PROJETO ITA PARA TODOS
Lista de Exercícios de Geometria Espacial
“O único lugar em que o sucesso vem antes do trabalho é no dicionáro”
Albert Einstein
OBS: As alternativas corretas estão marcadas em vermelho
1- (ITA-2000) Um cilindro circular reto é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo. A
secção fica a 5 cm do eixo e separa na base um arco de 120o . Sendo de 30
√
3
cm2 a área da secção plana retangular, então o volume da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm3,a) 30 - 10
√
3
b) 30 - 20
√
3
c) 20 - 10
√
3
d) 50 - 25
√
3
e) 100 - 75
√
3
2- (ITA-1985) Uma esfera de raio r =
√
3
cm está inscrita num prisma hexagonal retangular que, por sua vez, está inscrito numa esfera de raio R. Pode-se afirmar que a medida do raio R vale:a)
√
7
cmb)
√
7
3
cmc) 2
√
3
cmd)
√
7
/ 2 cme) 4
√
3
3- (ITA-1985) Um tronco de cone reto com bases paralelas está inscrito em uma esfera cujo raio mede 2m. Se os raios das bases do tronco de cone medirem, respectivamente, r m e 2r m, então seu volume medirá:
a)
2
b)
3
2
r2(√
4
−
r
2 +√
1
−
r
2 )c)
7
3
r2(√
4
−
r
2 - 2√
1
−
r
2 )d)
7
3
r2(√
4
−
r
2 + 2√
1
−
r
2 )e)
3
2
r2(√
4
−
r
2 + 2√
1
−
r
2 )4- (ITA-1984) A figura abaixo é a secção de dois cones retos cortados por um plano paralelo às bases. O volume da região hachurada é:
a) 5D3/ 6 b) 7D3/ 12
c) D3/ 3
d) D3
e) 2D3
5- (ITA-1983) Ao girarmos o gráfico da função
f(x) =
{
x,
x
∈
[
0, 1
]
¿¿¿¿
em torno do eixo das abcissas (eixo dos x), obtemos uma superfície de revolução cujo volume é
a) /3
b) /2
c) d) 2
6- (ITA-1981) Considere um retângulo de altura h e base b e duas circunferências com diâmetro h e centros nos lados do retângulo, conforme a figura abaixo. Seja z um eixo que passa pelo centro destas circunferências. Calcule a superfície total do sólido gerado pela rotação da área hachurada da figura em torno do eixo z.
a) h(b-h)
b) h(b+h) c) b(b-h)
d) b(b+h)
e) nda
7- (ITA-1980) Considere uma esfera inscrita num cone circular reto tal que a área da superfície total do cone é n vezes a área da superfície da esfera, n > 1. Se o volume da esfera é r cm3 e se a área da base do cone é s cm2, o comprimento em centímetros da altura do cone é dada por:
a) r/s b) (nr)/s c) (2nr)/s
d) (3nr)/s
e) (4nr)/s
8- (ITA-1979) Considere o tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio R, onde R mede 3 cm. A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro é dada por:
a) 16
√
3
cmb) 13
√
6
cmc) 12
√
6
cmd) 8
√
3
cme) 6
√
3
cma) ( 8
√
3
- 8 / 3 ) cm3b) ( 5
√
2
-√
5
/ 2 ) cm3c) ( 4
√
2
- 4√
3
/ 5 ) cm3d) ( 3
√
3
- 3√
3
/ 5 ) cm3e) ( 7
√
2
-√
5
/ 3 ) cm310- (ITA-1978) Se numa esfera de raio R, circunscrevemos um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base, então a expressão do volume deste cone em função do raio da esfera, é dado por:
a) 3R3
b)
3
√
3
2
R3c) 3
√
3
R3d)
4
√
3
3
R3 e) nda11- (ITA-1976) Considere um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio R. Designando por H, a, h e V, respectivamente, a altura, a aresta, a altura da base e o volume deste tetraedro, temos:
a) V =
2
√
3
3
R3 e h =3
√
2
4
Hb) V = 8
√
3
R3 e a =√
6
2
Hc) V =
4
√
2
d) V = 6
√
2
R3 e H = 4R e) nda12- (ITA-1992) Uma seção plana que contém o eixo de um tronco de cilindro é um trapézio cujas bases menor e maior medem, respectivamente, h e H cm. Duplicando-se a base menor, o volume sofre um acréscimo de 1/3 em relação ao seu volume original. Deste modo:
a) 2H = 3h b) H = 2h c) H = 3h d) 2H = 5h e) nda
13- (ITA-1992) Um cone de revolução está circunscrito a uma esfera de raio R cm. Se a altura do cone for igual ao dobro do raio da base, então a área de sua superfície lateral mede:
a) /4 . (1+
√
5
)2R2 cm2b)
√
5
/4 . (1+√
5
)2 R2 cm2c)
√
5
/4 . (1+√
5
)R2 cm2d)
√
5
(1+√
5
)R2 cm2e) nda
14- (ITA-1976) Numa superfície esférica de área A > 1, considere inscrito um cone, tal que a área de sua base seja igual à sua altura. Nestas condições, temos que o volume do cone é dado por:
a)
1
3
2. A3/2b)
1
3
A2c)
1
3
(
√
πA
−
1
π
)
2
d)
1
3
(A3/2 – 1)e) nda
15- (ITA-1973) Seja L o comprimento do eixo de uma caldeira cilíndrica terminada por duas semi-esferas. Sabe-se que a área da superfície total da caldeira é 4k2, com 0 < k < L/2. As
a) k2/ L e L + 3k2/ L b) k2/ L e k + (3/4)L
c) 2k2/ L e L – 4k2/ L
d) k2/ 2L e L + (4/3)k2 e) nda
16- (ITA-1976) Dado um paralelepípedo retângulo, de volume V, cujas arestas estão em progressão geométrica de razão q, podemos garantir que sua área total é dada por
a)
2.
V
2/3q
. (q2 + q + 1)b)
V
2/3q
. (q2 + q - 1)c)
V
2/3q
+
1
. (q2 + q + 1)d)
V
2q
3.(q + 1) e) nda
17- (ITA-1987) Seja (T) um cubo com aresta de medida a. Considere (P) a pirâmide que tem vértice no centro de uma face de (T) e como base a face oposta de (T). Sendo x a área lateral de (P), temos:
a) x = a2.
√
3
b) x = a2.
√
5
c) x = (a+1)2.
√
5
d) x = (a+1)2.
√
3
e) x = (
√
3
+
√
5
) a218- (ITA-1975) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números lnt, lnt2, lnt3 e a área total é 792cm2. Sabendo-se que a soma ds dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais os valores destas dimensões?
a) 6, 12 e 18
d) 2, 4 e 8 e) nda
19- (ITA-1975) Consideremos a esfera de raio r = 1 cm e um ponto P fora desta esfera. Sabemos que a distância deste ponto P à superfície da esfera mede 2cm. Qual é a razão k entre a área da superfície da esfera e a da calota visível do ponto P?
a) k = 1 b) k = 2
c) k = 3
d) k = 5/2 e) nda
20- (ITA-1997) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2a cm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. A altura (em cm) do tronco mede:
a) (a
√
3
) /√
5
b) (a
√
35
) / 10c) (a
√
3
) / 2√
5
d) (a
√
35
) / 10e) (a
√
7
) /√
5
21- (ITA-1998) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45o. Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a:
a)
√
2
b) 1/3 c)√
6
d)√
2
/ 2 e)√
3
/ 3base de S. Seja k = [(R2–x2) . (R2-(x+
R
2
)2)]1/2. Então o volume de T, como função de x, 0 x R/2, vale:
a)
πR
6
.(7
R
24
- 2x2 – Rx + k )b)
πR
12
.(7
R
24
- 2x2 – Rx + k )c)
πR
12
.(7
R
24
- 2x2 – Rx - k )d)
πR
6
.(7
R
24
- 2x2 – Rx - k ) e) nda23- (ITA-2000) Um cone circular reto com altura de
√
8
cm e raio da base de 2cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual aa) 3(
√
2
- 1) / 2b) 9(
√
2
- 1) / 4c) 9(
√
6
- 1) / 4d) 27(
√
3
- 1) / 8e) 27(
√
3
- 1) / 1624- (ITA-2000) Considere uma pirâmide regular com altura de
6
3
√
9 cm. Aplique a estapirâmide dois cortes planos e paralelos à base de tal maneira que a nova pirâmide e os dois troncos obtidos tenham, os três, o mesmo volume. A altura do tronco cuja base é a base da pirâmide original é igual a
a) 2( 3
√
9
- 3√
6
) cmb) 2( 3
√
6
- 3√
2
) cmc) 2( 3
√
6
- 3√
3
) cmd) 2( 3
√
3
- 3√
2
) cm25- (ITA-1999) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. Assim, a razão entre a altura e o raio da base é:
a)
1
+
√
5
2
b)√
5
−
1
2
c)√
√
5
−
1
2
d)3
√
5
−
1
3
e)√
√
5
+
1
2
26- (ITA-1999) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:
a) 10 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23
27- (ITA-1999) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8 m, 10 m e 12 m. O volume, em m3, do sólido formado é:
a) 15
√
6
b) 30√
6
c) 45√
6
d) 5√
30
e)6
√
15
28- (ITA-1969) Consideremos um tetraedro regular de aresta a. Podemos calcular o volume V deste sólido, em função da aresta a. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) 12
√
2
V = 2a3b) 2
√
2
V = 2a3√
3
c) 12V -
√
2
= a3√
2
d) 5V -
√
3
= 2a3√
3
e) as afirmações A, B, C e D acima são falsas.
29- (ITA-1972) Construindo-se um prisma e uma pirâmide sobre uma mesma base de área A e de volumes V1 e V2, a área de secção da pirâmide com a outra base do prisma é:
a) A. V1 / (V1+V2) b) (V2 - V1) / A . V2 c) A . [ 1 – V1 / (3V2) ] d) A . (3V2 – V1) / V2
30- (ITA-1973) Consideremos um cone de revolução de altura h, e um cilindro nele inscrito. Seja d a distância do vértice do cone à base superior do cilindro. A altura H de um segundo cilindro inscrito neste cone (diferente do primeiro) e de mesmo volume do primeiro é dado por:
a) H = (h -
√
h
−
d
) / 3 b) H = (h √
h
2−
d
2 ) / 3c) H = ( h – d + h
√
h
2−
d
2 ) / 2d) H = (h + d -
√
(
h
−
d
)(
h
+
3
d
)
) / 2e) nda
31- (ITA-1998) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então:
a) m = 9, n = 7
b) m = n = 9
c) m = 8, n = 10 d) m = 10, n = 8 e) m = 7, n = 9
32- (ITA-1994) Num cilindro regular reto, sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números , h, r formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de soma 6. O valor da área total
deste cilindro é
a) 3 b) 23 c) 153 d) 203 e) 303
33- (ITA-1993) São dados dois cubos I e II de áreas totais S1 e S2 e de diagonais d1 e d2, respectivamente. Sabendo-se que S1 – S2 = 54 m2 e que d2 = 3m, então o valor da razão d1/d2 é:
