3 - (Unifesp) – Dentre os metais pesados que contaminam nosso solo e águas há o chumbo (Pb), que apresenta

(1)

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Seu aspecto gráfico é semelhante a um sino e, para sua construção, são necessários dois parâmetros: “ µ “ ( média ) e “s_{“ ( desvio}

padrão ). A curva teórica é simétrica em relação à média e a representação matemática da função densidade de probabilidade é dada por:

Sendo esta, uma curva de probabilidade, a área limitada pela mesma, é igual a 1.

A curva normal tem as extremidades de forma assíntota, ou seja, vai de “ menos infinito ” a “ mais infinito ”.

O ponto máximo coincide com a média e o ponto de inflexão da curva determina o desvio padrão. A área sob a curva normal costuma ser dividida em zonas de probabilidades, cada uma com a mesma base, isto é ± 1 s_.

Portanto, para calcular a probabilidade ( Pz ), acima ( ou abaixo ), de um número “ x ” ( qualquer ) , calcula-se ( z ) e procura-se ( Pz ) ( ou vice versa ) na tabela. A tabela foi construída considerando-se uma curva normal teórica de ®_µ_{= 0}_es_{= 1}

CÁLCULO DE “

Z

“

LIE = Limite Inferior Especificado LSE = Limite Superior Especificado

Limites de

Especificação “Z”

% dentro dos

limites PPM ± 1s _1,0 68,26 317.400 ± 2s _2,0 _95,44 _45.600

± 3s _3,0 _99,74 _2.600

± 4s _4,0 _99,99366 _63,4

± 5s _5,0 _99,999942 _0,58

± 6s _6,0 99,9999998 0,002

A nossa tabela de valores de “Pz” em função de “Z”, corresponde a metade ( 50%) da curva de distribuição normal, ou seja:

𝒇(𝒙) =

𝟏 𝝈 × √𝟐 × 𝝅

× 𝒆

-𝟏𝟐.

(𝒙-𝝁) 𝝈 0

𝟐

Texto Texto Texto Texto Texto Texto

Título

±1s = 68,26% -1s +1s

-2s +2s

-3s +3s

±2s = 95,44% ±3s = 99,74%

±4s= 99,99366 ±5s = 99,999942 ±6s = 99,9999998

considerando um processo com ± 6s_{, temos:}

para +6s_{= 0,001x10}-6_{, ou seja 0,001ppm;}

para – 6s_{= 0,001x10}-6_{, ou seja 0,001ppm;}

então, no total, temos 0,002x10-6_,

e assim para os demais números de “Zs”

100% 50% 50%

ATENÇÃO:

Para encontrarmos a porcentagem total, devemos ter em conta a soma dos valores encontrados em função de Zie Zs.

Título

Probalidade perdida Probalidade

ganha

𝐙

_𝐢

=

𝐱4 − 𝐋𝐈𝐄

_𝛔

𝐙

𝐬

=

𝐋𝐒𝐄 − 𝐱4

_𝛔

Para facilitar o trabalho do cálculo da área sob a curva, podemos escrever a fórmula acima da seguinte forma:

𝑃

>

=

_{𝜎 × √2 × 𝜋}

1 × 𝑒

-DE×>F

(2)

De acordo com levantamentos na prática, temos que para um processo considerado com média centralizada e, completamente estável, vale o estudo acima, contudo dificilmente se tem o processo centralizado constantemente por todo o tempo. Após várias cartas de acompanhamento de um determinado processo a Motorola percebeu uma variação da média e, adotou como variação da média um desvio de ±1,5s_{( fig. 1), logo para um processo estável com ±6}s_{, teremos, como “média” ao longo do tempo 3,4ppm ao}

invés de 0,002ppm, ou seja o processo estará trabalhando no final, com aproximadamente ± 4,7s_.

V

Informações sobre cálculo do ppm

Exemplos:

1

– O padrão internacional estabelece, como a máxima concentração de mercúrio Hg por grama de água pótável

igual a 5,0 x 10-4_{mg/g, qual é essa quantidade expressa em ppm?}

Lembrando:

2

- (PUCC-SP) – No rótulo de uma garrafa de “´água mineral” lê-se, entre outras coisas:

Com base nesses dados, determinar a massa de bicarbonato de cálcio no volume da garrafa. Dados: ppm= mg de soluto/litro de solução aquosa

Sabendo que 1 ppm = 1 mg de soluto/litro de solução, temos 20ppm = 20 mg/l, então:

3

- (Unifesp) – Dentre os metais pesados que contaminam nosso solo e águas há o chumbo (Pb), que apresenta

uma concentração de 20ppm. Qual a quantidade de Pb em mg, numa amostra de 100g da costa terrestre?

Então: 20ppm é igual a 20g de Pb em 106 _{de crosta terrestre.} Figura 1 T ex to T ex to T ex to T ex to T ex to T ex to Título T ex to T ex to T ex to T ex to T ex to T ex to Título

Título

1,5s A A

1𝑙 20𝑚𝑔

1,5𝑙 𝑋 ≫ 𝑋 =1,5 × 201 ≫ 𝑋 = 30𝑚𝑔 = 0,03𝑔

𝑝𝑝𝑚 =𝑚𝑔_{𝐾𝑔 ≫}5. 10₁₀_-T-S_{𝐾𝑔 ≫ 5. 10}𝑚𝑔 -D𝑚𝑔

𝐾𝑔 ≫ 5. 10-D𝑝𝑝𝑚 ≫ 0,5𝑝𝑝𝑚

𝑝𝑝𝑚 =₁₀1 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜_\_{𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 =}_{𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 𝐾𝑔 =}𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑚𝑔 _1000𝑙1𝑔

20𝑔 10\_𝑔

𝑥 100𝑔 ≫20 × 10010\ ≫ 2. 10-S𝑔 ≫ 2𝑚𝑔

Conteúdo: 1,5l

(3)

TABELA DOS VALORES DE

“ Pz “

EM FUNÇÃO DE

“ Z “

| z | x,x0 x,x1 x,x2 x,x3 x,x4 x,x5 x,x6 x,x7 x,x8 x,x9

3,9x 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,00003

3,8x 0,00007 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00005

3,7x 0,00011 0,00010 0,00010 0,00010 0,00009 0,00009 0,00008 0,00008 0,00008 0,00008

3,6x 0,00016 0,00015 0,00015 0,00014 0,00014 0,00013 0,00013 0,00012 0,00012 0,00011

3,5x 0,00023 0,00022 0,00021 0,00020 0,00019 0,00019 0,00019 0,00018 0,00017 0,00017

3,4x 0,00034 0,00032 0,00031 0,00030 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024

3,3x 0,00048 0,00047 0,00045 0,00043 0,00042 0,00040 0,00039 0,00038 0,00036 0,00035

3,2x 0,00069 0,00066 0,00064 0,00062 0,00060 0,00058 0,00056 0,00054 0,00052 0,00050

3,1x 0,00097 0,00094 0,00090 0,00087 0,00084 0,00082 0,00079 0,00076 0,00074 0,00071

3,0x 0,00135 0,00131 0,00126 0,00122 0,00118 0,00114 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100

2,9x 0,00190 0,00180 0,00180 0,00170 0,00160 0,00160 0,00150 0,00150 0,00140 0,00140

2,8x 0,00260 0,00250 0,00240 0,00230 0,00230 0,00220 0,00210 0,00210 0,00200 0,00190

2,7x 0,00350 0,00340 0,00320 0,00320 0,00310 0,00300 0,00290 0,00280 0,00270 0,00260

2,6x 0,00470 0,00450 0,00440 0,00430 0,00410 0,00400 0,00390 0,00380 0,00370 0,00360

2,5x 0,00620 0,00600 0,00590 0,00570 0,00550 0,00540 0,00520 0,00510 0,00490 0,00480

2,4x 0,00820 0,00800 0,00780 0,00750 0,00730 0,00710 0,00690 0,00680 0,00660 0,00640

2,3x 0,01070 0,01040 0,01020 0,00990 0,00960 0,00910 0,00910 0,00890 0,00870 0,00840

2,2x 0,01390 0,01360 0,01320 0,01290 0,01250 0,01220 0,01190 0,01160 0,01130 0,01100

2,1x 0,01790 0,01740 0,01700 0,01660 0,01620 0,01580 0,01540 0,01500 0,01460 0,01430

2,0x 0,02280 0,02220 0,02170 0.02120 0,02070 0,02020 0,01970 0,01920 0,01880 0,01830

1,9x 0,02870 0,02810 0,02740 0,02680 0,02620 0,02560 0,02500 0,02440 0,02390 0,02330

1,8x 0,03590 0,03510 0,03440 0,03360 0,03290 0,03220 0,03140 0,03070 0,03010 0,02940

1,7x 0,04460 0,04360 0,04270 0,04180 0,04090 0,04010 0,03920 0,03840 0,03750 0,03670

1,6x 0,05480 0,05370 0,05260 0,05160 0,05050 0,04950 0,04850 0,04750 0,04650 0,04550

1,5x 0,06680 0,06550 0,06430 0,06300 0,06180 0,06060 0,05940 0,05820 0,05710 0,05590

1,4x 0,08080 0,07930 0,07780 0,07640 0,07490 0,07350 0,07210 0,07080 0,06940 0,06810

1,3x 0,09680 0,09510 0,09340 0,09180 0,09010 0,08850 0,08690 0,08530 0,08380 0,08230

1,2x 0,11510 0,11310 0,11120 0,10930 0,10750 0,10560 0,10380 0,10200 0,10030 0,09850

1,1x 0,13570 0,13350 0,13140 0,12920 0,12710 0,12510 0,12300 0,12100 0,11900 0,11700

1,0x 0.15870 0,15620 0,15390 0,15150 0,14920 0,14690 0,14460 0,14230 0,14010 0,13790

0,9x 0,18410 0,18140 0,17880 0,17620 0,17360 0,17110 0,16850 0,16600 0,16350 0,16110

0,8x 0,21190 0,20900 0,20610 0,20330 0,20050 0,19770 0,19490 0,19220 0,18940 0,18670

0,7x 0,24200 0,23890 0,23580 0,23270 0,22970 0,22660 0,22360 0,22060 0,21770 0,21480

0,6x 0,27430 0,27090 0,26760 0,26430 0,26110 0,25780 0,25460 0,25140 0,24830 0,24510

0,5x 0,30850 0,30500 0,30150 0,29810 0,29460 0,29120 0,28770 0,28430 0,28100 0,27760

0,4x 0,34460 0,34090 0,33720 0,33360 0,33000 0,32640 0,32280 0,31920 0,31560 0,31210

0,3x 0,38210 0,37830 0,37450 0,37070 0,36690 0,36320 0,35940 0,35570 0,35200 0,34830

0,2x 0,42070 0,41680 0,41290 0,40900 0,40520 0,40130 0,39740 0,39360 0,38970 0,38590

0,1x 0,46020 0,45620 0,45220 0,44830 0,44430 0,44040 0,43640 0,43520 0,42860 0,42470

0,0x 0,50000 0,49600 0,49200 0,48800 0,48400 0,48010 0,47610 0,47210 0,46810 0.46410

Exemplo: - Z=2,56 ð_{( 2,5x na primeira coluna e, na 8ª x,x6}ð_2,56ð_P_z_{=0,0052 – 0,520%)}

| z | 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9

x10-6 _31,671 _20,658 _13,346 _8,54 _5,4125 _3,3975 _2,1125 _1,3010 _0,7935 _0,4790

| z | 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9

x10-6 _0,2865 _0,1700 _0,0995 _0,0580 _0,0335 _0,0190 _0,0105 _0,0060 _0,0035 _,0020

| z | 6,0

x10-6 _0,0010

(4)

a) % de peças abaixo de 6300

b) % de peças acima de 7100

c) % de peças entre 6300 e 6700

d) % de peças entre 6200 e 6700

______________________________________________________________________________________

e) % de peças entre 6100 e 6300

6500 6300

6500 7100

6500 6100 6300

𝑍

a

=

6500 − 6300

₂₀₀

= 1,0 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ↣ 𝑃

>a

= 0,1587 ↣ 𝟏𝟓, 𝟖𝟕%

𝑍

l

=

7100 − 6500

₂₀₀

= 3,0 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ↣ 𝑃

>l

= 0,00135 ↣ 𝟎, 𝟏𝟑𝟓%

𝑍

a

= 𝑍

l

=

6500 − 6300

₂₀₀

= 1,0 ↣ 𝑡𝑎𝑏 ↣ 𝑃

>al

= 2 × 0,1587 = 0,3174

= 𝟑𝟏, 𝟕𝟒%

𝑍

aq

=

6500 − 6300

200 = 1,0 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃

>rstt

= 0,1587

𝑍

aF

=

6500 − 6100

200 = 2,0 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃

>rqtt

= 0,0228

𝑃

>rstt

− 𝑃

>rqtt

↣ (0,1587 − 0,0228) = 0,1359 ⇒ 𝟏𝟑, 𝟓𝟗%

6500

6300 6700

6500 6200 6700

𝑍

a

=

6500 − 6200

₂₀₀

= 1,5 ↣ 𝑡𝑎𝑏 ↣ 𝑃

>a

= 0,06680 ↣ 𝟔, 𝟔𝟖%

𝑍

l

=

6700 − 6500

₂₀₀

= 1,0 ↣ 𝑡𝑎𝑏 ↣ 𝑃

>l

↣ 0,1587 ↣ 𝟏𝟓, 𝟖𝟕%

(5)

EXERCÍCIOS: Sabendo-se que na produção de uma determinada peça, uma dimensão tem distribuição normal, em função dos dados, determinar:

a) % para x < 98mm, com média “µ” = 100 e “s_{”= 5}

b) % para “x” entre 90mm e 105mm, com µ = 100 e s_{= 5}

c) Qual o valor do “s_{“, para obtermos 25,78% de peças acima de 102mm, em um processo}

que apresenta µ = 100 ?

d) Qual o valor do “

s

_{“ para obter 95,44% entre 98mm e 102mm, com}

_µ

_{= 100?}

e) No intervalo, µ = 100 e x = 98, qual deve ser o valor do “s_{“ para obtermos 6 sigmas?}

f) Qual o valor do LSE acima do qual temos 10% de peças com µ=100 e s_=5?

g) quantos “s_{“ simetricamente em relação a média, incluirão 86% de todas as peças?}

(6)

Lembrete: Conforme indicado no fascículo de “Inspeção por Amostragem”...

A Distribuição Binomial pode ser aproximada da normal se: np > 5 e n(1-p) > 5

Exemplo:

Num lote de 1000 baterias para computadores, com fração defeituosa 0,05%, foram retiradas, de acordo com a NBR 5426, 125 peças de amostra. Qual a probabilidade de encontrarmos 10 peças defeituosas??

p = 0,05

n = 125 Vamu lá!

logo: As necessidades estão atendendo!!

Primeiro para que possamos calcular a probabilidade aplicando Distribuição Binomial, precisamos fazer os cálculos de 0 defeituosas, até 10 defeituosas...TRABALHOSO!!!

Pois temos, na Distribuição Binomial

Lembrando...

e assim até X=10, teremos no total = 0,9508

Aplicando a Distribuição Normal:

Como sabemos a nossa tabela contempla 50% da curva, então:

EXEMPLOS:

(l) Um eixo deve ser produzido obedecendo a especificação

F_{= 10}_±_{0,1 mm.}

Peças fora de tol. são rejeitadas, somente peças acima da tolerância podem ser corrigidas a um custo de $51,00u.m. por peça.

a) Fabricação com 𝑥̿ = 10,0𝑚𝑚 𝑒, 𝜎_z̅ = 0,05𝑚 custa $ 102,00 u.m. por peça.

b) Outro processo com 𝑥̿ = 10,0𝑚𝑚 𝑒, 𝜎_z̅= 0,10𝑚 custa $ 85,00 u.m. por peça. Qual o processo a ser adotado? ( supor distribuição normal)

𝒂) 𝑍a= 𝑍l=10,0 − 9,9_0,05 = 2,0 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃>= 0,0228 ⟺ [2 × (0,5 − 0,0228)] = 0,9544

0,9544 de uma peça custa $ 102,00 ð_{2,28% é recuperável a $ 51,00 = $ 1,16 então temos:}

(0,9544 + 0,0228)= 0,9772 de uma peça ( pois as peças abaixo da tol., não se recuperam), custa= 102,00 + 1,16= 103,16, logo o custo por peça recuperada será:

103,16

0,9772 = $𝟏𝟎𝟓, 𝟓𝟕𝒖. 𝒎. 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒆ç𝒂

𝒃) 𝑍a= 𝑍l=10,0 − 9,9_0,1 = 1,0 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃>= 0,1587 ⟺ [2 × (0,5 − 0,1587)] = 0,6826

0,6826 de uma peça custa $85,00 ð_{0,1587 é recuperável a $51,00 = $ 8,09}

(0,6826 + 0,1587)=0,8413 de uma peça (pois as peças abaixo da tol,. não se recuperam), custa = 85,00 + 8,09 = 93,09, Logo o custo por peça recuperada será:

93,09

0,8413 = $ 𝟏𝟏𝟎, 𝟔𝟓𝒖. 𝒎. 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒆ç𝒂 𝑃 =_(‡-z)!×z!‡! ↣_{(DE‰-Š)!×Š!}DE‰! × 0,5Š_{× 0,5}DŠ_{≫ 1 × 0,0156 × 0,001 =}

0,000156

Média = 𝑥̅ = 𝑛 × 𝑝 ↣ 125 × 0,05 = 6,25 ↣ 𝐱4 = 𝟔, 𝟐𝟓

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 = •𝑛 × 𝑝 × 𝑞 ↣ •125 × 0,05 × 0,95 ↣ •5,94 = 2,44 ↣ 𝛔 = 𝟐, 𝟒𝟒

𝑍a=6,25 − 9,5_2,44 =_{2,44 = 1,23 ↣ 𝑃}3 >= 0,10930

𝑍a‘=6,25 − 10,5_2,44 =_{2,44 = 1,64 ↣ 𝑃}4 >‘= 0,0505

𝑛 × 𝑝 = 125 × 0,05 =

6,5

𝑛 × (1 − 𝑝) ↣ 𝑛 × 𝑞 = 125 × 0,95

= 11,87

𝑭(𝒂) = “ ”𝒏𝒙– × 𝒑𝒙

𝒙—𝒂

𝒙—𝒐

× 𝒒(𝒏-𝒙)

Título 1,23

1.64

Título 1.64

(7)

(2)-

A dimensão de uma peça é 250,0𝑚𝑚, +0,2

−0,5 o processo produtivo tem 𝜎z̅ 0,15mm, pergunta-se:

a) Regulando a 𝑥̿ para 250mm, calcular a % total de peças rejeitadas;

a) Sabendo-se que o custo de recuperação é 5 vezes maior para peças menores, determinar entre as regulagens abaixo, qual a mais econômica, justificar.

c) qual deve ser o desvio padrão para um processo ±6𝜎, com a média centrada?

(3) A capacidade máxima de um elevador é de 500Kg. Se a distribuição “x” dos pesos dos usuários é suposta:

( µ = 70Kg ; s_{= 10Kg). Pergunta-se:}

a) Qual a probabilidade de 7 passageiros (n=7) ultrapassarem esse limite?

b) Qual a probabilidade de 6 passageiros (n=6) ultrapassarem esse limite?

(4) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com uma média (

µ ) e desvio padrão

s_{= 10g. Pergunta-se:}

a) Em quanto deve ser regulado o peso médio “m” para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500g?

Pela tabela ð_P_(z)_{= 0,1 então Z}@_{1,28 logo:}

b) Com a máquina de empacotar assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg?

Peso de 4 pacotes = 2 Kg Peso de 1 pacote = 500 g

(5) Na análise de um estudo de Distribuição Normal, cuja especificação é 25,0 ±0,2, encontramos as seguintes porcentagens: acima

do LSE=7,35% e, abaixo do LIE=2,74%. Qual o valor do 𝜎_z̅ ?

𝑍 =𝜇 − 𝑥_{𝜎 =}𝜇 − 500_{10 ⇒ 𝜇 = 500 + (10 × 𝑍)}

𝜇 = 500 + (10 × 1,28) ⇒ 500 + 12,8 = 𝟓𝟏𝟐, 𝟖𝒈

𝜎z̅=_√𝑛𝜎 =_√410=10_{2 = 5} 𝑍 =512,80 − 500₅ =12,8_{5 = 2,56 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃}>= 0,00052 ⇒ 𝟎, 𝟓𝟐%

𝑥̅ =500_{7 = 71,429 𝜎}z̅=10

√7= 3,78 𝑍 =

𝑥 − 𝜇

𝜎 =71,429 − 703,78 = 0,378 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃>= 0,352 ⇒ 𝟑𝟓, 𝟐%

𝑥̅ =500_{6 = 83,33 𝜎}z̅= 10

√6= 4,082 𝑍 =𝑥 − 𝜇_{𝜎 =}83,33 − 70_4,08 = 3,27 ⇒ 𝑡𝑎𝑏 ⇒ 𝑃>= 0,00054 ⇒ 𝟎, 𝟎𝟓𝟒%

𝑅D→ 𝑥̅ = 249,85 𝑅E→ 𝑥̅ = 250,0 𝑒 𝜎z̅= 0,125

a)

𝑍a =E‰Š,Š-ESŸ,‰_Š,D‰ = 3,33 → 𝑃>= 0,00043 + 𝑍l=E‰Š,E-E‰Š,Š_Š,D‰ = 1,33 → 𝑃>= 0,09180 ==0,09223

b

1

) - R

1

Z¡= Z¢=249,85 − 249,5_0,15 = 2,33 → P¤= 0,0099,

como o custo de recuperação das menores é 5x o custo das maiores, então: 0,0099 x 5= 0,05 + 0,0099 = 0,0599

b

2

) – R

2

Z¡=250 − 249,5_0,125 = 4 → P¤= 31,67 × 10-\× 5 (custo da recuperação das menores) = 0,000158

Z¢=E‰Š,E-E‰Š_Š,DE‰ = 1,6 → P¤= 0,05480 → TOTAL = 0,000158 + 0,05480 = 0,05496

Z

¡

= Z

¢

= 6 =

249,85 − 249,5

_𝜎

z

≫ 𝜎

z

=

0,35

6 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟑

𝑃>= 0,0735 → 𝑍l= 1,45 → 1,45 =𝐿𝑆𝐸 − 𝑥̅_𝜎

z̅ → 1,45 × 𝜎¸4 = 25,2 − 𝑥̅ → −[(1,45 × 𝜎z̅) − 25,2] = 𝑥̅

𝑃>= 0,0274 → 𝑍a= 1,92 → 1,92 =𝑥̅ − 𝐿𝐼𝐸_𝜎

¸4 → 1,92 × 𝜎z̅= 𝑥̅ − 24,8 → 𝑥̅ = [(1,92 × 𝜎z̅) + 24,8]

−(1,45 × 𝜎z̅) + 25,2 = (1,92 × 𝜎z̅) + 24,8 → −1,45𝜎z̅− 1,92𝜎z̅= 24,8 − 25,2 → −3,37𝜎z̅= −0,4 → 𝜎z̅=_−3,37−0,4

(8)

HISTOGRAMAS

É uma forma de representação da distribuição de frequência através de um gráfico de colunas

CONSTRUÇÃO:

1º passo:

Coleta de dados.

Retirar no mínimo 20 amostras ( N ) de 5 elementos ( n ) cada uma. Essa coleta de dados deverá abranger todo um ciclo de trabalho, procurando evitar mudanças como: MP, Troca de Operador, etc.

Ex.: Inspeção de um eixo com especificação: 6,0 ± 0,5 mm

.

6.0 5.9 6.0 6.0 5.9 6.0 5.9 6.0 5.9 6.0 5.9 6.0 5.9

5.9 5.7 5.9 5.7 5.7 5.9 5.8 5.7 5.7 5.9 5.7 5.7 5.8

5.8 5.4 5.8 6.1 6.2 6.1 5.8 6.1 5.8 6.1 5.8 6.1 5.8

6.3 6.4 6.2 6.3 5.5 6.2 6.4 6.2 6.4 6.2 6.3 6.4 6.3

5.5 5.4 5.5 5.4 5.6 5.2 5.6 5.1 5.6 6.6 5.6 5.4 5.6

6.0 6.0 5.9 5.9 6.0 6.0 5.9 5.9 6.0 5.9 6.0 5.9

5.9 5.7 5.8 5.7 5.9 5.7 5.9 5.7 5.7 5.9 5.7 5.9

6.1 5.8 6.1 6.1 6.1 6.1 6.2 6.1 5.4 6.1 6.2 5.8

6.2 5.4 6.4 6.4 6.3 5.5 6.3 5.5 5.5 6.3 6.4 6.3

6.6 5.3 5.3 6.5 6.5 6.5 6.5 5.6 5.3 5.6 5.6 6.7

2º passo:

Cálculo da amplitude

®

3º passo:

Determinação do número de classes ( K )

O número de classes pode ser encontrado como sendo uma aproximação de

A tabela, abaixo, nos dá uma orientação do nº de classes em função do nº de elementos.

4º passo:

Determinação do tamanho de classe:

5º passo:

Distribuição dos valores em classes.

A tabulação dos dados deverá ser de forma excludente, portanto é preciso definir fronteiras, uma das maneiras é considerar nos extremos de cada classe a metade da unidade da precisão do instrumento.

6º passo:

Tabulação dos dados ( Anotar os dados separando-os por classes )

nº

classe

limites

frequência

quant

1 5,0 - 5,2 4,95 - 5,15 1

2 5,2 - 5,4 5,15 - 5,35 ¨ 4

3 5,4 - 5,6 5,35 - 5,55 ¨¨¨ 12

4 5,6 - 5,8 5,55 - 5,75 ¨¨¨¨¨ 21

5 5,8 - 6,0 5,75 - 5,95 ¨¨¨¨¨¨¨¨ 32

6 6,0 - 6,2 5,95 - 6,15 ¨¨¨¨¨¨ 25

7 6,2 - 6,4 6,15 - 6,35 ¨¨¨¨ 16

8 6,4 - 6,6 6,35 - 6,55 ¨¨ 11

9 6,6 - 6,8 6,55 - 6,75 3

OBS.: É comum utilizar, na tabulação dos dados, a coluna de frequência para se ter uma idéia da curva de distribuição dos dados.

7º passo: Construção do histograma: eixo horizontal ( abcissas ) = classes

eixo vertical ( ordenadas ) = frequência

8º passo:

Polígono de frequência. Determina-se unindo os pontos médios superiores das colunas

.

( N * n )

K

30 - 50 5 - 7

51 - 100 6 - 10

101 - 250 7 - 12

> 250

10 - 20

√25 × 5 → √125 = 11,18

ℎ =

𝑅

_{𝐾 → ℎ =}

1,6

_{11 → ℎ = 0,145 → ℎ ≅ 0,2}

𝑅 = 𝑋

¼áz

− 𝑋

¼í‡

↑→ 6,7 − 5,1 = 𝟏, 𝟔

(9)

ANÁLISE DE HISTOGRAMA

A análise se faz pelo formato da curva, se esse formato for bem próximo a de um sino, podemos concluir que a distribuição é normal e apresenta somente variações aleatórias.

ATENÇÃO:

Nos casos em que não ocorre o formato “SINO”, năo devem ser utilizados os estimadores estatísticos, nesses casos, após detecção e eliminação das variações causais, nova coleta deverá ser realizada.

Exemplos

Histograma Truncado Histograma com 2 ou mais Modas Histograma com muitas variações nas alturas das

colunas

provavelmente anteriormente já houvera uma inspeção selecionadora

uma análise poderá mostrar, provavelmente, duas fontes de fornecimento.

neste caso verificar a calibragem do aparelho de medição

MODA – A moda (Mo) é o valor que mais se repete, ou seja, o valor pais provável a ser obtido.

É a única medida de dispersão que pode ter mais de um valor, podendo ser o conjunto: Amodal = Ex.: 2,3,4,5,6 – ( nenhum valor se repete)

Monomodal = Ex.: 3,4,5,5,6,7,8 – ( o valor 5 se repete)

Bimodal = Ex.: 1,2,3,3,4,5,5,6,7 – ( os valores 3 e 5 se repetem)

MEDIANA – A mediana (Me) é o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho.

Para o cálculo correto da mediana, os valores devem estar ordenados do menor para o maior valor. Se “n” for ímpar, a posição da mediana é o valor central – (Ex.: 2,3,4,5,6 – Me = 4)

Se “n” for par, a mediana é a média dos dois valores centrais, cuja posição é calculada pela média dos dois elementos centrais – [Ex.: 2,3,4,5,6,7 – (4+5/2)=4,5], cabe perceber que a mediana não precisa, necessariamente, fazer parte do conjunto de dados.

C_VARIAÇÕES

ALEATÓRIAS

D_VARIAÇÕES

CAUSAIS

Fazem parte da natureza do processo, podem ser controladas

São, de certa forma, imprevisíveis, devem ser detectadas e eliminadas rapidamente. Ex.: quebra de ferramenta

1º Caso: Média < Mediana < Moda - a curva da distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA

2º Caso: Média = Mediana = Moda - a curva da distribuição é SIMÉTRICA

(10)

Exercícios:

1. No setor de envase de uma empresa o controle do peso de cada embalagem primária segue a especificação: 500g ±10g, na embalagem secundária cabem 40 pacotes.

O cliente define, como média, na amostragem, no máximo 1,5% abaixo do peso e, adota como inspeção:

Considerando o processo estável com média 495g, pergunta-se: a) Qual deve ser o valor do “s_{” do processo para atender o cliente?}

b) Qual a probabilidade do cliente encontrar:

1. 0 (zero) embalagem abaixo do peso mínimo?

2. Exatamente 1 (uma) embalagem abaixo do peso mínimo? 3. Até 1 (uma) embalagem abaixo do peso mínimo?

Um determinado produto com especificação 8,0 ± 0,1mm, tem um custo de produção igual R$ 2,95, o processo tem uma distribuição normal com média igual a 7,95mm e, desvio padrão igual a 0,05mm. O custo para recuperação de peças abaixo da mínima custa o dobro das acima da máxima. Após apresentar o resultado a gerência pediu que a média fosse centralizada

a) Qual % de peças abaixo da mínima?

b) Qual a porcentagem total de peças rejeitadas, para se levantar o custo de recuperação das rejeitadas?

c) Após a centralização da média qual a % abaixo da mínima?

d) Qual o valor da média seria adequada para termos no máximo 0,5% de peças abaixo da mínima?

N Nível Tipo Regime NQA Tab. “1” n Ac Re

40 II SIMPLES ATENUADA 1,0

(11)

Nome:______________________________________________NúmeroT

EXERCÍCIOS:

(1)-Em um processo com a característica 50,0±0,5, determinou-se a porcentagem abaixo do LIE=0,023% e, acima

do LSE=6,68%. Qual deverá ser o σ_Â4 para atender essa determinação?

(2)- Para um eixo com um diâmetro de 3 ± 0,018mm, um fornecedor propôs o mesmo preço e prazo dos demais fornecedores. Enviou os registros do controle, conforme abaixo. Qual a porcentagem de rejeição desse fornecedor?

(3)-Dado um processo sob controle estatístico, com média 170mm e um desvio padrão 8mm, qual a probabilidade de

obtermos peças com valores entre 154mm e 186mm?

(4)- Uma dimensão de 8,0±0,05mm, está sob controle estatístico com média centrada, qual deverá ser o valor do desvio padrão para obtermos 95% de peças OK?

(5)-No controle estatístico de um componente eletrônico obtivemos resistência média de 48W_{, com desvio padrão de}

1,25W_{. A especificação define uma resistência mínima de 45}W_{. Qual a porcentagem de componentes serão rejeitados?}