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Informaç ão Assim étrica

Roberto Guena de Oliveira 13 de setembro de 2015

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Sum ´ario

Ac¸ ˜ao oculta

Mecanismos de incentivo.

Tipo oculto

Selec¸ ˜ao adversa

Sinalizac¸ ˜ao

(3)

(4)

Ac¸ ˜ao oculta

Dizemos que h áaç ão ocultaquando um agente é incapaz de observar ações relevantes de outros agentes. Trata-se de um caso de informaç ão imperfeita. Exemplos de ações ocultas s ão:

• Um empregador n ão é capaz de observar o esforço de seu empregado.

• Os acionistas de uma empresa n ˜ao s ˜ao capazes de observar o empenho de seus administradores no sentido de aumentar o valor da empresa.

• Uma seguradora n ˜ao ´e capaz de observar se seu

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Moral Hazard

Agente: indiv´ıduo contratado com a finalidade de buscar um interesse espec´ıfico de outro.

Principal: Quem contrato o agente.

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Incentivos com informac¸ ˜ao perfeita: exemplo

Suponha um trabalhador que, usando um determinado equipamento, obtenha um valor de produc¸ ˜ao dado por

y=f(e), f′(e)>0, f′′(e)<0,

em quee ´e o n´ıvel de esforc¸o realizado.

Para realizar esse n´ıvel de esforc¸o, o trabalhador incorre em um custo

c(e),

comc′(e)>0ec′′(e)>0.

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Condiç ão de efici ência

• Caso n ão haja n´ıvel de esforço para o qualf(e)≥w¯+c(e), o trabalhador n ão deve exercer essa atividade.

• Caso contr ário, o trabalhador dever á exercer o n´ıvel de esforço que maximiza

f(e)−c(e).

Chamento esse n´ıvel de esforc¸o dee∗, ele deve ser tal que

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Mecanismos de inventivo: alternativas

Supondo que hajaetal quef(e)≥w¯+c(e)e que o dono da m áquina n ão seja o trabalhador, as seguintes alternativas de contrato, nas quaisw é a remuneraç ão do trabalhador, garantem que o n´ıvel de esforço realizado seja ótimo e que todo excedente seja apropriado pelo dono da m áquina:

Sal ´ario: w(e) =se+k. Aluguel: w(e) =f(e)−A.

Ultimato: O trabalhador recebe uma remunerac¸ ˜aow¯+c(e∗)

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Escolha do esquema de sal ´ario ´otimo

Sew(e) =se+k, ent ˜ao o trabalhador dever ´a escolherede modo a maximizar

se+k−c(e).

A condiç ão de m áximo de primeira ordem é:

c′(e) =s.

Fazendos=f′(e∗) =c′(e∗)o trabalhador dever á escolher o n´ıvel de esforço ótimoe=e∗. Para garantir que o trabalhador recebe o necess ário, e n ão mais do que o necess ário, para fazer com que ele aceite a proposta, a remuneraç ão fixa (k) deve ser ajustada de modo a fazer com que

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Esquema de aluguel ´otimo

Se o trabalhador tiver direito a todo o produto menos o valor fixoAde aluguel da m áquina, ele dever á escolher o n´ıvel de esforço que maximiza

f(e)−c(e)−A.

A condiç ão de m áximo de primeira ordem requer que

f′(e) =c′(e),

o que, sabemos, ocorre quandoe=e∗.

O aluguel pode ser fixado de modo a fazer com que, quando escolhee=e∗, o trabalhador recupere seu custo de

oportunidade e o custo do esforc¸o:

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Ac¸ ˜ao oculta

Os mecanismos anteriores s ´o funcionam porque

• Ou o principal é capaz de observar o esforço; e/ ou • existe uma correlaç ão perfeita entre esforço e produto.

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Exemplo

O agente pode participar de uma atividade nas seguintes condic¸˜oes:

• O agente pode escolher entre esforçar-se ou n ão. Definimos uma vari áveletal quee= 1caso o agente se esforce ee= 0caso contr ário.

• O produto ser á igualY com probabilidadeπ(e)ouycom probabilidade1−π(e), sendo queY > yeπ(1)> π(0). • A funç ão de utilidade de Von-Neumman Morgenstern do

agente éU(w,e)na qualw é sua remuneraç ão. Essa funç ão é crescente e c ôncava em relaç ão awe

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Exemplo: Algumas definic¸˜oes

• Caso n ˜ao participe dessa atividade, o agente obter ´a uma utilidade (chamada “utilidade de reserva”)u¯.

• O principal (risco-neutro) n ão é capaz de obervar o esforço, mas observa o produto.

• Remuneraç ão de reserva (w¯), é o valor m´ınimo para que o agente aceite trabalhar para o principal sem esforçar-se, definido por

U( ¯w,0) = ¯u

• Custo do esforço (c) é o menor valor que deve ser acrescentado à remuneraç ão de reserva para que o agente aceite trabalhar para o principal e esforçar-se, definido por

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Excedente gerado quando o agente n ˜ao se esforc¸a

Se o agente n ão se esforça, o produto esperado ser á

ye(0) =π(0)Y+ [1−π(0)]y=y+π(0)(Y−y).

se a remuneraç ão do agente éw, seu excedente ser á

Ea(w,0) =w−w.¯

O excedente esperado do principal ser á a diferença entre o produto esperado e a remuneraç ão do agente:

Ep(w,0) =ye(0)−w=y+π(0)(Y−y)−w.

O excedente social ser ´a a soma dos dois excedentes:

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Excedente gerado quando o agente se esforc¸a

Se o agente se esforc¸a, o produto esperado ser ´a

ye(1) =π(1)Y+ [1−π(1)]y=y+π(1)(Y−y).

se a remuneraç ão do agente éw, seu excedente ser á

Ea(w,1) =w−w¯−c.

O excedente esperado do principal ser á a diferença entre o produto esperado e a remuneraç ão do agente:

Ep(w,1) =ye(1)−w=y+π(1)(Y−y)−w.

O excedente social ser ´a a soma dos dois excedentes:

(16)

Quando ´e eficiente que o agente n ˜ao aceite

trabalhar?

O trabalhador n ˜ao deve trabalhar para o principal caso

Es(0)<0, isto ´e

y+π(0)(Y−y)−w <¯ 0

ou ainda,

y+π(0)(Y−y)<w.¯

eEs(1)<0, ou seja,

y+π(1)(Y−y)₋w¯−c <¯ 0,

isto ´e,

(17)

Quando ´e eficiente que o agente aceite trabalhar e

n ˜ao se esforce?

O trabalhador deve trabalhar e n ˜ao se esforc¸ar casoEs(0)>0,

ou seja,

y+ (Y−y)π(0)≥w¯

eEs(0)> Es(1), ou seja,

y+ (Y−y)π(0)−w > y¯ + (Y−y)π(1)−w¯−c,

ou ainda,

(18)

Quando ´e eficiente que o agente aceite o trabalho e

se esforce?

O trabalhador deve trabalhar e esforc¸ar-se casoE(1)>0, ou seja,

y+ (Y−y)π(1)>w¯+c,

eEs(1)> Es(0), ou seja,

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Mecanismo de incentivo com ac¸ ˜ao oculta

• Principal oferece ao agente a remuneraç ãoW caso o produto sejaY e a remuneraç ãowcaso o produto sejay, comW ≥w.

• Agente deve decidir se aceita ou n ˜ao a proposta e, caso aceite a proposta, se deve esforc¸ar-se.

• Note que, casoW > w, ao aceitar a proposta, o agente se colocar á em uma situaç ão de risco. Isso significa que ele s ó aceitar á a proposta caso sua remuneraç ão embuta um pr êmio de risco,p.

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Excedente do agente quando h á remuneraç ão

vari ável e ele n ão se esforça

E_ae(W ,w,0) =π(0)Ea(W ,0) + [1−π(0)]Ea(w,0)−p(W ,w,0)

em quep(W ,w,0) é o pr êmio do risco corrido pelo agente dados os valores de remuneraç ão condicionaisW ewquando ele n ão se esforça. Esse excedente pode ser rescrito como

(21)

Excedente do agente quando h á remuneraç ão

vari ´avel e ele se esforc¸a

E_ae(W ,w,1) =π(1)Ea(W ,1) + [1−π(1)]Ea(w,1)−p(W ,w,1)

em quep(W ,w,1) é o pr êmio do risco corrido pelo agente dados os valores de remuneraç ão condicionaisW ewquando ele se esforça. Esse excedente pode ser rescrito como

(22)

Condic¸˜oes para que o agente aceite a proposta e se

esforce:

Restriç ão de participaç ão E_ae(W ,w,1)≥0, ou seja:

w+π(1)(W−w)_≥w¯+c+p(W ,w,1).

Restriç ão de incentivo E_ae(W ,w,1)_≥E_ae(W ,w,0), isto é:

w+π(1)(W−w)₋w¯−c−p(W ,w,1)_≥w+π(0)(W−w)₋w¯−p(W ,w,0)

(23)

Remunerac¸ ˜ao escolhida pelo principal para induzir

esforc¸o.

1. A remuneraç ão esperada deve ser a menor poss´ıvel ainda compat´ıvel com a restriç ão de participaç ão:

w+π(1)(W∗−w∗) = ¯w+c+p(W∗,w∗,1).

2. A diferença entreW ewdeve ser a menor poss´ıvel ainda compat´ıvel com a restriç ão de compatibilidade de

incentivo, de modo a tornar t ˜ao pequeno quanto poss´ıvel o pr ˆemio do risco:

(24)

Ganho esperado do principal

Ao induzir esforc¸o com custo m´ımimo

E_pe(W∗,w∗,1) =y+π(1) (Y−y)−[w∗+π(1) (W∗−w∗)]

Ao contratar o agente com remunerac¸ ˜ao fixa

Ep( ¯w,0) =y+π(0) (Y−y)−w.¯

Diferenc¸a

(25)

Condic¸˜oes para que o principal opte por contratar o

agente com incentivo para esforc¸o

1. E_pe(W∗,w∗,1)_≥0:

y+π(1) (Y−y)≥w¯+c+p(W∗,w∗,1)

2. E_pe(W∗,w∗,1)≥Ep( ¯w,0):

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Por que a aç ão oculta gera inefici ência.

1. Caso o principal opte por induzir o agente a exercer o esforço ter á que fazer com que ele assuma parte do risco decorrente do fato de que o produto é vari ável. Como o agente tem avers ão ao risco e o principal é risco neutro, sob informaç ão perfeita, seria mais eficiente que o principal arcasse com todo o risco.

2. Caso[π(1)−π(0)] (Y−y)_≥ce

(27)

ANPEC 2012 — Quest ˜ao 10

Um trabalhador pode realizar dois n´ıveis de esforço quando contratado por uma f ábrica, alto ou baixo. A probabilidade de ocorrerem erros de produç ão é condicional ao n´ıvel de esforço do trabalhador. Se o trabalhador realiza o esforço alto a probabilidade de erro é 0,25 e se o trabalhador realiza o esforço baixo a probabilidade de erro se eleva para 0,75. A funç ão de utilidade do trabalhador é dada por:

U(w,e) = 100−10_w −e,em quew é o sal ário do trabalhador eeo n´ıvel de esforço, que assume o valore= 2, no caso do

(28)

ANPEC 2012 — Quest ão 10 — continuaç ão.

A única oportunidade de trabalho existente no mercado é dada por este posto na f ábrica. O valor do produto depende de seu estado, ou seja, se o produto estiver perfeito o fabricante consegue vend ê-lo a R$20,00 a unidade e se o produto apresentar algum defeito devido aos erros de produç ão, o produto n ão é vendido e, portanto, seu valor é zero. Sabendo que o fabricante é neutro ao risco e maximiza o lucro esperado conhecendo as restrições do trabalhador, assinale falso ou verdadeiro:1

1_{Obs.: para responder essa quest ˜ao ´e preciso pressupor uma utilidade de}

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ANPEC 2012 — Quest ão 10: Soluç ão

Contrataç ão sem incentivo ao esforço.

Caso n ão queira induzir o esforço, o fabricante dever á pagar um sal áriow0 que seja suficiente para cobrir a utilidade de

reserva do trabalhador:

U(w0) = 100−

10 w0

= 0⇒w0=

1 10.

O ganho esperado do fabricante ser ´a:

GE₀₌1

420− 1 10=

(30)

ANPEC 2012 — Quest ão 10: Soluç ão

Contrataç ão com incentivo: restriç ão de participaç ão.

Sejamw1 o sal ário pago quando n ão h á falha e w2 o valor

pago quando h á falha. Ent ão a restriç ão de participaç ão é:

3 4 100−

10 w1−

2 !

+1 4 100−

10 w2−

2 !

≥0,

o que pode ser rescrito como

98− 10 w2

+3 4

10 w2−

10 w1

!

(31)

ANPEC 2012 — Quest ão 10: Soluç ão

Restric¸ ˜ao de incentivo

3 4 100−

10 w1−

2 !

+1 4 100−

10 w2−

2 !

≥1₄ 100₋10 w1

! +3

4 100− 10 w2 ! . Ou, simplificando, 10 w2−

10 w1 ≥

4.

Como o fabricante quer pagar o menor pr êmio do risco poss´ıvel, dever á escolher a menor diferença entrew1 ew2 que ainda

satisfaça a inequaç ão acima, isto é, dever á fazer com que

10 w2−

10 w1

(32)

ANPEC 2012 — Quest ão 10: Soluç ão

Remunerac¸ ˜ao e lucro esperado com incentivo

Substituindo (2) em (1), e considerando o menorw2que atenda

`a desigualdade, chegamos ao resultado

w1=

10

97 e w2= 10 101.

O ganho esperado do fabricante ser ´a

GE₁₌3

420− ₃ 4 10 97+ 1 4 10 101 = 146440

9797 ≈14,95.

Como o ganho esperado com incentivo ´e maior do que o ga-nho esperado sem incentivo (GE₀_{= 4}_,₉_{), o fabricante dever ´a}

(33)

ANPEC 2012 — Quest ão 10 — continuaç ão.

0 O trabalhador ir ´a sempre preferir realizar o n´ıvel de

esforc¸o baixo. F

1 O fabricante ir ´a sempre preferir que o trabalhador realize

o esforço baixo, pois o contrato que induz o trabalhador a realiza o esforço alto é muito desfavor ável. F

2 Caso o fabricante queira que o trabalhador realize o

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ANPEC 2012 — Quest ão 10 — continuaç ão.

3 O sal ´ario pago para que o trabalhador realize o esforc¸o

baixo ´e dado porw=₁₀₀10. V

4 O vetor de sal ´arios ofertado ao trabalhador para que este

realize o esforço alto é dado por:w1= 10₉₇, w2=₁₀₁10 em que w1 é o sal ário no estado da natureza em que n ão ocorrem

erros de produç ão ew2 é o sal ário no estado da natureza

(35)

(36)

Market for Lemons

• Dois tipos de autom ´oveis:lemons(em mau estado) e

plums(em bom estado).

• Os vendedores conhecem o estado do autom ´ovel, os compradores, n ˜ao.

• Prec¸os de reserva:

lemon plum

comprador p P

vendedor q Q

• Os compradores conhecem a frac¸ ˜aoπdoslemonsno total de carros.

(37)

Market for Lemons: tr ˆes possibilidades

1. Seπp+ (1−π)P≥Q, todos os autom óveis ser ão vendidos. 2. Seπp+ (1−π)P < Q, n ão h á equil´ıbrio, o mercado colapsa para um equil´ıbrio em queπ= 1ep≥q, apenas oslemons

ser ˜ao vendidos a um prec¸o entreqep.

3. Sep+ (1₋π)P < Qep < q, n ão h á equil´ıbrio, o mercado colapsa para um equil´ıbrio em que nenhum autom óvel ser á vendido.

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Exemplos

1. Sep= 12,P= 24,q= 10,Q= 20eπ= 1/4, ent ˜ao

πp+ (1₋π)P= 21e todos os autom óveis ser ão vendidos por um preço entre21e24.

2. Sep= 12,P= 24,q= 10,Q= 20eπ= 1/2, ent ˜ao

π p+ (1−π)P = 18e apenas oslemonsser ˜ao vendidos ao um prec¸o entre10e12.

3. Sep= 12,P= 24,q= 14,Q= 20eπ= 1/2, ent ˜ao

(39)

Exemplo: Quest ˜ao 08, ANPEC 2002

Considere uma economia com dois per´ıodos na qual existem dois tipos de empresas de tecnologia:50%s ão empresas do tipoAe50%do tipoB, ambas necessitando de financiamento de$50. Empresas que n ão obt êm financiamento encerram suas atividades tendo valor zero. As empresas do tipoAno segundo per´ıodo poder ão valer$50ou$80(ambos com a mesma probabilidade), enquanto as empresas do tipoB

(40)

Quest ˜ao 08, ANPEC 2002(cont.)

Nesta economia existe apenas um banco que capta recursos a uma taxa de10%. O banco pode emprestar recursos `as

(41)

Quest ão 08, ANPEC 2002 — Soluç ão

Se o banco cobrar taxas de jurosrAda empresaAerBda

empresaB, ent ˜ao, lembrando que ele deve devolver aos seus financiadores50 + 10%×50 = $55por$50empresatados,

• Seu ganho esperado com a empresaAser ´a

GA(rA) =

1

250(1 +rA) + 1

250−55 = 25rA−5.

• Seu ganho esperado com a empresaBser ´a

GB(rB) =

1

250(1 +rB) + 1

(42)

Quest ão 08, ANPEC 2002 — Informaç ão conpleta

A maior taxa de jurosrAque o banco pode cobrar da empresa

A ´e tal que

50(1 +rA) = 80⇒rA= 60%.

A maior taxa de jurosrBque o banco pode cobrar da empresa

B ´e tal que

50(1 +rB) = 120⇒rB= 140%.

Com informaç ão completa, o banco dever á cobrar essas taxas de juros de cada empresa, obtendo um ganho esperado de

G_A(0,60) = 25×0,6−5 = $10 com a empresa do tipoA; e

(43)

Quest ão 08, ANPEC 2002 — Informaç ão imconpleta

Caso o banco n ˜ao seja capaz de diferenciar entre as duas empresas, dever ´a escolher entre

1. Cobrar uma taxa de jurosr= 60%de qualquer empresa obtendo ganho esperado por empresa igual a

GE₁₌1

2GA(0,6) + 1

2GB(0,6)

=1

2(25×0,6−5 + 25×0,6−30) =−5

2. Cobrar uma taxa de jurosr= 140%de qualquer empresa sabendo que a empresaAn ˜ao tomar ´a emprestado, obendo um ganho esperado por empresa

(44)

Quest ˜ao 08, ANPEC 2002(cont.)

0 Supondo que o banco pode distinguir os dois tipos de

empresas, as taxas de juros m´ınimas que poderia cobrar das empresas do tipoAeBs ˜ao respectivamente20%e

120%. V

GA(rA) = 0⇒25rA−5 = 0⇒rA= 0,2

G_B(r_B) = 0⇒25r_B−30 = 0⇒r_B= 1,2

1 A taxa de juros m ´axima que uma empresa do tipoApode

aceitar pagar ´e80%, enquanto que para empresas do tipo

(45)

Quest ˜ao 08, ANPEC 2002(cont.)

2 Suponha que o banco n ˜ao possa distinguir entre os dois

tipos de empresa e que raciocine da seguinte forma: “Como metade das firmas s ão do tipo A e metade s ão do tipo B, vou cobrar, da firma que solicitar empr éstimo, uma taxa de juros correspondendo à m édia das taxas que cobraria de cada empresa se pudesse distingu´ı-las”. Ent ão cobrar á juros de100%. 0,6+1₂ ,4 = 1 V

3 Se o banco n ˜ao pode distinguir entre os tipos de

empresas, uma estrat ´egia ´otima para o banco seria cobrar140%de qualquer empresa de tecnologia que

quisesse financiamento. V

4 Em equil´ıbrio, firmas de ambos os tiposAeBtomam

(46)

Sinalizac¸ ˜ao

Umsinal ´e um bem ou compromisso contratual vis´ıvel para os compradores, sem valor impl´ıcito para os vendedores, que custe para o vendedor do carro bom estado menos do que

Q−q, mas que, para o vendedor do carro em mau estado, custe mais do queQ−q.

O vendedores do autom ´ovel em bom estado podem incorrer no custo associado ao sinal como forma de mostrar aos

(47)

Sinalizac¸ ˜ao: exemplos

• Garantias.

(48)

O modelo de sinalizac¸ ˜ao Spence

• Dois tipos de trabalhadores: trabalhadores do tipo1e trabalhadores do tipo2.

• α ´e a parcela dos trabalhadores do tipo1no total de trabalhadores.

• A produtividade do trabalhador do tipo1 ´es1e a do

trabalhador do tipo2 ´es2.

• Os trabalhadores1e2t êm remuneraç ão de reserva iguais a, respectivamente,w¯1= 0ew¯2≥0.

(49)

O modelo de sinalizac¸ ˜ao Spence

• H ´a um curso que custa, por n´ıvel obtido,c1para o

trabalhador do tipo1ec2para o trabalhador do tipo2.

• Esse curso n ˜ao aumenta a produtividade dos trabalhadores e n ˜ao tem utilidade para eles. • c1> c2

(50)

O modelo de Spence: Equil´ıbrio com informac¸ ˜ao

completa

• Os sal ´arios do trabalhadores dos tipos1e2ser ˜ao, respectivamente,s1es2.

(51)

O modelo de Spence: Equil´ıbrio com selec¸ ˜ao adversa

Se

se=αs1+ (1−α)s2< w2

e n ão houver associaç ão entre n´ıvel educacional e sal ário dos trabalhadores, ent ão apenas os trabalhadores do tipo1se oferecer ão para os empregos e ser ão contratados ao sal ário

(52)

Equil´ıbrio agregador

Se

se=αs1+ (1−α)s2≥w2

e a remuneraç ão dos trabalhadores n ão for associada ao n´ıvel de eduç ão, todos os trabalhadores ser ão contratados ao sal áriose. Dizemos que trata-se de um equil´ıbrio agregador

(53)

O modelo de Spence: Equil´ıbrio separador

• Os empregadores acreditam que trabalhadores com um n´ıvel de educaç ão igual ou superior ae˜t êm produtividade

s2e que os outros trabalhadores t ˆem produtividades1.

Assim oferecem remunerac¸ ˜aos2para trabalhadores com

n´ıvel de educac¸ ˜ao igual ou superior ae˜es1para os outros.

• A remuneraç ão incentiva os trabalhadores do tipo 2 a obter o n´ıvel de educaç ãoe˜:s2−max{s1,w¯2}> c2e˜.

• O mesmo n ˜ao acontece com os trabalhadores do tipo 1:

s2−s1< c1e˜

• s2−s1

c1

(54)

O modelo de Spence: Efeitos da sinalizac¸ ˜ao.

• Caso

w2> se,

a sinalizaç ão gerar á ganho de efici ência ao possibilitar a contrataç ão do trabalhador do tipo2.

• Casow2< see

s1−se> c2e,˜

a sinalizaç ão gerar á perda de excedente social, em virtude de seu custo, mas o trabalhador do tipo2preferir á o equil´ıbrio separador ao equil´ıbrio agregador.

• Casow2< see

s1−se< c2e,˜

(55)

Exemplo 1

• w¯1= 0,w2= 450

• s1= 400s2= 600

• α=4₅

• c1= 20,c2= 12 Equil´ıbrio com selec¸ ˜ao adversa

• se=αs1+ (1−α)s2=45400 +15600 = 440< w2.

• O sal ´ario oferecido ser ´aw= 400;

• Apenas o trabalhador do tipo1aceita o emprego e seu excedente ser ´a igual a400;

(56)

Exemplo 1

• w¯1= 0,w¯2= 450

• s1= 400s2= 600

• α=4₅

• c1= 20,c2= 12

Equil´ıbrio separador

• Os trabalhadores do tipo2obt ´em um grau de estudoe˜tal que

600−400

20 = 10<e <˜

600−450

12 =

25 2 .

• O sal ário do trabalhador do tipo1 éw1= 400e o do tipo2 é600.

• O excedente do trabalhador do tipo1 é400, igual ao do equil´ıbrio com seleç ão adversa.

• O excedente do trabalhador do tipo2 ´e inferior a

(57)

Exemplo 2

• w¯1= 0,w2= 0

• s1= 400s2= 600

• α=4₅

• c1= 20,c2= 12 Equil´ıbrio agregador

• αs1+ (1−α)s2= 45400 +15600 = 440.

• O sal ´ario oferecido ser ´aw= 440;

(58)

Exemplo 2

• w¯1= ¯w2= 0

• s1= 400s2= 600

• α=4₅

• c1= 20,c2= 12

600−400

20 = 10<e <˜

600−400

12 =

50 3 .

• O excedente do trabalhador do tipo1 ´e400, igual ao do equil´ıbrio agregador.

(59)

Exemplo 3

• w¯1= ¯w2= 0

• s1= 400s2= 600

• α=1₂

• c1= 20,c2= 12 Equil´ıbrio agregador

s2=

1 2400 +

1

2600 = 500>w¯2.

(60)

Exemplo 3

• w¯1= ¯w2= 0

• s1= 400s2= 600

• α=1₂

• c1= 20,c2= 12

600−400

20 = 10<e <˜

600−400

12 =

25 3 .

• O excedente do trabalhador do tipo1 ´e400.

• O excedente do trabalhador do tipo2 ´e inferior a

(61)

Exemplo 4: ANPEC 2003 — Quest ˜ao 9

Considere um modelo de sinalizaç ão do tipo Spence no qual os trabalhadores escolhem um n´ıvel de educaç ão. H á uma

grande quantidade de firmas e de trabalhadores. Os

trabalhadores h ábeis t êm a funç ão de utilidadeUH=w−38E2e

os trabalhadores pouco h ábeis t êm a funç ão de utilidade

UPH=w−1₂E2, em quewrepresenta o n´ıvel salarial eEo n´ıvel

educacional. Um trabalhador h ábil com n´ıvel de educaç ãoEH

vale1,5EHpara a firma, enquanto um trabalhador pouco h ´abil

(62)

Exemplo 4: Soluc¸ ˜ao eficiente

SejamEHeEPHos n´ıveis educacionais dos trabalhadores

h ábeis e in ábeis, respectivamente. O excedente gerado com cada tipo de trabalhador é igual ao seu produto menos a remuneraç ão necess ária para compens á-lo pelo n´ıvel educacional obtido:

Excedende com trabalhadores h ´abeis: 3₂EH−38EH2.

Excedende com trabalhadores pouco h ´abeis: EPH−1₂EPH2 .

As condições para maximizaç ão desses excedentes s ão:

Trabalhadores h ´abeis: 3₂₋3₄EH= 0⇒EH= 2; e

(63)

Exemplo 4: Escolha do trabalhador h ´abil.

Se a remuneraç ão forw=γE(γ >0) ent ão o trabalhador h ábil escolher á um n´ıvel educacionalEH de modo a maximizar

γEH−

3 8E

2

H.

A condiç ão de primeira ordem é:

γ−3

4EH= 0,

o que significa que ele escolher ´a o n´ıvel de estudo

EH(γ) =

4 3γ,

obtendo uma utilidade de

V_H(γ) =γ×4

(64)

Exemplo 4: Escolha do trabalhador pouco h ´abil.

Se a remuneraç ão forw=γE(γ >0) ent ão o trabalhador pouco h ábil escolher á um n´ıvel educacionalEPHde modo a

maximizar

γEPH−

1 2E

2

PH.

A condiç ão de primeira ordem é:

γ−EPH= 0,

o que significa que ele escolher ´a o n´ıvel de estudo

EPH(γ) =γ,

obtendo uma utilidade de

VH(γ) =γ×γ−

1 2γ

2₌γ2

(65)

Exemplo 4: Equil´ıbrio separador — condic¸ ˜ao 1

A remuneraç ão deve serw=EcasoE <E˜e 3₂Ecaso contr ário. Os trabalhadores pouco h ábeis devem escolherEPH(1), isto é

VPH(1) =

12 2 =

1 2>

3 2E˜−

1 2E˜

2

Resolvendo essa inequaç ão chegamos à condiç ão

˜ E < 1

2

3−√5 ouE >˜ 1 2

(66)

Exemplo 4: Equil´ıbrio separador — condic¸ ˜ao 2

A remuneraç ão deve serw=EcasoE <E˜e 3₂Ecaso contr ário. Os trabalhadores h ábeis devem escolherEPH= ˜E, isto é

VH(1) =

2 3×1

2₌2

3 < 3 2E˜−

3 8E˜

2

Resolvendo essa inequaç ão chegamos à condiç ão

2 3

3−√5<E <˜ 2 3

(67)

Exemplo 4: Equil´ıbrio separador

O n´ıvel de estudo exigido no equil´ıbrio separador deve atender às condições

˜ E < 1

2

3−√5 ouE >˜ 1 2

3 +√5

e

2 3

3−√5<E <˜ 2 3

3 +√5

Portanto os valores deE˜que geram equil´ıbrio separador s ˜ao tais que

1 2

3 +√5<E <˜ 2 3

(68)

Exemplo mais complexo: ANPEC 2003 — Quest ˜ao 9

Julgue

0 A soluç ão eficiente (com informaç ão completa) é

(EPH= 1, EH= 2). V

1 Caso exista um equil´ıbrio agregador, este n ˜ao pode ser

eficiente. V

2 Caso haja um equil´ıbrio separador, este ser ´a eficiente. F 3 Em nenhum equil´ıbrioU_Hpode ser menor que1/2. V 4 Caso haja um equil´ıbrio separador, nele, ter-se- ´a

(69)

(70)

Mecanismos de revelac¸ ˜ao

(71)

Leil ˜ao de Vicrey

(72)

Mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves

• Um planejador deve escolher a quantidadeGa ser provida de um bem p ´ublico.

• Osnconsumidores possuem func¸˜oes de utiliade na forma

U_i(x_i,G) =x_i+v_i(G)

na qualxi é o valor dos gastos com aquisiç ão dos bens

privados.

• O custo de provis ão do bem p úblicoc(G)dever á ser rateado entre os consumidores de acordo com as funções

c1(G), c2(G), . . . , cn(G),de tal sorte que n

X

i=1

(73)

Mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves — continuac¸ ˜ao

• Dada a quantidade provida do bem p úblico e a regra de distribuiç ão de seu custo, cada consumidor obter á um excedente dado por

r_i=v(G)−c_i(G).

• O planejador n ão conhece as funçõesri(G), de modo que

solicita aos consumidores declarem essa func¸˜oes. Seja

di(G)a funç ão declarada pelo consumidori, n ão

(74)

Mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves — continuac¸ ˜ao

Sejam

G∗ A quantidade do bem p ´ublico que maximiza

Pn

i=1di(G).

G_i′ um valor definido para cada ind´ıv´ıduoi,

i= 1,2, . . . ,n, de modo a maximizarP

j,irj(G).

O mecanismo de Vickrey-Clarke-Graves consiste em

1. Prover a quantidadeG∗do bem p ´ublico. 2. Impor um imposto a cada consumidor igual a

X

j,i h

(75)

Melhor estrat ´egia para o Mecanismo de VCG

Cada consumidoriquer que o planejador a escolhaGque maximize o seu excedente l´ıquido (inclusive do imposto de VCG):

ri(G)−

X

j,i h

dj(G′)−dj(G)

i ,

O que, tomandoG′ como um dado, equivale a maximizar

ri(G) +

X

j,i dj(G).

O planejador ir ´a maximizar

n

X

j=1

d_j(G) =d_i(G) +X

j,i d_j(G).

Portanto, caso declaredi(G) =ri(G),∀G, o consumidorifar ´a

(76)

Problemas com o mecanismo de VCG

• S ó funciona com prefer ências quase-lineares. • H á um custo de efici ência igual ao valor do imposto

(77)

Exemplo: ANPEC 2010, Quest ˜ao 14

Tr ˆes estudantes de mestrado em economia ( ditos, A, B e C), que dividem quarto em uma rep ´ublica perto da escola,

precisam decidir se adquirem ou n ão uma TV que custa $300, para que possam relaxar assistindo a um filme todo domingo à noite, único hor ário em que n ão est ão estudando. Eles

concordam antecipadamente que, se decidirem adquirir a TV, ent ão cada um ir á contribuir com $100. Os preços de reserva dos estudantes A, B e C s ão, respectivamente,νA= 60,νB= 60

eν_C = 240. Como os preços de reserva s ão informaç ão privada, eles concordam em usar o mecanismo de

Groves-Clarke de revelac¸ ˜ao de demanda. Para tanto, denote porHA,HBeHC, os impostos de Groves-Clarke dos estudantes

(78)

ANPEC 2010, Quest ão 14 — Soluç ão

Func¸˜oesri(G):

i G

0 1

A 0 −40

B 0 ₋40

C 0 140

P

i 0 60

P

i,A 0 100

P

i,B 0 100

P

i,C 0 −80

Escolhas ´otimas

A B C

G∗ 1 1 1 G′_i 1 1 0

Taxa VCG:

A B C

P

j,idj(G′i) 100 100 0

P

j,idj(G∗) 100 100 −80