exerccio 1.30. Verique os difeomorsmos abaixo:

1.3 Ac~oes Isometricas 11 (a) Pⁿ(R) = SO(n + 1)=S(O(n) O(1)).

(b) Pⁿ(C) = SU(n + 1)=S(U(1) U(n)).

Sugest~ao: Para mostrar por exemplo que Pⁿ(R) = SO(n+1)=S(O(n) O(1)), note que a ac~ao de SO(n + 1) na esfera Sⁿ induz uma ac~ao em Pⁿ(R) (visto que ac~ao de matriz comuta com a ac~ao por multiplicac~ao por escalar).

Considere agora as hipoteses do Teorema1.28. Desejamos dar uma metrica a M=G de forma que : M ! M=G se torne uma submers~ao Riemanniana.

Recordemos primeiro que uma submers~ao : (M; g^M) ! (B; g^B) e uma submers~ao Riemmanniana se para qualquer p 2 M a derivada dp : Hp ! T(p)B e isometria, onde Hp e o espaco normal as pre- imagem ¹((p)).

Proposic~ao 1.31. Sejam (M; g^M) variedade Riemanniana e G subgrupo fechado de isometrias de Iso(M). Suponha que a ac~ao G M ! M e livre. Ent~ao existe uma unica metrica g^M=G em M=G tal que : M ! M=G e uma submers~ao Riemanniana.

Demonstrac~ao. Seja H a distribuic~ao normal as orbitas. Observe que tal distribuic~ao e suave. Observe tambem que dado um vetor V 2 T_q(M=G) existe um unico vetor ~V 2 H_p tal que D_p~V = V , onde p 2 ¹(q). Podemos ent~ao denir a metrica como

g^M=G(V₁; V₂) = g_p^M( ~V₁; ~V₂):

Devemos vericar primeiro que g^M=G esta bem denida. Note que como g e isometria, sua derivada leva Hp em H_g(p): Assim se ~V 2 Hp

temos que dg ~V 2 Hg(p). Por outro lado sabemos que = g. Assim d dg ~V = d ~V . Tais fatos permitem ent~ao concluir que g^M=G esta bem denida.

Para mostrar que g^M=G e suave dena P_x : T_xM ! H_x como projec~ao ortogonal e note que P_x depende suavemente de x. Seja S : U ! M uma sec~ao local. Ent~ao

g^M=G_x ( @

@x_i; @

@x_j) = g^M_S(x)(Pxd(S)x @

@x_i; Pxd(S)x @

@x_j) e o lado direito depende suavemente de x.

Visto que Pⁿ(C) = S²ⁿ⁺¹=S¹, segue da proposic~ao acima que a submers~ao : S²ⁿ⁺¹ ! S²ⁿ⁺¹=S¹ induz uma metrica Riemanniana em Pⁿ(C). Tal metrica e chamada de metrica de Fubini-Study.

Terminamos esta sec~ao considerando um caso particular de ac~ao propria. Seja G um grupo discreto, i.e., com topologia discreta. Dize- mos que G age propriamente descontinuamente em M se para todo x existe uma vizinhanca U de x tal que (g; U) \ U = ; para todo g 6= e.

Exerccio 1.32. Seja G um grupo discreto (i.e., com topologia discreta). Suponha que G age em uma variedade M: Mostre que a ac~ao e propriamente descontinua se e somente se a ac~ao e livre e propria.

Grupos agindo propriamente descontinuamente est~ao relacionados com recobrimentos. Lembremos que uma aplicac~ao : fM ! M e um recobrimento se:

(a) e suave e sobrejetora.

(b) para qualquer p 2 M existe uma vizinhanca U de p tal que ¹(U) = [iVi onde Vi s~ao abertos disjuntos e Vi : Vi ! U e difeomorsmo.

Sabemos que toda variedade M admite recobrimento fM tal que fM e simplesmente conexo. fM e chamado recobrimento universal de M.

Note que se M e variedade Riemanniana com metrica g ent~ao podemos denir uma metrica ~g em fM e com esta metrica a aplicac~ao recobri- mento se torna uma isometria local. Neste caso dizemos que fM e um recobrimento Riemanniano de M.

Proposic~ao 1.33. Seja : G M ! M uma ac~ao propriamente descontinua. Ent~ao : M ! M=G e recobrimento.

Exerccio 1.34. Seja faig uma base de Rⁿ. Um lattice associado a esta base e o conjunto de todos os vetores P

kjaj para kj 2 Z:

Identicando com o subgrupo de translac~oes podemos fornecer ao quociente Rⁿ= estrutura de variedade.

(a) Mostre que existe um difeomorsmo ^p : Rⁿ= ! Tⁿ.

(b) Seja g metrica denida em Tⁿ tal que ^p : Rⁿ= ! Tⁿ e isometria. Mostre que g e g~ denidas em Tⁿ s~ao isometricas se e somente se existe uma isometria em Rⁿque envia o lattice

no lattice ~.

CAPTULO 2

Conex~ao e curvatura

Neste captulo apresentaremos a denic~ao de conex~ao am em - brados vetorias e conex~ao Riemanniana. A conex~ao Riemanniana per- mitira que bras diferentes sejam conectadas via o transporte paralelo.

Junto com as conex~oes ans e Riemannianas tambem discutiremos o conceito do tensor curvatura o qual medira qu~ao o transporte paralelo depende de caminhos curtos.

2.1. Conex~ao am

Definic~ao 2.1. Sejam (E; M; ) brado vetorial e (E) o conjunto das sec~oes de E (isto e, o conjunto das aplicac~oes s : M ! E tais que s = id). Uma conex~ao am e uma aplicac~ao bilinear

r : X(M) (E) ! (E) atendendo as seguintes condic~oes:

(a) rfWV = frWV

(b) rWfV = frWV + (W f)V onde W 2 X(M); V 2 (E); f 2 C¹(M):

Exemplo 2.2.

(a) Se V 2 X(Rⁿ) com V = P

ivi @

@xi temos que a derivac~ao usual de campos e uma conex~ao am ou seja rWV = DWV :=P

i(W vi)_@x^@_i e uma conex~ao am.

(b) Seja V 2 X(M) = (T M) onde M e uma superfcie mergulhada em R³. Sabemos que em uma vizinhanca de um ponto p 2 M o campo V pode ser estendido para um campo em uma vizinhanca de R³. Pode- mos ent~ao denir uma conex~ao (induzida) na superfcie M como sendo rWV := DWV onde e a projec~ao ortogonal em T M: Esta e a maneira na qual a conex~ao e usualmente denida na disciplina de Ge- ometria Diferencial em um curso de graduac~ao em Matematica.

Vamos agora descrever uma conex~ao am utilizando coordenadas do brado E ! M.

Seja U uma vizinhanca coordenada de p 2 M e fig referenciais de EjU, i.e., j(p) = ¹(p; ej) onde : ¹(U) ! U Rⁿ e uma trivializac~ao do brado E.

Suponha W = P

iwi @

@xi e V =P

jvjj Temos ent~ao que rWV = rW

X

j

vjj

= X

j

(W vj)j +X

j

vjrWj

= X

k

(W vk)k+X

i;j

vjwir ^@

@xij: A equac~ao acima ent~ao implica que

(2.1.1) r_WV =X

k

f(W v_k) +X

i;j

w_iv_j ^k_i;jg_k

onde a func~ao ^k_i;j e chamada smbolo de Cristoel e e denida como r ^@

@xij =X

k

ki;jk

Observac~ao 2.3. E importante observar que a formula acima garante que (r_WV )_p depende apenas do vetor W (p) e n~ao do campo W .

A equac~ao (2.1.1) admite uma formulac~ao matricial.

(2.1.2) rWV = DWV + A(W )V

onde D_WV e a derivada de campos em Rⁿ (vide Exemplo2.2) e A() e a matriz de 1-formas denida como

ak;j() :=X

i

ki;jdxi:

Observac~ao 2.4. A equac~ao (2.1.2) implica que o espaco de conex~oes e um espaco am, dai o nome conex~ao am.

Veremos a seguir que dado uma conex~ao em um brado vetorial (E; M; ), existe uma conex~ao no espaco das sec~oes de E ao longo de uma curva ; i.e., no espaco dos campos de vetores do tipo t ! V (t) 2 E_(t). Tal conex~ao sera chamada de derivada covariante.

Proposic~ao 2.5. Sejam (E; ; M) um brado vetorial com conex~ao r. Seja : I ! M uma curva suave. Denote (E) o espaco das sec~oes de E ao longo de . Ent~ao existe um unico operador

dtr : (E) ! (E) tal que (a) ^r_dt(V + W ) = ^r_dtV +^r_dtW

(b) ^r_dt(fV ) = f⁰V + f^r_dtV para f : I ! R suave.

(c) Se ~V 2 (E) e V (t) := ~V ((t)) ent~ao _dt^rV = r⁰~V

2.1 Conex~ao afim 15 Demonstrac~ao. Se ^r_dt atende as propriedades acima ent~ao ela deve se descrita em coordenadas como:

(r

dtV )(t) =X

k

fv⁰_k(t) +X

i;j

x⁰_i(t) v_j(t) ^k_i;j (t)g _k (t) Onde V (t) = P

kvk(t)k (t) e ⁰(t) =P

ix⁰_i(t)_@x^@_i (t): A equac~ao acima garante a unicidade do operador. Ao mesmo tempo a equac~ao acima permite denir um operador que atende as propriedades (a), (b) e (c) e assim temos a exist^encia local. A unicidade e exist^encia local

garantem ent~ao a exist^encia global.

Note que, n~ao supomos que a velocidade de e sempre diferente de zero e desta forma nem sempre podemos garantir a exist^encia de uma extens~ao natural do campo t ! V (t) ao longo de para um campo

~V 2 (E).

A derivada covariante ao longo de uma curva e na verdade a conex~ao pull-back no brado pullback (E), conceito que discutimos rapida- mente na observac~ao a seguir.

Observac~ao 2.6 (Conex~ao pull-back). Seja (E; M; ) uma brado vetorial com conex~ao am r. Seja ' : B ! M uma aplicac~ao suave entre uma variedade B e a variedade M. Como visto no ap^endice, o espaco total do brado pull-back e denido como

'E := f(p; V ) 2 M Ej'(p) = (V )g

(E; B; 1) se torna ent~ao um brado vetorial, onde a projec~ao 1 : 'E ! B e denida como 1(p; V ) = p. Observe tambem que ' 1 = ~' onde ~' : 'E ! E e denido como ~'(p; V ) = V .

De forma analoga a prova da Proposic~ao2.5 e possvel mostrar que existe uma unica conex~ao 'r em 'E tal que

('r)_WV ' = r_{dF (W )}V onde V 2 (E) e W 2 X(M).

Munidos com o conceito de derivada covariante podemos introduzir o conceito de paralelismo. Uma sec~ao V 2 (E) e chamada paralela se ^r_dtV (t) = 0 para todo t.

Proposic~ao 2.7. Seja (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao am r e : [a; b] ! M uma curva suave. Seja V 2 E(a). Ent~ao existe uma unica sec~ao V 2 (E) paralela tal que V (a) = V:

Demonstrac~ao. Considere uma partic~ao a = t0 < t1 < < ln = b tal que a curva restrita j[ti;ti+1] esta contida em uma vizinhanca coordenada. Vamos provar primeiro o resultado para cada uma destas curvas. Como vimos na demonstrac~ao da Proposic~ao 2.5, em uma

vizinhanca coordenada, ^r_dtV = 0 equivale a 0 = X

k

fv_k⁰(t) +X

i;j

x⁰_i(t) vj(t) ^k_i;j (t)g Tal E.D.O tem uma unica soluc~ao P

jvj(t)j (t) em [ti; ti+1] que coincide em t_i com um certo vetor dado V 2 E_(ti) e isto demonstra o resultado para j_[ti;ti+1]. Pela unicidade das soluc~oes, as soluc~oes coincide nas intersec~oes das vizinhancas coordenadas e isto permite

estender a soluc~ao para todo [a; b].

Com as hipoteses da proposic~ao acima o vetor V (b) 2 E(b) e chamado transporte paralelo do vetor V 2 E(a) e denotado por

jjV := V (b):

Observac~ao 2.8. Com um transporte paralelo podemos conectar as bras E(a) com E(b), dai o nome conex~ao. E importante observar que em geral o transporte paralelo depende do caminho. Como veremos em breve a curvatura ira medir qu~ao o transporte paralelo depende do caminho.

Dado uma conex~ao em um brado vetorial (E; M; ) podemos denir a derivada covariante de um (0; s) (respectivamente (1; s)) tensor A da seguinte forma:

(rXA)(Y1; : : : ; Ys) := rX(A(Y1; : : : ; Ys)) X

i

A(Y1; : : : ; Yi 1; rXYi; : : : ; Ys) onde X 2 X(M) e Y_i 2 (E). E possivel mostrar que r_XA depende apenas de X(p) e Y (p). Por vezes tambem usaremos a seguinte notac~ao

(rA)(Y₁; : : : ; Y_s; X) := (r_XA)(Y₁; : : : ; Y_s) 2.2. Conex~ao Riemanniana

Definic~ao 2.9. Seja (M; g) variedade Riemanniana. Uma conex~ao r em T M e chamada conex~ao Riemanniana ou conex~ao de Levi-Civita se para qualquer X; Y; Z 2 X(M) temos:

(a) Xg(Y; Z) = g(rXY; Z)+g(Y; rXZ) (compatvel com a metrica).

(b) rXY rYX = [X; Y ] (simetrica ou livre de tors~ao) As conex~oes descritas no Exemplo 2.2 s~ao Riemannianas.

Proposic~ao 2.10. Seja (M; g) uma variedade Riemanniana. Ent~ao existe uma unica conex~ao Riemanniana em T M. Tal conex~ao e dada pela formula de Koszul abaixo:

2 g(rYX; Z) = X g(Y; Z) Z g(X; Y ) + Y g(Z; X) g([X; Y ]; Z) g([X; Z]; Y ) g([Y; Z]; X)

2.3 Tensor curvatura de uma conex~ao afim 17 Demonstrac~ao. Suponha que a conex~ao Riemanniana existe. Ent~ao temos pela compatibilidade com a metrica que:

X g(Y; Z) = g(r_XY; Z) + g(Y; r_XZ) Z g(X; Y ) = g(rZX; Y ) + g(X; rZY ) Y g(Z; X) = g(rYZ; X) + g(Z; rYX)

As equac~oes acima e o fato da conex~ao ser livre de tors~ao implicam que:

X g(Y; Z) Z g(X; Y ) + Y g(Z; X) = 2 g(rYX; Z) + g([X; Y ]; Z) + g([X; Z]; Y ) + g([Y; Z]; X) a qual por sua vez implica a formula de Koszul. Por m, pode-se vericar que a formula de Koszul dene uma conex~ao Riemanniana.

Exerccio 2.11. Sejam (M; g) e (fM; ~g) variedades Riemannianas e r e er suas conex~oes Riemannianas. Seja F : M ! fM isometria.

Mostre que:

(1) dFprWV = ( erdF WdF V )F (p)

(2) F preserva transporte paralelo.

Corolario 2.12. Seja (M; g) variedade Riemanniana e r sua conex~ao Riemanniana. Ent~ao:

ki;j = 1 2

X

k

@gj;k

@xi + @gk;i

@xj

@gi;j

@xk

g^k;m

onde (g^ij) e a matriz inversa de (gi;j) e ^k_i;j s~ao os smbolos de Cristoel denidos na subsec~ao anterior.

2.3. Tensor curvatura de uma conex~ao am

Seja (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao am r. Defnimos R : X(M) X(M) (E) ! (E)

(X; Y; ) ! R(X; Y ) onde

R(X; Y ) := r_{[X;Y ]} r_Xr_Y + r_Yr_X

Proposic~ao 2.13. Sejam X; Y 2 X(M); 2 (E) e f; g; h 2 C¹(M) Ent~ao:

(a) R e trilinear

(b) R(X; Y ) = R(Y; X)

(c) R(fX; gY )h = fghR(X; Y )

A proposic~ao acima garante ent~ao que R_p depende apenas dos ve- tores X(p) , Y (p) e (p) e n~ao dos campos X; Y; . Assim R e um (1; 3) tensor o qual sera chamado tensor curvatura.

Segue direto da denic~ao que se o tensor curvatura e nulo ent~ao r ^@

@xi comuta com r ^@

@xj: Veremos ao longo deste captulo outras in- terpretac~oes mais profundas do tensor curvatura. Mais precisamente, veremos que se R = 0 ent~ao o transporte paralelo n~ao depende de cam- inhos curtos, ou que uma certa distribuic~ao no brado de referenciais e integravel. No caso do tensor curvatura da conex~ao Riemanniana veremos que R tambem mede qu~ao rapido geodesicas (curvas que min- imizam caminho localmente) se afastam de certo ponto xo.

Outras interpretac~oes da curvatura de uma conex~ao Riemanniana tais como teorema de Toponogov e generalizac~oes em espacos metricos ser~ao comentadas em outro captulo.

Terminamos esta subsec~ao com uma proposic~ao util para campos ao longo de uma superfcie. A demonstrac~ao segue direto da exist^encia da conex~ao pull-back.

Proposic~ao 2.14. Seja ' : [a1; b1] [a2; b2] ! M uma aplicac~ao suave e V 2 ('E) ent~ao:

r

@t r

@sV r

@s r

@tV = R(@'

@s;@'

@t)V

2.4. Tensor curvatura da conex~ao Riemanniana

Ao longo desta subsec~ao consideraremos (M; g) uma variedade Rie- manniana e R o tensor curvatura associado a conex~ao Riemanniana r em T M e listaremos algumas propriedades de R. Apresentaremos tambem as denic~oes de curvatura secional, curvatura de Ricci e cur- vatura escalar.

Proposic~ao 2.15.

(a) g(R(X; Y )Z; T ) + g(R(Y; Z)X; T ) + g(R(Z; X)Y; T ) = 0; (1⁰ identi- dade de Bianchi).

(b) g(R(X; Y )Z; T ) = g(R(X; Y )T; Z) (c) g(R(X; Y )Z; T ) = g(R(Z; T )X; Y )

Observac~ao 2.16. A 2⁰ identidade de Bianchi garante que:

rR(X; Y; Z; W; T ) + rR(X; Y; W; T; Z) + rR(X; Y; T; Z; W ) = 0 onde R(X; Y; Z; W ) := g(R(X; Y )Z; W ): A 2⁰ identidade de Bianchi (em sua formulac~ao em termos de formas e derivada covariante de en- domorsmos) e util no estudo de soluc~oes do funcional de Yang-Mills, garantindo por exemplo que soluc~oes autoduais de conex~oes metricas s~ao soluc~oes da equac~ao de Yang-Mills, vide Jost captulo 3.

2.4 Tensor curvatura da conex~ao Riemanniana 19 Seja T_pM um subespaco bi-dimensional e X; Y 2 vetores linearmente independente. Ent~ao denimos a curvatura secional em como:

K(X; Y ) := g(R(X; Y )X; Y ) g(X; X)g(Y; Y ) g(X; Y )²

De fato e possivel mostrar que K(X; Y ) e o mesmo para qualquer outra base de . Tambem e possivel mostrar que tendo todas as curvaturas secionais de todos os subespacos bi-dimensionais de T_pM ent~ao pode-se reconstruir o tensor R_p.

Proposic~ao 2.17. (a) O espaco Rⁿ tem curvaturas secionais constantes iguais a zero.

(b) O espaco hiperbolico Hⁿ tem curvaturas secionais constantes iguais a 1

(c) A esfera Sⁿ tem curvaturas secionais constantes iguais a 1.

Tais espacos s~ao chamados espacos forma e denotados por M(k) onde k = 1; 0; 1 se M(k) for espaco hiperbolico, Euclidiano ou a esfera.

Como veremos posteriormente todo espaco simplesmente conexo com curvatura k = 1; 0; 1 e isometrico a um destes.

Observac~ao 2.18. A proposic~ao acima pode ser demonstrada da seguinte maneira. Primeiro pode-se notar que cada M(k) e homogeneo, ou seja M(k) e orbita da ac~ao isometrica de Iso(M(k)). Alem disto, xo p 2 M(k) e possivel mostrar que dado 2 subespacos bi-dimensionais de TpM(k) ent~ao existe um elemento do grupo de isotropia Gp que leva um espaco no outro. Isto garante que as curvaturas secionais em p s~ao todas as mesmas e o fato de M(k) ser homogeneo garante que todo o espaco tem curvaturas secionais constantes. Para determinar que de fato tais curvaturas secionais s~ao k = 1; 0; 1 existem varias maneiras.

A primeira, mais trabalhosa e via coordenadas. Sabendo a metrica calcula-se os simbolos de Cristofell e com eles as curvaturas secionais.

Uma outra maneira mais rapida e utilizar a Equac~ao de Gauss (vide Captulo 2) na esfera e no espaco hiperbolico (modelo do hiperboloide).

A proxima proposic~ao e um resultado util sobre espaco de curvatura constante.

Proposic~ao 2.19. (M; g) tem curvaturas secionais constantes iguais a K₀ se e somente se

g(R(X; Y )Z; T ) = K0(g(X; Z)g(Y; T ) g(X; T )g(Y; Z))

A seguir uma interpretac~ao do que signica R = 0. Tal proposic~ao e um caso particular de uma proposic~ao mais geral a ser provada em breve para conex~oes ans em brados vetorias (E; M; ).

Proposic~ao 2.20. Seja (M; g) variedade Riemanniana e r sua conex~ao Riemanniana. As armac~oes abaixo s~ao equivalentes:

(a) Para todo p 2 M existe uma vizinhanca U de p em M e um referencial local f_ig denido em U tal que r_i = 0.

(b) O tensor curvatura e nulo.

(c) Para todo p 2 M existe uma vizinhanca U de p em M tal que o transporte paralelo em U independe do caminho.

Demonstrac~ao. O fato que (a) implica (b) segue diretamente da denic~ao de R. No momento vamos aceitar o fato a ser provado mais tarde que se as curvaturas secionais de M s~ao zero ent~ao M e localmente isometrica a Rⁿ. Isto implicara que o item (c) segue do item (b).

Para monstrar que o item (c) implica o item (a) vamos proceder da seguinte forma. Considere f_ig uma base de T_pM e ( ; ~U) um sistema de coordenada de p onde ~U U: Por meio do transporte paralelo ao longo das linhas coordenadas podemos denir campos ₁: : : ; _n em U. Tal referencial e suave devido a depend^encia suave das soluc~oes de~ E.D.0.

Desejamos provar que r_Vi(q) = 0 para q 2 ~U e V 2 T_qM: Escolha : [ ; ] ! ~U tal que (0) = p ⁰(0) = V . Escolha : ( ; ) ! ~U tal que ( ) = p e (0) = ( ): Note que _i = jj_i = jj(jj_i):

Assim ^r_dti = 0: Logo rVi = 0 e isto termina a prova.

Exerccio 2.21. Sejam G grupo de Lie com metrica biinvariante h; i e X; Y; Z campos invariantes a esquerda. Mostre que:

(a) h[X; Y ]; Zi = hY; [X; Z]i (b) r_XY = ¹₂[X; Y ]

(c) R(X; Y )Z = ¹₄[[X; Y ]; Z]

(d) hR(X; Y )X; Y i = ¹₄h[X; Y ]; [X; Y ]i: Em particular conclua que a curvatura sectional e sempre maior ou igual a 0:

Sugest~ao: Am de provar o item (a) lembre-se primeiro da denic~ao da adjunta dada no exerccio 1.18, i.e, Ad(g)Y := _dt^d(g exp(tY )g ¹)jt=0

e usando a denic~ao de metrica bi-invariante conclua que Ad(g) e isometria. Depois utilize a formula _dt^dAd(exp(tX))Y jt=0 = [X; Y ] dada no Problema 1.18. O item (b) seguira do Item (a) e da formula de Koszul.

Terminamos esta subsec~ao apresentando as denic~oes de curvatura de Ricci e curvatura escalar.

Definic~ao 2.22. O tensor de Ricci e denido como Ricp(X; Y ) := tr R(X; )Y

Tal tensor e simetrico. A curvatura de Ricci na direc~ao X (kXk = 1) e denida como

Ricp(X) := 1

n 1Ricp(X; X)

2.5 Formas de conex~ao e curvatura 21 Definic~ao 2.23. A curvatura escalar e denida como

CE(p) := 1 n

X

i

Ricp(i)

onde f_ig e base ortonormal de T_pM: E possivel mostrar que CE(p) n~ao depende da escolha da base fig:

Observac~ao 2.24. Veremos nos captulos 2 e 3 algumas propriedades das variedades Riemannianas com Ric limitado inferiormente. Dentre tais variedades est~ao os grupos de Lie compactos semi-simples, vide Alexandrino e Bettiol. Tal como explicado em Morgan e Tian (pagina 64) a curvatura de Ric pode ser interpretada como a aproximac~ao do laplaciano da metrica, ou mais precisamente:

Rici;j = Ric( @

@xi; @

@xj) = 3

24gi;j + O(jxj)

onde 4 e o laplaciano na metrica Euclidiana e g_i;j esta descrito nas co- ordenadas Gaussianas (vide denic~oes nas proximas sec~oes). Referente a func~ao curvatura escalar, ela e utilizada na denic~ao do funcional de Hilbert-Einstein HE(g) :=R

M CE(g)!(g) para metricas g denidas em uma variedade Riemanniana compacta M xa. CE tambem faz parte do tensor de Einstein T = ^CE₂ g Ric o qual e livre de diverg^encia e pode ser visto como gradiente de HE, vide Kuhnel, pagina 323 .

2.5. Formas de conex~ao e curvatura

2.5.1. Conex~ao am. Seja (E; M; ) brado vetorial, fig refer- encial local e r uma conex~ao am em E. A conex~ao am pode ent~ao ser vista como um operador r : (E) ! (TM E) que atende

r(f) = df + fr

Podemos agora denir as 1-formas de conex~ao !i;j como

(2.5.1) r()i =X

!ij() j

Observe que a matriz de 1-formas A denida na equac~ao (2.1.2) e a matriz (!i;j)^t, ou seja a transposta da matriz de 1-formas ! := (!i;j).

Proposic~ao 2.25 (Transformac~ao de gauge). Seja feig outro ref- erencial. Sejam (bi;j) e (~!i;j) tais que: ei =P

jbijj rei =P

jweij ej

Ent~ao

e! = (db)b ¹+ b !b ¹ Demonstrac~ao.

rei = X

j

dbij j +X

j

bijrj

re = (db) + br

re = (db)b ¹ ~+ b!b ¹ ~

A equac~ao acima e o fato que re= ew e implicam a proposic~ao.

Podemos tambem expressar o tensor R em termos de 2-formas i;j

chamadas 2-formas de curvatura as quais s~ao denidas abaixo.

(2.5.2) R(; )i :=X

j

ij(; ) j

Vamos a seguir demonstrar a assim chamada equac~ao de curvatura, a qual relacionara a matriz de curvatura := (ij) com a matriz de conex~ao ! = (!i;j):

Para tanto vamos precisar do lema a seguir o qual pode se encon- trado e.g., em Spivak.

Lema 2.26. Seja uma p forma. Ent~ao d(X₀; : : : ; X_p) = X

i

( 1)ⁱX_i (X₀; X₁; : : : ; cX_i; : : : ; X_p)

= X

i<j

( 1)^i+j([X_i; X_j]; X₀; : : : ; cX_i; : : : ; cX_j; : : : ; X_p) Onde cX_i signica que este termo n~ao esta presente. Em particular se for uma 1-forma temos:

d(X; Y ) = X (Y ) Y (X) ([X; Y ]):

Teorema 2.27 (Equac~ao de curvatura).

= d! ! ^ ! Demonstrac~ao.

X

j

_ij(X; Y ) _j = R(X; Y )_i

= r_Xr_Yi r_Yr_Xi r_{[X;Y ]i}

= rX(X

j

!ij(Y ) j) rY(X

j

!ij(X) j) X

j

!ij([X; Y ]) j

= X

j

(X !_ij(Y ) Y !_ij(X) !_ij([X; Y ])) _j

+ X

jk

(!ij(Y )!jk(X) !ij(X)!jk(Y )) k

= X

j

d!ij(X; Y ) j

X

i;j

!il^ !lj(X; Y ) j

onde a ultima igualdade segue do lema anterior.

2.5 Formas de conex~ao e curvatura 23 2.5.2. Conex~ao Riemanniana. Consideremos agora (M; g) uma variedade Riemanniana e seja r a conex~ao Riemanniana associada.

Proposic~ao 2.28 (Equac~oes de estrutura). Sejam feig um refer- encial ortonormal local denido em uma vizinhanca U, i as suas 1- formas duais, i.e, i(ej) = ij, e !ij as 1-formas de conex~ao em relac~ao ao referencial fe_ig. Ent~ao:

(a) !ij + !ji = 0 (compatvel com a metrica) (b) di =P

j!ij ^ j =P

jj ^ !ji (livre de tors~ao).

Demonstrac~ao. (a) Pela compatibilidade da metrica temos:

0 = X g(e_i; e_j) = g(r_Xe_i; e_j) + g(e_i; r_Xe_j)

= g(X

k

!ik(X) ek; ej) + g(ei;X

k

!jk(X) ek)

= !ij(X) + !ji(X)

(b) Como a metrica e livre de tors~ao temos:

[ei; ej] = reiej rejei

= X

k

(!_jk(e_i) !_ik(e_j))e_k A equac~ao acima e o Lema 2.26 implicam

dk(ei; ej) = k([ei; ej])

= !jk(ei) !ik(ej)

= X

s

s^ !sk(ei; ej)

Observac~ao 2.29. Concluimos esta subsec~ao apresentando algumas formulas uteis.

_ij =X

k<l

R_k;l;i;jk^ _l

onde Rk;l;i;j := g(R(ek; el)ei; ej) = ij(ek; el) ou como Rklij = Rlkij

ij = 1 2

X

k;l

Rk;l;i;jk^ l

Denindo Rij =P

kRikjktemos que a seguinte descric~ao local do tensor de Ricci e da curvatura escalar:

Ric =X

ij

Riji j

CE =X

i

R_ii

Por m, se M tem curvatura constante K temos ij = Ki^ j

2.6. ? Conex~ao e brados de referenciais

Nesta subsec~ao apresentaremos o brado de referenciais e demon- straremos que se R = 0 ent~ao a assim chamada conex~ao linear e in- tegravel. Seguira como consequ^encia direta que se R = 0 ent~ao o transporte paralelo n~ao depende de caminhos curtos. Avisamos ao leitor que esta e uma subsec~ao avancada. Leitores iniciantes podem (caso queiram) deixar de ler esta subsec~ao.

Seja (E; M; ) brado vetorial. A cada referencial _p = f_ig Ep esta associado um isomorsmo linear z : Rⁿ ! Ep denido como z(ei) = i. Vamos agora denir:

(1) B(E_p) como sendo o conjunto dos referenciais _p em E_p: (2) B(E) := [_p2MB(E_p) (espaco dos referenciais)

(3) a projec~ao : B(E) ! M como (_p) := p

(4) a ac~ao (a direita) : B(E) GL(n; R) ! B(E) como _p g :=

(_p; g) := z g.

N~ao e dicil vericar que a ac~ao e livre e transitiva em B(Ep).

Proposic~ao 2.30. (B(E); M; ; GL(n; R)) e um brado principal chamado brado de referenciais. Em outras palavras, B(E) e uma variedade, a ac~ao e livre e propria, M = B(E)=GL(n; R) e e submers~ao suave. Alem disto todo referencial local se torna sec~ao local, i.e., = Id.

Suponha agora que o brado vetorial (E; M; ) admite uma metrica, i.e., um produto interno denido em cada bra E_p que depende suave- mente de p. Podemos ent~ao denir o brado brado de referenciais ortonormais (O(E); M; ; O(n)) de forma analoga a denic~ao do - brado de referenciais ou seja podemos denir

(1) O(E_p) e o conjunto dos referenciais ortonormais _p de E_p. (2) O(E) := [_p2MO(E_p)

(3) : O(E) ! M e denido (_p) = p

(4) O(n) age em O(E) pela restric~ao da ac~ao denida acima ou seja se g 2 O(n) e z o isomomorsmo associado a p ent~ao (p; g) = z g

Observac~ao 2.31. (O(E); M; ; O(n)) e um subbrado do brado de referenciais.

No brado de referenciais existe uma Rⁿ-forma can^onica:

z(X) := z ¹d(X)

para z 2 B(E) e X 2 TzB(E). E possivel mostrar que d^g = g ¹ :

Uma distribuic~ao H no brado B(E) e chamada conex~ao linear se (1) Hy e complementar a bra B(E(y))

2.6 ? Conex~ao e fibrados de referenciais 25 (2) H e invariante pela ac~ao a direita

Se alem disto (E; M; ) admite metrica nas bras, dizemos que uma distruic~ao H em B(E) e adaptada a O(E) se Hz TzO(E) para qualquer z 2 O(E).

Necessitamos tambem denir uma g-forma de conex~ao ^! em B(E) a qual e denida como sendo uma g-forma (ou seja com imagens em g) e que atende as seguintes propriedades:

(1) ^!(dz(X)) = X para X 2 g (2) ^!(d^g()) = Ad(g ¹)^!

Proposic~ao 2.32. Uma g-forma de conex~ao determina uma conex~ao linear H da seguinte maneira: X_z 2 H_z se e somente se ^!(X_z) = 0:

Proposic~ao 2.33. Seja r uma conex~ao am em (E; M; ) e fig referencial local em uma vizinhanca U de p 2 M. Considere ent~ao : U 3 x ! fi(x)g 2 B(E) a sec~ao local e dena

: U GL(N; R) 3 (x; g) ! ((x); g) 2 ¹(U):

Ent~ao podemos associar uma g-forma de conex~ao ^! em B(E) da seguinte maneira:

^!_(x;g)(V1; V2) = g ¹!^t(V1)g + g ¹V2

onde ! = (!ij) e a matriz de 1-formas de conex~ao denidas por ri =X

j

!ij j:

Demonstrac~ao. Iremos demonstrar que ^! esta bem denida, i.e., n~ao depende da denic~ao de (ou seja da escolha de ).

Seja ~ um outro referencial e h : U ! Gl(n; R) a aplicac~ao tal que (x) = (~(x); h(x)):

Temos ent~ao que:

(x; g) = ~ (x; h(x)g)

Derivando a equac~ao acima temos que se d (x;g)(V1; V2) = d ~(x;hg)( ~V1; ~V2) ent~ao:

(2.6.1) ( ~V1; ~V2) = (V1; dhV1g + hV2):

Note tambem que:

(2.6.2) h ¹~!^th = h ¹dh + !^t

De fato sabemos pela transformac~ao de gauge (vide Proposic~ao 2.25) que

~! = d(h ¹)^th^t+ (h ¹)^t!h^t

~!^t = hdh ¹+ h!^th ¹

Assim sendo h ¹~!^th = dh ¹h + !^t. Tal equac~ao e o fato de dh ¹h + h ¹dh = 0 implicam a equac~ao (2.6.2). Podemos nalmente concluir que:

^!_(x;g)(V₁; V₂) := g ¹!^t(V₁)g + g ¹V₂

= g ¹h ¹~!^t(V1)hg + g ¹h ¹dh(V1)g + g ¹V2

= (hg) ¹~!^t( ~V1)(hg) + (hg) ¹( ~V2)

=: ( ~^!)_(x;hg)( ~V₁; ~V₂)

onde utilizamos a equac~ao (2.6.2) na segunda igualdade e a equac~ao

(2.6.1) na terceira igualdade.

Corolario 2.34. Seja fig um referencial local e : U 3 x ! fi(x)g 2 B(E) uma sec~ao. Ent~ao ^! = ! = (!ij):

Vimos que dado uma conex~ao em (E; M; ) e possivel construir uma g-forma de conex~ao ^! em B(E) a qual por sua vez dena uma conex~ao linear H em B(E):

Observac~ao 2.35. E possivel mostar que se : I ! M e uma curva suave, fig base de Ep e t ! i(t) o transporte paralelo ao longo de ent~ao t ! (t) := f_i(t)g e uma curva em B(E) tangente a H e tal que = .

Chegamos ao resultado principal desta subsec~ao.

Teorema 2.36. Seja (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao am r tal que o tensor curvatura R e sempre nulo. Ent~ao a conex~ao linear H em B(E) associada a r e integravel.

Demonstrac~ao. Visto que R = 0 ent~ao para todo referencial local temos pelo Corolario 2.34

0 = d^! ^! ^ ^!

= (d^! ^! ^ ^!)

Como a equac~ao acima e valida para todo referencial local temos 0 = d(^! ^! ^ ^!)j_H

Assim ^!([X; Y ]) = 0 para todo X; Y 2 X(H). Logo pelo teorema de

Frobenius H e integravel.

Corolario 2.37. Seja (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao am r tal que o tensor curvatura R e sempre nulo. Ent~ao para todo p 2 M existe uma vizinhanca U e o transporte paralelo n~ao depende de caminhos contidos em U. Alem disto existe para cada base fvig de Ep

existe um referencial em U paralelo, i.e., ri = 0, com i(p) = vi. Demonstrac~ao. Pelo teorema anterior H e integravel. Assim para toda base v 2 B(Ep) podemos encontrar uma vizinhanca sucentemente pequena de p e uma sec~ao s : U ! B(E) que e tangente a distribuic~ao

2.6 ? Conex~ao e fibrados de referenciais 27 H e tal que s(p) = v. Observe que a invari^ancia de H pela ac~ao de Gl(n; R) garante que o tamanho de U n~ao depende da escolha de v.

Estes fatos e a Observac~ao 2.35 terminam a prova.

Terminamos esta sec~ao demonstrando um belo resultado de equac~oes diferenciais, o qual sera muito relevante para demonstrar o teorema fundamental das imers~oes isometricas (vide captulo 2).

Teorema 2.38. Seja G = Gl(n; R) (ou G = O(n)) e g sua algebra de Lie. Seja ! uma g-forma denida em um domnio U: Ent~ao para todo p 2 U e g 2 G existe uma unica soluc~ao ' : ~U ! G da equac~ao diferencial

d' = !' ; '(p) = g para uma vizinhanca ~U de p se somente se

d! = ! ^ !

Demonstrac~ao. Vamos supor primeiro que d! = ! ^ !: Considere o espaco total E := U Rⁿ e a conex~ao rei =P

j!ij ej: Temos ent~ao que a curvatura de tal conex~ao R e nula. Assim sendo pelo Corolario 2.37 existe ~ : ~U ! B(E) (~ : ~U ! O(E)) com 0 = ~! = ~^! e tal que e(p) (g^t) ¹ = ~(p): Seja ' a matriz com ei = P

j'ij~j. Ent~ao pela transformac~ao de gauge (vide Proposic~ao 2.25) temos

! = (d')' ¹+ '~!' ¹

A equac~ao acima e o fato de ~! = 0 implicam que d' = !' e '(p) = g.

Vamos agora supor que d' = !' e vericar que d! = ! ^ !: Visto que d' = !' temos que ! = d'' ¹. Como d'' ¹ + 'd(' ¹) = 0 concluimos que d(' ¹) = ' ¹d'' ¹: Logo

d! = d(d'' ¹)

= d' ^ d(' ¹)

= d' ^ (' ¹d'' ¹)

= ! ^ !