3.5 Lógica paraconsistente anotada

3.5 Lógica paraconsistente anotada

3.5.1 Considerações iniciais

Neste parágrafo, serão desenvolvidos os pontos centrais do embasamento teórico desta tese, que é uma aplicação da lógica paraconsistente anotada (LPA). Inicialmente será feito um pequeno histórico dessa lógica.

Em 1987, o pesquisador indiano V. S. Subrahmanian, radicado nos Estados Unidos, introduziu uma linguagem de programação não-clássica. Verificou-se posteriormente que a lógica subjacente era uma lógica paraconsistente, que foi denominada de lógica paraconsistente anotada.

Um primeiro trabalho no sentido da sistematização completa da lógica anotada foi de Da Costa, Subrahmanian e Vago (1991), que fizeram o primeiro estudo sintático e semântico de tais lógicas, tratando de sua correção e completeza no nível proposicional. Posteriormente, Da Costa, Subrahmanian e Abe (1991) estenderam a LPA ao nível quantificacional. Abe (1992) fez um estudo sistemático dos fundamentos da LPA, mostrando a completeza da lógica quantificacional; erigiu uma teoria de modelos, provando que a maioria dos resultados padrões da teoria clássica de modelos pode ser estendida à LPA; estudou uma teoria anotada de conjuntos que engloba a teoria de conjuntos fuzzy; e desenvolveu as lógicas modais anotadas.

Mais recentemente, Abe e outros pesquisadores têm desenvolvido aplicações para a

lógica paraconsistente e para a lógica paraconsistente anotada, destacando-se as aplicações em

ciência da computação, inteligência artificial, robótica e outros domínios. Entre elas, podem

ser destacadas: programação lógica paraconsistente (Paralog), sistema multimodal

paraconsistente, arquitetura paraconsistente (Paranet), representação de conhecimento paraconsistente por frames, inferência não monotônica, circuitos eletrônicos paraconsistentes, etc. (ALMEIDA PRADO, 1996), (ÁVILA, 1996), (DA SILVA FILHO, 1998) e (DA COSTA; ABE, 1999).

Neste parágrafo, de maneira resumida, procura-se apresentar a lógica proposicional paraconsistente anotada evidencial (Eτ), estabelecendo sua linguagem (L

), terminologias e convenções, com base nas referências (ABE, 1992), (DA COSTA; VAGO;

SUBRAHMANIAN, 1991), (DA COSTA; ABE; SUBRAHMANIAN, 1991) e (DA COSTA et al., 1999).

3.5.2 Aspectos gerais da lógica Eτ

Na lógica Eτ associa-se a cada proposição p, no sentido comum, um par (a; b), representando da seguinte forma: p

. a e b variam no intervalo fechado real [0, 1].

Portanto, o par (a; b) pertence ao produto cartesiano [0, 1] × [0, 1]. Intuitivamente, a representa o grau de evidência favorável (ou grau de crença) expressa em p, e b, o grau de evidência contrária (ou grau de descrença) expressa por p. O par (a; b) é chamado de constante de anotação ou, simplesmente, anotação. As proposições atômicas da lógica Eτ são do tipo p

. Assim, o par

(1; 0) associado a p significa, intuitivamente, máxima evidência favorável e nenhuma evidência contrária a p (ele traduz um estado lógico chamado de verdade);

(0; 1) representa, intuitivamente, nenhuma evidência favorável e máxima evidência

contrária a p (ele traduz um estado lógico denominado de falsidade);

(1; 1) significa, simultaneamente, máxima evidência favorável e máxima evidência contrária a p (traduz um estado lógico chamado de inconsistência), e

(0; 0) indica a ausência total de evidência favorável e de evidência contrária a p (traduz um estado lógico denominado de paracompleteza).

Seja τ = < |τ |, ≤ > um reticulado fixo, onde |τ | = [0, 1] × [0, 1], ou seja, |τ | é o produto cartesiano do intervalo fechado unitário real [0, 1] por ele mesmo e ≤ é a relação de ordem definida em |τ | × |τ | da seguinte maneira:

((a

; b

) , (a

; b

)) ∈ ≤ ⇔ a

≤* a

e b

≤* b

sendo, ≤* a relação de ordem usual dos números reais.

O referido reticulado é chamado reticulado das anotações τ. O par (0; 0), seu ínfimo, é representado por ⊥; o seu supremo, o par (1; 1), é representado por T . Uma representação deste reticulado pode ser feita pelo chamado diagrama de Hasse (Figura 3.1).

= (0; 0)

(Paracompleteza) (Verdade) T = (1; 1)

(Inconsistência)

Nenhuma evidência favorável Evidência contrária máxima

(Falsidade)

V = (1; 0)

Evidência favorável máxima

Nenhuma evidência contrária Nenhuma evidência favorável

Nenhuma evidência contrária Evidência favorável máxima Evidência contrária máxima

Figura 3.1 – Representação do reticulado τ das anotações pelo diagrama de Hasse.

Define-se o operador ∼ : |τ | → |τ |, conforme (DA COSTA et al, 1999, p.21), da seguinte maneira: ∼(a; b) = (b; a). Ele tem o “significado” da negação lógica de Eτ.

Algumas vezes, faz-se referência a ∼ como negação epistêmica.

Com relação a este operador, é oportuno o comentário seguinte. Imagine a sentença a seguir: “A equipe do Brasil será a campeã olímpica" com evidência favorável de 90% (grau de crença = 90% ou 0,9) e com evidência contrária de 20% (grau de descrença = 20% ou 0,2).

Sua negação é “A equipe do Brasil será a campeã olímpica" com evidência favorável de 20%

(grau de crença = 20% ou 0,2) e com evidência contrária de 90% (grau de descrença = 90%

ou 0,9). Portanto,

¬p

↔ p

↔

p

Generalizando, pode-se escrever:

¬p

↔ p

↔ p

.

O símbolo de equivalência lógica (↔) utilizado é o habitual, que aqui também é definido por p ↔ q =

(p → q) ∧ (q → p).

A linguagem L

de Eτ possui os seguintes símbolos primitivos:

a) símbolos (variáveis) proposicionais: p, p

, p

, p

, …, q, q

, q

, q

, … (um conjunto infinito enumerável);

b) conectivos (ou operadores) lógicos: negação (¬), conjunção (∧), disjunção (∨) e implicação (→);

c) constantes de anotação: μ = (a; b), λ = (c; d), ρ = (e; f), … (são os elementos do

reticulado τ = < |τ | = [0, 1] × [0, 1], ≤ >, no qual [0, 1] indica o intervalo real

unitário), e

d) símbolos auxiliares: parênteses e vírgula.

Quando necessário para maior clareza, também serão usados colchetes, chaves, etc.

A definição de fórmula também é feita pelo processo indutivo generalizado:

a) se p é um símbolo proposicional e (a; b) ∈ |τ| é uma constante de anotação, então

p

é uma fórmula atômica;

b) se A é uma fórmula, então (¬A) também é uma fórmula;

c) se A e B são fórmulas, então (A ∧ B), (A ∨ B) e (A → B) também são fórmulas;

d) uma dada expressão constitui uma fórmula somente se for obtida pela aplicação das regras a), b) ou c) anteriores (cláusula maximal).

O conceito lógico de ↔ é introduzido como usualmente:

A ↔ B =

(A → B) ∧ (B → A).

Sendo A uma fórmula, adota-se a seguinte notação:

¬

A indica A; ¬

A indica ¬A; ¬

A indica ¬(¬

A), sendo k um número natural, k ≥ 1.

Sendo p um símbolo proposicional e μ uma constante de anotação, chama-se a fórmula ¬

p

(k ≥ 0) de hiperliteral (ou simplesmente literal). As demais fórmulas são chamadas de complexas.

Seja S o conjunto dos símbolos proposicionais e F o conjunto das fórmulas de L

Uma interpretação para Eτ é uma função I: S → |τ |.

Dada uma interpretação I, pode-se associar a ela uma valoração ϑ

: F → {0, 1} assim

definida:

I) Se p é um símbolo proposicional e μ ∈ |τ |, então:

a) ϑ

(p

) = 1 ⇔ μ ≤ I(A) e ϑ

(p

) = 0 ⇔ μ ≰ I(A)

b) Se A é da forma ¬

p

(k ≥ 1), então ϑ

(¬

p

) = ϑ

(¬

p

) II) Se A e B são fórmulas quaisquer, então:

ϑ

(A ∧ B) = 1 ⇔ ϑ

(A) e ϑ

(B) = 1 ϑ

(A ∨ B) = 1 ⇔ ϑ

(A) = 1 ou ϑ

(B) = 1 ϑ

(A → B) = 1 ⇔ ϑ

(A) = 0 ou ϑ

(B) = 1

III) Se F é uma fórmula complexa, então ϑ

(¬F) = 1 ⇔ ϑ

(F) = 0.

3.5.3 Axiomática da lógica Eτ

A axiomática para a lógica Eτ aqui apresentada é de (DA COSTA et al, 1999, p.26).

Sejam: p um símbolo proposicional; μ, μ

, μ

μ

e λ constantes de anotação; A, B e C fórmulas quaisquer; e F e G fórmulas complexas. Os postulados (esquemas de axiomas e regras de inferência) de Eτ são os seguintes:

a) Esquema de axiomas e regra de inferência da implicação:

A1) A → (B → A)

A2) (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C))

A3)

B A A, →

(regra de modus ponens)

A''10) ((A → B) → A) → A (lei de Peirce)

b) Esquema de axiomas da conjunção:

A4) (A ∧ B) → A A5) (A ∧ B) → B

A6) A → (B → (A ∧ B)) c) Esquema de axiomas da disjunção:

A7) A → (A ∨ B) A8) B → (A ∨ B)

A9) (A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) d) Esquema de axiomas da negação:

A''11) F ∨ ¬F (princípio do terceiro excluído) A''12) F → (¬F → A)

A''13) (F → G) → ((F → ¬G) → ¬F)) (princípio da redução ao absurdo) e ) Axiomas específicos para hiper-literais:

A''14) p

A''15)

¬

p

→ ¬

p

(k ≥ 1) A''16) p

→ p

, λ ≤ μ

A''17) p

∧ p

∧ ... ∧ p

→ p

, sendo μ = sup (μ

), com 1 ≤ i ≤ n (sup indica

a operação de supremo de subconjuntos de τ).